Ứng dụng đạo hàm trong bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị của hàm nhiều biến

Trong chuyên đề này tôi xin giới thiệu một phương pháp rất hữu hiệu đó là: “Ứng dụng đạo hàm trong bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị của hàm nhiều biến” . Đạo hàm là một khái niệm quan trọng của giải tích, nó là công cụ sắc bén để nghiên cứu các tính chất của hàm số. Ứng dụng đạo hàm trong bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị của hàm nhiều biến cho phép giải quyết một số dạng toán về chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị hàm nhiều biến

là học sinh không biết bắt đầu từ đâu khi giải bài toán này.

Trong chuyên đề này tôi xin giới thiệu một phương pháp rất hữu hiệu đó là:

“Ứng dụng đạo hàm trong bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị của hàm nhiều biến” Đạo hàm là một khái niệm quan trọng của giải tích, nó là công cụ

sắc bén để nghiên cứu các tính chất của hàm số Ứng dụng đạo hàm trong bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị của hàm nhiều biến cho phép giải quyết một số dạng toán về chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị hàm nhiều biến

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:

- Trang bị cho học sinh về một phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trịlớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nhiều biến

- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán Qua đó học sinh nâng caokhả năng tư duy, sáng tạo và hình thành nhiều cách giải khác nhau

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:

- Các dạng toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất nằmtrong chương trình toán phổ thông

- Phân loại các dạng toán thường gặp và phương pháp giải mỗi dạng

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

-Tham khảo sách, báo, tài liệu

- Thực tiễn giảng dạy

V §èi t îng häc sinh :

- Häc sinh líp 12

VI DỰ KIẾN SỐ TIẾT GIẢNG DẠY:

- 8 tiết

1.2 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn.

Bài toán : Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn a; b và chỉ có một số hữu hạn điểm tới hạn trên đoạn đó Hãy tìm max f(x) và a; b min f(x) a; b

Cách giải

-Tìm các điểm tới hạn x1, x2, …, xn của f(x) trên đoạn a; b

-Tính f(a), f(x1), f(x2), …, f(xn), f(b)

- Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số f(a), f(x1), f(x2), …, f(xn), f(b) Khi đó: Mmax f(x) ;a; b mmin f(x)a; b

Chú ý: Nếu hàm số y=f(x) không có điểm tới hạn nào trên đoạn a; b thì f’(x) giữ nguyên dấu trên đoạn đó, tức là f(x) hoặc đồng biến, hoặcnghịch biến

+) f(x) đồng biến trên đoạn a; b thì :    

1.3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng.

Bài toán : Cho hàm số y =f(x) liên tục trên khoảng (a; b) Tìm max f(x) , a; b min f(x) a; b

1.4 Một số bất đẳng thức cơ bản thường sử dụng.

 Cho hai số thực x y, ta có: x y 2  4 xy Dấu đẳng thức xảy ra khi xy

 Cho hai số thực dương x y, ta có: 1 1x y x y4

 Dấu đẳng thức xảy ra khi xy

a b

 Cho n số thực không âm a a1 , , , 2 a n ta có: 1 2 n 1 2

a a  a n a a a (bất đẳngthức Cauchy) Dấu đẳng thức xảy ra khi a1 a2   a n

2 CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN.

2.1 Khảo sát hàm đặc trưng.

- Đối với một lớp các bất đẳng thức nhiều biến khác, nhưng ta nhận thấy các biến có thể xử lý được một cách riêng lẻ ta cũng thường tìm cách phân ly các biến và đưa ra một hàm đặc trưng để khảo sát

- Đối với dạng này thì tuỳ vào cấu trúc của bài toán mà ta có cách phân ly các biến Bài 1 Cho các số x y z, , thỏa mãn x y z   3 Chứng minh rằng

x  x  y  y  z  z 

Giải

Xét hàm số   2 1 ,

1

x

x x



 

 2  2

3 1 '

x

f x





'  0 1; lim   1; lim   1

Bảng biến thiên

X   1 

f’(x) + 0

-f(x) 2

-1 1

Từ bảng biến thiên ta có f x   2, x hay 2 1 2, 2 1 1 1 1  

2 1

x

x x



  Tương tự ta có 2 1   

2

y  y  y

2 1   

2

z  z  z

2

x  x  y  y  z  z  x y z     đpcm.

Bài 2 Cho ba số dương a b c, , thỏa mãn a2 b2 c2  1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 2a 2 2 b 2 2 c 2

Bài 3: Cho x y, 0;x3 y3 1 Tìm GTLN của A x 2 y.

Bài 4: Tìm ba góc của tam giác ABC biết

2

Bài 5: Cho các số không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện : xy + yz + xyz = 4 (*)

CMR : x y z xy yz zx     (1) Hỏi đẳng thức xảy ra khi nào

2.2 Khảo sát hàm số theo từng biến

 Đối với bất đẳng thức nhiều biến, ta có thể khảo sát lần lượt từng biến một bằng cách chọn một biến làm tham số biến thiên và cố định các biến còn lại, bài toán lúc này trở thành bất đẳng thức một biến Luôn có tâm thế nhìn biểu thức nhiều biến mà ta cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất dưới dạng là một hàm số để

ta sử dụng được công cụ hiệu quả trong bài toán là đạo hàm.

 Sơ đồ tổng quát.

Giả sử tìm cực trị của biểu thức ba biến x y z, , là P x y z( , , ) với điều kiện T nào đó.

- Bước 1 Xem P x y z( , , ) là hàm theo biến x , còn y z, là hằng số Khảo sát hàm này tìm cực trị với điều kiện T Ta được:

Làm tương tự ta được Max P 2067  a 1,b 2,c 0

Bài 2 (ĐH Khối A-2011) Cho ba số thực x y z , , 1; 4 và xy x z,  Tìm giá trị nhỏ

y x

P P xy

x y

 

 

  3

2.3.1 Biểu thức chứa hai biến.

Dạng 1 Sử dụng phương pháp thế biến để đưa về biểu thức một biến

Bài 1 Cho x y , 0 thỏa mãn x y  1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhât của biểu thức P4x2  3y 4y2  3x 25xy (Đề TSĐH khối D - 2009)

Vậy: Giá trị lớn nhất của P là 20 đạt tại x 3

Giá trị nhỏ nhất của P là -12 đạt tại x 1

B2: Thay vào biểu thức P ta được hàm số một biến t

B3: Tìm điều kiện của biến t theo BĐT x y 2  4xy hoặc điều kiện ràng buộc của đề bài.

B4 Khảo sát hàm số theo biến t trên miền vừa xác định để tìm GTLN, GTNN

Chú ý: đôi khi ta còn phải sử dụng các BĐT cơ bản để đánh giá làm cho bài toán trở

nên đơn giản hơn.

Bài 1 Cho x y, là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện

Dạng bài toán này đề cập đến kỹ thuật đặt x ty y tx ;  đề đưa về hàm số một biến.

Bài 1 Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy y 1 Tìm giá trị lớn nhất

Vậy giá trị lớn nhất của P là 5 7

3 30

Bài 2 Cho x y, là hai số thực dương phân biệt thỏa mãn điều kiện x2  2y 12 Tìm

giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2.3.2 Biểu thức chứa ba biến

Dạng 1 Sử dụng phép thế để đưa biểu thức về một biến số.

Bài 1 Cho 3 số a b c, , thỏa mãn a b c   0, a2 b2 c2  1 CMR: 2 2 2 1

2 1 6

Dạng 2 Đánh giá thông qua đại lương trung bình của biến số.

Trong quá trình đánh giá để đưa về biểu thức một biến ta thường sử dụng một số BĐT cơ bản sau:

 Với mọi số thực x y z, , ta luôn có:

Nhận xét: Với các bài toán có x y z, , a b x y z s; ;    ta thường sử dụng bất đẳng thức

để tìm mối liên hệ giữa các đại lượng đối xứng xy yz z xyz  x;

Một số đẳng thức cần chú ý:

a b c  3 a3 b3 c3  3a b b c c a       

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2 khi a b  0,c 1 hoặc các hoán vị

Bài 2 Cho x y z, , là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện x2 y2 z2  2 Tìm giá

Do đó 0  t 6

Xét hàm số  

2 , 0; 6

Khi 2 5

8

a b c    P Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là 5

8

Dạng 3 Biểu thức có hai biến đối xứng.

Ghép cặp hai biến đối xứng với nhau và đánh giá bất đẳng thức cơ bản như Cô-Si

và Bunhiacopxki hoặc một số bất đẳng thức phụ đưa về biến còn lại và hoàn tất bằng khảo sát hàm số

Bài 1 Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn điều kiện a c b c      4c2 Tìm giá

Nên '  3 3 2 0    2 1 2

2

f t     f t f   Do đó P  1 2

Khi a b c   P  1 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 2

Bài 2 Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn x2 y2 z2  1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 6y z x   27xyz

Vậy giá trị lớn nhất của P là 10

Bài 3 Cho x y z, , là các số thực thỏa mãn 2 2 1 2

PHẦN C: KẾT LUẬN

Chuyên đề đã trình bày được một số kỹ thuật biến đổi biểu thức nhằm đưa biểu thức về một biến và ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số Các kiến thức đã được áp dụng vào giảng dạy ôn thi THPT QG và cả ôn thi HSG Kết quả đạt được là rất khả quan, gây hứng thú cho học sinh

Tuy nhiên, do nhiều nguyên nhân khác nhau, chuyên đề còn nhiều hạn chế và sai sót Rất mong được sợ đóng góp của các thầy cô, bạn bè và bạn đọc

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Khám phá tư duy kỹ thuật giải Bất đẳng thức và Bài toán Max, Min

[2] Đề thi tuyển sinh Đại học và Cao đẳng

[3] Trài liệu trên mạng