PHÒNG GIÁO DỤC THANH OAI TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA Bài.. Từ đó suy ra điều phải chứng minh..[r]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC THANH OAI
TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA
ĐỀ THI OLYMPIC MÔN: TOÁN – LỚP 8
Năm học 2014 – 2015 Thời gian: 120 phút
Bài 1: ( 6 điểm)
1) Cho
Chứng minh rằng
2015 2015 2015 2015 2013 2015
2015 2015 2015 2015 2015 2015
2) Giải các phương trình sau:
a) ( 2x + 1)( x +1)2( 2x + 3) = 18
b)
Bài 2:( 4 điểm)
a) Tìm nghiệm nguyên không âm của phương trình sau:
( 1 + x2)( 1 + y2) +4xy + 2(x + y)( 1 + xy) = 25
b) Tìm số tự nhiên n để biểu thức
2 3 4
là số nguyên tố
Bài 3:( 3 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x2 - xy + y2 – x + y
b) Cho 0a b c, , 1 và a + b + c = 2
Tìm giá trị lớn nhất của P = a2 + b2 + c2
Bài 4:(6 điểm) Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo.
Lấy điểm G thuộc cạnh BC, điểm H thuộc cạnh CD sao cho góc GOH 450 Gọi M là trung điểm của AB Chứng minh rằng:
a) Tam giác OHD đồng dạng với tam giác OGB
b) MG song song với AH
Bài 5:(1 điểm)
Cho M = 19931997 + 19971993
Chứng minh rằng: M chia hết cho 15
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Trang 2PHềNG GIÁO DỤC THANH OAI
TRƯỜNG THCS BÍCH HềA
ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM OLYMPIC
MễN: TOÁN – LỚP 8
Năm học 2014 – 2015 Thời gian: 120 phỳt
Bài 1
( 6 điểm)
1) Từ gt =>
2 x2 2 x2 2 y2 2 y2 2 z2 2 z2 0
Hay x2 2 2 2 2
0 (*) Suy luận để cú
2 2 2 2
0
0
0
Và x2; y2; z2 0 (*) nờn đẳng thức (*) sảy ra khi và chỉ khi
x2= y2= z2 =0 hay x = y = z = 0
Từ đó suy ra điều phải chứng minh
0,5 đ
0,5
0,5 0,5 2)
a/ ( 2x + 1)( x +1)2( 2x + 3) = 18
( 2x + 1)( 2x +2)2( 2x + 3) = 72 Đặt 2x + 2 = y, ta cú pt: ( y – 1)y2( y + 1) = 72 y4 – y2 – 72 = 0 Giải pt tỡm được y = 3 hoặc y = - 3
=> tỡm được x = 0,5 hoặc x = -2,5 và kết luận
0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ
b/ suy luận để cú x 0
=> Mỗi biểu thức trong dấu gttđ luụn dương
Ta cú pt:
Thu gọn dược pt:
100
401
Kết luận pt vụ nghiệm
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5
0,25 đ Bài 2
( 4 điểm) a) ( 1 + x
2)( 1 + y2) +4xy + 2(x + y)( 1 + xy) = 25 Biến đổi pt về dạng ( x + 1)( y + 1) = 5
Lập luận để tỡm được ( x;y) = ( 0;4), ( 4;0)
1 đ
1 đ b) Đặt
2 3 ( 3)
Suy luận để cú n( n + 3) chia hết cho 4
Vỡ n và n+ 3 khụng thể cựng chẵn
=>n 4 hoặc n + 3 4
0,25 đ 0,25 đ
Trang 3- TH1: n 4
Xét lần lượt n = 0; n = 4; n = 4k( k N k , 1)
- TH2: n + 34
Xét lần lượt n + 3 = 4; n + 3 = 4k( k N k , 1)
Kết luận : n = 4 thì A là số nguyên tố 7
0,5 đ
0,5 đ 0,5 đ
Bài 3
( 3 điểm)
a) Biến đổi x2 - xy + y2 – x + y + 1 =
y
Suy luận để có GTNN của biểu thức là
2
3 khi và chỉ khi x =
1
3 và
y =
1 3
1 đ
0,5 đ
b) Suy luận để có a( a – 1) 0 a2 a
tương tự b2 b; c2 c
suy ra được a2 + b2 + c2 a + b + c = 2
Tìm được GTLN của P bằng 2 khi và chỉ khi a = b = 1; c = 0 hoặc
b = c = 1; a = 0 hoặc a = c = 1; b = 0
0,5 đ 0,25 đ 0,25đ 0,5 đ
Bài 4
( 6 điểm)
a) Suy luận để có DOH 1350 BOG
BGO 1350 BOG
Chứng minh được DOH BGO
0,5 đ 0,5 đ 1,5 đ
b) Đặt BM = a => AB = AD = 2a; OB = OD = a 2
Chứng minh được: HD.BG = AD.BM
0,25 đ
1 đ
Chứng minh được HAB BMG => AH//MG 1, đ
Bài 5
( 2 điểm)
1997 1993
1996 1992
4 499 4 498
(1993 1) (1997 1) 3 1993.1993 1997.1997
1993.(1993 ) 1997.(1997 ) 5
Kết luận được M 15
0,25 đ 0,5 đ
0,25 đ
O
G
Trang 4DUYỆT CỦA BỘ PHẬN CHUYÊN MÔN Người ra đề