đề thi hsg toán 8 hay

Trên đường kéo dài AN lấy một điểm D sao cho N là trung điểm của AD.. Gọi P là trung điểm của ND.. Chứng minh: a Tứ giác MNDB là hình thang vuông.. b Tam giác MPB cân.. Trong cùng một nử

PGD&ĐT BÌNH SƠN

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

MÔN TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2008 – 2009 THỜI GIAN 150 PHÚT

Bài 1: (3 điểm)

Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 + 2009x2 + 2008x + 2009

Bài 2: (3 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

A

các số thực thoả mãn điều kiện x > y; z > 0 và z2  xy

Bài 3: (3 điểm)

Cho a b , ta có: 2009 aa 2009 bb

Chứng minh rằng 2009 xx  2009y y 2009 x yx y

Bài 4: (3 điểm)

Chứng minh 2130 + 3921 chia hết cho 45

Bài 5: (4 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ đường phân giác AT Gọi M là trung điểm của

AB, đường vuông góc với AB ở M cắt AT tại N Trên đường kéo dài AN lấy một điểm D sao cho N là trung điểm của AD Gọi P là trung điểm của ND Chứng minh:

a) Tứ giác MNDB là hình thang vuông

b) Tam giác MPB cân

c) Tứ giác AMPC có tổng các góc đối bằng 1800

Bài 6: (4 điểm)

Cho đoạn thẳng AB và một điểm M nằm giữa hai điểm A và B Trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, kẻ hai tia Ax và By vuông góc với AB Trên Ax lấy một điểm C, tia vuông góc với MC ở M cắt By tại D

a) Chứng minh AC DB = MA.MB

b) Cho ba điểm A, B, C cố định, xác định vị trí của M để diện tích tứ giác ABDC đạt giá trị lớn nhất

Giải:

Bài 1:

x4 + 2009x2 + 2008x + 2009 = x4 - x + 2009x2 + 2009x + 2009

= x(x -1)(x2 + x + 1) + 2009(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 2009)

Bài 2:

A

2yz

y z - 1 - 22xz 2



Nhận xét: 2z > 0





 0  y(x2 + z2) - x(y2 + z2)  0

 ( x - y)(xy - z2)  0 (Luôn đúng vì x > y; z2  xy) Vậy A  0 Hay giá trị lớn nhất của A là 0 khi z2 = xy

Bài 3:





Ta có x   y  x y nên theo gợi ý trên ta có



Bài 4:

Ta có 21  3 2130  9 và 39  3  3921  9

Suy ra 2130+3921c 9 (1)

Ta có 2130  130 1 (mod 5) và 3921 (-1)21 -1 (mod 5)Suy ra 2130+3921 1 + (-1)  0 (mod 5) hay 2130+3921

 5 (2) Lại có (9; 5) = 1 nên tứ (1) & (2)  2130+3921  45

Bài 5:

a) MN là đường trung bình của tam giác AĐ nên MN//BD

Ta có BMN 90 0

Suy ra tứ giác MNDB là hình thang vuông

b) Gọi Q là trung điểm của MB

Ta có QP là đường trung bình của hình thang MNDB

Do đó QP là đường trung trực của tam giác MPB

 Tam giác MPB cân tại P

c) Tam giác MPB cân tại P  QMP QBP  mà ACP QBP

Suy ra AMP ACP 180  0 từ đó suy ra MAC MPC 180  0

Bài 6:

AC

Do MA + MB không đổi

nên tích MA.MB đạt giá trị lớn nhất khi

MA = MB

Ta có SABCD = AB(AC BD)

2



Do AB, AC không đổi nên SABCD lớn nhất khi BD lớn nhất

 M là trung điểm của AB

A

M

N

T D

Q

P

C

D y x