Mục tiêu nghiên cứu của sáng kiến là tìm tòi, chọn lọc những phương pháp hợp lý nhất để dẫn dắt hình thành cho HS một cách suy nghĩ mới làm quen với dạng toán này để dần các em có được một phương pháp giải cơ bản nhất.
Trang 1CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
- ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN
Kính gửi: Hội đồng sáng kiến ngành giáo dục thị xã Bình Long
Tôi (chúng tôi) ghi tên dưới đây:
Số
TT Họ và tên
Ngày tháng năm sinh
Nơi công tác Chức
danh
Trình độ chuyên môn
Tỷ lệ (%) đóng góp vào việc tạo
ra sáng kiến
HUÂN
7/10/1977 Trường THCS
An Lộc B
Giáo viên
1 Là tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: " Sử dụng bất đẳng thức Cauchy vào chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị "
2 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến (trường hợp tác giả không đồng thời là chủ đầu tư
tạo ra sáng kiến)3: Không có
3 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến4: Toán 9
4 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu 10/2020
5 Mô tả bản chất của sáng kiến5:
5.1 Tính mới của sáng kiến:
+ Những bài toán về chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị lớn nhất trong chương trình toán THCS là tương đối khó, đặc biệt là trong việc ứng dụng các kiến thức cũng như cách giải
+ Trong chương trình đại số lớp 8, phần chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị (chủ yếu là phần vận dụng hằng đẳng thức đáng nhớ ), trong ôn thi tuyển sinh 10, thi các trường chuyên và ôn thi hoc sinh giỏi có nhiều bài nâng cao Trong khuôn khổ
bài viết này tôi chỉ xin đề cập đến một vấn đề cơ bản là " Sử dụng bất đẳng thức Cauchy vào chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị "
+ Hình thành cho học sinh thói quen suy nghĩ tìm tòi, lựa chọn xử lí thông tin trong các tình huống cụ thể
5.2 Nội dung sáng kiến:
5.2.1: Thực trạng vấn đề
Qua quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn thi lớp 10, tôi thấy:
Trang 2- Đa số HS sợ toỏn chứng minh, toỏn cực trị và khụng hỡnh dung được cỏch giải, nờn khụng phỏt huy hết tớnh tớch cực, độc lập, sỏng tạo của bản thõn
- HS khụng ỏp dụng được cỏc kiến thức đó biết để CM bất đẳng thức và tỡm cực trị
- Khả năng tư duy để tỡm ra kiến thức ỏp dụng vào yờu cầu của bài toỏn rất yếu Trước thực trạng trờn đũi hỏi phải cú cỏc giải phỏp trong phương phỏp dạy và học sao cho phự hợp
5.2.2: Cơ sở lớ luận
Nhiều năm gần đây trong các kỳ thi chọn lọc học sinh giỏi các cấp bậc THCS và các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT thường có các bài toán yêu cầu chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất (GTLN); giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức nào đó
Các bài toán chứng minh bất đẳng thức và tỡm cực trị rất phong phú và đa dạng, nó tương đối mới và khó đối với học sinh THCS Để giải các bài toán bất đẳng thức và cực trị học sinh phải biết biến đổi tương đương các biểu thức đại số, phải sử dụng khá nhiều hằng đẳng thức từ đơn giản đến phức tạp phải tổng hợp các kiến thức và kỹ năng tính toán, tư duy sáng tạo
Vậy làm thế nào để học sinh có thể định hướng được hướng đi, hay hơn thế là hình
thành được một công thức "ẩn tàng" nào đó khi gặp một bài toán chứng minh bất
đẳng thức và cực trị đại số
Là giỏo viờn trực tiếp giảng dạy toỏn trong trường THCS, trong quỏ trỡnh giảng dạy, đặc biệt ụn thi lớp 10 và học sinh giỏi, tụi luụn trăn trở, tỡm tũi, chọn lọc những phương phỏp hợp lý nhất để dẫn dắt hỡnh thành cho HS một cỏch suy nghĩ mới làm quen với dạng toỏn này để dần cỏc em cú được một phương phỏp giải cơ bản nhất
Trong khuụn khổ nhỏ này tụi xin nờu ra một kiến thức cơ bản sử dụng bất đẳng thức Cauchy vào chứng minh bất đẳng thức và tỡm cực trị "
5.2.3: Giải phỏp
Trong đề tài này, tụi xin nờu cỏc định nghĩa cực trị và cỏc kiến thức cơ bản để giải
một bài toỏn chứng minh bất đẳng thức và tỡm cực trị
Các kiến thức cần thiết
1 Các định nghĩa
1.1 Định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN) của một biểu thức đại số cho biểu thức f(x,y, ) xác định trên tập xỏc định D : M được gọi là GTLN của f(x,y, ) trên
tập xỏc định D nếu 2 điều kiện sau đồng thời thoả mãn :
1 f(x,y, ) M (x,y, ) D
2 (x0, y0, ) D sao cho f(x0, y0 ) = M
Ký hiệu : M = Max f(x,y, ) = fmax với (x,y, ) D
Trang 31.2 Định nghĩa giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức đại số cho biểu thức f(x,y, ) xác định tập xỏc định D : M được gọi là GTNN của f(x,y, ) trờn tập xỏc định D đến 2 điều kiện sau đồng thời thoả mãn :
1 f(x,y, ) M (x,y, ) D
2 (x0, y0, ) D sao cho f(x0, y0 ) = M
Ký hiệu : M = Min f(x,y, ) = fmin với (x,y, ) D
2 Các kiến thức thường dùng
2.1 Luỹ thừa :
a) x2 0 x R x2k 0 x R , k z - x2k 0
Tổng quát : f (x)2k 0 x R, k z - f (x)2k 0
Từ đó suy ra : f (x)2k + m m x R, k z
M - f (x)2k M b) x 0 x 0 ( x )2k 0 x0 ; k z
Tổng quát : ( A)2k 0 A 0 (A là 1 biểu thức)
2.2 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối :
a) |x| 0 x|R
b) |x+y| |x| + |y| ; nếu "=" xảy ra x.y 0
c) |x-y| |x| - |y| ; nếu "=" xảy ra x.y 0 và |x| |y|
2.3 Một số bất đẳng thức đơn giản thường gặp được suy ra từ bất đẳng thức (a+b) 2 0
a a2 + b2 2ab
b (a + b)2 4ab
c 2( a2 + b2 ) (a + b)2
d
e
2.4 Bất đẳng thức Cauchy :
* ai 0 ; i = 1 ,n : n
n n
a a a n
a a
a
.
2 1 2
1
nN, n 2
dấu "=" xảy ra a1 = a2 = = an
- Bất đẳng thức này cú tờn gọi chớnh xỏc là bất đẳng thức giữa trung bỡnh cộng và
trung bỡnh nhõn ( Inequality of arithmatic and geometric means ) Ở nhiều nước trờn
thế giới, người ta gọi bất đẳng thức này theo kiểu viết tắt là bất đẳng thức AM-GM
( AM là viết tắt của arithmatic mean và GM là viết tắt của geometric mean )
- Ở nước ta, bất đẳng thức này được gọi theo tờn của nhà Toỏn học người Phỏp
Augustin-Louis Cauchy ( 1789-1857 ), tức là bất đẳng thức Cauchy
2
a
b b
a
b a a
b
4 1 1
Trang 4- Đõy là bất đẳng thức cổ điển nổi tiếng và quen thuộc đối với phần lớn học sinh nước ta Nú được ứng dụng rất nhiều trong cỏc bài toỏn về bất đẳng thức và cực trị
* Bất đẳng thức này cũn được viết ở hai dạng khỏc tương đương là
2
2
a b
ab
và 2 2 2
2
a b
Trong phạm vi chương trỡnh toỏn cấp THCS, chỳng ta quan tõm nhiều nhất đến
ba trường hợp riờng của bất đẳng thức Cauchy là :
Kỹ thuật sử dụng Cauchy trực tiếp
Ví dụ 1 : Cho a > b > 0 Tìm GTNN của M = a +
) (
1
b a
b
Giải :
Ta có : M = a +
) (
1
b a
b = b + (a-b) +
) (
1
b a
b 3.3
) (
) (
b a b
b a b
(theo Cauchy)
M 3 minM = 3 b = a-b =
) (
1
b a
1
2
b a
Vậy : minM = 3
1
2
b a
Ví dụ 2 : Cho x, y là cỏc số thực thỏa món x + y = 2 Chứng minh
2
xy x y
Giải :
Theo bất đẳng thức Cauchy dạng : ab
2
2
a b
, ta cú
2
Dấu " = " xảy ra 22 2 1
2
Kỹ thuật ghộp đối xứng
Trong bài toỏn mà biểu thức ở hai vế tương đối phức tạp, việc chứng minh trực tiếp trở nờn khú khăn thỡ ta sử dụng kỹ thuật " ghộp đối xứng " để bài toỏn trở nờn đơn giản hơn
Ở cỏc bài toỏn bất đẳng thức, thụng thường chỳng ta hay gặp phải hai dạng toỏn sau :
+) Dạng 1: Chứng minh X YZ A B C
Trang 5Ý tưởng Nếu ta chứng minh được X Y 2A Sau đó, tương tự hóa để chỉ ra
2
Y Z B và ZX 2C( nhờ tính chất đối xứng của bài toán )
Sau đó cộng ba bất đẳng thức trên lại theo vế rồi rút gọn cho 2, ta có ngay điều phải chứng minh
+) Dạng 2: Chứng minh XYZ ABC với X Y Z , , 0
Ý tưởng Nếu ta chứng minh được 2
XYA Sau đó, tương tự hóa để chỉ ra 2
YZ B
ZX C ( nhờ tính chất đối xứng của bài toán )
Sau đó nhân ba bất đẳng thức trên lại theo vế rồi lấy căn bậc hai, ta có
XYZ A B C ABC ABC
VÝ dô 1: Cho a, b, c là ba số thực dương Chứng minh rằng
c a b
Gi¶i :
Bài toán này có dạng X Y Z A B C với
, A = a, B = b, C = c
Để ý hai biểu thức ab
c và bc
a là đối xứng với b ( tức vai trò của a và c là như nhau )
Do đó, sử dụng kỹ thuật gép đối xứng, ta dễ dàng chứng minh được :
2
ab bc
b
c a ( theo Cauchy)
Từ đó bài toán được giải quyết hoàn toàn
VÝ dô 2: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn 1 1 1 2
1 x1 y1 z Tìm giá trị lớn nhất của Q = xyz
Gi¶i :
1 x1 y1 z , ta suy ra
Tương tự :
Nhân ba bất đẳng thức trên lại theo vế, ta thu được
xyz
xyz
Trang 6Dấu "=" xảy ra 1 1 1 1
2
Vậy maxQ =1
2
xyz
Kỹ thuật Cauchy ngược dấu
VÝ dô 1: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 Tìm GTNN của
T
Gi¶i :
Để ý rằng theo bất đẳng thức Cauchy thì
b b b
Cộng ba bất đẳng thức trên lại theo vế, suy ra
Ta lại có ab bc ca 3, điều này hiển nhiên đúng vì 2
3 3
a b c
ab bc ca
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1
Vậy minT =3
2khi a = b = c = 1
VÝ dô 2: Cho các số x y z , , 0 và x+ y + z = 1 Chứng minh rằng
x y z x y z
Gi¶i :
Do x+ y + z = 1 nên bất đẳng thức cần chúng minh có thể viết lại thành
x 2yzx y z2 4xyyzzx
Do vai trò của x và z trong bất đẳng thức là như nhau, nên ta hoàn toàn có thể giả sử
xz Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng a b 2 4ab, ta có xyz2 4x y z
Sử dụng đánh giá này, dễ thấy chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được
2 ( )( ) ( ) 0
x x yz xy zx y xz Hiển nhiên đúng khi giả sử xz
Bài toán được chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi x = z = 0,5 và y = 0
5.3 Khả năng áp dụng của sáng kiến: Sáng kiến này có thể áp dụng cho GV bồi
dưỡng học sinh giỏi toán ở trường THCS, phụ đạo nâng cao và ôn thi tuyển sinh lớp
10
Trang 76 Những thông tin cần được bảo mật (nếu có):
7 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
Đối với Gv: Nắm vững kiến thức và phối hợp các phương pháp một cách linh hoạt Đối với Hs: Nắm vững kiến thức, tự tin, năng động, sáng tạo
8 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo
ý kiến của tác giả1:
Kết quả cụ thể: Năm học 2020 – 2021, khi ôn tập và phụ đạo lớp 9
Lớp Sĩ số Biết hướng
giải
Tỉ lệ
%
Không biết cách giải
Tỉ lệ %
Chưa áp
dụng
9 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo
ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có)7:
Tôi xin cam đoan mọi thông tin nêu trong đơn là trung thực, đúng sự thật và hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật
Phú Thịnh, ngày 28 tháng 01 năm 2021 Người nộp đơn Nguyễn Văn Huân