CMR: N lµ trung ®iÓm cña BH.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Kè THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2012 – 2013 Mụn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phỳt( khụng kể thời gian giao đề)
Bài 1: ( 1,5 điểm )
1 Cho hai số : b1 = 1 + √2 ; b2 = 1 - √2 Tính b1 + b2
2 Giải hệ phơng trình
¿
m+2n=1
2 m−n=−3
¿{
¿
Bài 2: ( 1,5 điểm ) Cho biểu thức B = ( √b
√b +2 −
√b
√b −2+
4√b −1
b − 4 ):
1
√b+2 với b 0 và b 4
1 Rút gọn biểu thức B
2 Tính giá trị của B tại b = 6 + 4 √2
Bài 3: ( 2,5 điểm )
Cho phơng trình : x2 - ( 2n -1 )x + n (n - 1) = 0 ( 1 ) với n là tham số
1 Giải phơng trình (1) với n = 2
2 CMR phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi n
3 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình (1) ( vơí x1 < x2)
Chứng minh : x1 - 2x2 + 3 0
Bài 4: ( 3 điểm )
Cho tam giác Δ BCD có 3 góc nhọn Các đờng cao CE và DF cắt nhau tại H
1 CM: Tứ giác BFHE nội tiếp đợc trong một đờng tròn
2 Chứng minh Δ BFE và Δ BDC đồng dạng
3 Kẻ tiếp tuyến Ey của đờng tròn tâm O đờng kính CD cắt BH tại N
CMR: N là trung điểm của BH
Bài 5: ( 1 điểm )
Cho các số dơng x, y , z Chứng minh bất đẳng thức: √ x
y + z+√ y
x+ z+√ z
x + y>2
====================
Hướng dẫn giải
Bài 1: ( 1,5 điểm )
1 Theo bài ra ta có : b 1 + b 2 = 1 - √2 + 1 - √2 = 2
Vậy b 1 + b 2 = 2
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 22 Giải hệ phơng trình
¿
m+2n=1
2 m−n=−3
¿{
¿
¿
−2 m− 4 n=−2
2 m− n=− 3
¿{
¿
¿
− 5 n=− 5
2 m−n=−3
¿{
¿
¿
n=1
m=−1
¿{
¿
Vậy hệ đã cho có 1 cặp nghiệm ( n = 1 ; m = -1 )
Bài 2: ( 1,5 điểm )
1 Với với b 0 và b 4 khi đó ta có :
B = (b −2√b − b −2√b+4√b −1
1
√b+2 = (
−1
b −4):
1
√b+ 2=−
√b +2
(√b −2)(√b+2)=
1
2 −√b
2 Với b = 6 + 4 √2
Vì : 6 + 4 √2 = 2 + 4 √2 + √2 = ( 2 + √2 ) 2
=> B =
2+√2¿2
¿
¿
2 −√¿
1
2 −√b=
1
¿
Bài 3: ( 2,5 điểm )
1 Với n = 2 thì phơng trình đã cho đợc viết lại : x2 - 3x + 2 = 0
Ta thấy : a = 1 ; b =-3 ; c = 2 mà a + b + c = 0 nên phơng trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt x1
= 1 và x2 = 2
2 Từ phơng trình (1) ta có Δ = 4n2 - 4n + 1 - 4 ( n ( n - 1))
= 1 => Δ > 0 ∀ n vậy phơng trình đã cho luôn cóhai nghiệm phân biệt x1 = n -1 và x2 = n
3 Theo bài ra ta có : x1 - 2x2 + 3 = ( n - 1 ) 2 -2n + 3
= n2 - 4n + 4
= ( n - 2 )2
Vì ( n - 2)2 0∀ n dấu bằng xảy ra khi n = 2
Vậy : x1 - 2x2 + 3 = ( n - 2 )2 ≥ 0 với mọi n ( Đpcm )
Bài 4: ( 3 điểm )
4 Kẻ tiếp tuyến Ey của đờng tròn tâm O đờng kính CD cắt BH tại N CMR: N là trung điểm
của BH
HD :
= 90 0 - ∠ ECD = ∠ EDC
=> ∠ BFE = ∠ EDC (1 )
B N
a Ta có : ∠ BFH = ∠ BEC = 90 0 ( gt)
∠ BFH + ∠ BEC = 1800
tứ giác BFHE nội tiếp đờng tròn đờng kính
BH
H
F
E H
H
b Xét tứ giác CFED ta có :
∠CED = ∠ DFC = 900
( cùng nhìn đoạn thẳng CD dới một góc vuông)
=> CFED nội tiếp đờng tròn đờng kính CD
=> ∠ EFD = ∠ ECD ( Cùng chắn cung ED )
Mặt khác ta lại có :
O
Trang 3∠ BFE = 90 0 - ∠ EFD
= 90 0 - ∠ ECD = ∠ EDC
=> ∠ BFE = ∠ EDC (1 )
=> Δ BFE đồng dạng Δ BDC ( g -g ) ( Đpcm ) ∠ BFE = ∠ EDC
c Ta có : Δ BNE cân tại N Thật vậy :
∠ EBH = ∠ EFH ( Cùng chắn cung EH ) (1)
Mặt khác ta lại có : ∠ BEN = 1/2 sđ cung ED ( Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung )
=> ∠ ECD = ∠ BEN = ∠ EFH (2)
Từ (1 ) và (2) ta có : ∠ EFH = ∠ BEN
=> Δ BNE cân tại N => BN = EN ( 3)
Mà Δ BEH vuông tại E
=> EN là đờng trung tuyến của tam giác BHE => N là trung điểm của BH (Đpcm )
Bài 5 : ( 1 điểm )
Cho các số dơng x, y , z Chứng minh bất đẳng thức :
√ x
y + z+√ y
x+ z+√ z
x + y>2
Áp dụng BĐT Cosi ta có :
√y +z x 1≤
y +z
x +1
x + y +z
2 x =>√y +z x ≥
2 x
x + y +z
√x +z y .1 ≤
x+ z
y +1
x + y +z
2 y =>√x +z y ≥
2 y
x + y +z
√y +x z 1≤
y +x
z +1
x+ y+ z
2 z =>√y+ x z ≥
2 z x+ y+ z
Cộng vế với vế ta có : √ x
y +z+√ y
x+ z+√ z
y +x ≥
2(x+ y+z ) x+ y+ z =2 dấu bằng xảy ra
y+ z = x x+ z = y x + y + z = 0 y+ x = z
Vì x, y ,z > 0 nên x + y + z > 0 vậy dấu bằng không thể xảy ra
a Ta có : ∠ BFH = ∠ BEC = 90 0 ( Theo giả thiết)
∠ BFH + ∠ BEC = 1800
tứ giác BFHE nội tiếp đờng tròn đờng kính
BH
b Xét tứ giác CFED ta có :
∠CED = ∠ DFC = 900
( cùng nhìn đoạn thẳng CD dới một góc vuông)
=> CFED nội tiếp đờng tròn đờng kính CD
=> ∠ EFD = ∠ ECD ( Cùng chắn cung ED )
Mặt khác ta lại có :
Trang 4=> √ x
y +z+√ y
x+ z+√ z
y + x>2 víi mäi x, y , z > 0 ( §pcm )