SKKN vận dụng bất đẳng thức côsi vào giải một số bài toán tìm GTLN,GTNN

VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GTLN, GTNN I.. ĐẶT VẤN ĐỀ Bất đẳng thức Cô-si là bất đẳng thức rất quan trọng trong toán học, áp dụng nhiều trong bài tập chứn

VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI VÀO GIẢI

MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GTLN, GTNN

I ĐẶT VẤN ĐỀ

Bất đẳng thức Cô-si là bất đẳng thức rất quan trọng trong toán học, áp dụng

nhiều trong bài tập chứng minh bất đẳng thức và những bài tập tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức

Nhưng bất đẳng thức Côsi không được đề cập trong sách giáo khoa toán THCS

mà chỉ có trong một bài tập của sách bài tập toán 9

Hệ quả của bất đẳng thức Côsi cũng không kém phần quan trọng, áp dụng rất nhiều vào việc tìm GTLN, GTNN của một biểu thức Nhưng hệ quả của bất đẳng thức Cô-si không được đề cập trong sách toán THCS Đối với giáo viên nhất là giáo viên dạy nâng cao hoặc bồi dưỡng không thể bỏ qua được việc nghiên cứu và

áp dụng bất đẳng thức Côsi và hệ quả của nó cho các bài tập toán ở lớp 9

Trong các kỳ thi học sinh giỏi và thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, học sinh cũng có thể gặp bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất liên quan đến bất đẳng thức Côsi

Với mong muốn có được một tài liệu để dạy cho học sinh ở THCS tôi sưu tầm, tuyển chọn một số bài toán tìm GTLN, GTNN ở bậc THCS và viết thành đề tài:

“Vận dụng bất đẳng thức Côsi vào giải một số bài toán tìm GTLN, GTNN” để

góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn toán tại trường THCS

II NỘI DUNG

a) Bất đẳng thức Côsi : Với hai số không âm thì trung bình cộng luôn lớn hơn

hoặc bằng trung bình nhân của nó

Cụ thể: Với a ≥ 0; b ≥ 0 thì a b ab

2



 Dấu “ = ” xảy ra a = b

b) Hệ quả 1: Nếu tổng của hai số dương không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi

hai số đó bằng nhau

Cụ thể: a b 2 ab  mà a + b = S không đổi nên

2

S

S 2 ab a.b

4

  

Vậy maxa.b =

2

S

a b

4  

c) Hệ quả 2: Nếu tích của hai số dương không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi

hai số đó bằng nhau

Cụ thể: a b 2 ab mà a.b = P không đổi nên a b 2 P

Vậy min (a + b) = 2 P  a b

d) Mở rộng với 3 số: Với a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 thì a b c 3

abc 3

 

 Dấu “ = ” xảy ra

a = b = c

III ÁP DỤNG

1) Một số bài toán đại số vận dụng bất đẳng thức Côsi

Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức : M =

2

2

a a 2

a a 1

 

  với mọi giá trị của a

Giải

Ta có: M =

2

a a 1

Vì a2   a 1 0 ;

2

1

0

a a 1



  nên áp dụng BĐT Cô-si ta có:

Dấu “ = ” xảy ra khi: a2 a 1 2 1 a2 a 1 1 a(a 1) 0 a 0

a 1

a a 1





             

Ví dụ 2: (Đề thi vào lớp 10 THPT Hà Tĩnh 2011-2012)

Cho các số a, b, c đều lớn hơn 25

4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Q

Giải

Do a, b, c > 25

4 (*) nên suy ra: 2 a 5 0, 2 b 5 0, 2 c  5 0

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương, ta có:

2 5  



a

2 5 2

2 5  



b



c

Cộng vế theo vế của (1),(2) và (3), ta có: Q5.3 15

Dấu “ = ” xẩy ra a = b = c = 25 (thỏa mãn điều kiện (*))

Vậy Min Q = 15 a = b = c = 25

Ví dụ 3:

8

Giải

Ta giải bài này bằng cách dùng hệ quả 1 của BĐT Cô-si:

Đặt A= (x 3)(5 x)   Nhận xét P > 0 nên P đạt min khi A đạt max khi và chỉ khi

(x+3)(5 – x) đạt max Xét tổng (x+3) +(5 – x) = 8 là số không đổi

Vậy tích (x+3)(5 – x) đạt max  x+3 = 5 – x 2x = 2 x = 1(TMĐK)

Thay x = 1 vào P min P = 2 khi x = 1

Ví dụ 4:

Cho biểu thức:

2

x 72 N

3x



 (x > 0) Tìm x để N đạt giá trị nhỏ nhất

Giải

2

N



   Vì x 0 ; 24 0

3  x  nên áp dụng hệ quả 2 của BĐT Cô-si

Xét tích x 24. 8

3 x  không đổi  x 24

3 x đạt min x 24

3 x

   x 6 2 (vì x > 0) Thay x 6 2  vào N ta có min N 4 2    x 6 2

Ví dụ 5: Tìm GTNN của:

x 1

 b)

3 x

x 1 x

   



Giải

a) Ta biến đổi A để áp dụng được BĐT Côsi cho hai số dương: x 1 và 1

x 1





Ta có : A (x 1) 1 1

x 1

   

 Theo BĐT Cô-si:

Vậy A 2 1 3    min A = 3 1 2

x 1 (x 1) 1 x 2

x 1

      

 (loại x = 0 vì x>1)

b) Ta biến đổi B sao cho áp dụng được BĐT Cô-si



        

Vì 0 < x < 1 nên 3(1 x) 0

x

 

và x 0

1 x 



Áp dụng BĐT Cô-si, ta có: 3(1 x) x 2 3

x 1 x

Vậy B2 3 3 Suy ra min B 2 3 3  3(1 x) x





1 2

2

3 3 2

3 3

1 2

x

x x

x

 







    

 





Vậy min B 2 3 3 x 3 3

2



   

Ví dụ 6: (Đề thi vào lớp 10 THPT Hà Tĩnh 2016-2017)

Cho a, b là các số dương thỏa mãn ab = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2

7

F 2a 2b 3 a b

(a b)

    



Giải

Vì a, b > 0 nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

a b 2 ab    2 2a 2b 2(a b) 4      2a 2b 3 0 (do ab = 1)

Mặt khác, ta có: a3 b3 2 (ab)3 2 (do ab = 1)

3 3 (2a 2b 3)(a b ) 2(2a 2b 3) 4(a b) 6

7 7(a b) 7(a b) 7 18(a b)

3

2



Vậy F đạt giá trị nhỏ nhất bằng 15

4 Dấu “ = ” xẩy ra khi a = b =1

Ví dụ 7: Cho a, b > 0 cho trước Các số x, y > 0 thay đổi sao cho a  b 1

x y

Tìm x, y để S = x + y đạt giá trị nhỏ nhất theo a, b

Giải

Ta có: a b 1 S x y a b a b bx ay

           

   S a b bx ay   a b ab

y x

2

 

S a b ab

Mà 1   

   

 



x a ab

a b

(loại)

Ví dụ 8 : Tìm GTNN của hàm y = 2 1

x x với 0 < x < 1

Giải

x x x x ( 0 < x < 1)

1





x

x x

2) Một số bài toán hình học vận dụng bất đẳng thức Côsi

Ví dụ 1: ( Bài 67 SBT Toán 9 – Tập 1)

a) Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất; b) Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi bé nhất

Giải

Gọi a, b là kích thước của hình chữ nhật Ta có a >0, b >0

Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có: a b ab

2

 

a) Với các hình chữ nhật có cùng chu vi thì a b

2

 không đổi (bằng một phần tư

chu vi) Suy ra ab đạt giá trị lớn nhất bằng a b

2

 khi a = b Điều này có nghĩa là trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất

b) Với các hình chữ nhật có cùng diện tích thì tích a.b không đổi nên ta có: a b

2



đạt giá trị nhỏ nhất bằng ab khi a = b Điều này có nghĩa là trong các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi bé nhất

Ví dụ 2: ( Bài tập 95 SBT Toán 9 – Tập 1)

a) Trong các hình hộp chữ nhật có cùng tổng ba kích thước thì hình lập phương

có thể tích lớn nhất;

b) Trong các hình hộp chữ nhật có cùng thể tích thì hình lập phương có tổng ba kích thước bé nhất

Giải

Gọi a, b,c là ba kích thước của hình hộp chữ nhật

Ta có a > 0, b > 0, c > 0

a

b

c

Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có: a b c 3

abc 3

  

a) Với các hình hộp chữ nhật có cùng tổng ba kích thước thì a b c

3

 

không đổi

Suy ra 3 abc đạt giá trị lớn nhất bằng a b c

3

 

khi a = b = c Điều này có nghĩa là trong các hình hộp chữ nhật có cùng tổng ba kích thước thì hình lập phương có thể tích lớn nhất

b) Với các hình hộp chữ nhật có cùng thể tích thì tích a.b.c không đổi nên ta có:

a b c

3

 

đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3abc khi a = b = c Điều này có nghĩa là trong các hình hộp chữ nhật có cùng thể tích thì hình lập phương có tổng ba kích thước

bé nhất

Ví dụ 3: ( Đề thi vào lớp 10 THPT Hà Tĩnh 2006-2007)

Từ điểm S ngoài đường tròn (O; R), vẽ hai tiếp tuyến SA, SB (A, B là các tiếp điểm) Cát tuyến qua S (cắt bán kính OB) cắt đường tròn tại M, N Qua O, vẽ đường thẳng vuông góc với OS cắt các tia SA, SB thứ tự tại E, F Khi đường tròn (O; R) và đường thẳng MN cố định, tìm vị trí của S trên đường thẳng MN để diện tích tam giác SEF nhỏ nhất

Giải

Ta có: SSEF = 2.SSOE = SE.OA = (SA+AE).R

SSEF đạt giá trị nhỏ nhất SA+AE đạt giá trị nhỏ nhất

Theo hệ thức lượng trong ∆SOE vuông tại O

Ta có: SA AE = OA2 = R2 ( không đổi )

Nên SA + AE nhỏ nhất SA = AE = R

(theo hệ quả 2 bất đẳng thức Cô-si )

∆SOE vuông cân tại E và ∆SOA vuông

cân tại A  SA = OA = R OS R 2 

Vậy S là giao điểm của đường tròn tâm O,

bán kính R 2 với đường thẳng MN

Ví dụ 4: (Đề thi vào lớp 10 THPT Hà Tĩnh 2007-2008)

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính BC = 2R không đổi Vẽ hai dây BM, CN sao cho cắt nhau tại H Tia BN cắt CM tại A Tìm vị trí của điểm P trên trên đoạn thẳng BC để tích PH PA đạt giá trị lớn nhất

A

B

N

M

E

F

Giải

Ta có: ∆PBH ∽∆PAC(g-g) PH PB PH.PA PB.PC

PH.PA đạt giá trị lớn nhất PB.PC đạt giá trị lớn nhất

Mà PB + PC = BC = 2.OB = 2.R ( không đổi )

PB.PC đạt giá trị lớn nhất PB = PC = R

(theo hệ quả 2) P ≡ O

Vậy P ≡ O thì PH.PA lớn nhất và Max PH.PA = R2

Ví dụ 5: ( Đề thi vào lớp 10 THPT Hà Tĩnh 2009-2010)

Cho đường tròn tâm O có các đường kính MN, PQ (PQ không trùng MN)

Các tia NP, NQ cắt tiếp tuyến tại M của đường tròn tâm O thứ tự ở E, F

Khi MN cố định, PQ thay đổi, tìm vị trí của E và F khi diện tích tam giác NEF đạt giá trị nhỏ nhất

Giải

Ta có : SNEF 1.MN.EF

2

 Do MN không đổi

nên SNEF đạt giá trị nhỏ nhất

EF đạt giá trị nhỏ nhất Theo hệ thức

lượng trong ∆NEF vuông tại N, ta có:

ME.MF = MN2 không đổi

Mà ME + MF = EF EF2 (MEMF)2 4.ME.MF4MN2(theo bđt Cô-si)

EF 2MN

  (do EF > 0) Do đó Min EF = 2MN ME = MF = MN

Vậy vị trí của E và F cùng cách tiếp điểm M một khoảng bằng MN khi MN cố định, PQ thay đổi thì SNEF đạt giá trị nhỏ nhất Min SNEF 1.MN.EF MN2

2

Ví dụ 6: (Đề thi vào lớp 10 THPT Hà Tĩnh 2012-2013)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Hai đường cao AD, BE cắt nhau tại H (D ∈

BC, E ∈ AC).Gọi F là giao điểm của tia CH với AB Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q AD BE CF

HD HE HF

Giải

Đặt SBHC = S1, SAHC = S2, SAHB = S3, SABC = S

Vì ∆ABC nhọn nên trực tâm H nằm bên trong ∆ABC,

do đó: S = S1 + S2 + S3

Ta có: ABC

BHC 1

S

HD S S (1)

A

N

M

H

C

P O

B

M

N

Q

P

O

B

F

A

E

C

D

H

ABC

S

HE  S S (2)

ABC

S

HF S S (3)

Cộng vế theo vế (1), (2), (3), ta được:

          

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương, ta có:

S S   1 S2 S3 3 S S S3 1 2 3 (4) ;

3

S S S  S S S (5) Nhân vế theo vế (4) và (5), ta được: Q ≥ 9 Đẳng thức xẩy ra   S1 S2 S3 hay H

là trọng tâm của ∆ABC, nghĩa là ∆ABC đều Vậy Min Q = 9

Ví dụ 7:

Cho hình vuông ABCD cạnh a, lấy điểm M bất kỳ trên cạnh BC ( M khác B và C)

Kí hiệu SABM , SDCM lần lượt là diện tích của các tam giác ABM, DCM Chứng minh tổng SABM + SDCM không đổi Xác định vị trí của điểm M trên cạnh BC để

S S đạt giá trị nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó theo a

Giải

AMB

. .

DCM



2

 a BC a không đổi (do BC = a)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương ta có :

2

 



 

S S

Vậy giá trị nhỏ nhất của:

4

8

a

2 4

ABM DCM

a

điểm M là trung điểm BC

a

C

D

M

a

Ví dụ 8: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c Gọi x, y, z theo thứ tự là

khoảng cách từ điểm M ở trong tam giác tới các cạnh BC, AC, AB

Xác định vị trí của điểm M để tổng a b c

x  y z có giá trị nhỏ nhất

Giải

Gọi S là diện tích tam giác ABC

 S = SMBC + SMAC + SMAB

S = 1

2(ax + by + cz)

 ax + by + cz = 2S không đổi

Ta xét biểu thức:

P = (ax + by + cz)(a b c

x y z)

= a2 + b2 + c2 + ab(x y

y  x ) + bc( y z

z  y) + ca(x z

zx ) Theo bất đẳng thức Côsi với x, y, z > 0

Ta có: x y

2

y x , dấu “ = ” xảy ra khi x = y

y z

2

z  y , dấu “ = ” xảy ra khi y = z

x z

2

z  x , dấu “ = ” xảy ra khi x = z

Do đó P  a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc Hay 2S(a b c

x y z  )  (a + b + c)2

a b c

a b c

 

x y z ) =  2

a b c 2S

 

 x = y = z

 M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

3) Bài tập tương tự

Bài 1: Tìm GTNN của

2

2

x 2

x 1



 ( HD: Áp dụng :

2

x  1 và 12

x 1)

Bài 2: Tìm GTNN của 8

1





x

x với x > 1 (HD: Áp dụng : x 1 và 9

x 1 )

a

b

c

x

y

z

A

B

C

M

Bài 3: Tìm GTLN của A = x 1  x2 với -1≤ x ≤ 1 (HD: Áp dụng : x2

và 1 – x2)

Bài 4: Tìm GTNN của y = 2 1

x x với 0 < x < 1(HD: Áp dụng :

2x

1 x và

1 x x

 )

Bài 5: Tìm GTLN của B = yz x 1 xz y 2 xy z3

xyz với x ≥ 1, y ≥ 2, z ≥ 3

2 2 2 2 3



B

Bài 6: Tìm GTNN của C =

2

2

2 1

 

 

x x

x x (HD: Áp dụng :

2

x  x 1 và 2 1

x  x 1)

IV KẾT LUẬN

Bất đẳng thức Côsi và hệ quả rất quan trọng trong việc chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN của biểu thức nên chúng ta cần khai thác và tìm hiểu sâu hơn về bất đẳng thức này

Thông qua việc hướng dẫn học sinh tìm tòi, sáng tạo các bài toán mới từ những bài toán đã học, đã gặp giúp học sinh tự tin hơn trong giải toán, nhờ đó mà học sinh phát huy được tư duy và nâng cao năng lực sáng tạo, bước đầu hình thành cho học sinh niềm say mê nghiên cứu khoa học

Để gây hứng thú và niềm say mê nghiên cứu khoa học cho học sinh, trước hết người thầy giáo phải nêu cao tấm gương tự học, tự nghiên cứu nhằm nâng cao trình

độ chuyên môn nghiệp vụ của mình Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ mà tôi tích luỹ được khi dạy các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất có vận dụng bất đẳng thức Côsi, hy vọng rằng đề tài này của tôi góp phần tăng thêm hiệu quả học tập của học sinh Dù đã cố gắng học hỏi trau dồi kiến thức song không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được sự quan tâm góp ý chân thành của đồng nghiệp và hội đồng khoa học các cấp để đề tài ngày một hoàn thiện hơn Xin trân trọng cảm ơn

Ngày 04/01/2017