Oxy, cho hình vuông ABCD.[r]
Trang 1B! GIÁO D"C VÀ #ÀO T$O
#% CHÍNH TH&C
#% THI TUY'N SINH #$I H(C N)M 2012 Môn: TOÁN; Kh*i A và kh*i A1
Th!i gian làm bài: 180 phút, không k" th!i gian phát #$
I PH+N CHUNG CHO T,T C- THÍ SINH (7,0 !i"m)
Câu 1 (2,0 !i"m) Cho hàm s! y!x4"2(m#1)x2#m2 (1), v"i m là tham s! th#c
a) Kh$o sát s# bi%n thiên và v& '( th) c*a hàm s! (1) khi m ! 0.
b) Tìm m '+ '( th) c*a hàm s! (1) có ba 'i+m c#c tr) t,o thành ba '-nh c*a m.t tam giác vuông
Câu 2 (1,0 !i"m) Gi$i ph/0ng trình 3 sin 2 x#cos 2x!2 cosx" 1
Câu 3 (1,0 !i"m) Gi$i h1 ph/0ng trình
1 2
x y
$ " " # ! # "
'
# " # !
Câu 4 (1,0 !i"m) Tính tích phân
3
2 1
1 ln( 1)
d
x
x
!)
Câu 5 (1,0 !i"m) Cho hình chóp có 'áy là tam giác '2u c,nh a Hình chi%u vuông góc c*a trên m3t ph4ng (ABC) là 'i+m H thu.c c,nh AB sao cho
.
HA ! HB Góc gi5a '/6ng th4ng SC và m3t ph4ng (ABC) b7ng Tính th+ tích c*a kh!i chóp S.ABC và tính kho$ng cách gi5a hai '/6ng th4ng SA
và BC theo a
o
60
Câu 6 (1,0 !i"m) Cho các s! th#c , , x y z th8a mãn 'i2u ki1n x# # ! Tìm giá tr) nh8 nh9t c*a bi+u th:c y z 0
P ! " # " # " " x # y # z
.
ND
II PH+N RIÊNG (3,0 !i"m): Thí sinh ch# !$%c làm m&t trong hai ph'n riêng (ph'n A ho(c ph'n B)
A Theo ch./ng trình Chu0n
Câu 7.a (1,0 !i"m) Trong m3t ph4ng v"i h1 t;a ' Oxy, cho hình vuông ABCD G;i M là trung 'i+m
c*a c,nh BC, N là 'i+m trên c,nh CD sao cho CN ! 2 Gi$ s< * +11 1
;
2 2
M và '/6ng th4ng AN có
ph/0ng trình 2x" " ! 0.y 3 Tìm t;a ' 'i+m A
Câu 8.a (1,0 !i"m) Trong không gian v"i h1 t;a ' Oxyz, cho '/6ng th4ng : 1 2
'i+m Vi%t ph/0ng trình m3t c=u (S) có tâm I và c>t d t,i hai 'i+m A, B sao cho tam giác IAB vuông t,i I
(0; 0;3)
I
Câu 9.a (1,0 !i"m) Cho n là s! nguyên d/0ng th8a mãn 1
5C n n" !C n3 Tìm s! h,ng ch:a x trong khai 5
tri+n nh) th:c Niu-t0n c*a * 2 +
1
14
n
nx
x x
" ,
B Theo ch./ng trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 !i"m) Trong m3t ph4ng v"i h1 t;a ' Oxy, cho '/6ng tròn Vi%t ph/0ng
trình chính t>c c*a elip (E), bi%t r7ng (E) có ' dài tr?c l"n b7ng 8 và (E) c>t (C) t,i b!n 'i+m t,o thành b!n '-nh c*a m.t hình vuông
( ):C x #y !8
Câu 8.b (1,0 !i"m) Trong không gian v"i h1 t;a ' Oxyz, cho '/6ng th4ng : 1 2,
ph4ng ( ):P x# "y 2z# !5 0 và 'i+mA(1; 1; 2)." Vi%t ph/0ng trình '/6ng th4ng - c>t d và (P) l=n l/@t t,i M và N sao cho A là trung 'i+m c*a 'o,n th4ng MN
Câu 9.b (1,0 !i"m) Cho s! ph:c z th8a mãn 5( ) 2
1
z i
i
#
! "
# Tính mô'un c*a s! ph:c
2
w! # #z z
- H1T -
Thí sinh không !$%c s) d*ng tài li+u Cán b& coi thi không gi,i thích gì thêm
H; và tên thí sinh: ; S! báo danh:
Trang 2!!!!!!!!
#% CHÍNH TH&C
#% THI TUY'N SINH #$I H(C N)M 2012 Môn: TOÁN; Kh*i A và kh*i A1
(!áp án – thang "i#m g$m 04 trang)
a) (1,0 #i"m)
Khi m "0, ta có: y"x4#2 x2
$ T%p xác "&nh: D " !
$ S' bi(n thiên:
# Chi)u bi(n thiên: y' 4" x3#4 ;x y " % ' 0 x "0 ho*c x " & 1
0,25
Các kho+ng ngh&ch bi(n: (#' # v (0; 1);; 1) à các kho+ng "$ng bi(n: (#1; 0) và (1;( ')
# C'c tr&: Hàm s, "-t c'c ti#u t-i x " &1, yCT" # "-t c'c "-i t-i 1; x "0, yC! "0
x y x y
# B+ng bi(n thiên:
0,25
$ !$ th&:
0,25
b) (1,0 #i"m)
Ta có y'"4x3#4(m(1)x"4 (x x2# #m 1)
!$ th& hàm s, có 3 "i#m c'c tr& khi và ch/ khi m ( *1 0 % m * #1 (*) 0,25 Các "i#m c'c tr& c0a "$ th& là A(0;m2), (B # m( #1; 2m# và (1) C m( #1; 2m#1)
Suy ra: """#AB" #( m(1; (# m(1)2) và """#AC "( m(1; (# m(1)2) 0,25
Ta cóAB"AC nên tam giác ABC vuông khi và ch/ khi AB AC " 0
"""# """#
0,25
1
(2,0 #i"m)
% (m(1)4#(m( "1) 0 K(t h1p (*), ta "21c giá tr& m c3n tìm là m "0 0,25
( '
y
'
y – 0 + 0 – 0 +
x #' –1 0 1 ( '
–1
0 –1
( '
O
2 1 – 1
–1 –2
8
x y
Trang 3Câu !áp án !i"m
Ph24ng trình "ã cho t24ng "24ng v.i ( 3 sinx(cosx#1)cosx" 0 0,25
5
2
3 sinx cosx 1 0
x
2
(1,0 #i"m)
%x"k25 ho*c 25 25 ( )
3
x" (k k+$ V%y nghi6m c0a ph24ng trình "ã cho là 5 5,
2
x" (k x"k25 và 25 25 ( )
3
x" (k k+$
0,25
H6 "ã cho t24ng "24ng v.i:
, ,
/ 0
2
x
2
y
# 2 ( 2 Xét hàm s, f t( )" #t3 12t trên 3 3
;
2 2
3#
45 678 , ta có f t'( ) 3(" t2#4) 09 , suy ra f(t) ngh&ch bi(n
0,25
Do "ó (1) % x – 1 " y ( 1 % y " x – 2 (3)
Thay vào (2), ta "21c , - , -1 2 3 2
1
x# ( x# " % 4x2#8x( " % 3 0 1
2
x " ho*c 3.
2
3
(1,0 #i"m)
Thay vào (3), ta "21c nghi6m c0a h6 là ( ; ) ,1; 3
x y " # ho*c ( ; ) ,3; 1-.
!*t u" (1 ln(x(1) và d d2 , suy ra d
d
1
x u x
"
( và
1
v x
v x
"
x
3 3
I
(
-3
1
(
(
:
3
1
2 ln 2
ln
x x
(
4
(1,0 #i"m)
2 ln 3 2ln 2.
Ta có SCH% là góc gi8a SC và (ABC), suy ra %SCH "60 o
G9i D là trung "i#m c0a c-nh AB Ta có: ,
6
a
, 2
a
CD "
, 3
a
3
a
SH"HC "
0,25
.
S ABC ABC
K: Ax//BC G9i N và K l3n l21t là hình chi(u vuông góc c0a H trên Ax và SN Ta có BC//(SAN) và 3
2
BA" H A nên 3
2
d SA BC "d B SAN " d H SAN
Ta c;ng có Ax<(SHN) nên Ax<HK Do "ó (
HK< SAN). Suy ra d H( ,( ))
Trang 2/4
SAN "HK
0,25
5
(1,0 #i"m)
o
12
S
B
C H
K
D A
42
8
a
Trang 4Ta ch<ng minh 3t = ( > = 0t 1, t (*)
Xét hàm ( ) 3f t " t # # , có '( ) 3 ln 3 1 0,t 1 f t " t # * > =t 0 và f(0) 0" , suy ra (*) "úng
Áp d=ng (*), ta có 3|x y# |(3|y z# |(3|z x# |= ( # ( # ( #3 |x y| |y z| |z x|
0,25
Áp d=ng b>t "?ng th<c |a| | | |( b = a(b|, ta có:
(|x y# ( # ( #| |y z| |z x|) " #|x y| ( #|y z| ( #|z x| ( #|x y|(|y z# ( #| |z x|) |( #y z|(|z x# ( #| |x y|)
-|z x|(|x y| |y z|) 2 |x y| |y z| |z x|
0,25
Do "ó |x y# ( # ( # =| |y z| |z x| 2 |, x y# |2( #|y z|2( #|z x|2-" 6x2(6y2(6z2#2,x y z( ( -2
Mà x y z( ( "0, suy ra |x y# ( # ( # =| |y z| |z x| 6x2(6y2(6z2
0,25
6
(1,0 #i"m)
Suy ra P"3|x y# |(3|y z# |(3|z x# |# 6x2(6y2(6z2=3
Khi x " y " z " 0 thì d>u b@ng x+y ra V%y giá tr& nhA nh>t c0a P b@ng 3
0,25
G9i H là giao "i#m c0a AN và BD K: "2Bng th?ng qua H
và song song v.i AB, cCt AD và BC l3n l21t t-i P và Q
!*t HP " x Suy ra PD " x, AP " 3x và HQ " 3x
Ta có QC " x, nên MQ " x Do "ó ;AHP = ;HMQ, suy ra
AH<HM
0,25
H4n n8a, ta c;ng có AH"HM
Do "ó AM " 2 MH" 2 ( ,(d M AN))"3 10
2
0,25
A+AN, suy ra A(t; 2t – 3)
3 10 2
MA " % , - , -112 7 2 45
2
2
0,25
7.a
(1,0 #i"m)
% t2 5t 4 0
C
M H
# ( " % t 1 " ho*c t 4."
Véc t4 ch/ ph24ng c0a d là a "(1; 2; 1). G9i H là trung "i#m c0a AB, suy ra IH < AB
""#
Ta có H d+ nên t9a "D H có d-ng H t( 1; 2 ;# t t( ?2) IH"""#" #( 1; 2 ; 1).t t t# 0,25
IH < AB % IH a " 0 % %
"""# ""#
3
IH
Tam giác IAH vuông cân t-i H, suy ra bán kính m*t c3u (S) là 2 2 6
3
R"IA" IH " 0,25
8.a
(1,0 #i"m)
Do "ó ph24ng trình m*t c3u c3n tìm là ( ): 2 2 ( 3)2 8.
3
1
5 n
C # "C3 % 5 ( 1)( 2)
6
( 1)
k
C
#
#
#
#
9.a
(1,0 #i"m)
S, h-ng ch<a 5 t24ng <ng v.i 14 3# k " % k 35 "
Do "ó s, h-ng c3n tìm là
3 3
7 4
16 2
C
#
" #
Trang 5Câu !áp án !i"m
Ph24ng trình chính tCc c0a (E) có d-ng: 2 2
( "
v.i a b* *0 và 2a "8. Suy ra a 4."
0,25
Do (E) và (C) cùng nh%n Ox và Oy làm tr=c ",i x<ng và các giao "i#m là các "/nh c0a mDt hình vuông nên (E) và (C) có mDt giao "i#m v.i t9a "D d-ng A t t t *( ; ), 0
0,25
A+(C) % t2 t2 8,
Trang 4/4
7.b
(1,0 #i"m)
(2;2) ( )
16 b( " %
2 16.
b
3
"
Ph24ng trình chính tCc c0a (E) là 2 2 1
16 16 3
M thuDc d, suy ra t9a "D c0a M có d-ng M(2t – 1; t; t ( 2) 0,25
N+(P) % 3 2# t# # #2 t 2(2# ( "t) 5 0% t " suy ra M(3; 2; 4) 2, 0,25
8.b
(1,0 #i"m)
!2Bng th?ng ; "i qua A và M có ph24ng trình 1 1
:
x# y( z 2#
!*t z" (a bi a b( , +!),zG #1
1
z i
z
0,25
a b
# # "
0 # ( "
1
0 0
1 1
a b
"
0 "
Do "ó z " (i1 Suy ra w" ( (1 z z2" ( ( ( (1 1 i (1 )i 2" (2 3 i 0,25
9.b
(1,0 #i"m)
x
2
2
O
y
A
- H+T -