[r]
Trang 1TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
1: BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM
Hàm số sơ cấp Hàm số hợp : u = u(x) Công thức suy rộng
1
2
2
1
ln x 0
0 1 ln
cos sin
sin cos
tan
cos
cot
sin
x
x
x
dx
x c
x
a
a
dx
x c x
dx
x c x
1
2
2
1 1
ln x 0
0 1 ln
cos sin sin cos
tan cos
cot sin
u u
u
u du c du
u c u
e dx e c
a
a dx c a
a
u du u c
u du u c du
u c u
du
u c u
+1
1 ( x + b) ( x + b) x =
k + 1
k
ln kx + b
kx + b
d
C k
k.x + b 1 k.x + b
x = k
e d e C
k.x +b
x =
k ln
a
a
1 os(kx + b)dx = sin (kx + b) + C
k
c
1 sin (kx + b)dx = os(kx + b) + C
k c
2
2
tan( x + b) + C cos (kx + b)
cot( x + b) + C sin (kx + b)
d
k k d
k k
ln
C
a a x a
2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
DẠNG 1: Xét tích phân
( )
b a
I f x dx Phương pháp: * Đặt x( )t dx/( )t dt
* Đổi cận:
x a t
x b t
( ) '( )
I f t t dt
Các dạng thường gặp
b a
a a x dx
đặt x a sint
)
b a
dx b
a x
đặt x a sint
2 2
)
b a
dx c
a x
đặt x a tant
DẠNG 2: Xét tích phân
( )
b a
I f x dx Phương pháp: * Đặt t u x ( )dt u x dx /( )
* Đổi cận:
x a t
x b t
( ) ( )
I g t dt G t
Trang 2 3: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Cơng thức:
a
b
udv=[uv]a b −
a
b
vdu
* BÀI TẬP:
1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số sau
a/ f (x)=x3+cos x −1
x b/ g(x)=5 x4− 2 x + 1
cos2x
c/ h(x )=− 3
x4+2
x+5sin x d/ m(x)=4 x − tg2x+ 2
e/ n(x )= 4 x
3
− 3 x2+2
x2 g/ 2 x p(x )=3−3¿2
¿
h/ y=√x +√3x +√4 x i/ y= x2 (5 –x )4
2/ Tìm các nguyên hàm sau
a/ sin x ⋅ e cos x
dx b/ sin 7 x ⋅ cos 5 xdx c/ (tg6x+tg4x )dx
d/ 4 x −32 dx e/ 2 x+3
x2+3 x +7dx g/ (cos4x +sin4x )dx
3/ Tìm nguyên hàm của hàm số
a/ f (x)=sin 2 x cos x biết rằng nguyên hàm này bằng 0 khi x= π
3 b/ f (x)= 3 x4−2 x3+5
x2 ;(x ≠ 0) , biết rằng nguyên hàm này bằng 2 khi x = 1 c/ ( ) 2cos(2 6)
x
f x
biết rằng nguyên hàm này bằng 0 khi x = 0 d/ f (x)=2 x2−3
x và F(1) = 4
e/ f(x) = cos5x.cos3x và F( π
4)=1
4/ Chứng minh rằng F(x) là 1 nguyên hàm của hàm số f(x)
a/ F(x) = (4x –5).ex + 6 ; f(x) = (4x –1) ex
b/ F(x) = tg4x + 3x –5 ; f(x) = 4 tg5x + 4tg3x + 3
c/ F(x) = ln(x2+4
x2+3) ; f(x) = − 2 x
(x2+4)(x2+3)
5/ Tính các tích phân sau
a/
1
2
1
2
dx
x3
d/
1
8
dx
3
1
2
(x2−3 x)dx f/
1
4
(2√x +3
x)dx
g/
1
2
x2−2 x
1
2
2 x +6 x2− 4 x3
− 2 x3 dx k/
0
1
x3
+9 x2
+3 x −5
Trang 3p/
π
6
π
3
2− cos3x
cos2x dx q/
π
6
π
4
tg2x − 2
sin2x dx i/
π
4
π
2
cot g2xdx
j/
π
4
π
3
dx sin2x
2cos
2x
2
t/
π
6
π
3
1− cos 2 x 1+cos 2 x dx
6/ Tính các tích phân sau
a/
0
4
− 4
3
2
4
√x2− 6 x +9 dx d/
− 1
3
3√4 −|x|dx e/
1 −|x|
(¿)dx
− 1
1
¿
f/
π
4
3 π
4
√cos 2 x +1 dx g/
0
3
|x2− 3 x+2|dx h/
− 3
0
√x2
+4 x+4 dx
7/ Tính các tích phân sau
a/
3 x −2¿5dx
¿
0
1
¿
b/
x2+1¿6dx
x¿
0
1
¿
c/
− 1
0
x√x2+3 dx d/
0
1
2 x2
√1+x3dx
e/
− 1
0
x
0
1
x2
2− x3dx g/
0
1
x e x2dx h/
1
9
e√x
2√xdx
k/
− 1
1
x2e − x3
1
e 2+ln x
x dx m/
e
e2
dx
x√1+ln x n/
0
π
6
(sin 2 x +cos 2 x)dx
8/ Tính các tích phân sau
a/
0
π
x2cos xdx b/
0
1
xe3 xdx c/
1
e
e
0
π
e xsin xdx
e/
1
2
(2 x +1)ln x dx f/
π
4
π
2
xdx sin2x g/
1
4
e√xdx h/
− π
4
π
4
tgxdx
i/
3
7
√x − 3 dx
k/
4
dx
m/
− 1
2
e xdx
3
4
dx
x2−3 x +2
9/ Tính các tích phân sau
Trang 4a/
− 1
1
(x +3)e xdx
b/
1
2011 0
( 1)
x x dx
c/
π
6
π
3
x cos xdx
d/
1
2 8 0
1
x xdx
e/
1
2
(2 x −1)ln xdx f/
0
π
6
2√1+4 sin 3 x cos 3 xdx g/
0
e
e xcos 2 xdx h/
1
e
dx
x√3ln x+2