Bài 7. Phương trình vô tỷ của thầy Phạm Kim Chung | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Kiểm tra sự thỏa mãn của nghiệm vừa tìm được với điều kiện bài toán và kết luận... Kiểm tra sự thỏa mãn của nghiệm vừa tìm được với điều kiện bài toán và kết luận.[r]

Trang 1

Chương 1:

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN VÀ CÁC KỸ THUẬT XỬ LÝ Chương này giới thiệu cùng bạn đọc:

- Các phương pháp giải phương trình vơ tỷ điển hình

- Rèn luyện kỹ năng sử dụng phương pháp giải tốn

- Phân tích sai lầm và giải quyết các khĩ khăn của mỗi phương pháp

- Phân tích ưu điểm và nhược điểm của mỗi phương pháp giải tốn

- Những gĩc nhìn mới cho những dạng bài tốn cũ

- Trải nghiệm một số phương pháp giải tốn và kỹ thuật mới lạ như: Khép chặt miền nghiệm để đánh giá, truy ngược dấu biểu thức liên hợp…

A PHƯƠNG PHÁP NÂNG LÊN LŨY THỪA

1 Một số dạng tốn cơ bản.

- Dạng tốn 1

    g(x) 0 hoặc f(x) 0 

f(x) g(x)







Ví dụ 1 Giải phương trình 2x 1  x22x 5

Lời giải

2

2x 1  x 2x 5 2

2x 1 0



 

1 x 2







 



1 x 2

x 2







  





 

  x 2.

- Kết luận Nghiệm của phương trình đã cho là x 2.

- Lưu ý Các bạn để ý rằng việc chọn f(x) 2x 1 0   sẽ khiến chúng ta giải quyết bài tốn một cách đơn giản hơn việc chọn f(x) x 2x 5 0. 2  

Bài tập tương tự.

1) Giải phương trình 4 x  x23x 4.

2) Giải phương trình 2x23x 1  5 x.

3) Giải phương trình 2x 3  x22x 2.

Ví dụ 2 Giải phương trình x 3x 13   x32x 5.

Lời giải

x 3x 1   x 2x 5

3



 



3

5x 6



 





3

(Vô nghiệm) 6

x 5



 







- Kết luận Phương trình đã cho vơ nghiệm

- Lưu ý Trong việc giải phương trình vơ tỷ nếu việc tìm những giá trị của x để g(x) 0 là phức tạp, chúng ta nên triển khai việc tìm nghiệm của phương trình sau đĩ thử vào điều kiện để xét xem nghiệm vừa tìm được cĩ thỏa mãn điều kiện bài tốn hay khơng

Chẳng hạn bài tốn trên ta cần thử xem

6 x 5



cĩ thỏa mãn điều kiện f(x) x 32x 5 0  khơng bằng

cách thay trực tiếp giá trị cần tìm được vào hàm f(x), ta sẽ thấy

 

 

  , nên giá trị

6 x 5

 khơng

Trang 2

1) Giải phương trình x32x 12  x (x 2) 3x.2  

2) Giải phương trình x 14  x4 3x 1.

3) Giải phương trình x 13  x3x2 5

Ví dụ 3 Giải phương trình x3x2 4  x 3x 1.3 

Lời giải

x x  4 x 3x 1 



 



3 2 2



 



(Vo ânghiệm)

x

2









- Kết luận Phương trình đã cho vơ nghiệm

- Lưu ý Với những bài tốn cĩ nghiệm số phức tạp hơn, ta cĩ thể làm như sau:

f(x) x x  4 (x 3x 5)(x 2) 11x 14   

= (x23z 5)(x 2) g(x)  

1) Giải phương trình x3x2  x3  x 1

2) Giải phương trình x4x  x4x 1.2

3) Giải phương trình x 2x5 3  (x 2)(x 1).2 3

Ví dụ 4 Giải phương trình x(x 3x 1)3   x(x x).3

Lời giải

x(x 3x 1)   x(x x)

3

x(x x) 0 x(x 3x 1) x(x x)



 



3

x(x x) 0

x(2x 1) 0



 



3 x(x x) 0

x 0 1 x 2



 

 

 



- Lưu ý

- Sai lầm thường gặp là biến đổi phương trình về dạng:

x( x 3x 13   x3 x) 0

Nguyên nhân: A.B A Bchỉ đúng trong trường hợp

A 0

B 0







- Hướng khắc phục: A.B A.C

A.C 0 (hoặc AB 0) A(B C)=0

 





1) Giải phương trình x(x22x 3)  x(x 1).2

Trang 3

2) Giải phương trình (x 1) (x x 1) 2 2   (x x)(x 3).2 2

3) Giải phương trình (x 1) (x x 1) 2 2   (x 1)(x x 2). 3 2

- Tổng quát: nf(x)ng(x)

-Dạng tốn 2 3 f x  3g x   f x g x 

g(x) 0 (hoặc f(x) 0) f(x) = g(x)

 

 (Với n, n 2 và n chẵn)

Ví dụ 1 Giải phương trình 3 x 2x 13 2 3 x x.3

Lời giải

Phương trình đã cho tương đương với:

x  2x 1 x   x  2x2 x 1 0 

1 x 2

x 1















- Kết luận Tập nghiệm của phương trình đã cho là

1

2

  

1) Giải phương trình 3 x22x 1 3 x2x

2) Giải phương trình 3 x32x 12  3 x 3.

3) Giải phương trình 3 x4 3x 12  31 2x  3

Ví dụ 2 Giải phương trình 3x 1 x 2x 2   3   3x 1 x   2 2x 

Lời giải

x 1 x 2x 2   3   x 1 x   2 2x x 1 x x   3 22 0

x 1

 

 





- Kết luận Tập nghiệm của phương trình đã cho là T  1;1 

1) Giải phương trình 3 x x 1 3  3x x 1 3  

2) Giải phương trình 3x 1 x 2 2 x 1  3x2x x  23 

3) Giải phương trình 3x 1 x 2 2 x 1 3x 1 x   3x2 2

- Tổng quát: n f x  n g x   f x  g x Với n   , n 2 và n lẻ 

- Lưu ý Chúng ta cần phân biệt rõ đâu là cách làm của thuộc dạng tốn 1, đâu là cách làm thuộc dáng

tốn 2 khi đứng trước dạng tốn n f x  n g x  

-BÀI TẬP RÈN LUYỆN.

Bài 1 Giải phương trình x22x 4  2 x. Đáp số T = 2; 1   

Bài 2 Giải phương trình 3 x2 4x 2 33x 10. Đáp số T = 3;4  

1

T = ;0

2



Trang 4

Bài 4 Giải phương trình 2 x2 9 x 5 x 3.

x 3



 Đáp số T = 3;1  

Bài 5 Giải phương trình x 3 35x 3. Đáp số

15 3 33

x = 1; x =

2



-Dạng toán 3

f x g x







Ví dụ 1 Giải phương trình x2 2x 4 x 1.  

Lời giải

2

x  x 4 x 1  2  2

x 1 0

  



 



x 5

 





1) Giải phương trình 4x2 2x 1 2x 1.  

2) Giải phương trình 2x23x 1 1 x.  

3) Giải phương trình 2x2  x 1 3x 1.

Ví dụ 2 Giải phương trình x42x2  2 1 x   2

Lời giải

2



 

1 x 1

  



 





1 x 1

3 x

x 2

  









1) Giải phương trình x4x24 x 22

2) Giải phương trình x3   x 1 1 x

3) Giải phương trình x6x3 3 x 1.3

Ví dụ 3 Giải phương trình x 3 x 1  2    x 3

Lời giải

x 3 x 1  2    x 3   2 

x 3 0



 



x 3

x 2

 









- Lưu ý

-Sai lầm thường gặp: x 3 x 1  2    x 3  x 3 x 1 x 3    

x 3

x 2

 

 





Trang 5

- Nguyên nhân sai lầm:

A,A 0



2

A 0

A B A



1) Giải phương trình x 1 2x 3  2    x 1

2) Giải phương trình 2x 1 3x 2  2   2x 1.

3) Giải phương trình x 4 2x 12   x 4

- Tổng quát : n f x  g x 

 



 



- Dạng toán 4 3f x  g x   f x g x  3

Ví dụ 1 Giải phương trình 3 x3x 1 x 1.2  

Lời giải

 3

x 0 3 x 2







3

2

  

Bài tập tương tự 1) Giải phương trình 3 x33x22 x 1. 

2) Giải phương trình 3 x2   x 1 1 x

3) Giải phương trình 3 x 2x 1 x 2.3 2  

Ví dụ 2 Giải phương trình 3x 3 x 1  3    x 3

Lời giải

x 3 x 1 x 3  3     x 3  3 x 1 1   0

x 3

x 2

 

 





- Kết luận Tập nghiệm của phương trình đã cho là T2;3 

- Lưu ý Phép biến đổi 3 A3 A là một phép biến đổi tương đương

1) Giải phương trình 3x 1 2x 1  3    x 1

2) Giải phương trình 33x 1 x 2  3   3x 1.

3) Giải phương trình 3x 1 2x 12 3   x 1.2

Trang 6

- Tổng quát: n f x  g x   f x  g x n

  Với n, n 2 và n lẻ 

- Lưu ý Chúng ta cần phân biệt rõ đâu là cách làm của thuộc dạng tốn 3, đâu là cách làm thuộc dạng

tốn 4 khi đứng trước dạng tốn n f x  g x  

- BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1 Giải phương trình 3x x x 13  2 Đáp số x = 1.

Bài 2 Giải phương trình x4 4x 14x 11 1 x.3    Đáp số x2;x 1.

Bài 3 Giải phương trình 3 x3x 2x 1 x.2   Đáp số x 1.

Bài 4 Giải phương trình 4 3 10 3x   x 2 Đáp số x 3.

Bài 5 Giải phương trình 7 x 2x x 5  3 2x x   2 Đáp số x1

- Dạng tốn 5 a x b1  1  a x b2  2  a x b3  3

- Quy trình giải tốn:

+ Bước 1 Giải hệ điều kiện:

a x b 0





 + Bước 2 Bình phương 2 vế, đưa phương trình đã cho về dạng F x  G x  

+ Bước 3 Giải phương trình F x  G x  

+ Bước 4 Kiểm tra sự thỏa mãn của nghiệm vừa tìm được với điều kiện bài tốn và kết luận

Ví dụ 1 Giải phương trình x 1  x 4 3. 

Lời giải

Điều kiện

x 4 0

  



 



 x 1  x 4 2 9  2x 5 2 x  25x 4 9   x2 5x 4 2 x   2  2

2 x 0

  



 



x 2

x 0 9x 0

 



1) Giải phương trình 4 x  2x 1 3. 

2) Giải phương trình 2x 1  x 2.

3) Giải phương trình 4 5x  2x 3 2. 

Ví dụ 2 Giải phương trình 3 2x  x 1  3x 4.

Lời giải

Điều kiện x1

2

4 3x 2 2x  5x 3 3x 4    2x25x 3 0 

3 x 2







Trang 7

3

2

   

1) Giải phương trình x 1  4 x  9 2x.

2) Giải phương trình x 3  2x 1 3 3x 2.  

3) Giải phương trình 5x 1  14x 7  2x 3.

Ví dụ 3 Giải phương trình 3 x  x 1  3x 7.

Lời giải

Điều kiện 1 x 3.  

3 x  x 1  3x 7  3 x 4x 8 2 3x 10x 7    2   5x 5 2 3x 10x 7  2 

2

x 1 0

13x 10x 3 0

  



 



x 13

 







 



- Kết luận Nghiệm của phương trình đã cho là x1

- Lưu ý Ở ví dụ 3, để sử dụng phép biến đổi tương đương việc đưa phương trình đã cho về dạng

3 x  x 1  3x 7 để đảm bảo cả hai vế khơng âm là cần thiết Sai lầm thường mắc phải biến đổi:

3 x  x 1  3x 7   3 x  x 1 2 3x 7

- Biến đổi trên khơng phải là phép biến đổi tương đương

- Để khắc phục vấn đề này chúng ta phải thử lại tập nghiệm tìm được vào phương trình ban đầu để kiểm tra nĩ là nghiệm hay khơng

1) Giải phương trình x 8  x  x 3.

2) Giải phương trình 2 3x 1  x 1 2 2x 1.  

3) Giải phương trình 11x 3  x 1 4 2x 5.  

- Dạng tốn 6

a x b x c  a x b x c  a x b x c

(Trong đĩ a a1 2 a3 hoặc a a1 3 a2 hoặca2a3 a1 )

Quy trình giải tốn

Bước 1 Giải hệ điều kiện:

2







Bước 2

+ Trường hợp: a a1 2 a3 bình phương hai vế đưa phương trình đã cho về dạng F x  G x  

+ Trường hợp: a a1 3 a 2 hoặc a2a3 a ,1

biến đổi phương trình về dạng:

a x b x c  a x b x c  a x b x c

2



 



Trang 8

Bước 3 Tìm nghiệm phương trình F x  G x  

Bước 4 Kiểm tra sự thỏa mãn của nghiệm vừa tìm được với điều kiện bài toán và kết luận

Ví dụ 1 Giải phương trình x2   x 1 x2 x 1  2x24

Lời giải

Phương trình đã cho tương đương với:  x2  x 1 x2 x 1 2 2x24

x2 x 1 x  2 x 1 1

Ví dụ 2 Giải phương trình x2  x 1  x2  x 1 4 x.

Lời giải

Điều kiện x 4.

2



 



2



 



2

3 x 1

x 0

4x 11x 4 0

  











x 0

11 185 x

8

 







11 185

T 0;

8

- Lưu ý.

- Trường hợp: a a1 3 a2 (ví dụ 2) ở trong dạng toán này việc sử dụng hệ điều kiện để biến đổi giúp chúng ta vừa sử dụng được phép biến đổi tương đương cũng vừa sử dụng được phép biến đổi hệ quả

- Đặc thù của dạng toán này là việc tìm điều kiện

a x b x c  a x b x c  tương đối đơn giản Nếu trong trường hợp việc tìm điều kiện này 0

là khó khăn, chúng ta hãy ưu tiên cho việc sử dụng phép biến đổi hệ quả

- BÀI TẬP RÈN LUYỆN.

Bài 1 Giải phương trình x2 3 2x 12  3x26 Đáp số x 1

Bài 2 Giải phương trình x2 2x 5  x22x 10  29

Đáp số

1

5



Bài 3 Giải phương trình x2 x x22x 2x 2 Đáp số

1 10

2

 

Bài 4 Giải phương trình 2x 12  2x 1  2x22 Đáp số x 1.

Bài 5 Giải phương trình x2  x 1  2x22x x2 x 1 Đáp số x1;x 0.

Định dạng
Số trang	8
Dung lượng	421,99 KB