Chu de TY SO THE TICH va VAN DUNG

Mặt phẳng (ABN) cắt SC tại E. Tính thể tích của khối chóp S.ABE theo a. b) Tính góc hợp bởi cạnh bên SA và mặt đáy (ABCD) của hình chóp S.ABCD. Mặt phẳng (BMN) cắt SD tại E. Tính thể tí[r]

H' H

B'

A'

B

A

O

C' B' A'

C

B A

S

Chủ đề 2: TỶ SỐ THỂ TÍCH VÀ ỨNG DỤNG

I- CÁC KẾT QUẢ QUAN TRỌNG:

Kết quả 1: Cho tam giác OAB, trên cạnh OA chọn 'A ạO, trên cạnh OB chọn 'B ạO

OA B

OAB

Chứng minh:

' '

Gọi H, H' lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và A' lên OB

' '

Suy ra:

OA B Định lý thales

OAB

Kết quả 2:

Cho hình chóp , trên cạnh chọn ' , trên cạnh chọn ' trên cạnh S chọn '

ạ

Lúc đó: ' ' '

.

S A B C

S ABC

Chứng minh:

Gọi H, H' lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và A' lên mp( )

Lúc đó:

SBC

.

Suy ra:

V

II- CÁC KỸ THUẬT CƠ BẢN:

Kỹ thuật 1: KẺ ĐƯỜNG PHỤ

Bài tập 1: Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú cạnh đỏy AB a= , cạnh bờn SA hợp với mặt đỏy (ABCD) một gúc bằng 600

a Tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD

b Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SD Mặt phẳng (AMN) cắt SC tại E

Tớnh thể tớch của khối chúp S.AMEN

Gợi ý:

1 2

SB = SD = SO =

ắ ắđ Qua O dựng OK // AE

Xột tam giỏc AEC: 1

2

//

ỡù

ùợ Suy ra: K là trung điểm EC

K I

E

M N

S

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO beckbo1210@yahoo.com Tổ Toán THPT Phong Điền 2

Xét tam giác SOK: 1

2

//

IE OK

ìï

ïî Suy ra: E là trung điểm SK Vậy 1

3

SE

SC =

Bài tập 2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên SA a= , cạnh bên SA hợp với mặt đáy (ABC) một góc bằng 600

a Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a

b Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, SM Mặt phẳng (ABN) cắt SC tại E

Tính thể tích của khối chóp S.ABE theo a

Gợi ý:

¾ ¾® Qua M d ựng MK // BE

2

//

ìï

ïî Suy ra: K là trung điểm EC

2

//

ìï

ïî Suy ra: E là trung điểm SK

3

SE

SC =

.

.

S ABE

S ABC

Kết quả:

3 3 32

=

.

S ABE

a

Cách khác:

Chọn B là đỉnh thì mặt đáy của chóp S.ABC và S.ABE tương ứng là (ABC), (ABE)

1

3

1

3

.

.

ABE

B ABE S

và đưa ra được kết quả như trên

Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Trên các cạnh SB,

SC ta lấy lần lượt các điểm M, N sao cho SM 2

SB = 3 và SN 1

SC = 2 a) Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SD tại điểm P Tính tỷ số SP

SD b) Mặt phẳng (AMN) chia hình chóp S.ABCD thành hai phần Tìm tỉ số thể tích của hai phần đó

K

E N

M

60 0

C

B A

S

Gợi ý:

a) Gọi O= ACÇBD Trong tam giác SAC, các trung tuyến SO và AN cắt nhau ở I là trọng tâm của tam giác nên có 2

3

SI

SO = Suy ra 2 //

3

Trong tam giác SBD, IM cắt SD tại P chính là giao điểm của (AMN) với SD

b) O là trung điểm của BD và IM // BD nên

I là trung điểm của PM, suy ra:

;

Do đó:

S AMPN S AMN

S ABCD S ABC

.

S AMNP

ABCDMNP

V

V

Kỹ thuật 2: TÍNH TRỰC TIẾP CÁC TỈ SỐ

Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có DABC vuông tại B có AB=3 cm, BC =4 cm, cạnh bên SA^(ABC) và SA=4 cm Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC;

mặt phẳng (P) cắt SC và SB lần lượt tại D và E

a Chứng minh: AE ^(SBC)

b Tính thể tích khối chóp S.ADE

Gợi ý:

a) Chứng minh: AE ^(SBC)

^

î

BC AB

BC SA

Suy ra: BC AE (1) ^

Từ (1) và (2) suy ra: AE^(SBC) (đ.p.c.m)

b) Tính thể tích khối chóp S.ADE

Xét SABD vuông tại A

Ta có: SE SB SA = 2

2 2

25

Tương tự, trong DSAC vuông tại A

2 2

41

D

E

C

B A

S

B E

S

A

I P

N

M S

C

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO beckbo1210@yahoo.com Tổ Toán THPT Phong Điền 4

.

256

1025

S ADE

S ABC

Nên: . = 256 . . = 256 .8 2 cm» 3

Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA ^ (ABCD), SA = 2 a

Gọi B’, D’ là hình chiếu của A trên SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’

Gợi ý:

* Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’:

Nhận xét rằng:

. . ' ' ' . ' ' . ' '

' ' ' ' '

= ì

î

Tính SB'

SB : Xét SABD vuông tại A

Ta có: SB SB SA' = 2

2 2

5

Tương tự, trong DSAD vuông tại A

2 2

5

Suy ra, (*) trở thành:

3 ' ' '

' ' '

S AB C D

S ABCD

O I

D'

B' C'

D S

C

A

S

B'

B

III- ĐỊNH HƯỚNG CÁC ỨNG DỤNG CỦA TỈ SỐ THỂ TÍCH:

DẠNG TOÁN 1: TÍNH TỈ SỐ THỂ TÍCH CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN

Bài tập 1: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm

của CD và I là giao điểm của AC và BM Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.ICM và

S.ABCD

Bài giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Ta có I là trọng tâm của tam giác BCD

Do đó:

Vậy

.

1 12

ISCM

S ABCD

V

Bài tập 2: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi B’, D’ lần lượt là

trung điểm SB và SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’ Tính tỉ số thể tích của hai khối

chóp được chia bởi mp(AB’D’)

Bài giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD và gọi I là giao điểm của SO và B’D’ Khi đó AI cắt SC tại C’

Ta có:

' '

.

2

S AB C

S ABC

.

2

S AC D

S ACD

Suy ra:

Kẻ OO’ // AC’ (O'ÎSC) Do tính chất các đường thẳng

song song cách đều nên ta có SC'=C O' '=O C'

Do đó . ' ' ' 1 1 .

2 3

.

1 6

S AB C D

S ABCD

V

Bài tập tự luyện:

Bài tập 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, H là trực tâm của đáy

Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của SI, SJ, SK Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp

H.MNP và S.ABC Từ đó tính thể tích khối chóp H.MNP

Đáp số: .

.

1 32

H MNP

S ABC

V

Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Mặt phẳng ( )a qua

AB, cắt SC, SD lần lượt tại M và N Tính SM

SC để mặt phẳng ( )a chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau

2

SM SC

-=

C B

S

A

C'

D' B'

O' A

S

D O

I

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO beckbo1210@yahoo.com Tổ Toán THPT Phong Điền 6

DẠNG TOÁN 2:

ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH CỦA CÁC KHỐI ĐA

DIỆN

Bài tập 1: (ĐH B- 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A

và B, AB=BC=a AD, =2 , a SA^(ABCD) và SA=2 a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SD Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a

Bài giải:

Ta có: .

.

1 2

S BCM

S BCA

.

1

4

S CMN

S CAD

= + = (đ.v.t.t)

Bài tập 2: (ĐH A- 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,

mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng với đáy Gọi M, N, P lần lượt là

trung điểm của các cạnh SB, BC, CD Tính thể tích khối tứ diện CMNP theo a

Bài giải:

4

CMNP

CMBD

.

.

1 (2) 2

Lấy (1) nhân (2) vế theo vế ta có:

.

CMNP

S BCD

V

Gọi H là trung điểm của AD,

ta có SH^AD, mà (SAD) (^ ABCD) nên SH^(ABCD)

.

96

CMNP

a

Bài tập 3: (ĐH D- 2006) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a ,

2

SA= a và SA vuông góc với đáy Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SC

Tính thể tích khối tứ diện A.BCMN theo a

Bài giải:

Ta có: .

.

S AMN

S ABC

AM và AN lần lượt là đường cao của các tam giác SAB và SAC Do SABD = DSAC, nên ta có:

4

5

N M

S

B

A

C

D

H P

N A

S

B

C D

M

S

N

Tương tự: 4

5

SN

SC =

Mà

3

.

a

3

.

3 3 50

A BCNM

a

Bài tập 4: (ĐH B- 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với

,

AB=SA=a AD=a 2 và SA vuông góc với đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD

và SC, gọi I là giao điểm của BM và AC Tính thể tích khối tứ diện ANIM theo a

Bài giải:

Gọi O là giao điểm của tam giác ABC, do đó: 2 1

AIMN

ACDN

2

ACDN

ACDS

Từ (1) và (2) suy ra: 1

12

AIMN

ACDS

V

Mà

3

a

3

a

Bài tập 5: (ĐH D- 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,

cạnh bên SA a= , hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H

thuộc đoạn AC sao cho

4

AC

AH= Gọi CM là đường cao của tam giác SAC Chứng minh

rằng M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a

Bài giải:

Từ giả thiết, ta tính được

Do đó, tam giác SAC cân tại C nên M là trung điểm của SA

Ta có: .

.

S MBC

S ABC

Ta có:

3

.

a

Do đó:

3

a

Bài tập tự luyện:

Bài tập 1: Cho khối tứ diện ABCD có 0

90

120

CAD= , AB=a AC, =2 , a

3

AD= a Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a

2

ABCD

a

N A

S

D O

M I

A S

D O

M

H

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO beckbo1210@yahoo.com Tổ Toán THPT Phong Điền 8

Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA

vuông góc với đáy và SA=2a Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SD Mặt

phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’ Tính thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ theo a

Đáp số:

3

' ' ' '

16 45

S A B C D

a

Bài tập 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a Gọi M, P lần

lượt là trung điểm của SA và SC Mặt phẳng (DMP) cắt SB tại N Tính theo a thể tích khối

chóp S.DMNP

Đáp số:

3

.

2 36

S DMNP

a

Bài tập 4: (ĐH B- 2010) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB=a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 0

60 Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC Tính thể

tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a

Đáp số: ' ' ' 3 3 3

8

ABC A B C

a

12

a

R=

DẠNG TOÁN 1: TÍNH TỈ SỐ THỂ TÍCH ĐỂ TÍNH KHOẢNG CÁCH

Bài tập 1: (ĐH D- 2002) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC),

4 cm,

AD=AC= AB=3 cm, BC=5 cm Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD)

Bài giải:

AB +AC =BC Û DABC vuông tại A

6

ABCD

Mặt khác CD=4 2 cm, BD= BC=5 cm

Nên BCDD cân tại B, gọi I là trung điểm của CD

2 1

2 34 cm 2

BCD

ABCD

BCD

V

S

D

D

Bài tập 2: (ĐH D- 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang,

0

90 ,

ABC=BAD= AD=2 , a BA= BC=a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=a 2

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB CMR: Tam giác SCD vuông và tính theo a

khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)

Bài giải:

Ta có: .

.

S HCD

S BCD

Tam giác SAB vuông tại A và AH là đường cao

nên

3

I

C D

D

C

A

B

S

H

Mặt khác . ( ( ) )

1

3

( )

SCD

V

H SCD

SD

Ta có DSCD vuông tại C do 2 2 2

2

SCD

.

2

3 2

3

9 2

S HCD

SCD

H SCD

Bài tập 3: (ĐH D- 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông,

,

AB=BC=a AA'=a 2 Gọi M là trung điểm của BC Tính theo a khoảng cách giữa hai

đường thẳng AM và B’C

Bài giải:

Gọi M là trung điểm của BB’, ta có EM // CB’

Suy ra: B’C // (AME) nên d(B C AM' , )=d(B C AME' ,( ) )=d(C AME,( ) )

.

C AEM

C AEB

.

3 1

3

C EAM

EAM

V

S

D

D

Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên AE, ta có AE^HM

Hơn nữa BM^(ABE)ÞBM^ AE, nên ta được AE^HM

2

a

AE= DABE vuông tại B

3

a BH

Tam giác BHM vuông tại B nên

21

Do đó

2

AEM

7

C EAM

EAM

C EAM

SD

7

a

Bài tập 4: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy ABC là tam giác

vuông tại A, AB=a AC, =a 3 và hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của BC Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC’B’) theo a

Bài giải:

Theo giả thiết ta có A H' ^(ABC)

Tam giác ABC vuông tại A và AH là trung tuyến nên 1

2

AH = BC=a

H

E

M

C' B'

A'

B

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO beckbo1210@yahoo.com Tổ Toán THPT Phong Điền 10

Do đó

3

'.

3

A ABC

Mặt khác

3 3 '.

' ' ' ' ' ' ' ' '

.3

A ABC

ABC A B C

1

3

' '

3

BCC B

V

S

Vì AB^A H' ÞA B' '^A H' Þ DA B H' ' vuông tại A’

B H= a + a = a=BB Þ DBB H cân tại B’ Gọi K là trung điểm của BH, ta

2

a

' '

14

2

BCC B

a

' ' '

2 ' '

14 14

A BCC B

BCC B

Bài tập tự luyện:

Bài tập 1: (ĐH D- 2009) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông

tại B, AB=a, AA'=2 , 'a A C=3a Gọi M là trung điểm của A’C’, I là giao điểm của AM

và A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A đến mp(IBC)

Đáp số:

3 4 9

IABC

a

5

a

Bài tập 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA'=AB=a BC, =2a, điểm M thuộc cạnh AD sao cho AM=3MD Tính khoảng cách từ M đến mp(AB’C)

Đáp số: d( ,( ' ) )

2

a

Bài tập 3: Cho tứ diện ABCD có DA vuông góc với mp(ABC), góc 0

90

ABC= Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD) nếu AD=a AB, =BC=b

Đáp số: d(A BCD,( ) ) 2ab 2

= +

Bài tập 4: Cho tứ diện đều ABCD, biết AB=a, M là 1 điểm thuộc miền trong của tứ diện Tính tổng khoảng cách từ M đến các mặt của tứ diện

3

ABCD

ACD

SD

Bài tập 5: Cho tứ diện ABCD và điểm M là 1 điểm thuộc miền trong của tứ diện Gọi

1, , , 2 3 4

r r r r lần lượt là khoảng cách từ M đến các mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) Gọi

1, , , 2 3 4

h h h h lần lượt là khoảng cách từ các đỉnh A, B, C, D đến các mặt đối diện

1

h +h +h +h =

K H

A' B'

C'

A B

C

IV- BÀI TẬP ễN TẬP:

1

1 Treõn caùnh CD cuỷa tửự dieọn ABCD laỏy ủieồm M sao cho CM = CD Tớnh tổ soỏ theồ tớch

3 cuỷa hai tửự dieọn ABMD vaứ ABMC

  Â

2 Cho khoỏi laờng truù ủửựng tam giaực ABC.A B C Tớnh tổ soỏ theồ tớch cuỷa khoỏi choựp

A.BB C C vaứ khoỏi laờng truù ABC.A B C

3 Cho tửự dieọn ABCD coự caực ủieồm M, N, P laàn lửụùt thuoọc BC, BD, AC sao cho BC=4BM, AC=3AP, BD=2BN Mặt phẳng (MNP) caột AD taùi Q Tớnh tyỷ soỏ AQ

ADvaứ tyỷ soỏ theồ tớch 2 phaàn cuỷa khoỏi tửự dieọn ABCD ủửụùc phaõn chia bụỷi mp(MNP)

4 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a; SA ^ (ABCD), SA = 2 a Gọi B’,

D’ là hỡnh chiếu của A trờn SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’ Tớnh thể tớch khối chúp

S.AB’C’D’

5 Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD,

SC Tớnh tỉ số thể tớch của hai phần hỡnh chúp được phõn chia bởi mp (MNP)

6) Cho hình chóp S.ABC Gọi M là một điểm trên cạnh SA sao cho MS=2MA Tính tỷ số

thể tích của M.SBC và M.ABC

7) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy a, cạnh bên 2a Gọi I là trung điểm BC

S.ABI

a Chứng minh rằng: SA BC

b Tính V

8) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC cắt SB,

SB' 2

SC, SD lần lượt tại B', C', D' Biết rằng AB=a, =

SB 3 a

^

Tính tỷ số thể tích của hai khối chóp S.AB'C'D' và S.ABCD

b Tính thể tích khối chóp S.AB'C'D'

9) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' Mặt phẳng qua A'B' và trung điểm I của AC chia lăng trụ thành 2 phần Tính tỷ số thể tích giữa 2 phần đó

10) Trên các cạnh SA, SB của tứ diện SABC lấy các điểm M,N sao cho = , =2

Mặt phẳng đi qua MN và song song với SC chia tứ diện thành 2 phần Tính tỷ số thể tích của hai phần này

V- MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA MẪU:

Đề 1: Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú cạnh đỏy AB a= , cạnh bờn SA hợp với mặt đỏy (ABCD) một gúc bằng 600

a) Tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD

b) Tớnh gúc hợp bởi mặt bờn (SBC) và mặt đỏy (ABCD) của hỡnh chúp S.ABCD c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SD Mặt phẳng (AMN) cắt SC tại E

Tớnh thể tớch của khối chúp S.AMEN

Đề 2:Cho hỡnh chúp tam giỏc đều S.ABC cú cạnh bờn SA a= , cạnh bờn SA hợp với mặt đỏy (ABC) một gúc bằng 600

a) Tớnh thể tớch của khối chúp S.ABC theo a

b) Tớnh gúc hợp bởi mặt bờn (SAC) và mặt đỏy (ABC) của hỡnh chúp S.ABC

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO beckbo1210@yahoo.com Tổ Toán THPT Phong Điền 12

c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, SM Mặt phẳng (ABN) cắt SC tại E

Tính thể tích của khối chóp S.ABE theo a

Đề 3:Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB =a, mặt bên (SAD) hợp với mặt đáy (ABCD) một góc bằng 600

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

b) Tính góc hợp bởi cạnh bên SA và mặt đáy (ABCD) của hình chóp S.ABCD c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SC Mặt phẳng (BMN) cắt SD tại E Tính thể tích của khối chóp S.BMEN

Đề 4:Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy AB a= , mặt bên (SAB) hợp với mặt đáy (ABC) một góc bằng 600

a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a

b) Tính góc hợp bởi cạnh bên SA và mặt đáy (ABC) của hình chóp S.ABC

c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, SM Mặt phẳng (ABN) cắt SC tại E

Tính thể tích của khối chóp S.ABE theo a