Van dung BAT DANG THUC cosi

www.facebook.com/hocthemtoan

1. Cho , x y là 2 số dương thỏa x y+ =1 Tìm GTNN của A x= 2+y2

HD:

 x2+m2 ≥2mx và y 2+m2 ≥2ym m( >0)

x + y + m ≥ m x y+ = m

 Suy ra A x= 2+ y2 ≥2m−2m2

 Dấu “=” xảy ra khi x= =y m tức là 1

2

x= = =y m

 Vậy GTNN của A là 1

2 khi

1 2

x= =y

2. Cho , , x y z là 3 số dương thỏa x y z+ + = 1 Tìm GTNN của A x= 2+ y2+z2 HD:

 x2+m2 ≥2mx y, 2 +m2 ≥2ym z, 2+m2 ≥2mz m( >0)

 Suy ra x2+y2+ +z2 3m2 ≥2m x y z( + + =) 2m

 Suy ra A x= 2+ y2+z2 ≥2m−3m2

 Dấu “=” xảy ra khi x= =y m tức là 1

3

x= = = =y z m

 Vậy GTNN của A là 1

3 khi

1 3

x= = =y z

3. Cho , x y là 2 số dương thỏa x y+ =1 Tìm GTNN của 2 2

4

A= x + y

HD:

4x +m ≥4mx và y +n ≥2 yn m>0, n>0

 Suy ra 4x2+ y2+m2+n2 ≥4mx+2ny

 Ta chọn m, n sao cho 4m=2 n n( =2m)

A= x +y ≥ m x y+ −m −n = m− m

 Dấu “=” xảy ra khi 2x m và y n= = =2m, tức là:

1 2 5

5 25 5

m− m = − = khi 1, 4

4. Cho , ,x y z là 3 số dương thỏa x y z+ + = 1 Tìm GTNN của A=4x2+y2+z2 HD:

 4x2+m2 ≥4mx y, 2+n2 ≥2 , yn z2+ p2 ≥2 pz m( >0,n>0,p>0)

4x + y + +z m +n + p ≥4mx+2ny+2pz

 Ta chọn m n p sao cho m, , 4 =2n=2 p n( = =p 2m)

 Suy ra A =4x2+y2+z2 ≥4m x y z( + + −) m2− −n2 p2 =4m−9m2

 Dấu “=” xảy ra khi 2x m và y z= = =2m, tức là:

1 4 9

9 81 9

m− m = − = , khi 1, 4

x= y z= =

5. Cho , ,x y z là 3 số dương thỏa x y z+ + =1 Cho 3 số dương a, b, c

Tìm GTNN của 2 2 2 2 2 2

A a x= +b y +c z

HD:

 a x2 2+m2 ≥2amx, b y2 2+n2 ≥2bny, c z2 2 +p2 ≥2cpz (m 0, n 0, p 0> > > )

 Suy ra: a x2 2+b y2 2+c z2 2+m2+n2+p2 ≥2amx 2bny 2cpz+ +

 Ta chọn , ,m n p sao cho am bn cp= =

A a x= +b y +c z ≥2am x y z( + + −) m2− −n2 p2 2 2

1 1 1

 Đặt M 12 12 12

= + + ⇒ ≥A 2am Ma m− 2 2

, ,

1 1

m am am

x y z



 = + + = + +



 Vậy: m 1 , x 21

 Vậy GTNN của A là: A 2 M 12 1

6. Cho , ,x y z là 3 số dương thỏa x y z+ + = 1 Tìm GTNN của A x= 3+y3+z3 HD:

 x3+m3+m3 ≥33m m x3 3 3 =3m x2 ; y3+m3+m3 ≥33m m y3 3 3 =3m y2

z3+m3+m3≥33 m m z3 3 3 =3m z2

Suy ra x3+ + +y3 z3 6m3≥3m (x2 + + + =y z) 3m2

 Suy ra A 3m≥ 2−6m3

3

x= = = =y z m

 Vậy GTNN của A là:

3

1 1 3

3 9

 ÷

 

7. Cho x y z , , >0; x y z+ + =1 Cho 3 số dương , ,a b c Tìm GTNN của:

A a x= 3 3+b y3 3 +c z3 3.

HD:

 m>0, n>0, p>0

 a x3 3+m3+m3 ≥33 m m a x3 3 3 3 =3m ax2 ; b y3 3+ + ≥n3 n3 33n n b y3 3 3 3 =3n by2

c z3 3+p3+p3≥33 p p c z3 3 3 3 =3p cz2

Suy ra a x3 3+b3 3y +c3 3z +2m3+2n3+2p3≥3m2ax+3n by2 +3p cz2

 Chọn m n p sao cho m a n b, , 2 = 2 = p c2

 Suy ra: A 3m (≥ 2a x y z+ + −) 2(m3+ +n3 p3)⇒ ≥A 3m2a−2(m3+ +n3 p3)

 Dấu “=” xảy ra khi: x m,y n,z p

1 x y z m n p

= + + ta được:

1 m aM= m 1 ,x 1

 Vậy GTNN của A là:A 31 31 31

A

8. Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là BC=a, CA=b, AB=c Điểm M ở miền trong hoặc trên cạnh của tam giác ABC Gọi x d M BC= ( , ), y d M CA z d M AB= ( , ), = ( , )

Chứng minh ax by cz+ + không thay đổi Tìm GTNN, GTLN của f = + +x y z

HD:

 Diện tích ABC bằng tổng diện tích các tam giác MBC, MCA, MAB suy ra:

ax by cz 2+ + = S =2 p p a p b p c( − )( − )( − )

 Đặt t min 1 1 1, , ,T max 1 1 1, ,

 Ta có: f x y z 1ax 1by 1cz

f ≥tax tby tcz t ax by cz+ + = + + = St

Xét dấu “=” xảy ra :

• Nếu t 1 thì chon y z 0 và x 2S (M A)

• Nếu t 1

b

= thì chọn x z 0 và y 2S (M B)

b

• Nếu t 1

c

= thì chọn x y 0 và z 2S (M C)

c

Giá trị nhỏ nhất của f là 2St

 Tương tự, giá trị lớn nhất của f là 2ST

9. Cho x≥0,y≥0,z≥0 và x y z+ + =1 Tìm GTLN của A x= n+ y n+z n n( >1)

HD:

x và n nên x x

≤ ≤ > ≤ Tương tự với y, z

 A x y z≤ + + =1

 Dấu “=” xảy ra khi x = 1 hoặc y = 1 hoặc z = 1

 A lớn nhất là 1

10. Cho x≥0,y≥0,z≥0 và x y z+ + =1 Cho a>0, b>0, c>0 Tìm GTLN của:

A ax= n +by n+cz n n( >1)

HD:

 Gọi T là max a b c ( , , )

 Do 0≤ ≤x 1 và n>1 nên ax n ≤ax Tx≤ Tương tự với , y z

 A T x y z≤ ( + + =) T

 Dấu “=” xảy ra khi:

(T =a x, =1,y z= =0 , ) (T =b y, =1,x z= =0 , ) (T =c z, =1,x= =y 0)

Tóm tắt kết quả 10 bài BĐT 1-10

Xét GTNN và GTLN của:

f =ax +by +cz (q nguyên dương và n>1), trong đó:

, ,

x y z là các số dương thay đổi thỏa: x y z 1+ + = và a, b, c là các hằng số dương

 Với GTNN ta chặn f≥g(a,b,c) bằng cách xét từng phần và áp dụng BĐT

Côsi:

ax + −(q 1)m≥q ax m q q q− =qx am q q−

by + −(q 1)n q by n≥ q q q− =qy bn q q−

cz + −(q 1)p≥q cz p q q q− =qz cp q q−

Ta chọn m, n, p dương sao cho: am q−1=bn q−1=cp n−1=t

Suy ra các giá trị m, n, p là:

= ÷ = ÷ = ÷

Cộng vế các BĐT trên để có: f ≥ − −qt (q 1)(m n p+ + )

Dấu đẳng thức xảy ra khi:

1 1

( 1) 1

1 1

q q q

q

q

a

a

−

−

−

 

= = ÷ ⇒ =

1 1

( 1) 1

1 1

q q q

q

q

b

b

−

−

−

 

= = ÷ ⇒ =

 

1 1

( 1) 1

1 1

q q q

q

q

c

c

−

−

−

 

= = ÷ ⇒ =

 

1 ( 1)

x y z t

−

M

= + + ; 1 q q( 1)

t M

−

 

f

−

 Trường hợp riêng n 1, f= =ax by cz+ + thì f ≤Max a b c( , , ) và

( , , )

f ≥Min a b c

Với GTLN ta có: f ≤ax by cz Max a b c+ + ≤ ( , , )