1.Biết vận dụng tính chất chia hết của số nguyên dể làm các bài tập chứng minh quan hệ chia hết, tìm số dư và tìm điều kiện chia hết.. Hiểu các bước phân tích bài toán, tìm hướng chứng m[r]
Trang 1Ngày soạn: 01/01/2012 Ngày dạy: 11/01/2012 Buổi 1 Ngày dạy: 01/02/2012 Buổi 2
CHUYÊN ĐỀ I: BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC HỮU TỈ
C Nội dung bài giảng:
B – BIỂN ĐỔI PHÂN THỨC HỮU TỈ
phân số A chưa tối giản Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó
Lời giảia) Đặt d = ƯCLN(5n + 2 ; 3n + 1) 3(5n + 2) – 5(3n + 1) d hay 1 d d = 1 Vậy phân số
++ là phân số tối giản.
n+5 phải chưa tối giản
Suy ra n + 5 phải chia hết cho một trong các ước dương lớn hơn 1 của 29
Vì 29 là số nguyên tố nên ta có n + 5 29 n + 5 = 29k (k N) hay n = 29k – 5.Theo điều kiện đề bài thì 0 ≤ n = 29k – 5 < 2009 1 ≤ k ≤ 69 hay k{1; 2;…; 69}Vậy có 69 số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện đề bài Tổng của các số này là :
Trang 2ê + =ê
ê ê
Trang 3Đặt P(x) = S(x) – 1 thì đa thức P(x) là đa thức có bậc không vượt quá 2 Do đó, P(x) chỉ
có tối đa hai nghiệm
Nhận xét : P(a) = P(b) = P(c) = 0 a, b, c là ba nghiệm phân biệt của P(x)
Điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi P(x) là đa thức không, tức là P(x) = 0 x
a)
2 2
Trang 4+ + không tối giản với mọi số nguyên dương n.
c) Tính tổng các số tự nhiên n nhỏ hơn 100 sao cho
2
++ là phân số chưa tối giản.
Trang 6n 1 n
Ngày soạn: 29/01/2012 Ngày dạy: 08/02/2011 Buổi 3 Ngày dạy: 15/02/2012 Buổi 4
CHUYÊN ĐỀ II: Tính chia hết với số nguyên
A Mục tiêu:
Sau khi học xong chuyên đề học sinh có khả năng:
1.Biết vận dụng tính chất chia hết của số nguyên dể chứng minh quan hệ chia hết,tìm số dư và tìm điều kiện chia hết
2 Hiểu cỏc bước phân tích bài toán, tìm hướng chứng minh
3 Cú kĩ năng vận dụng các kiến thức được trang bị để giải toán
Trang 7Gọi A(n) là một biểu thức phụ thuộc vào n (nN hoặc n Z)
a/ Để chứng minh A(n) chia hết cho m ta phân tích A(n) thành tích trong đó cómột thừa số là m
+ Nếu m là hợp số ta phân tích m thành tích các thừa số đôI một nguyên tố cùngnhau rồi chứng minh A(n) chia hết cho tất cả các số đó
+ Trong k số liên tiếp bao giờ cũng tồn tại một số là bội của k
b/ Khi chứng minh A(n) chia hết cho n ta có thể xét mọi trường hợp về số dư khichia m cho n
Ta thấy : A là tích của 7 số nguyên liên tiếp mà trong 7 số nguyên liên tiếp:
- Tồn tại một bội số của 5 (nên A 5 )
- Tồn tại một bội của 7 (nên A 7 )
- Tồn tại hai bội của 3 (nên A 9 )
- Tồn tại 3 bội của 2 trong đó có bội của 4 (nên A 16)
Vậy A chia hết cho 5, 7,9,16 đôi một nguyên tố cùng nhau A 5.7.9.16= 5040
Ví dụ 2: Chưng minh rằng với mọi số nguyên a thì :
a/ a3 –a chia hết cho 3
Phân tích A thành một tổng của hai số hạng chia hết cho 5 :
+ Một số hạng là tích của 5 số nguyên liên tiếp
Trang 8Mỗi dòng đều bắt đầu bằng 1 và kết thúc bằng 1
Mỗi số trên một dòng (kể từ dòng thứ 2) đều bằng số liền trên cộng với số bên tráicủa số liền trên
A không chia hết cho 17
+Cách 2: A = 16n – 1 = ( 17 – 1)n – 1 = BS17 +(-1)n – 1 (theo công thức Niu Tơn)
- Nếu n chẵn thì A = BS17 + 1 – 1 = BS17 chia hết cho 17
- Nếu n lẻ thì A = BS17 – 1 – 1 = BS17 – 2 Không chia hết cho 17
Trang 9Vậy biểu thức 16n – 1 chia hết cho 17 khi và chỉ khi n là số chẵn, n N
d/ Ngoài ra còn dùng phương pháp phản chứng, nguyên lý Dirichlê để chứng minhquan hệ chia hết
VD 4: CMR tồn tại một bội của 2003 có dạng: 2004 2004….2004
a/ Luỹ thừa của 2 sát với bội của 9 là 23 = 8 = 9 – 1
Ta có : 2100 = 2 299= 2 (23)33 = 2(9 – 1 )33 = 2(BS9 -1) ( theo nhị thức Niu Tơn)
= BS9 – 2 = BS9 + 7
Vậy 2100 chia cho 9 dư 7
b/ Luỹ thừa của 2 gần với bội của 25 là 2 10 = 1024 =1025 – 1
- Cách 2: Tìm số dư khi chia 51994 ch 10000 = 24.54
Ta thấy 54k – 1 = (54)k – 1k chia hết cho 54 – 1 = (52 + 1) (52 - 1) 16
Trang 10Ta có 51994 = 56(51988 – 1) + 56 mà 56 54 và 51988 – 1= (54)497 – 1 chia hết cho 16
( 51994)3 56(51988 – 1)chia hết cho 10000 còn 56= 15625
51994 = BS10000 + 15625 51994 chia cho 10000 dư 15625
Vậy 4 chữ số tận cùng của 51994 là 5625
3 Tìm điều kiện chia hết
* VD1: Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểuthức B:
Vậy với n = -1, n = 2 thì giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B
VD 2: Tìm số nguyên n dể n5 + 1 chia hết cho n3 + 1
VD 3: Tìm số tự nhiên n sao cho 2n - 1 chia hết cho 7
Giải: n Ta có luỹ thừa của 2 gần với bội của 7 là 23 = 8 = 7 + 1
- Nếu n = 3k (k N) thì 2n - 1= 23k – 1 = (23)k – 1 = 8 k - 1k 8 – 1 = 7
Nếu n = 3k + 1(k N) thì 2n - 1 = 23k+1 – 1 = 8k 2 – 1= 2(8k – 1) + 1
= 2 BS7 + 1
Trang 11 2n - 1 không chia hết cho 7
Ngày soạn: 12/02/2012 Ngày dạy: 22/02/2012 Buổi 5 Ngày dạy: 29/02/2011 Buổi 6
CHUYÊN ĐỀ III: TAM GIÁC – PHÂN GIÁC
A Mục tiêu:
- HS nắm được các phương pháp cơ bản và nâng cao khi tìm hiểu các bài toán chứng minh về phân giác trong tam giác
- Rèn kỹ năng suy luận lôgic, kỹ năng chứng minh hình học
- Biết được mối liên hệ giữa các phương pháp và sử dụng hợp lý vào bài toán
- Rèn tính cẩn thận, tính sáng tạo, chủ động trong học tập
B Phương tiện:
- GV: giáo án, tài liệu Casio
- HS: Máy tính Casio, dụng cụ vẽ hình
C Nội dung bài giảng:
I Các bài toán tổng quát về đường phân giác
1/ Cho ABC với AB > AC Điểm M ( khác A ) thuộc đường phân giác trong và N ( khác A ) thuộc đường phân giác ngoài của góc A Chứng minh rằng :
Trang 12
HƯỚNG DẪN
Chú ý và nhận xét :+ Ta có thể tạo ra một đoạn thẳng bằng b+c bằng cách <2c từ B vẽ tia Bx // Ac cắt AC tại E
Qua B vẽ đường thẳng song song với đường thẳng AD cắt CA tại
E ABE cân tại E Xét ABE ta có : BE < AB + AE = 2AB = 2c
Xét CBE ta có : AD // BE BEAD= CE
AC BE=AD CE
Lấy (1) + (2) +(3) suy ra điều phải chứng minh
5/ Cho tam giác ABC có các phân giác AY , BZ , CX Chứng minh rằng :
ý đến tính chất đường phân giác của tam giác + Bài toán yêu cầu chứng minh một bất đẳng thức
nên hãy chú ý đến các BĐT trong đó chú ý đến
BĐT Côsi
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 3 số dương AXXB ;BY
YC ;
CZ
ZA ta có :Theo tính chất đường phân giác : AX
BY YC
CZ ZA
c b
AE
ZX
c
bc
a
A
Trang 136/ Cho ABC , ba đường phân giác trong AD , BE , CF Chứng minh điều kiện cần và đủ
để tam giác ABC đều là SDEF = ¼ SABC
8/ Cho ABC có độ dài ba cạnh là a , b , c Vẽ các phân giác AD , BE , CF Chứng minh
SDEF ¼ SABC , dấu “=” xảy ra ABC đều
III.HAI ĐƯỜNG PHÂN GIÁC
1/ Cho ABC có hai đường phân giác trong BD , CE cắt nhau tại I Biết ID = IE Chứng minh rằng hoặc ABC cân tại A hoặc BAC = 600
HƯỚNG DẪN
AI là đường phân giác của góc A Khi đó hai IEA và IDA có thể xảy ra hai trường hợp :
a/ IEA = IDA Khi đó :
BAD = CAE ; AD = AE ; BDA = CEA ABD = ACE ( g – c – g ) AB =
AC
ABC cân tại A
b/ IEA và IDA không bằng nhau ABC không cân ở A
Không mất tính tổng quát ta giả sử : C > B Lấy điểm E’ trên AB sao cho IE’ =
IE = ID IE’E cân IE’E = IEE’ BEI = IE’A = IDA
Xét tứ giác ADIE có : D + E = 1800 A + DIE = 1800 A + BIE = ICB + IBC
2A = 2ICB + 2IBC = C + B Mà BIE + DIE = 180 0 và A + B + C = 1800
A + 2A = 1800 A = 600
A
E’E
B A
C
Trang 14IV.CỰC TRỊ
1/ Cho ABC với AB AC và AD là đường phân giác trong Lấy điểm M trên cạnh
AB và điểm N trên cạnh AC sao cho BM.CN = k không đổi ( k < AB2 ) Xác định vị trí của M , N sao cho diện tích của tứ giác AMDN là lớn nhất
HƯỚNG DẪNNhận xét :
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương BM , CN :
BM + CN 2√BM CN=2√k , dấu “ = “ xảy ra BM = CN Thay vào (1) tađược :
2SAMDN DH(AB+AC- 2√k )Diện tích tứ giác AMDN lớn nhất khi BM = CN = √k < AB AC
Lúc đó SAMDN = ½ (AB+AC - 2√k ) Dễ dàng dựng được các đoạn thẳng BM ,
CN theo hệ thức BM2 = CN2 = k.1 ( trong đó 1 chỉ 1 đơn vị dài )
Cách dựng : Trên BC lấy E sao cho BE = 1 trên BF lấy H sao cho BH = k Dựng đường tròn đường kính BE , dựng tia Hx vuông góc với BE cắt đường tròn tại M
Trang 15Ngày soạn: 04/12/2011 Ngày dạy: 14/12/2011 Buổi 7 Ngày dạy: 21/12/2011 Buổi 8
CHUYÊN ĐỀ II (Tiếp): Tính chia hết với số nguyên
C Mục tiêu:
Sau khi học tiếp chuyên đề học sinh có khả năng:
1.Biết vận dụng tính chất chia hết của số nguyên dể làm các bài tập chứng minhquan hệ chia hết, tìm số dư và tìm điều kiện chia hết
2 Hiểu các bước phân tích bài toán, tìm hướng chứng minh
3 Cú kĩ năng vận dụng các kiến thức được trang bị để giải toán
a/ n3 + 6n2 + 8n chia hêt ch 48 với mọi số n chẵn
b/ n4 – 10n2 + 9 chia hết cho 384 với mọi số n lẻ
a/ n6 + n4 -2n2 chia hết cho 72 với mọi số nguyên n
b/ 32n – 9 chia hết cho 72 với mọi số nguyên dương n
Trang 16Vì a2 là số nguyên tố lớn hơn 3 nên a lẻ a2 là số chính phương lẻ
a2 chia cho 8 dư 1
a2 – 1 chia hết cho 8 (1)
Mặt khác a là số nguyên tố lớn hơn 3 a không chia hết cho 3
a2 là số chính phương không chia hết cho 3 a2 chia cho 3 dư 1
Bài toán là trường hợp đặc biệt của định lý nhỏ Phéc ma:
- Dạng 1: Nếu p là số nguyên tố và a là một số nguyên thì ap – a chia hết cho p
- Dạng 2: Nếu a là một số nguyên không chia hết cho số nguyên tố p thì ap-1-1 chia hếtcho p
Ta có 504 = 32 7.8 và 7,8,9 nguyên tố cùng nhau từng đôi một
Vì n là lập phương của một số tự nhiên nên đặt n = a3
Cần chứng minh A=(a3-1)a3(a3 + 1) chia hết cho 504
Ta có: + Nếu a chẵn a3 chia hết cho 8
Nếu a lẻ a3-1và a3 + 1 là hai số chẵn liên tiếp (a3-1) (a3 + 1) chi hết cho 8
Trang 17Hai số n và n + 3 không thể cùng chẵn Vậy hoặc n , hoặc n + 3 chia hết cho 4
- Nếu n = 0 thì A = 0, không là số nguyên tố
- Nếu n = 4 thì A = 7, là số nguyên tố
-Nếu n = 4k với kZ, k > 1 thì A = k(4k + 3) là tích của hai thừa số lớn hơn 1 nên A làhợp số
- Nếu n + 3 = 4 thì A = 1, không là số nguyên tố
- Nếu n + 3 = 4k với kZ, k > 1 thì A = k(4k - 3) là tích của hai thừa số lớn hơn 1 nên A
là hợp số
Vậy với n = 4 thì
3 3 4
là số nguyên tố 7Bài 7: Đố vui: Năm sinh của hai bạn
Một ngày của thập kỷ cuối cùng của thế kỷ XX, một người khách đến thăm trường gặphai học sinh Người khách hỏi:
- Có lẽ hai em bằng tuổi nhau?
Bạn Mai trả lời:
- Không, em hơn bạn em một tuổi Nhưng tổng các chữ số của năm sinh mỗi chúng emđều là số chẵn
- Vậy thì các em sinh năm 1979 và 1980, đúng không?
Người khách đã suy luận thế nào?
Giải:
Chữ số tận cùng của năm sinh hai bạn phảI là 9 và 0 vì trong trường hợp ngược lại thìtổng các chữ số của năm sinh hai bạn chỉ hơn kém nhau là 1, không thể cùng là số chẵn.Gọi năm sinh của Mai là 19 9a thì 1 +9+a+9 = 19 + a Muốn tổng này là số chẵn thì a
{1; 3; 5; 7; 9} Hiển nhiên Mai không thể sinh năm 1959 hoặc 1999 Vậy Mai sinh năm
1979, bạn của Mai sinh năm 1980
Trang 18RÚT KINH NGHIỆM :……….
Duyệt ngày: 05/12/2011
Ngày soạn: 18/12/2011 Ngày dạy: 28/12/2011 Buổi 9 Ngày dạy: 11/01/2012 Buổi 10
CHUYÊN ĐỀ IV: TAM GIÁC - ĐƯỜNG CAO – TRUNG TUYẾN
C Nội dung bài giảng:
I.Các bài toán về đường cao
1/ Cho ABC có a > b > c Chứng minh :
chu vi của ABC
3/ Chứng minh rằng nếu một tam giác cóùù 2 cạnh không bằng nhau thì tổng của cạnh lớn hơn và đường cao tương ứng lớn hơn tổng của cạnh nhỏ và đường cao tương ứng 4/ Cho ABC có các đường cao AA’ , BB’ , CC’ Chiếu A’ lên AB , AC , BB’ và CC’tại I , J , K , L Chứng minh 4 điểm I , J , K , L thẳng hàng
5/ Cho ABC , đường cao AH Gọi C’ là điểm đối xứng của H qua AB Gọi B’ làđiểm đối xứng của H qua AC Gọi giao điểm của B’C’ với AC và AB là I và K Chứngminh BI và CK là đường cao của ABC
ĐƯỜNG CAO – CHU VI TAM GIÁC
1/ Chứng minh rằng mọi ABC ta đều có : p2 ha2 + hb2 + hc2 ( p là nửa chu vi tam giác ABC )
2/ Cho ABC Xác định các điểm M , N , P theo thứ tựï thuộc các cạnh BC , CA , AB sao cho chu vi
MNP là nhỏ nhất
ĐƯỜNG CAO - BẤT ĐẲNG THỨC - CỰC TRỊ
Trang 191/ Cho 2 điểm A , B cóùá định và điểm M di động sao cho MAB cóùù 3 góc nhọn Gọi H là trực tâm của AMB , K là chân đường cao vẽ từ M Tìm giá trị lớn nhất của KH.KM
TAM GIÁC – ĐƯỜNG CAO - PHÂN GIÁC 1/ Đường cao và đường phân giác vẽ từ đỉnh A của ABC tạo thành một góc Tính góc
đo theo các góc B và C của tam giác ABC ( hoặc chứng minh góc đó bằng nửa hiệu
của hai góc B và C )
HƯỚNG DẪN A
B – C = CAH - BAH = CAD + HAD – ( BAD – HAD ) = 2 HAD
1.1/ Cho ABC và đường phân giác CE Từø C kẻ đường thẳng vuông góc với CE cắt
cạnh AB kéo dài tại D Chứng minh rằng góc EDC bằng nửa hiệu của các góc A và B 1.2/ Đuờng phân giác ngoài kẻ từ đỉnh A của ABC tạo với cạnh BC một góc 300 Tìmhiệu của các góc C và B ( Cho AB AC )
1.3/ Chứng minh rằng trong một tam giác nếu hiệu các góc ở đáy bằng 900 thì đườngphân giác trong và đường phân giác ngoài của góc ở đỉnh bằng nhau
II TAM GIÁC - TRUNG TUYẾN
1/ Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta có :
4
5 (mamb + mbmc + mcma ) < ab + bc + ca < 209 (mamb + mbmc + mcma )
HƯỚNG DẪN A
Trang 20 ma2 + mb2 + mc2 + 2(ma + mb + mbmc + mcma ) < a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ca )( 1 )
Do : ma2 + mb2 + mc2 = 3 a2+3 b2+3 c2
4Nên ( 1 ) 2(mamb + mbmc + mcma ) < a2+b2+c2
4 + 2 ( ab + bc + ca ) < ab+bc+ca2 + 2 ( ab + bc + ca )
AF đạt giá trị nhỏ nhất ( Mở rộng bài trên )
4/ Cho ABC , trung tuyến AD Từø điểm M bất kỳ trên BD vẽ đường thẳng song songvới AD cắt AB tại E , cắt AC tại F Chứng minh : 2AD = ME + MF
HƯỚNG DẪN Chú ý và nhận xét :
+ 2AD = ME + MF ME+MFAD =2
+ Tạo ra đoạn thẳng bằng ME + MF
Rút kinh nghiệm:……….
Duyệt ngày: 19/12/2011