(SKKN 2022) Rèn luyện kĩ năng tìm điểm rơi và kinh nghiệm áp dụng bất đẳng thức Côsi cho học sinh lớp 9 ở trường THCS Hải Lộc Hậu Lộc Thanh Hóa

Chúng ta đã và đang áp dụng các phương pháp dạy học tích cực, với các kĩ thuật dạy học tích cực nhằm giúp học sinh phát huy huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo, rèn luyện thói

I MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài.

Hiện nay, chúng ta đang tích cực đổi mới phương pháp dạy học trong tất cả các nhà trường nhằm mục đích nâng cao chất lượng và hiệu quả giáo dục Chúng ta đã và đang áp dụng các phương pháp dạy học tích cực, với các kĩ thuật dạy học tích cực nhằm giúp học sinh phát huy huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo, rèn luyện thói quen và khả năng tự học, tinh thần hợp tác, kĩ năng vận dụng kiến thức vào những tình huống khác nhau trong học tập và thực tiễn tạo niềm tin, niềm vui, hứng thú trong học tập Giúp học sinh chủ động lĩnh hội kiến thức từ đó phát triển tư duy sáng tạo, tránh việc học mang tính nhàm chán đơn điệu

Qua thực tế giảng dạy, theo dõi học sinh làm các bài thi tuyển sinh vào THPT và các bài thi học sinh giỏi hoặc khảo sát chất lượng, tôi nhận thấy đa số học sinh lớp 9 trường THCS Hải Lộc né tránh các bài toán về bất đẳng thức, các bài toán về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất kể cả khi đó là những bài toán không khó Có những em đã nhận ra cần áp dụng BĐT Côsi nhưng khi áp dụng lại mắc phải một số sai lầm do điều kiện dấu bằng, Tất cả những khó khăn trên chủ yếu do các em chưa nắm vững kiến thức, chưa có phương pháp, kĩ thuật tìm điểm rơi (điều kiện dấu “=” xảy ra) và đặc biệt là ít khi được va vấp với những bài toán khó khi học trên lớp

Từ những lí do trên, tôi đã tìm hiểu và tích lũy những kinh nghiệm của bản

thân về “Rèn kĩ năng tìm điểm rơi và kinh nghiệm áp dụng bất đẳng thức Côsi cho học sinh lớp 9 ở trường THCS Hải Lộc – Hậu Lộc – Thanh Hóa”

giúp quá trình học tập của các em có thêm hứng thú và niềm tin Đây cũng là tài liệu của bản thân tôi chia sẻ với đồng nghiệp sử dụng để ôn tập cho các em trong mỗi dịp ôn thi, nâng cao điểm số, nâng cao chất lượng giáo dục trong nhà trường

2 Mục đích nghiên cứu.

a Đối với giáo viên: - Nâng cao trình độ chuyên môn cụ thể là thành thạo và

phát triển hơn nữa kĩ năng giải các bài toán về BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất khi áp dụng tìm điểm rơi trong bất đẳng thức Côsi

- Tìm ra các giải pháp, hình thức dạy học và bồi dưỡng học sinh nhằm đạt hiệu quả cao nhất Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức

b Đối với học sinh:- Giúp học sinh học tập tốt hơn môn toán nói chung và việc

giải các bài toán về BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất nói riêng Trang bị cho học sinh một số kiến thức mới nhằm nâng cao năng lực học môn Toán

- Gây được hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK, sách tham khảo, giúp học sinh tự khai thác bài toán cơ bản và vận dụng thành thạo các phương pháp đó để giải bài tập nâng cao hơn Thông qua việc tìm điểm rơi để định hướng được cách làm từ đó giải quyết vấn đề một cách nhanh gọn hơn

3 Đối tượng nghiên cứu: Đề tài áp dụng để rèn kĩ năng tìm điểm rơi và kinh

nghiệm áp dụng bất đẳng thức Côsi cho học sinh lớp 9 ở trường THCS Hải Lộc – Hậu Lộc – Thanh Hóa

4 Phương pháp nghiên cứu

4.1 Phương pháp nghiên cứu lí luận:Thông qua các tài liệu: Sách giáo

khoa, sách một số vấn đề phát triển toán 8, 9 Các chuyên đề bồi dưỡng toán THCS, nâng cao và phát triển Toán 9, báo toán học tuổi trẻ, tổng hợp chuyên đề trọng tâm thi vào 10 chuyên, internet

4.2 Phương pháp kiểm tra: Qua các bài kiểm tra trắc nghiệm và tự luận

của học sinh để nắm bắt kiến thức, kĩ năng việc giải các bài toán về BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Đặc biệt lưu ý tới các sai lầm thiếu sót mà học sinh thường mắc phải trong quá trình tìm điều kiện để dấu “=” xảy ra

4.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Thông qua việc giảng dạy hàng

ngày của bản thân, kết quả học tập của học sinh và việc ứng dụng tìm điểm rơi của học sinh để làm bài tập

4.4 Phương pháp phân tích, tổng hợp: Từ các bài thực tế giảng dạy, các

bài làm của học sinh, các khóa học để phân tích kĩ càng điểm thiếu sót, lập luận chưa chặt chẽ của học sinh Thông qua trao đổi kinh nghiệm giảng dạy của đồng nghiệp để tổng hợp lại các bài giảng chi tiết nhất, cụ thể nhất để cung cấp cho học sinh một cách hiệu quả nhất

5 Những điểm mới của SKKN

- Ngoài việc cung cấp đầy đủ các kiến thức cơ bản cho học sinh cần nắm được tôi đã chú trọng hơn đến việc chia ra các dạng từ cơ bản đến nâng cao

- Đưa ra các ví dụ và bài toán và chỉ ra các lỗi mà học sinh và giáo viên hay mắc phải để các em rút kinh nghiệm

- SKKN trước tôi chỉ đưa ra kỹ thuật chọn điểm rơi với BĐT Cô-si thì SKKN này tôi đã thêm kỹ thuật chọn điểm rơi với BĐT Bunhia

- Các dạng bài tập phong phú đa dạng hơn và đặc biệt mỗi dạng có các bài tập

để các em tự luyện

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Toán học là một môn học khó, học sinh khi học và vận dụng vào giải bài tập thì cần có sự linh hoạt trong từng bài, từng trường hợp Trong khi học về dạng bất đẳng thức thì bất đẳng thức Côsi là một trong những bất đẳng thức cơ bản nhất, được áp dụng thường xuyên nhất và cũng dễ hiểu, đơn giản Tuy nhiên trong khi giải bài tập, để dùng được bất đẳng thức này một cách sáng tạo, tự nhiên không mang tính áp đặt thì ta phải dùng đến một phương pháp gọi là

phương pháp chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Côsi Khi áp dụng bất đẳng

thức Côsi trong các bài toán tìm cực trị thì việc lựa chọn tham số để tại đó dấu

“=” xảy ra là điều quan trọng và khó khăn nhất

Đôi lúc trong các bài toán khi các biến bị giới hạn bởi một điều kiện nào

đó thì khi áp dụng trực tiếp sẽ dẫn đến nhiều sai lầm Vì vậy, để học sinh chủ động chiếm lĩnh tri thức, nâng cao chất lượng dạy và học tôi đã chọn đề tài này Sáng kiến này tôi muốn trình bày những phương pháp cụ thể để ta có thể tìm được tham số phù hợp đồng thời chia sẻ một vài kinh nghiệm khi áp dụng bất đẳng thức Côsi

2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Thực trạng chung:

Hiện nay, chương trình học môn Toán nói riêng và chương trình các môn học của học sinh THCS nói chung tương đối nhiều kiến thức Tuy nhiên, đối với môn Toán, khi kiểm tra, đánh giá, thi học sinh giỏi hay thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, cấu trúc đề thi luôn được phân theo các cấp độ: Nhận biết, thông hiểu, vận dụng cấp thấp, vận dụng cấp cao Bởi vậy đề thường xuất hiện 5-10% trở lên câu hỏi khó và bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thường được lựa chọn nhiều nhất Tuy nhiên thời lượng để rèn học sinh dạng này rất ít, giáo viên thấy khó nên cũng né tránh, học sinh thấy khó càng lười và cứ như vậy các em

ít được va chạm, không có phương pháp, ít kinh nghiệm mà thi vẫn phải thi! Điểm thấp, câu hỏi khó làm các em dễ bi quan, dẫn đến chán học, tự ti khi học

và thi Toán Các bài toán bất đẳng thức là bài toán khó, phạm vi kiến thức rộng đặc biệt là với học sinh lớp 9, các dạng bài toán này lại thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi, các đề thi vào lớp 10 THPT

2.2 Đối với giáo viên

* Thuận lợi:

- Nhà trường xây dựng hệ thống cơ sở vật chất đầy đủ để phục vụ tốt quá trình

học tập của học sinh và giảng dạy của giáo viên, luôn đề cao, chú trọng về đổi mới phương pháp, tạo điều kiện tốt để giáo viên nghiên cứu, tìm tòi và thực nghiệm

- Các đồng nghiệp luôn tận tâm, tận tình trao đổi và chỉ bảo khi giáo viên cần

- Hệ thống internet và sách tham khảo hiện tại tương đối đầy đủ

* Khó khăn

- Các dạng toán về bất đẳng thức là dạng toán khó vì phạm vi và kiến thức rộng nên khi dạy còn nhiều lúng túng

- Giáo viên khi dạy về bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất chỉ chữa bài tập

là xong, ít khai thác, phân tích, mở rộng bài toán, đến khi học sinh gặp bài toán khác một chút là không có phương pháp giải nên không giải được

- Không đưa ra hoặc sửa chữa những sai lầm mà học sinh thường mắc phải khi giải các bài toán này Giáo viên có ít thời gian để nghiên cứu, tìm tòi

2.3 Đối với học sinh.

* Thuận lợi: - Có nhiều học sinh nỗ lực, ham học hỏi, tự giác và yêu thích môn

Toán, thích khám phá những kiến thức mới

- Phụ huynh học sinh quan tâm nên thời gian cũng như sách tham khảo của học sinh tương đối đầy đủ

* Khó khăn: - Học sinh ít khi được gặp hay làm các bài toán về bất đẳng thức

hay giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên lớp do thời lượng bài giảng có hạn

- Một bộ phận học sinh còn ham chơi, học cầm chừng, chưa có thói quen tự đọc sách, tự nghiên cứu,…

3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

3.1 Cơ sở lí thuyết:

3.1.1 Bất đẳng Côsi: Nếu a; b  0 thì ta có BĐT: ab 2. a b.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi “a = b”

3.1.2 Các dạng thường gặp của BĐT Côsi:

Dạng 1: ab 2. a b. với a; b  0 Dạng 2: 



a b với a > 0 ; b > 0

Dạng 3:  



a b a b với a; b >0 (BĐT phụ)

3.1.3 Công thức mở rộng của BĐT Côsi: Cho a a1; ; ; 2 a3 a n 0;

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1= = a2 a3  a n

3.2 Phương pháp và kĩ năng:

3.2.1 Điểm rơi:

3.2.1.1 Khái niệm về điểm rơi: Điểm rơi trong bất đẳng thức là giá trị đạt được

của biến khi dấu “=” trong bất đẳng thức xảy ra

Trong các bất đẳng thức, dấu “=” thường xảy ra trong các trường hợp sau:

- Khi các biến có giá trị bằng nhau Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại âm.

- Khi các biến có giá trị tại biên Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại biên.

3.2.1.2 Ví dụ về điểm rơi:

Ví dụ 1 Cho , 0

1

a b

a b







 

 , tìm GTNN của A

ab

a b



2

Giải: Ta có: 21 2 1 2 4 2 4 2 4

a b  a  ab b  a b  (vì a b,  0;a b  1)

Dấu “=” xảy ra

a

a b

b

a b

b







 



1

1

2 Min A 4 khi a

2

2

Ví dụ 2 Cho , 0

1

a b

a b







 

 , tìm GTNN của B

ab

a b

 2 2

2 1

Lời giải 1 Ta có: B

ab

 2 2 2  2  2

Dấu “=” xảy ra

a b ab a b

Vô nghiệm Vậy không tồn tại Min B?

Lời giải 2 Ta có:

B

Mặt khác aba b  

2 4 

B

3

Dấu “=” xảy ra

a b ab

a b

   



  



1 2 1

Vậy Min B = 8

3khi a b 

1

2.

Lời bình: ví dụ 1 và ví dụ 2 gần như tương tự nhau, cùng áp dụng bất đẳng thức

1 1 4

a b a b Lời giải 1 tại sao lại sai? Lời giải 2 tại sao ta tách 1 1 1

2ab 6ab3ab

? Làm sao nhận biết được điều đó? Đó chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Và qua sáng kiến này chúng ta sẽ hiểu sâu hơn về kỹ thuật

“chọn điểm rơi” trong việc giải các bài toán cực trị và chứng minh bất đẳng thức

Có rất nhiều cách chia các dạng của bài toán ra thành từng nhóm để đưa

ra phương pháp giải chung và lôgic nhất, sau đây tôi xin chia ra thành 2 dạng là: biểu thức có tính chất đối xứng và biểu thức không đối xứng

3.2.2 Biểu thức có tính chất đối xứng:

3.2.2.1 Khái niệm về tính đối xứng: Là biểu thức mà trong đó nếu thay ẩn này

bởi ẩn kia trong đẳng thức hay BĐT thì đẳng thức, BĐT đó không thay đổi về giá trị

3.2.2.2 Ví dụ:   A x y

y x ;  

2 2

x y B

M

y z x z y x





2 2

2 2

P

ab a b ; Q a b  1b a 1;…

3.2.2.3 Kinh nghiệm:

- Khi gặp các BĐT có tính đối xứng, thì giá trị của điểm rơi chính là các giá trị

bằng nhau của các biến

- Thông thường giá trị của điểm rơi đạt được tại biên của các điều kiện đề bài cho

3.2.2.4 Các bài toán minh họa:

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: H  x 1

x với a)  0 1

4

Sai lầm thường gặp: H  x 1 2 x.1 2

x x Vậy GTNN của H là 2

Nguyên nhân sai lầm: Theo trên có GTNN của H = 2 khi và chỉ khi

1  1

x Điều này mâu thuẫn với giả thiết  0 1

4

x

Lời giải đúng:

a) Dự đoán điểm rơi: là x = 1

4 Thử:  1   1 4 17

x

Tìm điểm rơi: Gọi M là một số thực tùy ý sao cho:  x m.1

x

Thay x =1

4 vào x m.1

x ta có m = 1

16 Tách và áp dụng BĐT Côsi ta được:

  1  15 2 1  15  1 15

x

Vậy  1 1517

H nên H có giá trị nhỏ nhất bằng 17

4

khi x = 1

4

Nhận xét: - Trong bài điểm rơi được chọn là x =1

4 Đây chính là giá trị biên của điều kiện đã cho.

- Trong lời giải trên ta đã cố định x và tách 1

x Vậy tương tự ta cũng

có thể cố định 1

x và tìm m tương tự.

b) Dự đoán điểm rơi: là x = 2 Thử:  1  2 1 5

2 2

x Tìm điểm rơi: Gọi m là một số thực tùy ý sao cho:  x m.1

x

Thay x = 2 vào 1 m x

x ta có m = 1

4 Tách và áp dụng BĐT Côsi ta được:

 3  1  1 3 2 1 3  1 3

H

x x

Vậy  1 3 5

2 2

H nên H có giá trị nhỏ nhất bằng 5

2 khi x =2

Vì sao chúng ta lại biết phân tích được như lời giải trên Đây chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức

Quay lại bài toán trên, dễ thấy x càng tăng thì H càng tăng Ta dự đoán H đạt

GTNN khi x 2 Khi đó ta nói H đạt GTNN tại “Điểm rơi x 2” Ta không thể áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số x và 1

x vì không thỏa mãn quy tắc

dấu “=” Vì vậy ta phải tách x hoặc 1

x để khi áp dụng bất đẳng thức Côsi thì

thỏa quy tắc dấu “=”

Giả sử ta sử dụng bất đẳng thức Côsi cho cặp số x,1

x



 sao cho tại “Điểm rơi x

= 2” thì x 1

x



 , ta có sơ đồ sau:

x 2

x 2







 





A a

     và ta có lời giải như trên

Lưu ý: Để giải bài toán trên, ngoài cách chọn cặp số x,1

x



  ta có thể chọn các các cặp số sau: x,1

x



  hoặc x,

x



  hoặc x, 1

x



 .

Bài 2: Cho 2 số thực dương a, b thỏa a b 1 Tìm GTNN của A ab 1

ab

Dự đoán điểm rơi: là 1

2

a b 

Phân tích:

Ta có: 2 1

a b

ab   

Sơ đồ điểm rơi:

1

4 1

4

ab ab

ab











Giải: Ta có:

2

a b

ab     ab

     Vậy GTNN của A là 174 khi 1

2

a b 

Bài 3: Cho a, b 0 thỏa mãn a b 1

Tìm GTNN của: A a b 1 1

Sai lầm thường gặp là:   11 4 4 1.1  4

b a b a b a b a

Nguyên nhân sai lầm: GTNN của A là 4 a b 1 1 a b 1

Khi đó a b  2 1 trái giả thuyết

Phân tích:

Dự đoán điểm rơi: là 1

2

a b 

Sơ đồ điểm rơi:

a b











 



 

Lời giải đúng:

Dấu “=” xảy ra 1

2

a b

   Vậy GTNN của A là 5 khi 1

2

a b 

Bài 4: Cho

, , 0

1 1 1 4

x y z

x y z









  





P

x y z x y z x y z

Sai lầm thường gặp:

Sai lầm 1:

                

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 10

P

10

9

MaxP

Sai lầm 2: P

xyz x yz xy z

            

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10

Nguyên nhân sai lầm: Cả hai lời giải trên đều đã biết hướng “đích” song chưa

biết chọn điểm rơi

x y z

y x z

x y z

  



 



    



   



2 2 10

2 9

1 1 1 4

(vô nghiệm),

Tức là không tồn tại ( , , )x y z để P 10

9

Lời giải đúng:

Dự đoán điểm rơi: 4

3

x  y z

2x y z x x y z 16 x x y z

      , tương tự và ta có:

16

P

x y z x y z x y z

           

Vậy MaxP 1 khi 4

3

x  y z

x y z x x y z x x y z

x y z x yz

mặt khác: 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 1 2 1 1

x x y z x x y z x y z x y z

          

 

tương tự ta có:

1 .4 1 1 1 1

16

P

x y z

    

4

x  y z , suy ra:

1

MaxP  khi 1

4

x  y z

Nhận xét: Ta có thể mở rộng bài 3: Cho x y z , , 0 Và

x y z 

1 1 1 4

P

Với   , , N: Cách làm tương tự như bài 3, ta tách x x x x



        

soá

, Nếu , , R

   , thì bài toán có còn giải quyết được không? Câu trả lời dành cho độc giả trong phần sau “Kỹ thuật chọn điểm rơi trong Bunhia”

Bài 5: Cho a, b, c0; 3

2

a b c   Tìm GTNN củaA a b c 1 1 1

Phân tích: Dự đoán điểm rơi: là 1

2

a b c  

Sơ đồ điểm rơi:

1

2

2

a b c









Giải: A 4a 4b 4c 1 1 1 3a 3b 3c

a b c

a b c

1 2

a b c

Vậy GTNN của A là 132 khi 1

2

a b c  

Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  

2 2

A

xy với x2  12 1

y và x;y>0

Giải: Biến đổi    

2 2

A

xy y x Đặt t x

y , suy ra  A t 1

t

Mà ta có 1 x2  12 2 x2 12 2.x

2

x

y Hay  0 1

2

t

Dự đoán điểm rơi là 1

2

t Thử:     1 2 1 5

2 2

A t

t Tìm điểm rơi: Gọi a là một số thực tùy ý sao cho: 1 a t

t

Thay 1

2

t vào 1 a t

t ta có a = 4 Tách và áp dụng BĐT Côsi ta được:

4  3  1 4  1 3 2 4 1 3  4 3

Do 0   1 3 3 4 3  4 3 5

Vậy Min A = 5

2 khi  1 1

x t

y và x2  12 1

2

2

Nhận xét: Bài toán trên cho ta một kinh nghiệm chính là kinh nghiệm tìm giá trị

biên của điều kiện    

1 0

2

t

Bài 7: Cho x, y > 0, x + y  6.Chứng minh rằng: P x x  1y y  1 12

Giải: Dự đoán điểm rơi là x y 3

Thử: V T 3 3 1   3 3 1   12 (Đúng)

Biến đổi: P x2 y 2  x y 

Tìm điểm rơi: - Với x = 3 ta có: 2  2 

x

- Với y = 3 ta có: y 2 32 9

Tách và áp dụng BĐT Côsi ta được:

 2 9  2 9    18 6x + 6y    185   18

 P30 18 12   Vậy P x x  1 y y  1 12 khi x y 3

Nhận xét: Như vậy có bài chúng ta cần phải biến đổi rồi mới tìm điểm rơi và áp

dụng BĐT Côsi Ngoài ra luôn cần kết hợp với giả thiết để có hướng biến đổi.

Ví dụ trong bài tập trên do có điều kiện x+y  6 nên chúng ta chọn cách thêm

9, áp dụng BĐT Côsi cho 2 cặp số 2 2

vµ 9; y 9

Bài 8: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1 Chứng minh rằng: