Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức AM GM trong chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị đại số

Lý do chọn đề tài Trong môn toán ở trường phổ thông nói chung và đại số lớp 9 nói riêng thì phần chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị đại số giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng

1 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài

Trong môn toán ở trường phổ thông nói chung và đại số lớp 9 nói riêng thì phần chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị đại số giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng Bất đẳng thức và tìm cực trị đại số là một chuyên đề khó trong chương trình toán phổ thông Qua thực tế nhiều năm giảng dạy, đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi nhận ra rằng rất nhiều học sinh, kể cả học sinh giỏi khi tiếp cận với các bài toán dạng này đều rất ngại Ngoài một số lượng các bất đẳng thức tên tuổi còn rất nhiều kỹ thuật khó, chưa kể phải kết hợp nhuần nhuyễn chúng lại với nhau Phải là người có tư duy tốt và nhiều kinh nghiệm mới xử lý được Trong chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị đại số cấp THCS thì bất đẳng thức AM – GM (hay còn gọi là bất đẳng thức Cauchy) được sử dụng rất nhiều Chính vì thế trong quá trình giảng dạy bộ môn toán lớp 9 cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9, tôi

đã mạnh dạn chọn đề tài: “Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức AM - GM trong chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị đại số" Tôi hi vọng đề tài này có thể làm

tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh khá giỏi, rèn luyện cho học sinh năng lực từ những kiến thức quen biết, nhận dạng và đưa những bài tập chưa biết cách giải về dạng bài tập quen biết đã biết cách giải, có được hệ thống bài tập để nâng cao chất lượng giáo dục, đặc biệt là ôn luyện cho học sinh giỏi cũng như thi vào

các trường THPT chuyên

1.2 Điểm mới của đề tài

“Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức AM - GM trong chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị đại số” đã được nhiều người nhắc đến Tuy nhiên còn nêu

chung chung và chưa khái quát được những sai lầm cụ thể, chưa đưa ra được các phương pháp cụ thể để khắc phục những sai lầm cho học sinh Vì thế, trong đề tài này, với kinh nghiệm của bản thân đã đúc kết được qua quá trình nghiên cứu và thực tế giảng dạy, tôi đã cố gắng phân tích, chỉ ra các sai lầm của học sinh, đề ra các giải pháp cụ thể thông qua các ví dụ minh họa giúp học sinh tránh được các sai lầm về sau Mong rằng đề tài sẽ được các đồng nghiệp và các em học sinh đón nhận

1.3 – Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

* Đối tượng nghiên cứu:

Như đã nói ở trên, đề tài này tập trung vào 2 đối tượng:

- Giáo viên đang giảng dạy môn Toán THCS Đặc biệt là GV đang giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi 8, lớp 9

- Học sinh khá giỏi lớp 8 và lớp 9

* Phạm vi nghiên cứu:

- Trong sáng kiến này tôi chỉ nêu ra một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức

AM - GM mà chúng ta thường hay gặp trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị đại số trong chương trình toán THCS

2 – PHẦN NỘI DUNG 2.1 – Thực trạng của nội dung cần nghiên cứu

Thực tế cho thấy Toán học là nền tảng cho mọi ngành khoa học, là chiếc chìa khoá vạn năng để khai phá và thúc đẩy sự phát triển cho mọi ngành khoa học, kinh tế, quân sự trong cuộc sống Chính vì vậy việc dạy và học bộ môn toán trong nhà trường đóng vai trò vô cùng quan trọng Dạy toán chiếm vị trí số một trong các môn học của nhà trường, đối với giáo viên, dạy toán là niềm tự hào song

đó cũng là thử thách vô cùng lớn Để dạy toán và học toán tốt thì Thầy và Trò không ngừng rèn luyện và đầu tư trí và lực vào nghiên cứu học hỏi Học và dạy toán với chương trình cơ bản đã rất khó, xong dạy và học toán trong đào tạo mũi nhọn lại vô cùng gian truân, việc học và dạy không dừng ở việc người học và người dạy phải có trí tuệ nhất định mà cả thầy và trò phải dày công đầu tư vào nghiên cứu các dạng toán, thuật toán vận dụng hợp lý các tính chất toán học do các nhà toán học đã nghiên cứu vào giải toán, ngoài ra người dạy và học toán phải tự rèn luyện và nghiên cứu để có những công trình toán của riêng mình cùng góp sức

để đưa bộ môn toán ngày càng phát triển

Qua quá trình giảng dạy nhiều năm gần đây bản thân tôi thấy việc hình thành cho học sinh cách suy nghĩ để tìm lời giải cho bài toán hoặc mỗi dạng toán nào đó là công việc rất khó Đứng trước một bài toán nếu người thầy chưa hiểu, chưa có hướng giải thì ta hướng dẫn học sinh như thế nào, thật khó trong những tình huống như thế người thầy sẽ mất vai trò chủ đạo trong việc dạy học sinh, còn học sinh đã không giải được toán nhưng lại mất niềm tin ở thầy và cảm thấy việc học toán là cực hình, là khó vô cùng không thể học được

Khảo sát thực tế 15 học sinh khá giỏi tại một trường THCS về các bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị đại số (khi ch a áp d ng sáng ki n) có k t ưa áp dụng sáng kiến) có kết ụng sáng kiến) có kết ến) có kết ến) có kết

qu nh sau: ả như sau: ưa áp dụng sáng kiến) có kết

Khi gặp dạng toán chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm cực trị đại số, đa số học sinh thường rất ngại, không biết bắt đầu từ đâu và làm như thế nào

Với các dạng toán khác mà khi triển khai đến bước phải chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm cực trị đại số thì học sinh thưởng giải sai hoặc lúng túng

Trong các đề thi HSG và thi vào THPT chuyên thường có dạng chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm cực trị đại số mà phần lớn là áp dụng bất đẳng thức AM

-GM, nên nếu học sinh nắm phần này không tốt thì khó để có thể đạt được điểm cao

Trong quá trình dạy học đôi khi chính giáo viên cũng mắc sai lầm, chính vì vậy tôi xin mạnh dạn đưa ra một số giải pháp sau đây để góp phần tránh được sai lầm cơ bản cho học sinh

2.2 Các giải pháp thực hiện

2.2.1 Giới thiệu cơ bản về bất đẳng thức AM - GM

Bất đẳng thức này có tên gọi chính xác là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, hay gọi tắt là bất đẳng thức AM – GM (Arithmetic Mean – Geometric Mean) Ở nước ta, bất đẳng thức này được gọi theo tên của nhà toán học người pháp Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1857), tức là bất đẳng thức Cauchy Thực ra, đây là một cách gọi tên không chính xác vì Cauchy chỉ là người đưa ra cách chứng minh rất hay của mình chứ không phải là người phát hiện ra bất đẳng thức này đầu tiên

Dạng tổng quát của bất đẳng thức AM – GM như sau:

Cho x x1, , ,2 x là các số thực không âm, ta có: n

Dạng 1: 1 2

1 2

n n

n

x x x n



Dạng 2: 1 2 n 1 .2

x x  x n x x x

Dạng 3: 1 2

1 2

n n

n

x x x n



Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 x2   x n

* Một số dạng đặc biệt của bất đẳng thức AM – GM:

+)

2

x y

xy



 với x y , 0

3

x y z

xyz

 

 với x y z , , 0

+) x y 1 1 4

x y

x  y x y với x y , 0

+) x y z 1 1 1 9

x  y  z x y z  với x y z , , 0

* Một số bất đẳng thức được suy ra từ bất đẳng thức AM – GM:

Với x y z, , là các số thực không âm, ta có:

+) x2  y2 2 ; 2xy x2  y2 x y 2; 2x y   x  y

+) x2  y2 z2 xy yz zx 

+) 3x2  y2 z2 x y z  2 3xy yz zx  

+) x y2 2 y z2 2z x2 2 xyz x y z   

+) 3x4  y4 z4 xy yz zx  2 3xyz x y z   

2.2.2 Giải pháp 1: Kỹ thuật xác định “điểm rơi”

Khi đánh giá bất đẳng thức, cái ta hay quên đó là cần phải được bảo toàn dấu đẳng thức xảy ra mà ta hay gọi là bảo toàn “điểm rơi” Một thực tế cho thấy việc xác định điểm rơi cho một bất đẳng thức quyết định đến hơn nửa thành công cho công việc tìm lời giải Ý tưởng chính của chọn điểm rơi chính là việc xác định được dấu đẳng thức xảy ra khi nào để có thể sử dụng những đánh giá hợp lý Trong quá trình chứng minh các bất đẳng thức ta thường gặp sai lầm là áp dụng ngay bất đẳng thức AM - GM mà quên mất dấu đẳng thức xảy ra tại đâu Để hiểu rõ hơn về

“điểm rơi”, ta xét một số bài toán sau đây

Bài toán 1: Cho số thực a 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của: A a 1

a

 

Sai lầm thường gặp là: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

    Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2

Nguyên nhân sai lầm: Giá trị nhỏ nhất của A là 2 a 1 a 1

a

    Điều này không xảy ra vì theo giả thiết a 2

Phân tích: Quan sát bất đẳng thức trên ta nhận thấy giá trị của a càng tăngthì A

càng tăng, do đó ta dự đoán A đạt giá trị nhỏ nhất khi a 2 Khi đó ta nói A đạt

giá trị nhỏ nhất tại “điểm rơi” a 2 Ta không thể áp dụng bất đẳng thức AM –

GM cho hai số avà 1

a vì không thỏa mãn dấu đẳng thức xảy ra Vì vậy ta phải

tách ahoặc 1

a để khi áp dụng bất đẳng thức AM – GM thì thỏa mãn dấu đẳng thức

xảy ra Giả sử ta áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho cặp số a;1

k a

 sao cho tại

“điểm rơi” a 2thì a 1

k a Ta có sơ đồ sau:

1

2

a

k a









A a

     và ta có lời giải như sau

Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

A a

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 5

2 .

Chú ý: Ngoài cách chọn cặp số a;1

k a

 ta có thể chọn các cặp số sau: ka;1

a

hoặc a;k

a

 hoặc a; 1

ka

 .

Bài toán 2: Cho số thực a 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A a 12

a

Sơ đồ điểm rơi:

2

2

1

4

a

k a

k a









Sai lầm thường gặp là:

A

Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù giá trị nhỏ nhất của A bằng 9

4 là đáp số đúng

nhưng cách giải trên mắc sai lầm trong đánh giá mẫu số: 2 1 1

a

a

sai

3

A

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 9

4 .

Bài toán 3: Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn: a b 1 Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức A ab 1

ab

Phân tích: Dự đoán dấu đẳng thức xảy ra tại 1

2

a b  Theo bất đẳng thức AM –

GM ta có:

2 1

a b

ab   

  Khi đó ta có điểm rơi như sau:

1

4 1

4

ab

k ab

k ab









Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

2 1

a b

ab   

1 4

ab

  

Do đó ta được 16 1 15 2 16 1 15 8 15.1 17

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1

2

a b  Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 17

4 .

2.2.3 Giải pháp 2: Kỹ thuật hạ bậc – khử mẫu

- Kỹ thuật “hạ bậc” tức là chứng ta đưa những biểu thức có bậc cao về những biểu thức có bậc nhỏ hơn Ví dụ x2, x3có thể hạ bậc về x, để áp dụng giả thiết đề bài cho Còn “khử mẫu” là chúng ta sẽ biến đổi sao cho biểu thức đó không còn chứa mẫu nữa Trong kỹ thuật “hạ bậc – khử mẫu” nhiều khi chúng ta phải thêm bớt một vài đại lượng sao cho thỏa mãn “điểm rơi” của bất đẳng thức

AM – GM Để cụ thể ta đi xét một số bài toán

Bài toán 4: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x y 6 Chứng minh rằng:

x x  y y 

Phân tích: Dự đoán “điểm rơi” của bất đẳng thức sẽ là x y 3

Nếu chúng ta ghép cặp x2 và y thì sẽ bị ngược dấu Nên ta sẽ tìm cách hạ bậc 2 x2

và 2

y về x và y để áp dụng giả thiết Với chú ý “điểm rơi” của bất đẳng thức là

3

x y  nên ta sẽ áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho cặp số x2 và 9, y và 9 để2

thỏa mãn điểm rơi

Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho 2 số dương, ta có:







 1  1  2 2   5  18 5.6 18 12

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Bài toán 5: Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 2 Chứng minh rằng:

1

Q

Phân tích: Dự đoán “điểm rơi” của bất đẳng thức sẽ là 2

3

x y z  

Ở bài toán này, chúng ta sẽ vừa áp dụng “hạ bậc”, nhưng cũng phải “khử mẫu” mới có thể áp dụng được giả thiết Vì “điểm rơi” của bất đẳng thức là

3

x y z   nên ta sẽ lần lượt áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho các cặp số

dương:

2

x

y z và

4

y z

;

2

y

z x và

4

z x

;

2

z

x y và

4

x y

Vì sao phải áp dụng bất đẳng thức AM – GM với cặp số

2

x

y z và

4

y z

?

3

x y z   thì

3

x

y z  nên ta phải sử dụng cặp số

2

x

y z và

4

y z

để thỏa mãn “điểm rơi”

Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho các cặp số dương

2

x

y z và

4

y z

;

2

y

z x và

4

z x

;

2

z

x y và

4

x y , ta có:























2

x y z

x y z

 

1 2

x y z

Q

 

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2

3

x y z   Vậy bất đẳng thức được chứng minh

2.2.4 Giải pháp 3: Kỹ thuật khử căn

Bài toán 6: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1.

Chứng minh rằng: a b  b c  c a  6

Sai lầm thường gặp: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

1 1

2 1 1

2 1 1

2

a b

b c

c a

 







 







 







6

a b c

Cách chứng minh trên hoàn toàn sai Vậy nguyên nhân sai lầm ở đây là gì?

Nguyên nhân sai lầm: Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b b c c a     1

2

a b c

    Điều này trái với giả thiết

Phân tích: Để tìm lời giải cho bất đẳng thức trên, ta cần trả lời các câu hỏi sau:

- Đẳng thức xảy ra tại đâu?

- Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho mấy số? Đó là những số nào?

Do vai trò của a, b, c trong các biểu thức là như nhau nên ta dự đoán điểm

rơi của bất đẳng thức sẽ là 1

3

3

a b b c c a      Vì bất đẳng thức chứa các căn bậc hai nên để phá căn ta sử dụng bất đẳng thức AM –

GM cho hai số là a b và 2

3, … Từ đó ta có lời giải như sau.

Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM dạng:

2

x y

xy   cho hai số không

âm, ta có:

2

2

2

a b

b c

c a



 









 









 









  2

a b c

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1

3

a b c   Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Bài toán 7: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 2 Tìm giá trị lớn nhất

của biểu thức:

Phân tích: Dự đoán “điểm rơi” của bất đẳng thức sẽ là 2

3

a b c  

Ở đây vì cần tìm GTLN nên ta sẽ áp dụng đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng Ta sẽ khử các dấu căn của biểu thức Q

Lời giải:

Ta có: 2a bc a a b c      bc a a b    c a b    a b a c    

2

Tương tự ta có: 2    

b ca  b a b c       b 

c ab  c a c b       c 

Cộng 3 bất đẳng thức trên vế theo vế, ta có:

2

2

a b c

Q a b c       a b c  

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2

3

a b c  

2.2.5 Giải pháp 4: Kỹ thuật tách ghép đối xứng

Trong nhiều bài toán mà biểu thức ở hai vế tương đối phức tạp, việc chứng minh trực tiếp trở nên khó khăn thì ta có thể sử dụng kỹ thuật “tách ghép đối xứng”

để bài toán trở nên đơn giản

Ở bài toán bất đẳng thức, thông thường chúng ta hay gặp hai dạng sau:

* Dạng 1: Chứng minh X Y Z   A B C

Ý tưởng 1: Nếu ta chứng minh được X Y 2 XY 2A

Sau đó tương tự ta cũng có: Y Z 2 YZ 2B; Z X 2 ZX 2C (nhờ tính chất đối xứng của bài toán) Cộng 3 bất đẳng thức trên vế theo vế rồi rút gọn

cho 2, ta có: X Y Z   A B C .

Ý tưởng 2: Nếu ta chứng minh được X A2 XA2B

Sau đó tương tự ta cũng có: Y B 2 YB 2C; Z C 2 ZC 2A(nhờ tính chất đối xứng của bài toán) Cộng 3 bất đẳng thức trên vế theo vế rồi rút gọn cho 2, ta có ngay điều phải chứng minh

* Dạng 2: Chứng minh XYZ ABC với X Y Z , , 0

Ý tưởng: Nếu ta chứng minh được XY A2

Sau đó tương tự ta cũng có YZ B2; ZX C 2(nhờ tính chất đối xứng của bài toán) Sau đó nhân ba bất đẳng thức trên vế theo vế rồi lấy căn bậc hai, ta có:

2 2 2

XYZ  A B C ABC ABC Chú ý một số cách ghép đối xứng:

Phép cộng:

2

x y z









2









Bài toán 8: Cho a b c, , là ba số thực dương Chứng minh rằng:

ab bc ca

a b c

c  a  b    .

Phân tích: Bài toán này có dạng X Y Z   A B C , trong đó:

Để ý rằng hai biểu thức ab

c và

bc

a là đối xứng với b (tức vai trò của a và c

là như nhau) Do đó ta sử dụng kỹ thuật tách ghép để chứng minh ab bc 2b

c  a  .

Dự đoán: Do vai trò của a b c, , là như nhau nên “điểm rơi” của bất đẳng thức sẽ là a b c 

Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: ab bc 2 ab bc 2b

c  a  c a  .

Tương tự ta có: bc ca 2 bc ca 2c

a

b  c  b c 

Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta được ab bc ca a b c

c  a  b    .

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c  Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Bài toán 9: Cho a b c, , là độ dài ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi.

Chứng minh rằng:  p a p b p c        18abc.

Phân tích: Từ giả thiết ta nhận thấy  p a  ; p b  ; p c là các số dương và chú ý đến p a p b c    Do đó ta nghĩ đến đánh giá

p a p b      

Mà vai trò của a b c, , bình đẳng nên ta tương tự cho các bất đẳng thức còn lại

Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

 p a p b p c          p a p b      p b p c      p c p a    

1

p a p b p b p c p c p a

abc

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c  Bất đẳng thức được chứng minh

Bài toán 10: Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn abc 1 Chứng minh rằng

3

Phân tích: Để ý là theo bất đẳng thức AM – GM ta có b c 2 bc 2 bc

a



khác cũng theo bất đẳng thức AM – GM ta lại có: