BÀI TẬP ÔN LƯỢNG GIÁC 1 Bài 1. Cho tam giác ABC có các góc A, B, C và các cạnh tương ứng a, b, c. Chứng minh: 1. sin(A+B) = sinC 2. cos(A+B) = - cosC 3. tan(A+B) =- tanC 4. sin 2 A B+ = cos 2 C 5. cos 2 A B+ = sin 2 C 6. tan 2 A B+ = cot 2 C 7. a = b.cosC + c.cosB 8. a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC 9. a 2 = b 2 + c 2 – 2bc.cosA. 10. S = pr = 1 2 ab.sinC = 1 2 bc.sinA = 1 2 ac.sinB. (p là nửa chu vi, r là bán kính của đường tròn nội tiếp của tam giác ABC). 11. sinA + sinB + sinC = 4 os os os 2 2 2 A B C c c c 12. cosA + cosB + cosC = 1 + 4 sin sin sin 2 2 2 A B C 13.sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC 14. cos2A + cos2B + cos2C = - 1 - 4cosA.cosB.cosC 15. sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2 + 2cosA.cosB.cosC 16. cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1 - 2cosA.cosB.cosC 17. tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC ( tam giác ABC không vuông) 18. tan tan tan .tan tan tan 1 2 2 2 2 2 2 A B B C C A + + = 19. cot cot cot cot cot cot 2 2 2 2 2 2 A B C A B C + + = 20.cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA = 1. Bài 3. Chøng minh 1. tana + cota = 2 sin 2a 2. cota – tana = 2cot2a 3. sinx + cosx = 2 sin 4 x π   +  ÷   = 2 cos 4 x π   −  ÷   4. sinx – cosx = 2 sin 4 x π   −  ÷   = - 2 cos 4 x π   +  ÷   5. 3 sinx + cosx = 2sin 6 x π   +  ÷   = 2cos 3 x π   −  ÷   6. sinx - 3 cosx = 2sin 3 x π   −  ÷   = - 2cos 6 x π   +  ÷   Biªn tËp: Ths. NguyÔn Trung Kiªn BI TP ễN LNG GIC 2 7. sina.sin 1 sin sin 3 3 3 4 a a a + = ữ ữ 8. cosa.cos 1 cos cos3 3 3 4 a a a + = ữ ữ 9. cos 2 a + cos 2 3 a ữ + cos 2 2 3 3 2 a = ữ 10. sin 2 2 2 sin sin 2 8 8 2 a a a + = ữ ữ Bài 4. Tính (không dùng bảng số hay máy tính) A = cos sin 8 8 + B = cos 3 5 cos cos 7 7 7 C = sin6 o .sin42 o sin66 o sin78 o D = cos10 o cos50 o cos70 o E = 1 3 sin10 cos10 o o F = 8(sin 3 18 o + sin 2 18 o ) Bài 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = sin 2 A + sin 2 B - sin 2 C, với A, B, C là ba góc của tam giác. Bài 6. Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C. Biết (sinB + sinC)sin2A = (sin2B + sin2C)sinA. Chứng minh cosB + cosC = 1. Bài 7. Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C. Chứng minh rằng nếu: a) sin2A + sin2B = 4sinAsinB thì tam giác ABC vuông tại C. b) sin ( 2 cos )sin sin ( 2 cos )sin B C A C B A = = thì tam giác ABC vuông cân tại A. Bài 8. Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C. Chứng minh: a) cosA + cosB + cosC sin sin sin 2 2 2 A B C + + b) sinA + sinB + sinC < 2(cosA + cosB + cosC) Bài 9. Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C, đờng cao AH. Gọi p, p 1 , p 2 lần lợt là nửa chu vi của các tam giác ABC, ABH, ACH. Chứng minh nếu p 2 = p 1 2 + p 2 2 thì tam giác ABC vuông tại A. Bài 10. a) Cho tam giác ABC không tù, thoả mãn điều kiện cos2A + 2 2 cosB + 2 2 cosC = 3. Tính ba góc của tam giác. Biên tập: Ths. Nguyễn Trung Kiên BÀI TẬP ÔN LƯỢNG GIÁC 3 b) Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc A, B, C tho¶ m·n cos2A + cos2B + cos2C ≥ -1. Chøng minh sinA + sinB + sinC ≤ 1 + 2 . Biªn tËp: Ths. NguyÔn Trung Kiªn BÀI TẬP ÔN LƯỢNG GIÁC 4 Bµi 11. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh lîng gi¸c sau: 1) sin 4 x + cos 4 x = cos2x 2) 2sin 2 2 sin 2 0 2 2 x x + − = 3) 3 tanx – 6cotx + 2 3 - 3 = 0 4) 2sin 2 x – 5sinx.cosx – cos 2 x = -2 5) cos2x – 3 sin2x = 1 6) 2 sin 4 x π   −  ÷   =1 – sin2x 7) 3(sinx + cosx) – 2sin2x +2 – 3 2 = 0 8) 3tan 2 x - 2 2 cos x - 5 = 0 9) (2cosx -1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx 10) 4cos 3 x + 3 2 sin2x = 8cosx 11) 4sin2x – 3cos2x = 3(4sinx - 1) 12) tanx – tan3x = 2sin2x 13) cotx – tanx + 4sin2x = 2 sin 2x 14) cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 15) sinx + cosx – sin2x = 1 + cos2x 16) 2 2 (sinx + cosx)cosx = 3 + cos2x 17) 6sinx – 2cos 3 x = 5sin2x.cosx 18) 1 1 2 cos sin 2 sin 4x x x + = 19) cos 3 x – 4sin 3 x – 3sin 2 x.cosx + sinx = 0 20) 1+tan2x = 2 1 sin 2 cos 2 x x − 21) sin3x +sin2x = 5sinx 22) sinx + 3 cosx = 2cos3x 23) 2(1-sin2x) – 5(sinx - cosx) + 3 = 0 24) cotx = tanx + 2cos 4 sin 2 x x 25) sin 3 x – cos 3 x = cos2x. tan tan 4 4 x x π π     + −  ÷  ÷     26) 8sinx = 3 1 cos sinx x + 27) tan 3 x π   −  ÷   tan 3 x π   +  ÷   .sin3x = sinx + sin2x Biªn tËp: Ths. NguyÔn Trung Kiªn BI TP ễN LNG GIC 5 28) (cos 2 x +sin 2 x ) 2 + 3 cosx = 2 29) cos 2 3x.cos2x cos 2 x = 0 30) 5sin3x = 3sin5x 31) tan 2 x - tanx.tan3x = 2 32) sinxcos4x - sin 2 2x = 4sin 2 7 4 2 2 x ữ 33) 8cos 3 3 x + ữ = cos3x 34) 4sin 2 2x + sin 2 6x - 4sin2xsin 2 6x = 0 35) 10 10 6 6 2 2 sin cos sin cos 4 4cos 2 sin 2 x x x x x x + + = + 36) (1+cosx)(1+cos2x)(1+cos3x) = 1 2 37) sin 2008 x + cos 2009 x = 1 38) tan 2 x = 1 cos 1 sin x x + 39) sin 5 x + cos 5 x = 2 - sin 4 x 40) 3 1 3 sin sin 10 2 2 10 2 x x = + ữ ữ Bài 12. Cho phơng trình: cos2x +(2m+1)sinx + m = 0 a) Giải phơng trình khi m = 1. b) Xác định m để phơng trình có nghiệm thuộc đoạn [0; ]. Bài 13. Tìm mọi nghiệm nằm trong khoảng (- ; ) của phơng trình: 3(1 sin 3 ) 2cos2 7 sin cos2 x x x x = . HD sin3x = 3sinx 4sin 3 x Bài 14. Giải và biện luận phơng trình: 2m(cosx + sinx) = 2m 2 + cosx - sinx + 3 2 Bài 15. Với giá trị nào của m thì phơng trình sau có nghiệm (m+1)sin 2 x sin2x + 2cos 2 x = 1. Bài 16. Tìm m để phơng trình 2sin 1 sin 3 x m x = + có đúng hai nghiệm thuộc [0; ]. Bài 17. Tìm m để phơng trình: (2sinx -1)(2cos2x + 2sinx +m) = 3 - 4cos 2 x có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc [ 0 ; ] . Bài 18. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau: Biên tập: Ths. Nguyễn Trung Kiên BÀI TẬP ÔN LƯỢNG GIÁC 6 A = sin 4cos 1 2 sin x x x + + + B = sin 2 x + sin 4 y + sin 6 z khi sinx + siny + sinz = 0. Biªn tËp: Ths. NguyÔn Trung Kiªn . 4sinAsinB thì tam giác ABC vuông tại C. b) sin ( 2 cos )sin sin ( 2 cos )sin B C A C B A = = thì tam giác ABC vuông cân tại A. Bài 8. Cho tam giác ABC có. 2 thì tam giác ABC vuông tại A. Bài 10. a) Cho tam giác ABC không tù, thoả mãn điều kiện cos2A + 2 2 cosB + 2 2 cosC = 3. Tính ba góc của tam giác. Biên