Chu de 2 TY SO THE TICH 2017

Tỉ số thể tích của khối ABCD và khối MNBC bằng A... Ví dụ 5: Cho hình chóp tam giác đều S ABC.. Khẳng định nào sau đây đúng?. Khẳng định nào sau đây đúng.. Tính thể tích V của tứ diện AM

CHUYÊN Đề:

THể TíCH KhốI ĐA DIệN

Giỏo viờn: Lấ BÁ BẢO Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế

SĐT: 0935.785.115 Địa chỉ: 116/04 Nguyễn Lộ Trạch, TP Huế

I- PHƯƠNG PHÁP

Kết quả 1: Cho tam giác OAB, trên cạnh OA chọn A'O, trên cạnh OB chọn B'O

OA B

OAB

Chứng minh:

Gọi H, H' lần lượt l¯ hình chiếu vuông góc của A v¯ A' lên OB

Lúc đó: S OA B' '  A H OB' ' ' v¯ S OAB  AH OB

Suy ra:

OA B

OAB

A'

B

A

O

Kết quả 2:

Cho hình chóp S ABC , trên cạnh SA chọn A'O, trên cạnh SB chọn B'O trên cạnh S chọn C C'O

Lúc đó: ' ' '

.

S A B C

S ABC

Chứng minh:

Gọi H, H' lần lượt l¯ hình chiếu vuông góc của A v¯ A' lên mp

Lúc đó:

(SBC)

S A B C SB C S ABC SBC

Suy ra:

V

.

S A B C SB C

S ABC SBC

B' A'

C

B A

S

II- BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' Tỉ số thể tích của khối AA B C' ' ' và khối ABCC' là

3 D 2

3

Lời giải

1 3 1 3

' ' ' ' ' '

'

A B C

AA B C

C ABC

ABC

V

V

Do S ABC S A B C' ' ' và d A A B C ; ' ' ' d C ABC ;  

'

AA B C

C ABC

V

Chọn đáp án A

A'

B'

C'

B

C A

Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD Gọi M N lần lượt là trung điểm của , SB SD Mặt ,

3

4

V  V C 2 1 1

8

V  V D 2 1 1

6

V  V

Lời giải

1 2

SB SD SO  Qua O dựng OK // AE

2

/ /



2

/ /

IE OK



 

3

SE

SC 

S AMEN S AME

S ABCD S ABC

1

6

S AMEN S ABCD

6

V  V

K I

O

E

M N

S

B A

Chọn đáp án D

Ví dụ 3: Cho tứ diện đều ABCD Điểm M là trung điểm AB và N trên cạnh CD sao cho

2

CN ND Tỉ số thể tích của khối ABCD và khối MNBC bằng

A 3 B 3

2 C 1

3 D 4

3

Lời giải

Ta có:

1

3 3

BMCN BACN BMCN BACN

BACN BACD BACN BACD

BMCN BACD

BACD BMCN

A

B

C

M

N

Ví dụ 4: Cho hình chóp S ABC Gọi M N, lần lượt thuộc các cạnh SB SC, sao cho

2

SMMB SN  CN Mặt phẳng AMN chia khối chóp thành hai phần, gọi V1V S AMN. và

2 ABCNM

3

V  V C 1 1 2

2

V  V D 1 2 2

3

V  V

Lời giải

.

.

S AMN

S ABC

S AMN S ABC ABCNM S ABC

2

V  V

Chọn đáp án C

N M

C

B A

S

Ví dụ 5: Cho hình chóp tam giác đều S ABC Gọi M N lần lượt là trung điểm của , BC SM Mặt ,

S ABC Khẳng định nào sau đây đúng?

3

4

V  V C 2 1 1

8

V  V D 2 1 1

6

V  V

Lời giải

Qua M dựng MK // BE Xét tam giác BEC:

1

2

/ /



 Suy ra: K là trung điểm EC

2

/ /



 Suy ra: E là

3

SE

SC 

.

.

S ABE

S ABE S ABC

S ABC

3

V  V Chọn đáp án A

K E

N

M C

B A

S

Ví dụ 6: Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' Gọi E F lần lượt là trung điểm của các cạnh , AA' và BB'

Gọi V là thể tích khối chóp 2 C ABFE và V là thể tích khối lăng trụ 1 ABC A B C ' ' ' Khẳng định nào sau đây đúng?

3

4

V  V C 2 1 1

8

V  V D 2 1 1

6

V  V

Lời giải

Hình chóp C A B C ' ' ' và lăng trụ ABC A B C ' ' ' có

đường cao và đáy bằng nhau nên

C A B C ABC A B C C ABB A

Do EF là đường trung bình của hình bình hành

1

2 ' ' . 2 . ' ' 3 ' ' ABFE ABB A C ABFE C ABB A

3

V  V Chọn đáp án A

E'

F'

F E

A'

B' C'

C

B A

Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABC, trên AB, BC, SC lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho AM2MB,

BN NC SP PC Tỉ lệ thể tích hai khối chóp S BMN và A CPN là:

A.4

3 B.5

6 C.8

3 D.1.

Lời giải

S BMN B MNS

S ABC B ACS

A CPN C ANP

S ABC C ABS

.

.

:

S BMN

A CNP

V

V

P

N

M

B A

S

C

Chọn đáp án C

Ví dụ 8: (Đề minh họa Bộ GD&ĐT) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông

CD, DB Tính thể tích V của tứ diện AMNP

2

3

V  a

Lời giải

28

ABCD

V  AB AC AD a

số

3

7

AMNP ABCD ABCD BCD

N

P D

A

B

C

Ví dụ 9: Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi O là tâm của ABCD; M N, lần lượt là trung điểm của A B' ' và A D' ' Tỉ số thể tích của khối A ABD' và khối OMND C B' ' ' bằng

A 4

9 B 4

7 C 5

7 D 3

7

Lời giải

Do S ABD S A B D' ' 'S MND C B' ' ' S B C D' ' 'S MND'B'

'B'

ABD MND

'

'B' ' ' ' ' ' '

A MN

MND A B D ABD

A B D

S

4 ' ' '

MND C B ABD

1 3 1 3

'

' ' '

' ' '

ABD

A ABD

OMND C B

MND C B

V

V

d O A B C D S

4 7

' ' '

ABD

MND C B

S

S

  Chọn đáp án B

O

N

M A'

B'

D'

C'

D A

B

C

Ví dụ 10: Cho hình chóp S ABC có SA vuông góc với mặt đáy, SA a , ABC đều cạnh 2a Gọi

,

AMNCB

A

3

2 3

3

3

3

4 3

3

2 3

3a

Lời giải

3 2

3

.

.

S AMN

S ABC

3

S AMN S ABC ABCNM S ABC

a

Chọn đáp án A

2a

a

S

A

B

C

Ví dụ 11: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M là trung điểm cạnh SA Mặt

1 S ABCD.

Lời giải

Dễ thấy, N P Q, , lần lượt là trung điểm các cạnh

SB SC SD

Ta có:

2

2

8

.

S MNPQ S MNP

S ABCD ABC

S MNPQ S MNP

S ABCD S ABC









Chọn đáp án A

N M

S

A

B

Ví dụ 12: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M là trung điểm cạnh SC Mặt

1 S ANMP.

2

V  V C V2 2V1 D 2 7 1

2

V  V

Lời giải

Gọi BDAC O ; AMSO I Suy ra I là

/ /

.

S ANM

S ABCD S ABC

V

2

3 S ABCD. 3 S ABCD.

Chọn đáp án C

I

O

B A

C D

S

M

N P

Ví dụ 13: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a Gọi M N P Q, , , lần

3

SMMA SN NB SP PC SQ  SD Tính thể

A

3

3 2

3

2

3

2

3

2

32a

Lời giải

Ta có: 1 2 3 1

.

.

S MNP

S ABC

S MNP S ABC S ABCD

.

.

S MPQ

S ACD

S MPQ S ACD S ABCD

16

SMNPQ S MNP S MPQ S ABCD

Chọn đáp án D

Q

P N

M

S

D

C

O

Ví dụ 14: Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' Gọi V1 V A A B C ' ' ' và V2 V ABC A B C ' ' ' Khẳng định nào sau đây đúng?

4

2

V  V C 1 1 2

3

V  V D 1 2 2

3

V  V

Lời giải

3 ' ' ' ; ' ' ' ' ' '

A A B C A B C

và V ABC A B C ' ' ' d A A B C ; ' ' '  SA B C' ' '

2

1

3

V

V 

Chọn đáp án C

B'

C' A'

A

B

C

Ví dụ 15: Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' Điểm M trên cạnh AA sao cho: ' AM2MA' Gọi

1 M BCC B ' '

4

2

V  V C 1 1 2

3

V  V D 1 2 2

3

V  V

Lời giải

Do AA'/ /BCC B' 'V M BCC B ' ' V A BCC B ' '

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

A A B C ABC A B C A BCC B ABC A B C

2

2

3

V

V 

Chọn đáp án D

M

C

B A

B'

Nhận xét: Điểm M có vẻ như có thể nằm bất kì trên đường thẳng AA'? Kết quả tỉ số thể tích trên vẫn đúng!

Ví dụ 16: Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi V1V BACB' và V2 V ABCD A B C D ' ' ' ' Khẳng định nào sau đây đúng?

9

6

V  V C 1 1 2

3

V  V D 1 2 2

3

V  V

Lời giải

3

V  d A BCB S

' '

' ' ' ' ' '

BCB C

BCB C ABCD A B C D







2

1

6

V

V 

Chọn đáp án B

D

A

B

C

D'

C'

Ví dụ 17: Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi M là trung điểm cạnh AB Gọi V1V MBCB' và

2 ABCD A B C D ' ' ' '

12

6

V  V C 1 1 2

12

3

V  V

Lời giải

Ta có:

MBCB ABCB ABCD A B C D ABCD A B C D

C'

B' A'

D'

C

B A

D

Ví dụ 18: Cho khối lăng trụ tam giác ABCA B C' ' ', đường thẳng đi qua trọng tâm tam giác ABC

hai phần, tỉ số thể tích (số bé chia cho số lớn) của chúng bằng:

A 2

4

4

4 27

Lời giải

ADE

ABC

Mặt khác:

'

27d A ABC SABC 27V ABC A B C

' ' ' ' ' ' '

' ' '

A ADE

A B C CEDB ABC A B C

A B C CEDB

V

V

Chọn đáp án B.

E

A'

B'

C'

C

B A

Ví dụ 19: Xét khối chóp tứ giác đều SABCD, mặt phẳng chứa đường thẳng AB đi qua điểm C' của

SC

A 1

2

5 1 2



D 4 5

Lời giải

Đặt '  

; 0 1

SC

Ta có:

2

' '

.

2

S AD C

S AD C S ADC S ABCD

S ADC

.

'

2

S ABC

S ABC S ABC S ABCD

S ABC

2

2

S ABC D S ABC S AC D S ABCD

Theo đề bài ta suy ra

2

S ABC D S ABCD

2

Chọn đáp án C.

S

O

C'

D'

D A

B

C

Ví dụ 20: Cho khối hộp ABCD A B C D ' ' ' ' có thể tích V Tính thể tích khối chóp A CB D ' '

3

V

2

V

3

V

4

V

Lời giải

Hình hộp đã cho là hợp của khối chóp đang xét với 4

khối chóp A AB D B AB C C B CD D ACD ; 4 ' ' '; ' ; ' ' '; '

khối cuối này cùng có thể tích bằng

6

V

nên thể tích cần

6 3

Chọn đáp án A

Nhận xét: Hoàn toàn có thể "thử" trường hợp đặc biệt, khi

hình hộp đặc biệt trở thành hình lập phương cạnh a thì dễ

thấy thể tích khối lập phương là a , còn khối 3 A CB D ' ' là

khối tứ diện đều cạnh a 2 thể tích tương ứng là

3

2 2

 So sánh ta đưa ra kết quả

D'

C'

A

B

C D

Ví dụ 21: Cho hình chóp S ABCD đáy là hình chữ nhật , ABCD có BC2AB SA, vuông góc với

2

V

V

A 1

1

1

1 2

Lời giải

Ta có:

ABM ABCD S ABM S ABCD

AD

2

S ABC S ABCD

V

V

D

C B

A S

í dụ 22: Cho hình chóp đều S ABC có cạnh đáy bằng a góc giữa đường thẳng , SA và mặt đáy

diện có các mặt ABC A B C A BC B CA C AB AB C BC A CA B ; ' ' '; ' ; ' ; ' ; ' '; ' '; ' '

3 3 2

a

C

3

2 3 3

a

D

3

4 3 3

a

Lời giải

Thể tích khối bát diện đã cho là

1

3

A B C BC A SBC SBC

Ta có: SA ABC;  SAG60 0 Xét SGA vuông tại

:

SA

Vậy

Chọn đáp án C.

60 0

a

C'

B'

A'

G

B S

III- BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN

Câu 1 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a Gọi M N P Q, , , lần

3

SMMA SN  NB SP PC SQ  SD

8 C 3

32 D 1

12

Câu 2 Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' Gọi V1V A BCC B. ' ' và V2 V ABC A B C ' ' ' Khẳng định nào sau

đây đúng?

4

2

V  V C 1 1 2

3

V  V D 1 2 2

3

V  V

Câu 3 Cho tứ diện ABCD Gọi B' và C' lần lượt là trung điểm của AB và AC Khi đó tỉ số thể

2 B 1

6 D 1

8

Câu 4 Cho hình lăng trụ ngũ giác ABCDE A B C D E ' ' ' ' ' Gọi A B C D E , , ,  , lần lượt là trung

ABCDE A B C D E     và khối lăng trụ ABCDE A B C D E ' ' ' ' '.bằng:

2 B 1

8 D 1

10

Câu 5 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có thể tích bằng V Lấy điểm A' trên cạnh SA sao cho

1 3 '

SB SC SD lần lượt tại B C D Khi đó thể tích khối chóp ', ', ' S A B C D ' ' ' 'bằng:

A

3

V

9

V

27V D

81V

Câu 6 Cho hình chóp S ABC có 'A và ' B lần lượt là trung điểm của các cạnh SA SB Tỉ số thể thể ,

' '

S ABC

S A B C

V

2 B 1

4 C 4 D 2

Câu 7 Cho hình chóp S ABC Gọi A' và B' lần lượt là trung điểm của SA và SASB Khi đó tỉ số

thể tích của hai khối chóp S A B C ' ' và S ABC bằng:

2 B 1

4 D 1

8

Câu 8 Cho hình chóp S ABCD Gọi A B C D lần lượt là trung điểm của ', ', ', ' SA SB SC SD Khi , , ,

đó tỉ số thể tích của hai khối chóp S A B C D ' ' ' ' và S ABCD bằng:

2 B 1

16

Câu 9 Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Tỉ số thể tích của khối tứ diện ACB D' ' và khối hộp

' ' ' '

ABCD A B C D bằng:

2 B 1

4 D 1

6

Câu 10 Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' , gọi O là giao điểm của AC và BD Tỉ số thể tích của

khối chóp O A B C D ' ' ' ' và khối hộp ABCD A B C D ' ' ' 'bằng:

2 B 1

4 D 1

6

Câu 11 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông tâm O Khi đó, tỉ số .

.

S ABC

S ABCD

V

2 B 1

6 D 1

8

Câu 12 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông tâm O Khi đó, tỉ số .

.

S OAB

S ABCD

V

2 B 1

6 D 1

8

Câu 13 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông tâm O Khi đó, tỉ số .

.

S OAB

S ABC

V

2 B 1

6 D 1

8

Câu 14 Cho tứ diện SABC Gọi M N P lần lượt là trung điểm các cạnh , , AB BC AC Gọi , ,

1 S ABC.

V V , V2 V S MNP. Lựa chọn kết luận đúng trong các kết luận sau:

Câu 15 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M N lần lượt là trung ,

.

S CDMN

S CDAB

V

4 B 5

8 D 1

2

Câu 16 Cho hình chóp S ABC có SA9; SB4; SC8 và đôi một vuông góc Các điểm

A B C thỏa mãn SA2SA SB '; 3SB SC '; 4SC' Tính thể tích khối chóp S A B C ' ' '

Câu 17 Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh bằng a Tính thể tích khối tứ diện .

' '

ACD B

A

3

3

a

3

2

3

4

a

3

6

4a