Vận dụng bất đăng thức côsi tìm cực trị đại số

Là người trực tiếp giảng dạy toán trong trường THCS, trong quá trình giảng dạy, đặcbiệt là dạy học sinh giỏi, tôi luôn luôn trăm trở, tìm tòi, chọn lọc những phương pháphợp lý nhất để để

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 2

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 3

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 17

Là người trực tiếp giảng dạy toán trong trường THCS, trong quá trình giảng dạy, đặcbiệt là dạy học sinh giỏi, tôi luôn luôn trăm trở, tìm tòi, chọn lọc những phương pháphợp lý nhất để để dẫn dắt, hình thành cho học sinh một cách suy nghĩ mới làm quenvới dạng toán này để dần dần các em có được một số phương pháp giải cơ bản nhất.

Trong khuôn khổ nhỏ hẹp này tôi xin nêu ra “ Vận dụng bất đẳng thức Cô si tìm cực trị đại số”.

1.1.2 Về mặt thực tiễn

Phấn đấu để dạy tốt các môn học nói chung và môn Toán nói riêng lànguyện vọng tha thiết của đội ngũ giáo viên Như chúng ta đã biết, Toán là khoahoc suy diễn trừu tượng nhưng Toán học lại mang tính trực quan, cụ thể bởi vìmục tiêu của môn toán ở trung học là hình thành những biểu tượng toán học banđầu và rèn luyện kĩ năng toán cho học sinh, tạo cơ sở phát triển tư duy vàphương pháp cho học sinh sau này Một mặt khác toán học còn có tính thựctriễn Các kiến thức toán học đều bắt đầu từ cuộc sống Mỗi mô hình toán học làkhái quát từ nhiều tình huống trong cuộc sống Dạy học toán học giúp hoànthiện những gì vốn có trong học sinh, cho học sinh làm và ghi lại một cách chínhthức các kiến thức toán học bằng ngôn ngữ và các kí hiệu toán học Mỗi tiết học

là dịp để học sinh hình thành những kiến thức và kĩ năng mới, vận dụng mộtcách sáng tạo nhất, thông minh nhất trong việc học toán trong cuộc sống saunày Chính vì vậy, người giáo viên cần biết phát huy tính tích cực, trí thôngminh của học sinh thông qua giờ học toán

1.1.3 Về cá nhân

Xuất phát từ lý luận và thực tiễn trên, để góp phần vào việc “ Phát triển tưduy khoa học” và “tăng cường ở các em ý thức, năng lực vận dụng một cáchthông minh những điều đã học” cho học sinh trong giai đoạn hiện nay, và quathực tiễn kiểm tra và giảng dạy học sinh ở trường , tôi nhận thấy việc hình thành

những kiến thức và kĩ năng trong việc vận dụng Bất đẳng thức (Côsi) một

cách sáng tạo nhất, thông minh nhất trong việc học toán cũng như trong cuộcsống cho học sinh là một nhiệm vụ hết sức quan trọng của người giáo viên Đó

là lý do tại sao tôi chọn đề tài này

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Một vấn đề thường gặp trong đại số, làm cho học sinh lúng túng đó là

những bài toán về bất đẳng thức đại số như bất đẳng thức Cauchy (Côsi ), bất đẳng thức Bunhiacopski, bất đẳng thức Tchebychev, bất đẳng thức Beruoulli,

… Thông thường những bài toán về loại này là những vấn đề khó Thực sự nó là

một phần quan trọng của đại số và những kiến thức về bất đẳng thức trong đại sốcũng làm phong phú hơn phạm vi ứng dụng đại số trong cuộc sống

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Nghiên cứu “ Vận dụng bất đẳng thức Cô si tìm cực trị đại số”.

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

1.4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

“Phát triển tư duy khoa học” và “tăng cường ở các em ý thức, năng lực vận dụng một cách thông minh những điều đã học”

1.4.2 Phương pháp quan sát

-Nghiên cứu từ các tài liệu và sách tham khảo có liên quan

- Thông qua các tiết dạy trên lớp

- Thông qua dự giờ thăm lớp rút kinh nghiệm từ đồng nghiệp

-Nhìn nhận lại quá trình học tập môn toán của học sinh của trường trong năm học vừa qua Đặc biệt là công tác bồi dưỡng học sinh giỏi cấp THCS, luyện thi vào lớp 10 THPT

Đưa ra một số biện pháp để nâng cao kết quả học tập cho học sinh của trường trong giai đoạn hiện nay

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Định hướng đổi mới phương pháp dạy và học đã được xác định trong nghịquyết Trung ương 4 khoá VII(1-1993), Nghị quyết trung ương 2 khoá VIII (12-1996), được thể chế hoá trong Luật Giáo dục (2005), được cụ thể hoá trong cácchỉ thị của Bộ giáo dục và đào tạo, đặc biệt chỉ thị số 14(4-1999) Luật giáo dục,điều 28.2, đã ghi: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực,

tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớphọc, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm,rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đemlại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” Vì vậy, ngoài việc nắm vững lýthuyết trên lớp học sinh còn phải vận dụng lý thuyết đó một cách hợp lý, khoahọc để giải bài tập Môn Toán nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan duyvật biện chứng, hứng thú học tập, có niềm tin, phẩm chất đạo đức của người laođộng Môn toán nhằm phát triển năng lực tư duy của học sinh đặc biệt là rènluyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất tư duy sáng tạo

Dạy Toán, học Toán là quá trình tư duy liên tục, cho nên việc nghiên cứu tìm tòi, đúc kết kinh nghiệm của người dạy Toán và học Toán là không thể thiếuđược Trong đó, việc chuyển tải kinh nghiệm để dạy tốt là điều trăn trở củanhiều giáo viên Việc truyền thụ kiến thức sẽ trở nên hấp dẫn học sinh hơn nếugiáo viên hiểu ý đồ của sách giáo khoa, giúp học sinh nắm kiến thức một cách

hệ thống, dẫn đắt học sinh đi từ điều đã biết đến điều chưa biết

Bên cạnh đó, việc khai thác, mở rộng kiến thức cũng giúp học sinh say mê họctoán, phát huy khả năng tư duy sáng tạo của mình.Chính suy nghĩ trên, bản thântôi đã tìm tòi, sưu tập và hệ thống kiến thức, giúp học sinh có những kinhnghiệm giải toán về bất đẳng thức thông qua việc vận dụng bất đẳng thức Côsimột cách nhẹ nhàng, linh hoạt

Trên bục giảng, ở mỗi tiết dạy, để tạo hứng thú cho học sinh, người giáo viênphải luôn tạo ra tình huống có vấn đề để học sinh so sánh, chọn lọc Từ đó rút ra những kiến thức cần nhớ

Đứng trước một bài toán về cực trị rất nhiều học sinh lúng túng tìm hướng

đi, nhiều học sinh thậm chí còn bỏ cuộc làm mất niềm tin trong quá trình giảicác bài tập này Việc nhìn nhận tìm tòi hướng đi đúng đắn là một công việc râtquan trọng, là yếu tố quyết định sự thành công trong quá trình giải toán

Để học sinh có được điều trên thì trước hết phải xuất phát từ người thầy,người thầy phải đầu tư soạn bài theo từng chuyên đề của dạng toán một cách cơbản, sâu rộng, giúp học sinh :

- Nhìn nhận từ một bài toán cụ thể thấy được bài toán khái quát

- Từ phương pháp giải khái quát thấy được cách giải một bài toán cụ thể

- Nhìn thấy được sự liên quan giữa các bài toán với nhau

- Biết vận dụng linh hoạt lý thuyết cơ bản vào giải toán

Với một sự lao động nghiêm túc tôi xin trình bày một phần nhỏ kinh

nghiệm của tôi trong việc áp dụng SKKN : “Vận dụng bất đẳng thức Cô si tìm cực trị đại số”.

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Khi dạy môn toán tôi nhận thấy việc phát hiện, tìm tòi, suy luận để tìm rahướng giải cho một bài toán của các em còn rất yếu, nguyên nhân chủ yếu là docác em chưa biết cách phân loại, hệ thống kiến thức cũng như mức độ khó củatừng dạng bài tập và tìm ra cách giải phù hợp nên các em thường rất mông lungkhi gặp một dạng mới, một dạng biến đổi của các bài toán đặc trưng Đối với

các bài toán “Vận dụng bất đẳng thức Cô si tìm cực trị đại số”.

là một ví dụ, đây là một trong những dạng toán mà các hầu hết các em đều cảmthấy bỡ ngỡ và mông lung khi gặp phải Lớp 8 các em đã được học về bất đẳngthức, nắm được các phép biến đổi cơ bản và bước đầu làm quen với một số bất

đẳng thức hay sử dụng như bất đẳng thức Cauchy (Côsi ), bất đẳng thức Bunhiacopski, tuy nhiên việc vận dụng các bất đẳng thức này còn hạn chế nhiều,

phần lớn chỉ áp dụng cho công tác ôn thi học sinh giỏi, ôn thi vào lớp 10 PTTH

Vì vậy các em cho rằng đây là dạng toán khó, rắc rối và việc liên hệ giữa kiếnthức cơ bản với phương pháp giải các bài tập chưa được hình thành, hơn nữakhả năng tư duy liên hệ lý thuyết của các em còn kém

Qua giảng dạy và lắng nghe thông tin phản hồi từ các em kết hợp với công tác

dự giờ rút kinh nghiệm, tham khảo ý kiến của các đồng nghiệp tôi nhận thấyviệc trang bị cho các em những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức Côsi là rất cầnthiết giúp các em đỡ bỡ ngỡ, lúng túng khi gặp các bài toán dạng này

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

2.3.1 Các quy tắc cần chú ý khi sử dụng bất đẳng thức Cô si.

2.3.1.1 Quy tắc song hành: Hầu hết các BĐT đều có tính đối xứng do đó

việc sử dụng các chứng minh một cách song hành, tuần tự sẽ giúp ta hình dung

ra được kết quả nhanh chóng và định hướng cách giiải nhanh hơn

2.3.1.2 Quy tắc dấu bằng: dấu bằng “=” trong BĐT là rất quan trọng Nó

giúp ta kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh Nó định hướng cho ta phương pháp giải, dựa vào điểm rơi của BĐT

2.3.1.3 Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: không chỉ học sinh mà

ngay cả một số giáo viên khi mới nghiên cứu và chứng minh BĐT cũng thường rất hay mắc sai lầm này, áp dụng liên tiếp hoặc song hành các BĐT nhưng

không chu ý đến điểm rơi của dấu bằng Một nguyên tắc khi áp dụng song hành các BĐT là điểm rơi phải được đồng thời xảy ra, nghĩa là các dấu “ = ” phải được cùng được thỏa mãn với cùng điều kiện của biến

2.3.1.4 Quy tắc biên: Cở sở của quy tắc biên này là các bài toán quy

hoạch tuyến tính, các bài toán tối ưu, các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc,giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến trên một miền đóng Ta biếtrằng các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thường xảy ra ở các vị trí biên và các đỉnh nằm trên biên

2.3.1.5 Quy tắc đối xứng: Các BĐT thường có tính chất đối xứng vậy thì

vai trò của các biến trong BĐT là như nhau do đó dấu “ = ” thường xảy ra tại vị trí các biên đó bằng nhau Nếu bài toán có gắn hệ điều kiện đối xứng thì ta có thể chỉ ra dấu “ = ” xảy ra khi các biến bằng nhau và mang một giá trị cụ thể

Chiều của BĐT cũng sẽ giúp ta định hướng được cách chứng minh : đánh giá từ Trung bình cộng (TBC) sang Trung bình nhân (TBN) và ngược lại

 nên x y  2 P Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y

Do đó, tổng x + y đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 P khi và chỉ khi x = y

 Dạng tổng quát (n số) x1, x2, x3 , ,xn không âm ta có:

2.3.3.1 Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân

Đánh giá từ TBC sang TBN là đánh giá BĐT theo chiều “”.Đánh giá từ tổng sang tích

Bài 1 Cho a;b;c >0 và a+b+c =2016 Tìm GTNN của :

=>A Min  2016 khi a =b =c = 2016:3 =672

Bài 2 Cho 3 số thực dương a;b;c thỏa mãn a+b+c =2 Tìm GTLN của:

c b a c b a

8 2

2 2

1

ca a

bc c

b a b

a c a

c b c

c b

b

a

a

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c= 31

Vậy GTNN của a là 8 khi a=b=c= 13

2.3.3.2 Kỹ thuật tách nghịch đảo:

Bài 1 Cho a,b>0 Tìm GTNN của A =

a

b b

Bài 3 Cho a,b>0 Tìm GTNN của A=a ba b

tử là các thừa số của mẫu

Vậy ta có : a b b   12 = (a - b)( b + 1)( b + 1)  ta phân tích a thành hai cáchsau:

2.3.3.3 Kỹ thuật chọn điểm rơi:

Trong kĩ thuật chọn điểm rơi, việc sử dụng dấu “ = ” trong BĐT Côsi và cácquy tắc về tính đồng thời của dấu “ = ”, quy tắc biên và quy tắc đối xứng sẽ được sử dụng để tìm điểm rơi của biến

Bài 1 Cho a  2 Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của S a 1

Ta chọn điểm rơi: ta phải tách hạng tử a hoặc hạng tử 1

a để sao cho khi áp dụng

BĐT Côsi dấu “ = ” xảy ra khi a = 2 Có thể tách sau:

Nguyên nhân sai lầm:

Mặc dù chọn điểm rơi a = 2 vàà MinS = 94 là đáp số đúng nhưng cách giải trên

đã mắc sai lầm trong việc đánh giá mẫu số: Nếu a  2 thì 2 2 2

Bài 3 Cho

32

a b c    a   b c  a b c     trái với gải thiết

Phân tích và tìm tòi lời giải

Do S là một biểu thức đối xứng với a,b,c nên dự đoán Min S đạt tại điểm rơi

1 2

Nếu như đánh giá từ TBC sang TBN là đánh giá với dấu a b , đánh giá

từ tổng sang tích, hiểu nôm na là thay dấu a + b bằng dấu a.b thì ngược lại đánh giá từ TBN sang TBC là thay dấu a.b bằng dấu a + b Và cũng cần phải chú ý làm sao khi biến tích thành tổng, thì tổng cũng phải triệt tiêu hết biến, chỉ còn lại hằng số

Ta có (1) tương đương với: c a c  c b c  1

2.3.3.5 Kỹ thuật nhân thêm hằng só trong đánh giá TBN sang TBC :

.1

Nếu không nhận thức được rõ vấn đề trên thì học sinh sẽ dễ mắc sai như trong

   

ôsi ôsi ôsi

1.1

1.1

Nguyên nhân sai lầm

Dấu “ = ” xảy ra  a + b = b + c = c + a = 1  a + b + c = 2 trái với giả thiết

Phân tích và tìm tòi lời giải:

Do vai trò của a, b, c trong các biểu thức là như nhau do đó điểm rơi của BĐT sẽ

3

a b c   từ đó ta dự đoán Max S = 6  a + b = b + c = c + a = 23  hằng số cần nhân thêm là 2

3 Vậy lời giải đúng là :

Áp dụng BĐT Côsi ta có:

.

222

Dấu “ = ” xảy ra  ABC đều : a = b = c

2.3.3.7 Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo cho 3 số, n số :

Nội dung cần nắm được các thao tác sau :

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Vậy Amin = 6 khi a=b=c

2.3.3.8 Kỹ thuật đổi biến số :

Có những bài toán về mặt biểu thức toán học tương đối cồng kềnh hoặc khó giải, khó nhận biết được phương hướng giải, ta có thể chuyển bài toán từ tình thế khó biến đổi về trang thái dễ biến đổi hơn Phương pháp tren gọi là phương pháp đổi biến số

* Kỹ thuật chọn điểm rơi và đánh giá từ TBC sang TBN

1 Cho a  6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S a2 18

a

2 2

a

b Tìm Max S c

Thử lại ta có x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Bài 2 Giải hệ phương trình: ( 1) ( 1) 2

Thử lại thấy: x = y = 2 cũng thoả mãn phương trình thức nhất của hệ

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là ( 2; 2 )

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.

Sau khi áp dụng sáng kiến vào dạy học, kết quả thu được so với năm họctrước khi chưa áp dụng sáng kiến như sau:

Năm

học

Số học sinh

Áp dụng SKKN

Kết quả Điểm

0-2

Điểm 3-4

Điểm 6

5-Điểm 7-8

Điểm 9-10 2019-

1 Với việc trình bày các bài tóan cơ bản, cùng với các ví dụ minh họa ngaysau đó, sẽ giúp tăng cường bài giảng cho các em học sinh sẽ dễ hiểu và biết cáchtrình bày bài, học sinh biết vận dụng thành thạo các kiến thức đã học làm cơ sởcho việc tiếp thu bài mới một cách thuận lợi, vững chắc

2 Đặc biệt là nội dung phần bình luận sau một vài bài tập ví dụ sẽ giúp các

em học sinh củng cố những hiểu biết chưa thật thấu đáo, cùng với cách nhìn Tạisao lại nghĩ và làm như vậy?”

3.Luyện tập cho học sinh thói quen suy nghĩ, quan sát, lập luận để học sinhphát huy trí thông minh, óc sáng tạo, khả năng phân tích, tổng hợp, tư duy độclập và thông qua việc thảo luận, tranh luận mà học sinh phát triển khả năng nóilưu loát, biết lí luận chặt chẽ khi giải toán

4.Học sinh biết vận dụng các kiến thức đơn lẻ để giải các bài toán tổng hợpnhiều kiến thức

5 Ngoài ra có rất nhiều bài toán được giải nhiều cách khác nhau sẽ giúp các

em học sinh trở nên linh hoạt trong việc lựa chọn phương pháp giải

6.Với phong cách trình bày như vậy, bộ tài liệu này còn nhằm giúp cho các

em học sinh rèn luyện năng lực vận dụng lý thuyết được học Tạo không khí sôinổi, niềm say mê hứng thú cho học sinh bằng các bài toán sinh động, hấp dẫnthực sự biến giờ học, lớp học luôn là không gian toán học cho học sinh

Cuối cùng, cho dù đã rất cố gắng bằng việc tham khảo một lượng rất lớn cáctài liệu sách hiện nay để vừa viết, vừa mang đi giảng dạy ngay cho các em họcsinh của mình từ đó kiểm nghiệm và bổ sung thiếu sót, cùng với việc tiếp thu cóchọn lọc ý kiến của các bạn đồng nghiệp để dần hòan thiện bộ tài liệu này,nhưng khó tránh khỏi những thiếu sót bởi những hiểu biết và kinh nghiệm cònhạn chế, rất mong nhận được những đóng góp quý báu của quý thầy giáo, côgiáo, các bạn đồng nghiệp và các bạn đọc

- Mỗi giáo viên cần phải thường xuyên tự học, tự bồi dưỡng, rèn luyện đểkhông ngừng trau dồi về kiến thức kĩ năng dạy học

- Thường xuyên đổi mới về cách soạn, cách giảng, đưa các ứng dụng công

nghệ thông tin vào dạy học, đa dạng hoá các phương pháp và hình thức tổ chứcdạy học để lôi cuốn được học sinh vào quá trình học tập

- Cần quan tâm sâu sát đến từng đối tượng học sinh đặc biệt là học sinh

yếu kém, giúp đỡ ân cần, nhẹ nhàng tạo niềm tin, hứng thú cho các em vào môn học

- Trong quá trình dạy giáo viên phải hướng dẫn học sinh vào việc phát

huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo, tạo ra những tình huống có vấn đề để họcsinh thảo luận Trong mỗi tiết phải tạo ra được quan hệ giao lưu đa chiều giữagiáo viên – học sinh, giữa cá nhân, tổ, nhóm

Đề tài “Vận dụng bất đẳng thức Cô si tìm cực trị đại số” được tiến hành

trong thời gian ngắn, đối tượng nghiên cứu chỉ được tiến hành trên các em họcsinh khối lớp 8,9 Trường THCS Quảng Chính, và số năm giảng dạy của bản