- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm m[r]
Trang 1TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRÃI ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT NĂM 2021
MÔN TOÁN
(Thời gian làm bài: 120 phút)
ĐỀ 1
Câu 1 (1,5 điểm)
a) Không dùng máy tính, hãy rút gọn biểu thức sau:
( 2 2 7 2) 3 0 7 1 1
b) Rút gọn biểu thức sau:
4
B
x
−
Câu 2 (1,5 điểm)
Giải hệ phương trình: 1 7 2 2 0 1 1
Câu 3 (1,5 điểm) Hai người thợ cùng làm một công việc trong 7 giờ 12 phút thì xong Nếu người thứ
nhất làm trong 5 giờ, người thứ 2 làm trong 6 giờ thì cả hai người làm được ¾ công việc Hỏi mỗi người làm một mình công việc đó thì mấy giờ xong
Câu 4 (1,5 điểm) Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình 2x2 + 3x − 2 6 = 0
a) Hãy tính giá trị của biểu thức: C = x1(x2 + 1) + x2(x1 + 1 )
b) Lập phương trình bậc hai nhận y1 =
1
1 1
x +
và y2 =
2
1 1
x + là nghiệm
Câu 5 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, vẽ đường cao AD và BE Gọi H là trực tâm của tam giác ABC
a) Chứng minh: tanB.tanC = A D
H D
b) Chứng minh:
2
.
4
B C
D H D A
c) Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC
Chứng minh rằng:
bc
a A
2 2 sin
Câu 6 (1,0 điểm)
Cho 0 < a, b, c < 1 Chứng minh rằng: 2a3 + 2b3 + 2c3 3 + a2b + b2c + c2a
ĐÁP ÁN
Trang 2Câu 1:
( 2 2 7 2) 3 0 7 1 1
2
7 − 1 1 = 3 8
Điều kiện xác định của B: 0
4
x x
:
2
A
x
=
−
:
2
x
=
−
4
=
2 2
x
x
−
=
+
Câu 2:
Nếu x y 0 thì
2 0 1 1
(1)
3
1 0 0 7 9
x
y
(phù hợp)
Nếu x y 0 thì
2 0 1 1
9
3
1 8
x y
=
(loại)
Nếu x y = 0 thì (1) x = y = 0 (nhận)
KL: Hệ có đúng 2 nghiệm là ( 0 ; 0 ) và 9 ; 9
4 9 0 1 0 0 7
Trang 3Nếu x y 0 thì
2 0 1 1
(1)
3
1 0 0 7 9
x
y
(phù hợp)
Câu 3:
Gọi thời gian làm một mình xong công việc của thứ nhất là x(h, x > 7 , 2)
Thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là y (giờ, y > 7 , 2)
Trong 1 giờ, người thứ nhất làm được 1
x
(cv); người thứ hai làm được 1
y
(cv) & cả hai làm được 5
3 6
(cv)
=> ta có hệ phương trình:
3 6
5 6 3
4
+ =
+ =
Giải hệ được x = ; y =
Vậy
Câu 4:
a) Do x1, x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho nên theo định lí Viet ta có: 1 2 3 , 1 2 1 3
2
Ta có C = x x1 2 + x1 + x x1 2 + x2
2
3
2 6
2
2
= −
b)
1 2
1
2 7 2
2 7
−
+ =
−
→ y1 và y2 là nghiệm của pt: y2 + 1
2 7
y - 2
2 7
= 0
Câu 5:
Trang 4Ta có tanB = A D
B D
; tanC = A D
D C
tanB.tanC =
2
.
A D
B D D C
(1)
Xét 2 tam giác vuông ADC và BDH có D A C = D B H vì cùng phụ với góc C nên ta có :
2
.
= (2)
Từ (1) và (2) tanB.tanC = A D
H D
Theo câu a ta có:
Gọi Ax là tia phân giác góc A, kẻ BM; CN lần lượt vuông góc với Ax
Ta có s i n s i n
2
M A B
A B
2
A
Tương tự s i n
2
A
2
A
Mặt khác ta luôn có: B M +C N B F + F C = B C = a
Nên ( ) s i n
2
A
b+ c a s i n
+
Câu 6
Do a <1 a2<1 và b <1
1 −a 1 −b 0 1 + a b − a −b 0
Hay + a2b a2 +b
Mặt khác 0 <a,b <1 a2 a3 ; 3
b
b
b + a2 a3 + b3
a3 + b3 1 + a2b
Trang 5Tương tự ta có
a c c
a
c b c
b
2 3
3
2 3
3
1
1 +
+
+
+
Vậy 2a3+ 2b3 + 2c3 3 + a2b+ b2c+ c2a
Đề 2
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Xác định hệ số a, b, c và giải phương trình x2 − 7x + 1 2 = 0
b) Giải hệ phương trình:
6
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Với giá trị nào của m thì hàm số y = (m − 1)x + 2 đồng biến trên R, nghịch biến trên R?
b) Vẽ đồ thị hàm số y = x2
Câu 3 (2,0 điểm) Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích bằng 675m2 và có chu vi bằng 120m Tính
chiều dài và chiều rộng của khu vườn
Câu 4 (3,5 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AD Hai đường chéo AC và BD
cắt nhau tại E Vẽ EF vuông góc với AD (F AD), CF cắt đường tròn tại M Chứng minh rằng:
a Các tứ giác ABEF; DCEF nội tiếp đường tròn
b Tia CA là tia phân giác của góc B C F
c BM vuông góc AD
Câu 5 (0,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4 2 – 6 – 1 0 – 3 2
ĐÁP ÁN Câu 1:
a) Xác định được a = 1,b = − 7 ; c = 1 2
Tính được: 2
– 4 4 9 4 8 1 0
b a c
Tìm được phương trình có hai nghiệm x1 = 3; x2 = 4
Kết luận: Phương trình có tập nghiệm S = 3 ; 4
KL: Hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = (6; 0)
Câu 2:
Trang 6a) Hàm số đồng biến trên R khi m – 1 > 0 m > 1
Hàm số nghịch biến trên R khi m – 1 < 0 m < 1
b) Vẽ đồ thị hàm số y = x2
Lập được bảng giá trị của hàm số:
Xác định được tọa độ các điểm đồ thị hàm số đi qua:
A(-2; 4); B(-1; 1); O(0; 0); C(1; 1); D (2; 4)
Yêu cầu: Vẽ đồ thị đúng, (0,5 đ) - đẹp (0,25đ)
Câu 3:
Gọi chiều rộng của khu vườn là x (m)
Chiều dài khu vườn là y (m)
Điều kiện: 0 < x < y < 60
Vì diện tích khu vườn là 675 m2 nên ta có xy = 675 (1)
Chu vi khu vườn là 120 m nên ta có: x + y = 60 (2)
Kết hợp (1) và (2) ta được : 6 0
6 7 5
x y
+ =
=
Vậy x và y là nghiệm phương trình : X2 – 60X + 675 = 0
Giải phương trình ta được X1 = 45 và X2 = 15 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy chiều dài khu vườn là 45m và chiều rộng là 15 m
Câu 4:
a) Chứng minh các tứ giác ABEF, DCEF nội tiếp đường tròn
x
y
Trang 7A B D = A C D = 900 (các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
EF ⊥ AD nên E F A = E F D = 900
9 0 9 0 1 8 0
9 0 9 0 1 8 0
b) Ta có A D B = A C B (hai góc nội tiếp cùng chắn cung A B của đường tròn (O)) (1)
Từ (1) và (2) suy ra A C B = A C M = A C F
Vậy CA là tia phân giác của B C F
c) Ta có F C D = F E D hay M C D = F E D (hai góc nội tiếp cùng chắn cung FD của đường tròn ngoại tiếp
tứ giác EFDC)
Mặt khác M C D = M B D (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MD của đường tròn (O))
Suy ra M B D = F E D , hai góc này ở vị trí đồng vị nên MB//EF
Mà EF ⊥ AD => MB ⊥ AD
Câu 5:
D - 2 – 2 5 ( - ) 2 5 3 6 7
– – 2 5 2 5 3 2 1 4
– – 5 3 – 1 4 4
Đề 3
Câu I: (2,5 điểm)
1 Thực hiện phép tính:
a ) − 5 5 − 8 1 − − 2 7 + 6 7 b ) 4 − 2 3 − 3 − 5
2 Cho biểu thức: P = a b 2 a b : 1
+ −
a) Tìm điều kiện của a và b để P xác định b) Rút gọn biểu thức P
Câu II: (1,5 điểm)
1 Cho hàm số bậc nhất y = (m - 2)x + m + 3
a/ Tìm điều kiện của m để hàm số nghịch biến
b/ Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3
c/ Tìm m để đồ thị hàm số trên và các đường thẳng y = -x + 2 ; y = 2x - 1 đồng quy
Trang 82 Tìm các giá trị của a để đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) đi qua điểm M(-2; 8)
Câu III: (1,5 điểm)
1 Giải phương trình 5x 2 + 7x + 2 = 0
2 Cho phương trình bậc hai ẩn số x: x2 - 2mx - m2 - 1 = 0 (1)
a/ Chứng minh phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
b/ Tìm m thỏa mãn hệ thức
2 5
1 2
2
1
−
= +
x
x x
x
Câu IV: (1,5 điểm)
1 Giải hệ phương trình 3 x 2 y 1
x 3 y 2
2 Với giá trị nào của m thì hệ phương trình
4 1
có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện 2
8 1
m
+ =
+ Khi đó hãy tìm các giá trị của x và y
Câu V: (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với
DE, đường thẳng này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K
a) Chứng minh rằng BHCD là tứ giác nội tiếp
b) Tính góc 𝐶𝐻𝐾̂
c) Chứng minh KC.KD = KH.KB
d) Khi điểm E chuyển động trên cạnh BC thì điểm H chuyển động trên đường nào?
ĐÁP ÁN Câu 1:
1
a ) − 5 5 − 8 1 − − 2 7 + 6 7 = − 5 5 − 9 − − + 3 6 7 = − 6 4 − 6 4 = − − 4 8 = − 1 2
b ) 4 − 2 3 − 3 − 5 = 3 − 1 − 3 − 5 = 3 − − 1 3 + 5 = 4
2
a) P xác định khi a 0; b 0; a b
2
1
−
Câu 2:
1 a) Hàm số nghịch biến khi m-2 < 0 m < 2
Trang 9b) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 nên ta thay x=3; y=0 vào hàm số ta có: (m - 2).3 + m + 3 = 0 m = 3
4
c) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y = -x + 2 ; y = 2x – 1 là nghiệm của hệ phương trình
Để đồ thị các hàm số trên đồng quy thì đồ thị hàm số y = (m - 2)x + m + 3 phải đi qua điểm (1; 1) ta có
1=m - 2 + m + 3 suy ra m = 0
2 Thay x = -2; y = 8 vào hàm số ta có: 8=a.(-2)2 suy ra a = 2
Vậy với a = 2 thì đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) đi qua điểm M(-2; 8)
Câu 3:
1 Phương trình 5x 2 + 7x + 2 = 0 có a-b+c=5-7+2=0 nên x1 = -1; x2 =
2
5
c
a
−
= −
Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
b) Vì phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
Theo ĐL Viets ta có: 1 2
2
1 2
2 ( 2 )
+ =
= − −
2
( 4 )
+
Thế (2) ; (3) vào (4) ta có:
2
m
− −
Suy ra m = 1
7
Câu 4:
1 Giải hệ phương trình
2 x = my+1 thế vào (1) ta có m(my+1)+y=4 (m2+1)y=4-m 42
1
m y
m
−
+ (vì m2+1 0 với mọi m)
Do đó x = ( 42 ) 1 4 2 1
+ =
Trang 108 1
m
+ =
Khi đó x=4 12 1 5
+
=
−
= +
Câu 5:
a) 𝐵𝐻𝐷̂ = 𝐵𝐶𝐷̂ = 900 nên tứ giác BHCD là tứ giác nội tiếp
b) BHCD là tứ giác nội tiếp nên 𝐵𝐷𝐶̂ = 𝐶𝐻𝐾̂ (cùng bù với 𝐵𝐻𝐶̂ )
𝐵𝐷𝐶̂ = 450 (t/c hình vuông) nên 𝐶𝐻𝐾̂ = 400
c) KHC KDB (g-g) nên K H K C
K D K B
d) BHCD là tứ giác nội tiếp có 𝐷𝐻𝐶̂ = 𝐵𝐷𝐶̂ = 450 nên H thuộc cung chứa góc 450 vẽ trên đoạn CD cố định Khi EC thì H C; EB thì H B
Vậy khi điểm E chuyển động trên cạnh BC thì điểm H chuyển động trên cung BC nhỏ của đường tròn
ngoại tiếp tứ giác BHCD
ĐỀ 4
Bài 1: (2 điểm)
1- Giải các phương trình sau:
a) x - 1 = 0
b) x2 - 3x + 2 = 0
2- Giải hệ phương trình:
= +
=
− 2
7 2
y x
y x
3, Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1;2) và song song với đường thẳng y=3x+5
Bài 2 (2 điểm):
Cho biểu thức A =
2
1 : 4
1 4
2
−
− +
−
−
a a
a a
a
(Với a 0;a 4)
a) Rút gọn biểu thức A
K
H E
B A
Trang 11b) Tính giá trị của A tại a = 6+4 2
Bài 3: (2 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol (P) có phương trình: y = x2 và đường thẳng (d) có phương trình:
y = 2mx – 2m + 3 (m là tham số)
a) Tìm toạ độ các điểm thuộc (P) biết tung độ của chúng bằng 2
b) Chứng minh rằng (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi m
Gọi y , y1 2là các tung độ giao điểm của (P) và (d), tìm m để y1+ y2 9
Bài 4 (3 điểm): Cho đường tròn tâm O bán kính R và đường thẳng (d) không đi qua O, cắt đường tròn (O)
tại 2 điểm E, F Lấy điểm M bất kì trên tia đối FE, qua M kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (C, D
là các tiếp điểm)
1 Chứng minh tứ giác MCOD nội tiếp trong một đường tròn
2 Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng EF Chứng minh KM là phân giác của góc CKD
3 Đường thẳng đi qua O và vuông góc với MO cắt các tia MC, MD theo thứ tự tại R, T Tìm vị trí của điểm M trên (d) sao cho diện tích tam giác MRT nhỏ nhất
Bài 5: (1 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức D =
2
2 8
4
y x
+ + với x+ y 1 và x > 0
ĐÁP ÁN
Bài 1: câu 1 cho 1 điểm, câu 2 cho 1 điểm
1, mỗi y cho 0,5đ
a, x = 1
b, x1 = 1; x2 = 2
2, 3 mối ý cho 0,5đ
Bài 2 (2 điểm):
a) A =
2
1 : 4
1 4
2
−
− +
−
−
a a
a a
a
a
− 2
4
a
a
+
=
−
2
a
−
−
( 2 + 2 )
A =
2
a
Trang 12Câu 3: (2 điểm)
1 A ( 2 ;2) và B (- 2 ;2)
2, Viết pt hoành độ giao điểm: x2=2mx – 2m + 3
x2-2mx +2m – 3=0
Ta có: ∆’= m2 - 2m + 3= (m-1)2+2 > 0 với mọi m suy ra (P) và đường thẳng d cắt nhau tại 2 điểm phân biệt với mọi m
Áp dụng viét ta có: x1+x2=2m
x1x2 =2m – 3
Theo bài ra ta có: y1 + y2 9
( x1+x2)2-2 x1x2 <9
4m2-2(2m – 3)<9
4m2-4m-3<0
1
2
−
< m <3
2
Câu 4 (3 điểm):
1 HS tự chứng minh
2 Ta có K là trung điểm của EF => OK⊥ EF => 0
9 0
5 điểm D; M; C; K; O cùng thuộc đường tròn đường kính MO
=> D K M = D O M (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MD
Lại có D O M = C O M (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
=> D K M = C K M => KM là phân giác của góc CKD
3 Ta có: SMRT = 2SMOR = OC.MR = R (MC+CR) 2R C M C R.
Mặt khác, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông OMR ta có: CM.CR = OC2 = R2 không đổi
=> SMRT 2 R2
Dấu = xảy ra CM = CR = R 2 Khi đó M là giao điểm của (d) với đường tròn tâm O bán kính R 2 Vậy M là giao điểm của (d) với đường tròn tâm O bán kính R 2 thì diện tích tam giác MRT nhỏ nhất
d
E
F O
M
C D
R T
K
Trang 13Bài 5 (1 điểm)
Tìm GTNN của D =
2
2 8
4
y x
+ + với x+ y 1 và x > 0
Từ x+ y 1 y 1- x ta có:
2
2
2
x
+ −
1
+ + − − + = + + − + +
Vì x > 0 áp dụng BĐT côsi có: 1
4
x x
+ 1
lại có:
2
0
Nên từ (1) suy ra: D1 + 0 +1
2
hay D 3
2
Vậy GTNN của D bằng 3
2
Khi
1
1
2
x y
+ =
=
Trang 14Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi
về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh
tiếng
I.Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây
dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao và HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III.Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu
tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí