CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM Bảng nguyên hàm các hàm số đơn giản u là hàm số theo biến x, tức là u ux.. *Nguyên hàm của các hàm số đơn giản.[r]
Trang 1CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM Bảng nguyên hàm các hàm số đơn giản
u là hàm số theo biến x, tức là u u(x)
*Trường hợp đặc biệt u ax b,a 0
*Nguyên hàm của các hàm số đơn giản
dx x C
du u C
k.dx k.x C
, k là hằng số k.du k.u C
1 x
1
1 u
u du C
1
1
1 (ax b) (ax b) dx C
1 dx ln x C
x
u
(ax b)1 dx1aln ax b C
1 dx 1 C
2 x
x
1 dx 1 C
2
1 dx 2 x C
x
u
ax b1 du1a.2 ax b C
*Nguyên hàm của hàm số mũ
C
x x
e dx e
e du eu uC eax bdx 1eax b C
a
C
e dx e
C,0 a 1
x
a
x
a dx
lna
u a u
a du
lna
mx n
1 a
mx n
lna
*Nguyên hàm của hàm số lượng giác
C
cosx.dx sinx
cosu.du sin u C cos(ax b)dx 1sin(ax b) C
a
sinx.dx cosx C
sin u.du cosuC sin(ax b)dx 1cos(ax b) C
a
1 dx tanx C2
cos x
1 du tanu C2u
cos
cos (ax b)2 1 dx1atan(ax b) C
1 dx cotx C2
sin x
sin u
sin (ax b)2 1 dx 1acot g(ax b) C
Một số ví dụ trong trường hợp đặc biệt
k
1 coskx.dx sin kx C
cos2x.dx12sin2x C ,(k 2)
k
1 sin kx.dx coskx C
sin2x.dx 21cos2x C
k
kx kx
e dx e
1
1 (ax b) (ax b) dx C
2 1
1 (2x 1) (2x 1) dx C 2x 1) C
Trang 21 dx 1ln ax b C
(ax b) a
3x 11 dx31ln 3x 1 C
1 du 1.2 ax b C
a
ax b
3x 51 du31.2 3x 5 C 23 3x 5 C
1
ax b ax b
e dx e C
a
m
mx n
1 a
mx n
lna
52x 1dx 12.52x 1 C
ln5
1 cos(ax b)dx sin(ax b) C
a
cos(2x 1)dx 12sin(2x 1) C
1 sin(ax b)dx cos(ax b) C
a
sin(3x 1)dx 31cos(3x 1) C
1 dx 1tan(ax b) C
cos (ax b)
cos (2x 1)2 1 dx21tan(2x 1) C
1 dx 1cot(ax b) C
sin (ax b)
sin (3x 1)2 1 dx 13cot(3x 1) C
*Chú ý: Những công thức trên có thể chứng minh bằng cách lấy đạo hàm vế trái hoặc tính bằng phương pháp đổi biến số đặt u ax b du ?.dx dx ?.du
Ví dụ: Chứng minh cos(ax b)dx 1sin(ax b) C,a 0
Giải: Đặt
1 b)'dx a.dx dx du
a
u ax b du (ax
Suy ra
cos(ax b)dx cosu .du cosu.du sin u C sin(ax b) C
I Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất A/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.
Bài 1: Sử dụng bảng nguyên hàm và tính chất
10
9
a)f(x) 2x - kq: F(x)= x C
x 2
3 x x
b)f(x) 3 x 1 kq: F(x) x C
ln3 2
2
c)f(x) +3 kq: F(x) 2ln x 3x C
x
d)f(x) 2sinx kq: F(x) 2cosx C
cosx
e)f(x)
3
kq: F(x) 1sinx C
3
Bài 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số
a f(x) = x2 – 3x +
1
x ĐS F(x) = x
3 2
x 3x ln C
3 2
Trang 3b f(x) =
4
2x 3
2 x
ĐS F(x) =
3
3 x
c f(x) =
x 1
2
x
ĐS F(x) =
1 x x
ln C
d f(x) =
2 2
(x 1)
2 x
ĐS F(x) =
3
x 2x 1 C
3 x
e f(x) = x3x4x
ĐS F(x) =
4
3
2x 3x 4x C
3 4 5
f f(x) =
1 2
3
x x ĐS F(x) = 2 x 3 x 3 2 C
g f(x) =
2 ( x 1)
x
ĐS F(x) = x 4 x ln x C
h f(x) =
x 1
3 x ĐS F(x) = x53 x23C
2
6 x
i)f(x) x 3x 4 kq : F(x) x 4x C
6 3
j)f(x) 5x 2x 1 kq : F(x) x x x x C
8 3
2 6 5 2
k)f(x) x 3x 3x 2
3
kq : F(x) 2 x7 1x6 x3 2x C
21 2
l)f(x) (2x 3x )(x ) 3x kq : F(x) x x C
* HD: nếu gặp hằng đẳng thức thì khai triễn hằng đẳng thức, ví dụ: (a b) 2 a22ab b 2
Bài 3 : Tìm
1 3 2 a) (x 2)(x 4)dx kq: F(x) x x 8x C
3
1 1 3
b) (x 3)(x 1)dx kq: F(x) x x x 3x C
3 2 2 2
c) 3(x 3) dx
kq: F(x) x3 9x2 27x C 2
g) dx kq: F(x) x 5x C
3 2
2x 5x 1
h) dx
x
1
4 x
2
2 3 5 2 kq: F(x) x x ln x C
3 2
3 2
g) 2 dx kq: F(x) x 5x C
x x
2
h) dx kq: F(x) x x 4ln C
x
2
(x 4)
i) 2 dx
x
8ln x 16
x
kq: F(x) x C
Bài 4 Tìm
Trang 43 1 4 7 1
a) (x x 5)dx kq: F(x) x 2x 5x C
7
1 2
b) (x 2x 4x 1)dx kq: F(x) 2x2 x 2x x C c) x( x 2x)(x 1)dx
3 1 kq: F(x) 2x C
d) (2x 1)(1 )dx kq: F(x) x ln x x C
x
Bài 5: Tìm
x x 2.3 4
x x
a) (2.3 4 )dx kq: F(x) C
ln3 ln4
x x 2.a 5
x x
b) (2.a 5 )dx kq: F(x) C
lna ln5 1
x
c) (3e 5sinx )dx
x
kq: F(x) 3ex 5cosx ln x C
x e
d) e (2 2 )dx kq: F(x) 2.e tanx C
cos x
x x
e) 2 3 dx kq: F
x 6 (x) C ln3 x 90
x 2x x
f) 2 3 5 dx kq: F(x) C
ln90
g) e (2 e ) kq: 2e x C
x
e
h) xdx
2
x e kq: x C
(1 ln2)2
Bài 6 Tính nguyên hàm của các hàm số
2
a) sin dx kq: F(x) (x sin x) C
x 2
b) (2x sin )dx
2
2
c) cos dx kq: F(x) (x sin x) C
d) (2x cos )dx HD : sin x ;cos
2 2
e) (1 tan x)dx kq: F(x) tan x C
2
d) (1 cot x)dx kq: F(x) cot x C
2
e) tan xdx kq:
2
f) cot xdx kq: F(x) cot x x C
HD :1 tan x 2 ;1 cot x 2
Trang 52 g) (tan x cot x) dx kq: F(x) tan x cot x 4x C
2 h) (2 tan x cot x) dx kq: F(x) 4 tan x cot x x C
HD : (a b) a 2ab b
1
h) 2 2 dx kq: F(x) tan x cot x C
sin x.cos x
cos2x
h) 2 2 dx kq: F(x) tan x cot x C
sin x.cos x
HD : sin x cos x 1;cos2x cos x sin x
Bài 7: Tìm hàm số f(x) biết rằng
2 a)f '(x) 2x 1;f(1) 5 kq: f(x) x x 3
3
2 b)f '(x) 2 x ;f(2) kq: f(x) 2x 1
c)f '(x) x 2 2;f(1) 2 kq: f(x)
x
2
d)f '(x) 4 x x;f(4) 0 kq: f(x)
e)f '(x) 4x 3x 2;f( 1) 3 kq: f(x) x x 2x 3
f)f '(x) x x 1;f(1) 2 kq:
3 3 x
3 x g)f '(x) (x 1)(x 1) 1;f(0) 1 kq: f(x) 1
3
h)f '(x) 3(x 2) ;f(0) 8 kq: f(x) (x 2)
Bài 8: Tìm hàm số f(x) biết rằng
2
a)f '(x) ax 2;f( 1) 2,f(1) 4 kq: f(x)
x
3
b)f '(x) ;f(1) 4,f(4) 9 kq: f(x)
II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1.Phương pháp đổi biến số.
Tính I = f[u(x)].u'(x)dx bằng cách đặt t = u(x)
Đặt t = u(x) dt u'(x)dx
I = f[u(x)].u'(x)dxf(t)dt
BÀI TẬP Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1 (5x 1)dx 2 5
dx (3 2x)
3 5 2xdx 4
dx 2x 1
5
2 7
(2x 1) xdx
6 (x35) x dx4 2 7 x 1.xdx2 8 2x dx
x 5
Trang 69
2
3
5 2x
dx x(1 x)
11
3
ln xdx x
12 x.e dxx 1 2
13
4
sin x cosxdx
14 sin x dx5
cos x
15 cot gxdx 16 2
tgxdx cos x
17
dx
sin x
18 cosxdx 19 tgxdx 20
x
e dx x
21
x
x
e dx
e 3
22
tgx 2
e dx cos x
23
2
1 x dx
24 2
dx
4 x
25
x 1 x dx
26 2
dx
1 x
27
2
2
x dx
1 x
28 2
dx
x x 1
29
cos xsin xdx
30 x x 1.dx 31 x
dx
e 1
32
3 2
x x 1.dx
2 Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
u(x).v'(x)dx u(x).v(x) v(x).u'(x)dx
Hay
udv uv vdu
( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1 x.sin xdx 2 x cosxdx 3 (x25)sin xdx 4(x22x 3)cosxdx
5 xsin 2xdx 6 x cos2xdx 7 x.e dxx 8 ln xdx
9 x ln xdx 10 ln xdx2 11
ln xdx x
12
x
e dx
13 x dx2
cos x
14 xtg xdx2 15 sin x dx 16 ln(x 1)dx2
17
x
e cosxdx
18 x e dx3 x2 19 x ln(1 x )dx 2 20 2 xdxx
21 x lg xdx 22 2x ln(1 x)dx 23 ln(1 x) dx2
x
24 x cos2xdx2