ON THI DH PHUONG TRINH LUONG GIAC

C ũng như đại số hóa, đây l à m ột tư tưởng quan trọng khi giải phương tr ình nói chung,. phương tr ình l ượng giác nói riêng.[r]

Bản quền thuộc về ThS Phạm Hồng Phong – Trường Đại học Xây dựng Tài liệu có thể được download miễn phí tại violet.vn

Mục lục

Chủ đề 1 Một số kiến thức chung về phương trình lượng giác 1

Loại 1 Các phương trình lượng giác cơ bản 1

Loại 2 Phương trình bậc nhất đối với sin và cos 13

Chủ đề 2 Đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác 23

Loại 1 Một số phép đặt ẩn phụ đơn giản 23

Loại 2 Phép đặt ẩn phụ cho phương trình đối xứng và gần đối xứng đối với sin, cos 33 Loại 3 Phép đặt ẩn phụ x 2 t  tan 41

Loại 4 Phép đại số hóa t = tanx 47

Chủ đề 3 Phương trình tích 51

Chủ đề 1 Một số kiến thức chung về phương trình lượng giác

Loại 1 Các phương trình lượng giác cơ bản

A Tóm tắt lý thuyết

* Điều kiện có nghiệm:  1 có nghiệm  m   1;1

* Công thức nghiệm: Với m   1;1, ta có  1  x arcsin m 2k

Ta thấy với mỗi m   1;1, giá trị arcsin m

luôn tồn tại duy nhất

y=sinx

-1

1

- π 2

π 2 arcsinm

O m y

x

Hình 1

* Điều kiện có nghiệm:  2 có nghiệm  m   1;1

* Công thức nghiệm: Với m   1;1, ta có  2  x   arccos m  2k  (k  )

Trong đó, arccos m là nghiệm thuộc đoạn

0; của phương trình sin x  m (Hình 2)

Ta thấy với mỗi m   1;1, giá trị arccos m

luôn tồn tại duy nhất

π y=cosx

-1

1

π 2 arccosm O

m y

x

Hình 2

Với mọi m , ta có  3  x  arctan m   k (k  )

Trong đó, arctan m là nghiệm thuộc khoảng  2 2   ;  của

π 2 O

m y

x

Hình 3

Với mọi m , ta có  4  x  arc cot m   k (k  )

Trong đó, arc cot m là nghiệm thuộc khoảng 0; của phương

arccotm m

10 5

x x

 1

3

tan x 0 tan x

Kết hợp điều kiện: Những giá trị vi phạm điều kiện được

biểu diễn bằng những điểm trắng, những giá trị thỏa mãn

-1

1

1 O

Chú ý: Khi biểu diễn họ 2k

n

x     (k  , n   *, n là hằng số) trên đường tròn lượng giác

ta được:

+) Một điểm trong trường hợp n  1

+) Hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ trong trường hợp n  2 Hai điểm này là các điểm biểu diễn giá trị 2k

n



  với k  0, 1

+) n điểm cách đều nhau trong trường hợp n  3 n điểm này là các điểm biểu diễn giá

-1

1

1 O

n  2

y

x -1

-1

1

1 O

n  3

y

x -1

-1

1

1 O

Ta thấy  2  1 5 sin x   2 1 sin x  2  0

 2sin x 2  5sin x  3  0

1 2

Kết hợp điều kiện: biểu diễn nghiệm của  2 và  3 trên

đường tròn lượng giác (điểm đen) và bỏ đi điểm vi phạm

điều kiện (điểm được khoanh trắng), ta được các họ nghiệm

-1

1

1 O

Kết hợp điều kiện: biểu diễn nghiệm của  4 trên đường

tròn lượng giác (điểm đen) và bỏ đi điểm vi phạm một

trong hai điều kiện  2 ,  3 (điểm được khoanh trắng), ta

được các họ nghiệm của  1 là:

8 +2kπ y

x -1

-1

1

1 O

2 n

5) 2sin x 4sin x 3  3 sin x sin 2x  0

6) sin x sin 2x   cos x cos 2x   0

7) sin x sin 2x   cos x  cos 2x  0

Bài 2 Giải các phương trình sau

sin x  cos x  sin 2x

4) sin 2x 1 tan 2x tan x   1

5) sin 2x  tan x 1 sin 2x tan 2x  

6) 2 3 cos x 2sin 2 x 

2 4 2cos x 1 1

Loại 2 Phương trình bậc nhất đối với sin và cos

A Tóm tắt lý thuyết

* Phương trình bậc nhất đối với sin x, cos x là phương trình có dạng:

trong đó, A và B là các hằng số không đồng thời bằng 0 (A 2  B 2  0)

* Cách giải: chia hai vế của  1 cho A 2  B 2 , ta được phương trình tương đương:

B sin

  



Nhận xét: Phương trình ở ví dụ trên không phải phương trình bậc nhất Việc giải phương trình

này liên quan đến việc rút gọn biểu thức 1  

2 sin x cos x

Ta có 2sin 3x cos 2x  sin 5x  sin x Do đó

 1  3 cos 5x sin 5x   2 sin x

18 3

x x

Đk:

1 2

Ta có 1 2sin x 1 sin x      sin x 1 2 sin x  2  sin x  cos 2x Do đó

 1  cos x sin 2x   3 sin x cos 2x  

 sin 2x  3 cos 2x  cos x  3 sin x

Giải

Xét phương trình sin x  2cos x  3  0  2

Ta có 1 2   22  3 2    4 0   2 vô nghiệm  sin x  2 cos x  3  0  x

C Bài tập

Giải các phương trình sau

1) 2 2 sin x  cos x cos x  3 cos 2x 

2) sin x sin 2x   3 cos x  cos 2x

3) 4 sin x cos x 4  4  3 sin 4x  2

4) 8 sin x cos x 6  6  3 sin 2x  cos 2x2  5

5) 4sin x 1 3   3 sin x  3 cos 3x

6) sin 3x  4  sin 2x sin x  4 

7) 3 cos 2x  sin 2x  2 sin 2x  6  2 2

8) [ĐHB09] sin x cos x sin 2x   3 cos 3x  2 cos 4x sin x  3 

9) [ĐHB12] 2 cos x  3 sin x cos x  cos x  3 sin x 1 

4sin  3 cos 2x   1 2cos x   , x 0; 

Chủ đề 2 Đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác

Loại 1 Một số phép đặt ẩn phụ đơn giản

A Nội dung phương pháp

Phần này đề cập đến việc giải các phương trình lượng giác bằng cách thực hiện một phép đặt ẩn phụ đơn giản: t  sin x, x

Các công thức sau đây rất cho ích cho việc phát hiện ẩn phụ:

* Các công thức “quy về sin”

* Các công thức “quy về cos”

B Các ví dụ

Giải

Ta có  1  4 cos x 3  3 cos x  2cos x 1 2   cos x 1   0

 4cos x 3  2cos x 2  4 cos x  2  0

 2cos x 3  cos x 2  2 cos x 1   0 Đặt t  cos x  t   1;1, phương trình trên trở thành

Ví dụ 2 [ĐHD02] Tìm nghiệm thuộc đoạn 0;14 của phương trình

Giải

Ta có  1  4 cos x 3  3 cos x  4 2cos x 1 2   3cos x 4   0

 4cos x 3  8 cos x 2  0

Ta có  1  cos x 2 cos 2x  8 cos x  7 1 (  cos x  0)

 cos x 2 2 cos x 1   2   8 cos x  7   1

Ta thấy trong các ví dụ trên, việc phát hiện ẩn phụ khá đơn giản Sau đây là các ví dụ mà ở đó, ta phải thực hiện một vài phép biến đổi trước khi phát hiện ra ẩn phụ

Ví dụ 4 GPT 2cos 4x  4 3 sin x  cos x2  5  4 3  1

sin x cos x sin x cos x sin 2x

x cot x sin x 1 tan x tan cot x tan x

C Bài tập

Bài 1 Giải các phương trình sau

1) tan x cos x cos x 2 sin x 1 tan x tan x

4) 3 tan x tan x    2sin x 6cos x  0

5) [ĐHB04] 5sin x  2  3 1 sin x tan x   2

9) 3cos 4x  8 cos x 6  2 cos x 2  3  0

10) [ĐHB03] cot x tan x 4sin 2x 2

sin 2x

11) cos 2x cos x 2 tan x 1   2   2

12) [ĐHA05] cos 3x cos 2x cos x 2  2  0

13) sin x cos 2x  cos x tan x 1 2  2   2 sin x 3  0

14) [ĐHA02] 5 sin x cos 3x sin 3x cos 2x 3

cos x

Bài 3 Tìm m để phương trình 2 sin x cos x 4  4  cos 4x  2 sin 2x m   có ít nhất một 0

nghiệm thuộc đoạn

2

0; 

 

Loại 2 Phép đặt ẩn phụ cho phương trình đối xứng và gần đối xứng đối với sin, cos

A Nội dung phương pháp

Đối với các phương trình lượng giác chỉ chứa các biểu thức: tổng và tích của sin và cos (phương trình đối xứng đối với sin và cos) hoặc hiệu và tích của sin và cos (phương trình gần đối xứng đối với sin

và cos) ta có các quy tắc đại số hóa cụ thể như sau:

Dạng 1: Xét phương trình dạng f sin x  cos x;sin x.cos x 0  1

Dạng 3: Xét phương trình dạng f sin x cos x ;sin x.cos x   0  3

Đặt t  sin x  cos x  2 sin x  4   2

t 2 1

Đặt t  sin x cos x   2 sin x  4  

2

1 t 2

B Các ví dụ

Ví dụ 1 [ĐHA07] GPT 1 sin x cos x  2  1 cos x sin x  2    1 sin 2x  1

Giải

Ta có  1  sin x  cos x sin x cos x sin x  cos x  sin x  cos x2

Đặt t  sin x  cos x  2 sin x  4  

 

2

t 1 2

Vậy các nghiệm của  1 là k

Ta có  1  cos x  sin x  2 2 sin x cos x  2

Đặt t sin x cos x 2 sin x

1 2

Để kết thúc cho việc trình bày các ví dụ của phần này, ta xét một phương chứa tham số

Ví dụ 4 Tìm m để phương trình sau có nghiệm sin 2x  4 cos x  sin x m  1

Giải

C Bài tập

Bài 1 Giải các phương trình sau

1) 1 1

sin x  cos x  2 2 sin 2x.

2) 1 sin x 3 cos x 3 3 sin 2x

6) 2 sin x  cos x tan x cot x 

7) sin x  sin x 2  sin x 3  sin x 4  cos x  cos x 2  cos x 3  cos x 4

Bài 2 Tìm m để phương trình sin x cos x   sin 2x  m có nghiệm

Bài 3 Tìm m để phương trình 2 sin x  cos x sin x cos x  m có nghiệm

* Trường hợp đặc biệt (áp dụng cho phương trình bậc nhất đối với sin , cos ):

Phương trình bậc nhất đối với sin x, cos x là phương trình có dạng:

trong đó, A và B là các hằng số không đồng thời bằng 0 (A 2  B 2  0)

Với cách đặt ẩn phụ như đã trình bày trong phần nguyên tắc chung, từ  3 ta thu được phương trình

1 t 2

1 t 2

1 t

sin x cos x

2sin x  cos x   1 cot

Bài 2 Tìm m để phương trình 2sin x  m cos x   1 m có nghiệm thuộc đoạn

Loại 4 Phép đại số hóa t = tanx

A Nội dung phương pháp

Ý tưởng chung của phương pháp này là: chọn một số n thích hợp ( n   *) sao cho sau khi chia hai vế của phương trình cho cos x n ta thu được phương trình mới có dạng f tan x  0 Quá

trình này được thực hiện nhờ việc sử dụng các đẳng thức sin x

cos x  tan x và 1 2

2 cos x

Thay cos x  0 vào  1 ta có sin x 2  0  sin x  0  x   (vì sin x, cos x không thể

đồng thời bằng 0 ) Do đó những giá trị của x mà cos x  0 không phải nghiệm của  1 Chia hai vế của  1 cho cos x 2 ta được phương trình tương đương

Chia hai vế của  1 cho cos x 2 ta được phương trình tương đương

tan x tan x 1 2    3 tan x  3 tan x 2  3 tan x 1 2  

 tan t 3  tan x 2  3 tan x  3  0

 tan x 1   tan x  3tan x  3 0

* Thay cos x  0 vào  1 ta có sin x 2  m Do đó

+) m  1  những giá trị của x làm cho cos x  0 không là nghiệm của  1

+) m  1  những giá trị của x làm cho cos x  0 là nghiệm của  1   1 có nghiệm

* Khi cos x  0, chia hai về của  1 cho cos x 2 ta được phương trình tương đương



2 cos x 2 tan x 1



 m 1 tan x   2  2 m 1 tan x    2m 1   0  2 Đặt t  tan x,  2 trở thành m 1 t   2  2 m 1 t 2m 1      0  3

Ta đã biết khi m  1 thì  1 có nghiệm nên ta chỉ cần xét m  1 Khi đó  3 là phương trình bậc hai với    ' m 2  m  2  1 có nghiệm   3 có nghiệm   m 2  m  2  0 

   (chú ý là ta đang xét m  1)

Tóm lại  1 có nghiệm    2 m  1

C Bài tập

Bài 1 Giải các phương trình sau

1) 6sin x 2  sin x cos x cos x  2  2

2) sin 2x  2 sin x 2  2cos 2x

3) 2sin 2x 2  3 sin 2x cos 2x  cos 2x 2  2

2 3 cos x  2 sin x cos x  3  2  0

7) sin x tan x 1 2    3 sin x cos x sin x   3

8) sin x  cos x  4 sin x 3  0

9) 2 2 cos 3 x 3 cos x sin x 0

11) cos 2x  5  2 2 cos x   sin x  cos x

Bài 2 Tìm m để phương trình m cos x 2  4 sin x cos x  m  2  0 có nghiệm thuộc khoảng

 0;  4

Chủ đề 3 Phương trình tích

A Nội dung phương pháp

Phần này đề cập đến việc giải phương trình lượng giác bằng cách đưa phương trình cần xét về dạng phương trình tích Cũng như đại số hóa, đây là một tư tưởng quan trọng khi giải phương trình nói chung, phương trình lượng giác nói riêng

Sau đây là một số đẳng thức hay sử dụng trong phần này

o 1 sin 2x  sin x  cos x2

o 1 sin 2x  sin x  cos x2

o cos 2x cos x  sin x cos x  sin x

o sin x cos x 3  3 sin x  cos x 1 sin x cos x  

o sin x cos x 3  3 sin x cos x 1 sin x cos x     

B Một số ví dụ

Ví dụ 1 [ĐHD04] Giải phương trình 2 cos x 1   2 sin x  cos x sin 2x  sin x  1

Giải

Ta có sin 2x sin x   sin x 2cos x 1   Do đó

 1  2 cos x 1   2 sin x  cos x sin x 2 cos x 1  

 2 cos x 1   sin x  cos x 0  2 cos x 1 0

Ta có: 1 sin 2x  sin x  cos x2, cos 2x cos x  sin x cos x  sin x

Do đó  1  sin x  cos x  sin x  cos x2 cos x  sin x cos x sin x   0

 sin x  cos x  1 sin x cos x    cos x sin x     0

 sin x  cos x2cos x 1   0  sin x cos x 0

Ta có  1  sin 2x cos x  sin x cos x  sin x cos 2x  cos x 0

 sin x 2 cos x cos x 1 2     2 cos x 2  cos x 1   0

 sin x 1   2 cos x cos x 1 2    0

 sin x 1   cos x 1   2cos x 1   0



sin x 1 cos x 1

1 cos x

Ta có tan 3 x tan x cot x

Đk: cos x  0 Ta có  1  sin x cos x 4  4 2 sin 2x sin 3x  2 

Lại có sin x 4 cos x 4 1 1 sin 2x 2

 6

5 6

Cách 1:  1  sin x sin x cos x 2   2 sin xsin x cos x   2 0

 sin x sin x  cos x  sin x  sin x  cos x  2 0

 sin x 1   sin x  cos x  sin x 0

Cách 2: Ta có  1  sin x 2 cos x 1 sin x cos x     2  0

Coi  1 là phương trình bậc hai đối với sin x, ta có

cos x 12 4 cos x 2 cos x 32

2 cos x 1 cos x 3 sin x

Nhận xét: Đối với phương trình có dạng

 

a sin x b cos x c sin x cos x    d sin x e cos x f    0 1 ,

với a , b là các số không đồng thời bằng 0, việc đưa về phương trình tích nói chung là phức tạp

Để giải phương trình dạng này (phương trình bậc hai đối với sin, cos ) ta có một cách làm khác

như sau: Coi  1 là phương trình bậc hai đối với cos x , giải cos x theo sin x; hoặc coi  1 là phương trình bậc hai đối với sin x, giải sin x theo cos x

C Bài tập

Giải các phương trình sau

1) [ĐHB02] sin 3x 2  cos 4x 2  sin 5x cos 6x 2  2

2) [ĐHA03] cot x 1 cos 2x sin x 2 1 sin 2x

4) [ĐHB07] 2sin 2x 2  sin 7x 1   sin x

5) [ĐHB08] sin x 3  3 cos x 3  sin x cos x 2  3 sin x cos x 2

6) [ĐHD08] 2sin x 1 cos 2x   sin 2x   1 2 cos x

7) [ĐHB10] sin 2x  cos 2x cos x  2 cos 2x  sin x  0

10) 2 sin x 1 tan 2x 2   2  3 2 cos x 1 2   0

11) 4sin x 3  4 sin x 2  3 sin 2x  6 cos x  0

12) 2sin x cos 2x  sin 2x cos x  sin 4x cos x

13) 1 tan  x1 sin 2x    1 tan x

2sin x sin 2x

15) sin 3x  3  2 cos 3x  1

3 cos x  sin x cos x  2 sin x  2 1  3 cos x  4  0

17) sin 2x  cos 2x  3 sin x cos x   2  0

18) [ĐHD10] sin 2x cos 2x   3 sin x  cos x 1   0

19) [ĐHA12] 3 sin 2x  cos 2x  2cos x 1 

20) [ĐHD12] sin 3x cos 3x sin x cos x     2 cos 2x