Chuyên đề ứng dụng của tích phân luyện thi THPT quốc gia

Câu 6: Di ện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?. Câu 7: Di ện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công [r]

I KI ẾN THỨC CẦN NHỚ: Tính di ện tích hình phẳng

 D ạng 1 : Biết cận tích phân

Cho miền D giới hạn bởi đồ thị hai hàm y=f (x), y=g(x) và hai đường thẳng x=a, x=b, (a<b)

Khi đó diện tích miền D là :

 D ạng 2: Chưa biết cận tích phân

Cho miền D giới hạn bởi đồ thị hai hàm y=f (x), y=g(x)

+ Giải phương trình f (x) g(x)− =0 tìm nghiệm x1<x2 < < xn

Chú ý: Nếu biết một cận thì ta tìm cận còn lại

 D ạng 3: Miền cần tính giới hạn bởi 3 đồ thị

+ Tìm giao điểm từng cặp đồ thị

+ Vẽ đồ thị xác định miền D

+ Chia miền D để tính diện tích từng phần rồi cộng lại

DI ỆN TÍCH CÁC HÌNH ĐẶC BIỆT:

khi đó diện tích elip là : S= πab

Diện tích parabol có chiều cao h và bán kính đáy r là: S 4r.h

3

=

II CÁC D ẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Câu hỏi lý thuyết về ứng dụng hình học của tích phân

 Xây dựng công thức tính diện tích theo hình vẽ

0

2 0

Phân tích hướng dẫn giải

1 D ẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

1( ) 2( )

b a

B3:Phân tích để bỏ dấu giá trị tuyệt đối

T ừ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

L ời giải Chọn D

Câu 1: Với hàm f x tùy ý liên t( ) ục trên , a< , diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm b

số y= f x( ), trục hoành và các đường thẳng x a = , x b= được tính theo công thức

b a

b a

b a

b a

lnd

lnd

2 1

lnd

2 1

lnd

lnd

A 3[ ]

2( ) ( ) d

Từ đồ thị hai hàm số y= f x( ) và y=g x( ) ta có diện tích phần hình phẳng tô màu trong hình vẽ là:

3

2( ) ( )

d3

Câu 5: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= f x( ), trục hoành, đường thẳng

Theo công thức tính diện tích hình phẳng ta được c ( ) b ( )

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là 3

x x x

Câu 7: Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y= , 3x y=0,x= ,0 x= Mệnh đề 2

nào dưới đây đúng?

Câu 8: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số 3

y= , trục hoành và hai đường thẳng x

Câu 9: Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên đoạn [ ]a b G; ọi D là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ

thị ( )C : y= f x( ), trục hoành, hai đường thẳng x=a, x=b (như hình vẽ dưới đây) Giả sử

x x x

Khi đó giá trị của S bằng

−

=+

∫ x

S x

−+ không đổi dấu với x∈( )0;1 )

Câu 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2

2 2

S2

2

x y

2 2

3 1

61

3 6

11212

y= x và nửa đường tròn tâm ( )H bán kính

bằng 2 nằm phía trên trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ bên) Diện tích của ( )H được tính theo công thức nào dưới đây?

Phương trình đường tròn tâm O bán kính bằng 2 là: 2 2

(Vì trục Oy chia hình ( )H thành 2 nửa bằng nhau, có diện tích bằng nhau và trên [−1;1], đồ thị

của nửa đường tròn nằm phía trên parabol

Câu 5: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2

4

y= − +x x và trục hoành Hai đường

thẳng y=m và y=n chia (H) thành 3 phần có diện tích bằng nhau( tham khảo hình vẽ) Giá

trị của biểu thức 3 3

(4 ) (4 )

1 2

x x

*) Vận dụng công thức tính nhanh vào giải bài tập:

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2

S m

S n

P y=x + và đường thẳng d y: =mx+2 với m là tham số Gọi m là giá tr0 ị

của m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )P và d là nhỏ nhất Hỏi m n0 ằm trong khoảng nào?

Câu 7: Cho hàm số y= f x( ) xác định và liên tục trên đoạn [−5;3] có đồ thị như hình vẽ bên Biết

diện tích các hình phẳng ( ) ( ) ( ) ( )A , B , C , D giới hạn bởi đồ thị hàm số f x và tr( ) ục hoành lần lượt bằng 6, 3, 12, 2 Tích phân 1 ( )

y

x O

(D)

(C)

(B)

(A)

Phương trình hoành độ giao điểm của 2

y=x và y=x là x2 = ⇔ = ∨ =x x 0 x 1

Diện tích phần tô đậm bị giới hạn bởi đường cong 2

y=x và đường thẳng y=x trên đoạn

1d6

L ời giải Chọn C

Đồng nhất hệ số với phương trình 3 ( ) 2 ( ) 3

02

3

12

Câu 10: Hình phẳng ( )H được giới hạn bởi đồ thị ( )C của hàm đa thức bậc ba và parabol ( )P có trục

đối xứng vuông góc với trục hoành Phần tô đậm của hình vẽ có diện tích bằng

2

hai hàm số y= f x( ) và y=g x( ) (phần được tô đậm trong hình vẽ) Diện tích của hình ( )H

bằng

Đồ thị hàm số y= f x( ) đi qua gốc tọa độ và cắt đồ thị hàm số y=g x( ) tại điểm có hoành độ

lần lượt là − −2; 1;1 và m nên f ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 =h − =2 h − =1 h 1 =h m = khi đó: 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

a b

S lần lượt là diện tích hai phần gạch chéo như hình vẽ Để S1 =2S2 thì số thực dương m nằm

trong khoảng nào dưới đây?

51;

x x

∫

Dùng CASIO dò nghiệm m> ta được 0 m≈ 0, 41

Câu 3: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )C1 : 2 3 2 3

Xét phương trình hoành độ giao điểm của ( )C1 và ( )C2 :

y= f′ x có đồ thị cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ lần lượt là a b c, , như hình vẽ

Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= f x( ) trên [ ]0; d

Khẳng định nào sau đây đúng?

L ời giải

Ch ọn C

Dựa vào đồ thị của hàm số y= f′( )x ta có bảng biến thiên của hàm y= f x( )

Dựa vào bảng biến thiên ta có M =max{f ( ) ( ) ( )0 , f b , f d }, m=min{f a( ) ( ), f c }

Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f x( ), trục hoành và hai đường

P y= +x và đường thẳng d y: =mx+ 3 với m ∈  Giả sử đường thẳng d cắt ( )P

tại hai điểm A và B Gọi S là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường thẳng d và

( )P Khi S nhỏ nhất thì giá trị biểu thức ( ) (2 )2

m S

A

P B

y=mx + +nx p m n p∈ có đồ thị ( )P như hình vẽ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

( )C và ( )P có giá trị nằm trong khoảng nào sau đây?

A. ( )0;1 B. ( )1; 2 C. ( )2;3 D ( )3; 4

L ời giải

Ch ọn B

Xét phương trình hoành độ giao điểm

= , khẳng định nào sau đây đúng?

b b

124

1

x x

 =

⇔ 

= −

1,64 3

S T S

ππ

−

Câu 8: Cho một parabol tiếp xúc với một đường tròn với các số liệu được cho như hình vẽ bên dưới

Gọi H1 và H2 là hai phần hình phẳng lần lượt có diện tích là S1, S2 như hình vẽ Giá trị

1 2

T = + S S nằm trong khoảng

A (0, 038;0, 043) B (0, 044;0, 055) C (0, 056;0, 086) D (0, 031;0, 037)

Câu 9: Nhà trường dự định làm một vườn hoa dạng hình elip được chia ra làm bốn phần bởi hai đường

parabol có chung đỉnh, đối xứng với nhau qua các trục của elip như hình vẽ dưới Biết độ dài

trục lớn, trục nhỏ của elip lần lượt là 8m và 4m F F 1, 2 là các tiêu điểm của elip Phần A B,

dùng để trồng hoa, phần C D, dùng để trồng cỏ Kinh phí để trồng mỗi mét vuông hoa và cỏ

lần lượt là 250.000 đồng và 150.000 đồng Tính tổng tiền để hoàn thành vườn hoa trên (làm tròn đến hàng nghìn)

2 3

2 1

A.1.597.000 đồng B.1.625.000 đồng C.1.575.000 đồng D. 1.600.000 đồng

L ời giải

Ch ọn C

Gọi M, N là giao điểm của ( )C và ( )P (khác A,B)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và ( )P ta có:

Chi phí sơn phần còn lại là: 3 2 ( )

2 3