[r]
Trang 1Sở GD & ĐT Thanh Hoá Đề thi thử Đại học lần 2
Trờng phổ thông Triệu Sơn Môn thi: toán học khối A, B
Thời gian làm bài: 180 phút
I Phần dành cho tất cả các thí sinh ( 7 điểm)
Câu I ( 2 điểm): a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y=x4−2 x2− 3 (C)
b Biện luận số nghiệm của phơng trình x4−2 x2−m4+2 m2=0 theo tham số m
Câu II (2điểm): a Giải phơng trình cos 4x +sin5x=cos 2 x
b Tìm m để phơng trình x√x+√x +12 −m(√5 − x +√4 − x )=0
Câu III( 1 điểm): Tính tích phân sau I=∫
−1
1
1+2x dx
Câu IV (1 điểm): Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a
Đỉnh A ' cách đều các đỉnh A,B,C Cạnh AA' tạo với mặt đáy một góc bằng 600 Tính thể tích khối lăng trụ trên?
Câu V( 1 điểm): cho {x x , y >02+y2=1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=(1+x )(1+1
y)+(1+ y )(1+1
x)
II Phần dành riêng ( 3điểm)
Thí sinh chỉ đợc làm một trong hai phần ( phần cơ bản hoặc phần nâng cao)
1 Theo chơng trình chuẩn
Câu VI a (1 điểm): Cho đờng tròn (C): x − 2¿2+y2
= 4 5
¿
và 2 đờng thẳng d x − y=0
Δ x −7 y=0 Tìm toạ độ đờng tròn (C1) biết (C1) tiếp xúc với d và Δ và có tâm nằm trên đờng tròn (C)
CâuVII a (1 điểm): trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz có 2 đờng thẳng
d1 x −1
1 =
y
2=
z −3
−1 và d2 x −2
2 =
y − 3
4 =
z −5
− 2
Chứng minh d1 và d2 song song, viết phơng trình chứa hai đờng thẳng đó ?
Câu VIII a (1 điểm): Tính tổng S=C20111 +22C20112 + 32C20113 + .+20112C20112011
2 Theo chơng trình nâng cao
Câu VI b (1 điểm): trên hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC, A(-1;0); B(2;3); C(3;-6)
Và đờng thẳng Δ x − 2 y −3=0 , Tìm toạ độ M nằm trên Δ sao cho |⃗ MA +⃗ MB+⃗ MC|
đạt giá trị nhỏ nhất ?
Câu VII b (1 điểm): Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho A(3;-2;-4) và mp(α) :
3 x −2 y −3 z − 7=0 Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm A , song song với mp(α) và cắt
đờng thẳng d: x −2
3 =
y +4
−2 =
z −1
2
Câu VIII b ( 1 điểm): Cho tam giác ABC thoả mãn sin2B+sin2C=2 sin2A
chứng minh rằng A ≤600 ?
Hết
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Sở GD & ĐT Thanh Hoá
Trờng phổ thông Triệu Sơn
Hớng dẫn chấm và thang điểm ( đề thi thử đại học làn thứ 2) Môn toán
I Phần dành cho tất cả các thí sinh ( 7 điểm)
Câu I ( 2 điểm): a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y=x4−2 x2− 3 (C)
Trang 2TXĐ: x ∈ R
Giới hạn: lim
x → ±∞ y =+ ∞ 0,25đ
Xét tính đơn điệu và cực trị
y '=4 x 3− 4 x ;
x=0 x=± 1
y '=0⇔¿
Lập bảng biến thiên : hàm số đồng biến x ∈(−1 ;0) và (1;+∞) 0,25đ
Hàm số nghịch biến x ∈ (−∞ ;−1) và (0 ; 1)
Hàm số đạt cực đại y=− 3 tại x=0
Hàm số đạt cực tiểu y= -4 tại x=± 1 0,25đ
2
-2
-4
-6
-8
0,25đ
b Biện luận số nghiệm của phơng trình x4−2 x2−m4+2 m2=0 theo tham số m
ta có phơng trình x4−2 x2−3=m4−2 m2−3 0,25đ
Nếu |m| >√2
m=±1
¿
thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt 0,25đ
Nếu m=0
m=±√2
¿
thì phơng trình có 3 nghiệm phân biệt 0,25đ
Nếu ¿m ∈(−√2 ;¿√2){− 1;0 ;1
¿
phơng trình có 4 nghiệm phân biệt 0,25đ
Câu II (2điểm): a Giải phơng trình cos4x +sin5x=cos 2 x
x =kπ x=− π
2+k 2 π
⇔sin5x +sin4x=0 ⇔¿
với k ∈ Z 1đ
Trang 3b Tìm m để phơng trình x√x+√x +12 −m(√5 − x +√4 − x )=0
TXĐ x ∈[0 ; 4]
x√x+√x +12 −m(√5 − x +√4 − x )=0 ⇔ m=(x√x +√x +2) (√5 − x −√4 − x) 0,25đ
Xét hàm số y=(x√x +√x+12)(√5 − x −√4 − x) với x ∈[0 ; 4] 0,25đ
y '=( 3 x2
2 x√x+
1
2√x +12)(√5 − x −√4 − x )+(x√x −+√x+12)(− 1
2√5 − x+
1
2√4 − x)> 0 với x ∈[0 ; 4] 0,25đ
Phơng trình có nghiệm khi 2√3(√5 − 2)≤m ≤12 0,25đ
Câu III( 1 điểm): Tính tích phân sau I=∫
−1
1
1+2x dx
I=∫
0
1
√1 − x2 dx=∫
0
π
2
cos 2 tdt=π
4 1đ
Câu IV( 1 điểm) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC ⇒ A '
G ⊥ mp(ABC) 0,25đ
S Δ ABC=a2
√3
4 A
'
G=a 0,5đ
V ABC A ' B ' C '=A ' G S Δ ABC=a3
√3
4 (đvtt) 0,25đ
Câu V( 1 điểm): cho {x x , y >02
+y2 =1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=(1+x )(1+1
y)+(1+ y )(1+1
x)
Ta có P=(1+x )(1+1
y)+(1+ y )(1+1
x)=x + 1
2 x+y +
1
2 y+
x
y+
y
x+
1
2 x+
1
⇔ P ≥√2+√2+2+ 1
2(x+ y) ≥ 2+2√2+
1
√xy≥ 2+2√2+
√2
+y2≥ 2+3√2 0,5đ
Pmin =2+3√2 tại x= y= 1
√2 0,25đ
1 Theo chơng trình chuẩn
Câu VI a (1 điểm): Cho đờng tròn (C): x − 2¿2+y2= 4
5
¿
và 2 đờng thẳng d x − y=0
Δ x −7 y=0 Tìm toạ độ đờng tròn (C1) biết (C1) tiếp xúc với d và Δ và có tâm nằm trên đờng tròn (C)
Gọi tâm đờng tròn (C1) là I(a;b) Do I(a ;b)∈(C )⇒( a− 2)2
+b2= 4
5 (1) 0,25đ
Mặt khác d (I , Δ1)=d (I ; Δ2)⇒|a − b|
√2 =
|a −7 b|
5√2 ⇔ b=−2 a a=2 b
¿
0,5đ
Với a=2b ⇒ I(58;
4
5) ; với b=-2a ⇒(a − 2)2
+4 a2
= 4
5 vô nghiệm 0,25đ
CâuVII a (1 điểm): trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz có 2 đờng thẳng
d1 x −1
1 =
y
2=
z −3
−1 và d2 x −2
2 =
y − 3
4 =
z −5
− 2
Chứng minh d1 và d2 song song, viết phơng trình chứa hai đờng thẳng đó ?
Trang 4VTCP của d1: ⃗u=(1 ;2 ;−1) M (1; 0;3) ∈d1 ; VTCP của d2: ⃗v=(2; 4 ;−2) ; N (2 ;3 ;5)∈ d2
0,25đ
Ta có { [⃗U ;⃗ V =(0 ;0 ;0)=⃗0]
[⃗MN ;⃗ U]=(−7 ;3 ;−1)≠ ⃗0 ⇒ d1// d2 0,25đ
Gọi mp(p) chứa d1 và d2 ⇒ mp(p) đi qua điểm M(1;0;3) và có VTPT
⃗
n=[⃗MN ;⃗ U]=(−7 ;3 ;−1) là 7 x −3 y +z −10=0 0,5đ
Câu VIII a (1 điểm): Tính tổng S=C20111 +22C20112 + 32C20113 + .+20112C20112011
xét 1+x¿2011=C20110 + xC20111 +x2C20112 + +x2011C20112011
tính đạo hàm
nhân 2 vế với x rồi đạo hàm tiếp và chọn x=1 ta đợc 0,5đ
S=C20111 +2 2C20112
+ 3 2C20113
+ .+2011 2C20112011 =2011 x 2012 x 2 2009 0,25đ
2 Theo chơng trình nâng cao
Câu VIb(1 điểm): trên hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC, A(-1;0); B(2;3); C(3;-6)
Và đờng thẳng Δ x − 2 y −3=0 , Tìm toạ độ M nằm trên Δ sao cho |⃗ MA +⃗ MB+⃗ MC|
đạt giá trị nhỏ nhất ?
Gọi M(3+2a;a) Δ , ta có |⃗ MA +⃗ MB+⃗ MC|=√45 a2+78 a+34 ≥√926
Dấu “=” xảy ra khi a=13
15 ⇒ I (19
15;−
13
15) 0,25đ
Câu VII b (1 điểm): Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho A(3;-2;-4) và mp(α) :
3 x −2 y −3 z − 7=0 Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm A , song song với mp(α) và cắt
đờng thẳng d: x −2
3 =
y +4
−2 =
z −1
2
Δ∩ d=M (2+3 t ;− 4 −2 t ;1+2 t) ⃗AM ⃗n=0 ⇔ t=2 ⇒ M (8 ;0 ;5) 0,25đ
Phơng trình đờng thẳng AM đi qua A và có vtcp ⃗AM=(5 ;− 6 ;9) là {y=−2 −6 t x=3+5 t
z=− 4+9 t
0,75đ
Câu VIII b ( 1 điểm): Cho tam giác ABC thoả mãn sin 2B+sin2C=2 sin2A
chứng minh rằng A ≤600 ?
Ta có sin 2B+sin2C=2 sin2A ⇔b2
+c2 =2 a 2 0,25đ
Theo định lý cosin trong tam giác ta có cos A= b
2
+c2− a2
2 bc =
b2+c2
2 bc ≥
1
2 0,5đ
⇒ A ≤600 0,25đ
Nếu học sinh làm cách khác cũng cho điểm tối đa