De thi hoc sinh gioi toan 9

[r]

Phòng giáo dục đào tạo

Chi lăng lớp 9 THcs năm học 2008-2009 Kỳ thi chọn Học sinh Giỏi

Môn : Toán

Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

(Đề thi gồm 01 trang)

Câu 1 (4 điểm)

Giải phơng trình:

x 10

2 x 3



Câu 2 (4 điểm)

Trên đờng thẳng y =

2

3 x + 1, hãy tìm các điểm có tọa độ nguyên nằm giữa hai đ-ờng thẳng x = -5 và x = 10 (Tọa độ nguyên là tọa độ có hoành độ và tung độ đều là số nguyên)

Câu 3 (6 điểm).

Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác đều ABC lấy theo thứ tự các điểm M, N,

P (khác các đỉnh của tam giác) sao cho AM = BN = CP

1 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC chứng minh GM = GN = GP.

2 Xác định vị trí các điểm M, N, P để chu vi tam giác MNP nhỏ nhất.

Câu 4 (3 điểm)

Cho M là một điểm bất kì nằm trong tam giác đều ABC Chứng minh rằng từ ba

đoạn MA, MB, MC ta có thể dựng đợc một tam giác.

Câu 5 (3 điểm)

Tìm tất cả các số nguyên dơng n để: P = n2012 + n + 1 là số nguyên tố.

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

……… hết …………

Phòng giáo dục đào tạo

Chi lăng Kỳ thi chọn HsG lớp 9 THcs năm học 2008-2009

Hớng dẫn chấm: Toán - Lớp 9

Chú ý: Các cách giải khác đáp án , mà đúng thì cho điểm theo thang điểm đã định.

Đề thi chính thức

Câu 1 (4 điểm) Pt  x 3 2 x 3 x 10 6 3 x 3       

 x 3 1 

 x = 4 Vậy nghiệm pt x = 4

2 1 1

Câu 2 (4 điểm) Gọi M(x; y) với x, y đều là số nguyên là điểm phải tìm

y =

2

3x + 1 để x, y đều là số nguyên thì x = 3k, kZ

x phải thỏa mãn -5  x  10 suy ra -1 k  3, kZ

Vậy các điểm cần tìm là (-3; -1), (0; 1), (3; 3), (6; 5), (9; 7).

1 1 1 1

Câu 3 (6 điểm).

1 Ta có AM = BN (gt),

Do G là trọng tâm ABC đều nên:

GA = GB và GAM GBN 30   0

Do đó GMA = GNB  GM = GN

Tơng tự GM = GP Vậy: GM = GN = GP

1 1 1

2 Từ AMP = BNM = CPN  MNP đều Suy ra các tam giác cân GMN và GKH đồng dạng

Do đó:

KH GH

Do GH BC  GN  GH, Vì vậy MN  KH, dấu bằng  N  H Hay: M, N, P là trung điểm các cạnh tơng ứng

Vậy chu vi tam giác MNP nhỏ nhất khi M, N, P là trung điểm các cạnh tơng ứng đã cho

1 0,5 0,5 0,5

Câu 4 (3 điểm). Không giảm tổng quát giả sử MA  MB và MAMC

Ta chứng minh MA < MB + MC

Gọi N là giao điểm của AM và BC, ta có AM < AN Mặt khác N nằm trên đoạn BC nên:

AN < max{AB, AC} = BC  AM < BC

Từ MBC ta có BC < MB + MC  MA < MB + MC Vậy MA, MB, MC là độ dài ba cạnh một tam giác

1 1 1

Câu 5 (3 điểm)

Với n = 1 ta có P = 3 là số nguyên tố

Với n nguyên và n > 1 ta có: P = n2(n2010 - 1) + n2 + n + 1

Do: n2010 - 1 = (n3)670 - 1 chia hết cho (n3 - 1), và n3 - 1 = (n- 1)(n2 + n +1)

Suy ra: P chia hết cho n2 + n + 1 hay P là hợp số khi n > 1, n N

Vậy n = 1

1 1 1