Khi đi ngược trở lại từ B về A người đó tăng vận tốc thêm 3 km/h nên thời gia về ít hơn thời gian đi là 30 phút.. Tính vận tốc của người đi xe đạp lúc đi từ A đến B.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn : TOÁN
Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 05 câu trên 01 trang
Câu 1 (2,0 điểm):
1 Rút gọn các biểu thức
a) A 2 8
b) B a + b a b - b a
với a0,b0, a b
2 Giải hệ phương trình sau:
2x + y = 9
x - y = 24
Câu 2 (3,0 điểm):
1 Cho phương trình x - 2m - (m + 4) = 02 2 (1), trong đó m là tham số
a) Chứng minh với mọi m phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt:
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) Tìm m để x + x12 22 20
2 Cho hàm số: y = mx + 1 (1), trong đó m là tham số
a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A (1;4) Với giá trị m vừa tìm được, hàm số (1) đồng biến hay nghịch biến trên R?
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng (d) có phương trình: x + y + 3 = 0
Câu 3 (1,5 điểm):
Một người đi xe đạp từ địa điểm A đến địa điểm B dài 30 km Khi đi ngược trở lại từ B về A người đó tăng vận tốc thêm 3 (km/h) nên thời gia về ít hơn thời gian đi là 30 phút Tính vận tốc của người đi xe đạp lúc đi từ A đến B
Câu 4 (2,5 điểm):
Cho đường tròn tâm O, bán kính R Từ điểm A bên ngoài đường tròn, kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm) Từ B, kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường tròn tại D (D khác B) Nối AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K Nối BK cắt AC tại I
1 Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn
2 Chứng minh rằng : IC2 = IK.IB
3 Cho· 0
BAC 60 chứng minh ba điểm A, O, D thẳng hàng
Câu 5 (1,0 điểm):
Cho ba số x, y, z thỏa mãn
x + y + z 3
Chứng minh rằng:x + y + z2 2 2 11
HẾT
Trang 3Hướng dẫn và đáp án
1 1
b) B= ( √b(√ √a − a √b) −
√b
√a(√a−√b)) (a√b −b√a) = ( √ab(a− b√a −√b)) √ab(√a −√b)=a −b
0,5
2
¿
2 x + y=9
x − y =24
⇔
¿2 x + y =9
3 x=33
⇔
¿2 11+ y =9
x=11
⇔
¿y=−13
x=11
¿{
¿
Vậy hpt có nghiệm (x;y) = (11;-13)
0,75 0,25
2 1
a) −1¿2− 1.[−(m2+4)]=m2+5
Δ'=¿
Vậy pt (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
0,5 0,5
b) Áp dụng định lý Vi –ét
¿
x1+x2=2
x1x2=−(m2
+4)
¿{
¿
x12+x22=20⇔(x1+x2)2−2 x1x2=20
⇒22
+2 m2+8=20⇔2 m2
=8⇔ m=±2
vậy m= ± 2
0,5
2
a) Vì đồ thị của hàm số (1) đi qua A(1;4) ⇒ 4= m.1+1 ⇔m=3
Với m = 3 hàm số (1) có dạng y = 3x +1; vì 3>0 nên hàm số (1) đồng biến trên R
0,5 0,5 b) (d) : y = - x – 3
Vì đồ thị của hàm số (1) song song với (d)
⇒ m=−1
1 ≠− 3
¿{
Vậy m = -1 thì đồ thị của hàm số (1) song song với (d)
0,5
Trang 43 Gọi vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B là x (km/h, x>0)
Khi đi từ B về A vận tốc của người đó là x + 3 (km/h)
thời gian đi từ A đến B là 30x (h)
thời gian đi từ B về A là 30
x +3(h)
vì thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút = 12(h) nên ta có pt
30
x −
30
x +3=
1 2
⇒60 x+180− 60 x=x2+3 x
⇔ x2
+3 x −180=0
Δ=9+720=729 ⇒ Δ>0
x2=−15(KTM)
Vậy vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B là 12km/h
0,25 0,25 0,25 0,25
0,25
0,25 4
a) Ta có
¿
¿{
¿
( t/c tiếp tuyến)
⇒
∠ABO=900
∠ACO=900
⇒∠ ABO+∠ ACO=900
+900=1800
¿{
Vậy tứ giác ABOC nội tiếp ( định lý đảo về tứ giác nội tiếp)
0,25 0,5 0,25
b) xét Δ IKC và Δ IC B có ∠Ichung;∠ICK =∠IBC ( góc tạo bởi tia tiếp
tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung CK)
⇒ Δ IKC∞ ΔICB(g − g)⇒IC
IK
IC ⇒IC2=IK IB
0,5 0,5
B
D
C
O
I
1
Trang 5c) ∠BOC=3600−∠ ABO− ∠ACO −∠BAC=1200
(góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung BC)
Mà BD//AC (gt) ⇒∠C1=∠BDC=600 ( so le trong)
⇒∠ODC=∠OCD=900
−600=300
⇒∠BDO =∠CDO=300
⇒∠BOD =∠COD=1200
⇒ Δ BOD=ΔCOD(c − g − c)
⇒BD=CD
Mà AB = AC (t/c 2tt cắt nhau); OB = OC = R
Do đó 3 điểm A, O, D cùng thuộc đường trung trực của BC
Vậy 3 điểm A, O, D thẳng hàng
0,25
0,25
5 Vì x , y , z ∈[−1 ; 3]
x
y
z
1 0
xyz xy yz xz x y z
xy yz xz
0,25
0,25 0,25 0,25 Cách2:.Không giảm tính tổng quát, đặt x = max {x , y , z }
⇒ 3 = x + y + z 3x nên 1 x 3
⇒ 2 ( x -1 ) (x - 3) 0 (1)
Lại có: x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 + 2(y +1) (z+1) = x2 + ( y + z )2 + 2 ( y + z ) + 2
= x2 + ( 3 - x )2 + 2 ( 3- x) + 2 = 2 x2 - 8x + 17 = 2 ( x -1 ) (x - 3) + 11 (2)
Từ (1) và (2) suy ra x2 + y2 + z2 11
Dấu đẳng thức xảy ra x = max {x , y , z }
( x -1 ) (x - 3) = 0
(y +1) (z+1) = 0 ⇒ Không xảy ra dấu đẳng thức
x + y + z = 3