Trờn tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BH với H là chõn đường vuụng gúc kẻ từ A đến BC, đường thẳng EH cắt AC ở D.
Trang 1Phòng giáo dục và đào tạo can lộc
Trờng thcs khánh vĩnh đề thi chon học sinh giỏi cấp trờng
năm học 2012 2013–
Môn: Toán 7
Thời gian làm bài 120 phút
Đề ra:
Bài 1
Thực hiện phép tính:
a A =
1 4,5 : 47,375 26 18.0,75 2, 4 : 0,88
3
2 5 17,81:1,37 23 :1
3 6
−
20
1
) 4 3 2 1 ( 4
1 ) 3 2 1 ( 3
1 ) 2 1 ( 2
B i 2 à :
a Tìm x, y, z biết: 3(x-1) = 2(y-2), 4(y-2) = 3(z-3) và 2x+3y-z = 50
b Tìm x 3x−5 + 2x+3 =7
c Tỡm x y, ∈ Ơ biết: 25 −y2 = 8(x− 2009) 2
Bài 3 Tỡm hai số dương khỏc nhau x, y biết rằng: Tổng, hiệu và tớch của chỳng lần lượt tỉ
lệ nghịch với 35; 210 và 12
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giỏc ABC cú Bˆ< 900 và Bˆ = 2Cˆ Trờn tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BH (với H là chõn đường vuụng gúc kẻ từ A đến BC), đường thẳng EH cắt AC ở D
a) Chứng minh rằng: DA = DC
b) Chứng minh rằng: AE = HC
Bài 5: Cho ba số a, b, c thỏa mãn a.b.c= 1 Tính giá trị biểu thức
1 + +a ab+1 + +b bc+1 + +c ca
Trang 2Đáp án
Bài 1; ( 4 điểm)
a (2 điểm) A = 4
+ +
+
+
2
21 20 20
1
2
5 4 4
1 2
4 3 3
1 2
3 2 2 1
= 1+ + + + = (2 + 3 + 4 + + 21)=
2
1 2
21
2
4
2
3
2
22
.
21
2
1
= 115 Bìa 2: 6 điểm
a 2 điểm
=> 1 2 3
x− = y− = z−
và 2x + 3y - z = 50
=> x = 11, y = 17, z = 23
b ( 2 điểm) Xét khoảng 3
2
xÊ - Ta có 2 - 5x = 7 ị x = - 1 loại Xét khoảng 3 5
-< < Ta có 8 - x = 7 suy ra x = 1 (thỏa mãn) Xét khoảng 5
3
x³ Ta đợc 5x – 2 =7 suy ra x = 9
5 (thỏa mãn) Vậy x = 1 hoặc x = 9
5
c: (2 điểm)
25 y− =8(x 2009)−
Ta cú 8(x-2009)2 = 25- y2
8(x-2009)2 + y2 =25 (*)
Vỡ y2 ≥0 nờn (x-2009)2 25
8
≤ , suy ra (x-2009)2 = 0 hoặc (x-2009)2 =1 Với (x -2009)2 =1 thay vào (*) ta cú y2 = 17 (loại)
Với (x- 2009)2 = 0 thay vào (*) ta cú y2 =25 suy ra y = 5 (do y ∈ Ơ )
Từ đú tỡm được (x=2009; y=5)
Bài 3: ( 3 điểm)
Gọi hai số phải tỡm là x và y (x > 0, y > 0 và x ≠ y)
Theo đề bài ta cú: 35.(x + y) = 210.(x - y) = 12x.y
Chia cỏc tớch trờn cho BCNN của 35, 210, 12 là 420 ta được:
420
12 420
) ( 210 420
) (
35 x+ y = x−y = xy
hay
35 2
12
xy y x y x
=
−
=
+
(1) Theo tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau ta cú:
Trang 3( ) ( ) ( ) ( )
( )2 5 7 2 12
2 12 2
12 2
12
y x y x y x
y x y x y x y x y x y
x
=
=
−
=
+
⇔
−
−
− +
= +
− + +
=
−
= +
Từ (1) và (2) ta cú: 35xy = 7x = 5y =7xy y = 5xy x
Vỡ x > 0; y > 0 nờn 7y = 35 ⇒ y = 5; 5x = 35 ⇒ x = 7
Vậy hai số phải tỡm là 7 và 5
Bài 4: ( 5 điểm)
a) Ta cú∆BEH cõn tại B ⇒∠BEH = ∠BHE
Ta cú ∠ABC = 2 ∠BHE = 2 ∠DHC mà ∠ABC = 2 ∠ACB ⇒∠DHC = ∠DCH (1)
Suy ra ∆DCH cõn tại D nờn DH = DC
Xột ∆ACH: ∠CAH + ∠DCH = 900, ∠CHD +
∠DHA = 900 (2)
Từ (1), (2) suy ra ∠DAH = ∠DHA, do đú ∆
DAH cõn tại D, suy ra DA = DC
b) Lấy B’ đối xứng với B qua H, suy ra ∆ABB’ cõn tại A (AH là trung trực của BB’)
⇒ AB = AB’, B’H = BH, ∠AB’H = ∠ABC
Ta cú ∠AB’H = ∠ABC = 2 ∠C = ∠C + ∠CAB’ ⇒∠C = ∠CAB’, do đú ∆B’AC cõn tại B’ nờn B’A = B’C
Vỡ AB < AC nờn AB’ = AB < AC nghĩa là B’ ở giữa H và C nờn HC = HB’+B’C =
HB + AB’ = BE + AB = AE
Câu 5: 2 điểm
Ta có: abc = 1 nên ba số a, b, c đều khác 0 và a 1 ; ab 1; ac 1
bc c b
S =
1
bc
b bc c bc b b bc b bc