(SKKN 2022) Phát triển khả năng tư duy, sáng tạo cho học sinh khá, giỏi lớp 9 thông qua chuyên đề Vận dụng bất đẳng thức Côsi trong chứng minh bất đẳng thức và giải toán cực trị.

Để đáp ứng được các yêu cầu đặt ra của xã hội cho sự nghiệp đào tạo conngười, bằng vốn kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy của mình, hàng năm nhữngngười thầy, người cô đều phải tự rút ra

Trong quá trình phát triển, xã hội luôn đề ra những yêu cầu mới cho sựnghiệp đào tạo con người Chính vì vậy trong những năm gần đây, chất lượnggiáo dục đào tạo đang là mối quan tâm lớn của toàn xã hội Đảng và Nhà nước

đã có những chính sách ưu tiên đầu tư cho giáo dục về đổi mới nội dung,chương trình, sách giáo khoa, tăng cường các trang thiết bị theo hướng chuẩnhóa, hiện đại hóa.Việc đổi mới phương pháp dạy học nói chung và dạy học bộmôn Toán nói riêng đã tạo ra những bước chuyển biến mạnh mẽ, thu đượcnhững thành tựu to lớn, song cũng còn không ít những khó khăn, thách thức

Thực tế trong nhà trường cho thấy, một bộ phận học sinh rất ngại họctoán Nguyên nhân thì nhiều song đây là môn học đòi hỏi tính chính xác, hệthống, khoa học, lôgic và tư duy cao Cũng có thể do giáo viên chưa làm chohọc sinh thấy được sự hấp dẫn của môn học hoặc dạy cụ thể có xu hướng tănglên, khiến dễ lơ là dạy phương pháp Sự nhồi nhét khiến người học mất năng lực

tự học, trở thành thụ động; điều kiện cơ sở vật chất chưa đáp ứng được yêu cầuđặt ra Những khó khăn trên đã gây cản trở hoạt động của bản thân và ảnhhưởng không tốt đến chất lượng giáo dục học sinh Trong khi đó, mục tiêu giáodục xã hội đang đặt ra những yêu cầu cấp thiết cần phải giải quyết là phát triểntrí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện và bồidưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh Với yêu cầu đó đặt racho nền giáo dục nước ta đang đứng trước những đòi hỏi thách thức, nhiệm vụ

to lớn đó là: “Tạo chuyển biến căn bản, mạnh mẽ về chất lượng, hiệu quả giáo dục, đào tạo; đáp ứng ngày càng tốt hơn công cuộc xây dựng, bảo vệ Tổ quốc

và nhu cầu học tập của nhân dân Giáo dục con người Việt Nam phát triển toàn diện và phát huy tốt nhất tiềm năng, khả năng sáng tạo của mỗi cá nhân; yêu gia đình, yêu Tổ quốc, yêu đồng bào; sống tốt và làm việc hiệu quả” (Trích

Nghị quyết số 29-NQ/TW Trung ương 8 khóa XI)

Để đáp ứng được các yêu cầu đặt ra của xã hội cho sự nghiệp đào tạo conngười, bằng vốn kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy của mình, hàng năm nhữngngười thầy, người cô đều phải tự rút ra những kinh nghiệm, những bài học nhằm

bổ cứu cho những năm học sau, với ham muốn là vừa đáp ứng với yêu cầu mà

Bộ đề ra, lại vừa làm thoả mãn lòng mong đợi của học sinh Đó vừa là tráchnhiệm, vừa là lương tâm nghề nghiệp của mỗi một kĩ sư tâm hồn

Xuyên suốt quá trình học toán, học sinh được làm quen với bất đẳng thức

từ rất sớm và nó luôn song hành với các em ở từng cấp học Ở bậc tiểu học họcsinh được học bất đẳng thức dưới dạng so sánh các số tự nhiên rồi đến so sánhphân số, ở bậc THCS các em tiếp tục học bất đẳng thức ở dạng so sánh sốnguyên, lũy thừa, các số hữu tỷ rồi các biểu thức chứa 1 biến, 2 biến, 3 biến Bất đẳng thức không chỉ xuất hiện trong chương trình phổ thông mà còn thườngxuyên xuất hiện trong các kỳ thi chuyển cấp, thi học sinh giỏi các cấp Trongnền giáo dục phổ thông, toán học là môn khoa học quan trọng đóng vai trò nềntảng, then chốt để phát triển các bộ môn khoa học tự nhiên, khoa học công nghệ,trong đó có thể nói bất đẳng thức là một trong những thành tố quan trọng để pháttriển năng lực tư duy logic cho học sinh Trong thực tế, việc giải các bài toán

Bất đẳng thức đối với học sinh THCS là hết sức khó khăn, đôi khi dẫn đến tìnhtrạng các em rất sợ loại bài toán này Vì vậy, để góp phần vào việc phát triển tưduy cho học sinh, đặc biệt là học sinh khá giỏi và tăng cường cho các em ý thứcnăng lực, vận dụng một cách thông minh những điều đã học làm giảm bớt nỗi sợhãi cũng như tăng thêm lòng tin cho học sinh khi gặp loại bài toán này Qua thực

tế giảng dạy ở trường và qua các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10, kỳ thi học sinhgiỏi các cấp tôi nhận thấy việc hình thành những kiến thức và kỹ năng trong việcdùng bất đẳng thức Cô-si để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức và gải

bài toán cực trị là cần thiết Vì vậy, tôi đã chọn đề tài “ Phát triển khả năng tư

duy, sáng tạo cho học sinh khá, giỏi lớp 9 thông qua chuyên đề: Vận dụng bất đẳng thức Cô-si trong chứng minh bất đẳng thức và giải toán cực trị ”

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Khi chọn hướng nghiên cứu đề tài “ Phát triển khả năng tư duy, sáng

tạo cho học sinh khá, giỏi lớp 9 thông qua chuyên đề: Vận dụng bất đẳng thức Cô-si trong chứng minh bất đẳng thức và giải toán cực trị ”, với mục

đích cung cấp cho học sinh một con đường nhanh và dễ tiếp cận nội dung kiếnthức, kĩ năng giải các bài toán về vận dụng bất đẳng thức Cô-si trong chứngminh bất đẳng thức và giải toán cực trị Trên cơ sở đó chuyên đề sẽ giúp họcsinh rèn luyện các tri thức, phương pháp để các em biết cách học, biết cách suyluận, biết cách tự tìm lại các kiến thức đã quên, biết cách tìm tòi để phát hiệnkiến thức mới Đồng thời giúp học sinh rèn luyện được các thao tác tư duy: phântích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự, quy lạ về quen Từ đó gópphần nâng cao chất lượng bồi dưỡng mũi nhọn Đề tài này còn giúp cho bản thânnâng cao công tác tự học, tự bồi dưỡng để ngày một nâng cao trình độ chuyênmôn nghiệp vụ Ngoài ra với mục đích để trao đổi với đồng nghiệp để cùngnhau bổ khuyết, xây dựng cho giải pháp càng hoàn thiện hơn trong quá trình ápdụng

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Đối với đề tài này tôi chỉ nghiên cứu và dừng lại ở một số vấn đề sau:

- Nghiên cứu, tổng kết kinh nghiệm về phương pháp giảng dạy phần lý thuyết

- Phân loại các phương pháp, hướng dẫn cách giải, cách khai thác và bài tập ápdụng

-Kỹ thuật tổ chức các hoạt động học tích cực, chủ động, sáng tạo cho học sinh

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Tôi thực hiện đề tài này với những phương pháp nghiên cứu sau:

- Nghiên cứu tài liệu để xây dựng cở sở lý thuyết: trên cơ sở nghiên cứu nộidung chương trình môn học, lựa chọn đơn vị kiến thức, nội dung bài học để xâydựng nội dung chuyên đề

- Điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin về thực trạng của vấn đề nghiêncứu

- Thống kê, xử lí số liệu: Giáo viên thống kê số liệu về chất lượng dạy học bộmôn thông qua khảo sát trước và sau khi áp dụng đề tài

- Phương pháp thực nghiệm: Trực tiếp giảng dạy chuyên đề này cho 30 em họcsinh khá, giỏi khối 9.

2 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận.

Để đáp ứng được yêu cầu phát triển của sự nghiệp phát triển giáo dục vànhu cầu học của học sinh, thì trong giảng dạy chúng ta phải biết chắt lọc nộidung kiến thức, nội dung kiến thức phải đi từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừutượng để học sinh có thể tự mình tìm ra cách giải và phát triển tư duy toán học

Việc giảng dạy môn Toán ở nhà trường không những nhằm truyền thụcho học sinh những kiến thức cơ bản về toán học mà còn vũ trang cho các emcông cụ sắc bén để nghiên cứu thế giới tự nhiên, mà một trong những nhiệm vụ,

giải pháp Nghị quyết Trung ương 8 khóa XI đã đề ra là “Tiếp tục đổi mới mạnh

mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực ” (Trích Nghị quyết số 29-NQ/TW Trungương 8 khóa XI)

Khi học toán học sinh thường thấy sợ từ đó dẫn đến ngại học khi nhắc tớibất đẳng thức và bài toán cực trị nhưng nó lại là một phần rất quan trọng trongchương trình toán THCS, nó có mặt trong nhiều bộ môn: Số học, Hình học, Đại

số, Vật lý, Hóa học…Tuy nhiên để giải quyết bài toán có liên quan tới bất đẳngthức thì không chỉ nắm vững kiến thức cơ bản mà còn phải biết vận dụng linhhoạt, sáng tạo các phương pháp kết hợp với kỹ năng biến đổi suy luận, dự đoán,biết phát hiện ra đặc điểm của bài toán …từ đó có hướng đi đúng trong từng bài,từng dạng

Với vai trò là môn học công cụ, bộ môn toán đã góp phần tạo điều kiệncho các em học tốt các môn khoa học tự nhiên khác Dạy học như thế nào để họcsinh không những nắm kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà phải nâng cao,phát triển để các em có hứng thú, say mê học tập Đó là một câu hỏi mà mỗi thầy, côgiáo luôn đặt ra cho mình Với ham muốn là vừa đáp ứng với các yêu cầu nhiệm

vụ trên, lại vừa làm thoả mãn lòng mong đợi của học sinh, tôi đã tìm tòi, nghiên

cứu đúc rút kinh nghiệm đề tài: “ Phát triển khả năng tư duy, sáng tạo cho học

sinh khá, giỏi lớp 9 thông qua chuyên đề: Vận dụng bất đẳng thức Cô-si trong chứng minh bất đẳng thức và giải toán cực trị ”

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Chương trình môn Toán ở bậc THCS rất rộng và đa dạng, các em đượclĩnh hội nhiều kiến thức Trong đó có một nội dung kiến thức theo các em trongsuốt quá trình học tập là bất đẳng thức Toán về bất đẳng thức là khó, chúngđược giải không hoàn toàn dựa vào một công thức nào cả Hơn nữa các bài tậptrong sách giáo khoa chưa thể hiện đủ các phương pháp chứng minh vì thế họcsinh thường thiếu tự tin và lúng túng khi gặp phải dạng toán này

Từ những lý do đó mà học sinh rất ngại làm loại toán này thậm chí nhiều

em học sinh khá, giỏi ban đầu chỉ cần nhìn thấy đề bài chứng minh bất đẳngthức là các em đã không có thiện cảm hay nói đúng hơn là không có hứng thú đểgiải, do đó dẫn đến thực trạng các em không đầu tư suy nghĩ và có khi bỏ qua

Trong thực tế có thể giáo viên mới chỉ dạy cho học sinh ở mức độ truyềnthụ tinh thần của lí thuyết mà chưa phân dạng, chưa cho học sinh luyện tậpnhiều các dạng tương tự Kỹ năng phân tích tổng hợp của học sinh còn chưathành thạo, cách khai thác vấn đề cần chứng minh để đưa vào áp dụng bất đẳngthức chưa thạo, dẫn đến việc học sinh rất lúng túng và gặp rất nhiều khó khăntrong vấn đề giải loại toán này Vì vậy, kết quả bồi dưỡng học sinh mũi nhọnchưa cao

Tôi ã ti n h nh kh o sát 30 h c sinh trong l p khá, gi i v chuyên ến hành khảo sát 30 học sinh trong lớp khá, giỏi về chuyên đề ành khảo sát 30 học sinh trong lớp khá, giỏi về chuyên đề ảo sát 30 học sinh trong lớp khá, giỏi về chuyên đề ọc sinh trong lớp khá, giỏi về chuyên đề ớp khá, giỏi về chuyên đề ỏi về chuyên đề ề chuyên đề ề chuyên đề

b t ất đẳng thức và kết quả như sau: ẳng thức và kết quả như sau:ng th c v k t qu nh sau:ức và kết quả như sau: ành khảo sát 30 học sinh trong lớp khá, giỏi về chuyên đề ến hành khảo sát 30 học sinh trong lớp khá, giỏi về chuyên đề ảo sát 30 học sinh trong lớp khá, giỏi về chuyên đề ư sau:

* Đối với học sinh.

- Nhiều em chưa nắm chắc định nghĩa, các tính chất của bất đẳng thức vàphương pháp chứng minh bất đẳng thức, do đó chưa biết vận dụng các tính chấtnày để giải một số dạng toán có liên quan

- Các em chưa được học về chuyên đề bất đẳng thức một cách bài bản, mà chỉdừng lại ở việc giải một số bài

- Một vài em đứng trước một bài toán, các em chỉ tìm ra được lời giải của bàitoán đó rồi hài lòng với kết quả mình làm được Không mấy em biết cách phântích bài toán theo khía cạnh khác, không biết phát triển bài toán cụ thể đó thànhnhiều bài toán khác, hoặc từ bài toán đơn giản trong sách giáo khoa phát triểnthành bài toán hay và khó hơn Chính vì vậy kiến thức của các em chưa sâu,chưa có sự gắn kết, thậm trí nhiều em kiến thức còn rất hổng Qua kiểm tra tôinhận thấy nhiều em còn chưa biết cách chứng minh bất đẳng thức hay tìm giá trịlớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một bài toán đơn giản

* Đối với giáo viên.

- Khi dạy toán nhiều khi giáo viên mới chỉ dạy cho các em giải được một bài

toán cụ thể mà chưa dạy cho các em phương pháp giải cả một dạng toán đó, tổnghợp các dạng toán trong một chuyên đề

- Nhiều khi giáo viên còn lựa chọn bài toán chưa phù hợp với khả năng của các

em, do đó chưa khêu gợi được suy nghĩ, kích thích trí tò mò, lòng hăng say củacác em

- Giáo viên chưa trang bị một cách hệ thống các kiến thức thiết thực, làm tăngkhả năng tư duy lô gic và rèn luyện tính sáng tạo cho các em, giúp các em có tácphong độc lập khi giải toán

2.3 Các giải pháp thực hiện.

2.3.1 Xây dựng kế hoạch bồi dưỡng

Trước khi thực hiện sáng kiến tôi đã lập kế hoạch chi tiết trình Ban giám hiệu.

Kế hoạch thể hiện rõ: Mục tiêu, chương trình, cơ sở vật chất, thiết bị dạy học,nội dung bồi dưỡng, các lực lượng tham gia, chỉ tiêu, với thời gian tổng số tiết là

14 tiết Trong đó lý thuyết 3 tiết, thực hành 9 tiết, kiểm tra 2 tiết

2.3.2 Giảng dạy theo hướng tổ chức các hoạt động học tích cực, chủ động, sáng tạo cho học sinh.

- Chuyển giao nhiệm vụ học tập rõ ràng và phù hợp với đối tượng học sinh, thểhiện ở yêu cầu sản phẩm mà học sinh phải hoàn thành khi thực hiện nhiệm vụ;hình thức giao nhiệm vụ sinh động, hấp dẫn kích thích được hứng thú học tậpcủa học sinh

- Thực hiện nhiệm vụ: khuyến khích học sinh hợp tác với nhau khi thực hiệnnhiệm vụ học tập; phát hiện kịp thời những khó khăn của học sinh và có biệnpháp hỗ trợ kịp thời, hiệu quả

- Báo cáo kết quả và thảo luận: Hình thức báo cáo kết quả phải phù hợp với nộidung học tập, xử lí tình huống sư phạm nảy sinh một cách hợp lí

- Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập của học sinh: Phân tích, nhận xét,đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ và những ý kiến thảo luận của học sinh;chính xác hóa các kiến thức mà học sinh đã được thông qua các hoạt động

2.3.3 Một số lưu ý khi thực hành.

Để học sinh có được kỹ năng vận dụng linh hoạt, sáng tạo bất đẳng thức

Cô-si vào chứng minh bắt đẳng thức và giải toán cực trị, giáo viên cần:

- Xây dựng những phương pháp giải các dạng toán có vận dụng kiến thức về bấtđẳng thức Cô-si vào chứng minh bắt đẳng thức và giải toán cực trị

- Phân bậc các dạng bài tập từ dễ đến khó hợp với quá trình phát triển tư duy củahọc sinh, bài tập trước đã có những tiền đề gợi ý cho các bài tập sau

- Sửa chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán (GV có thể cho

HS kiểm tra chéo bài nhau từ đó củng cố kiến thức và kĩ năng làm bài cho HS,chỉ ra những sai lầm mà học sinh mắc phải )

- Tìm tòi cách giải hay, khai thác bài toán dành cho học sinh khá giỏi

2.3.4 Củng cố, khắc sâu nội dung lí thuyết, xây dựng các phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cô-si vào chứng minh bất đẳng thức và giải bài toán cực trị

2.3.4.1 Củng cố, khắc sâu nội dung lí thuyết







.Tổng quát: Trung bình cộng của n số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bìnhnhân của chúng

Đẳng thức xảy ra khi các số bằng nhau a1 a2   a n

(Nâng cao và phát triển Toán 9-Tập 1)

 (x, y > 0) x yz xyz

9 1

1 1

- Nếu với mọi x thõa mãn ĐKXĐ của f(x) mà f(x)  m (m là hằng số) và tồn tại

x0 sao cho f(x0) = m, thì ta nói m là giá trị nhỏ nhất(GTNN) của biểu thức f(x),

ký hiệu min f(x) = m (hoặc min f = m)

(Hướng dẫn ôn tập thi vào lớp 10-NXB ĐHQG Hà Nội)

* Hướng dẫn học sinh những quy tắc chung khi giải bài toán sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức và giải bài toán cực trị.

- Quy tắc song hành: Hầu hết các bất đẳng thức đều có tính đối xứng do đó

việc sử dụng các chứng minh một cách song hành, tuần tự sẽ giúp ta hình dung

ra được kết quả nhanh chóng và định hướng cách giải nhanh hơn

- Quy tắc dấu bằng: Dấu bằng trong bất đẳng thức là rất quan trọng Nó giúp ta

kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh Nó định hướng cho ta phương phápgiải, dựa vào điểm rơi của bất đẳng thức Chính vì vậy mà khi dạy cho học sinh

ta rèn luyện cho học sinh có thói quen tìm điều kiện xảy ra dấu bằng

- Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: Học sinh thường mắc sai lầm khi áp

dụng liên tiếp hoặc song hành các bất đẳng thức nhưng không chú ý đến điểmrơi của dấu bằng Một nguyên tắc khi áp dụng song hành các bất đẳng thức làđiểm rơi phải được đồng thời xảy ra, nghĩa là các dấu “ = ” phải được cùng đượcthỏa mãn với cùng một điều kiện của biến

- Quy tắc biên: Ta biết rằng các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thường xảy ra ở các vị

trí biên và các đỉnh nằm trên biên

- Quy tắc đối xứng: Các bất đẳng thức thường có tính đối xứng, vậy thì vai trò

của các biến trong bất đẳng thức là như nhau do đó dấu “ = ” thường xảy ra tại

vị trí các biến đó bằng nhau Nếu bài toán có gắn hệ điều kiện đối xứng thì ta cóthể chỉ ra dấu “ = ” xảy ra khi các biến bằng nhau và mang một giá trị cụ thể.Chiều của bất đẳng thức: “ ≥ ”, “ ≤ ” cũng sẽ giúp ta định hướng được cáchchứng minh: đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân và ngược lại

2.3.4.2 Phương pháp ghép cặp trong bất đẳng thức Côsi.

Trong nhiều bài toán mà biểu thức ở hai vế tương đối phức tạp, việc chứng minh trực tiếp trở nên khó khăn thì ta có thể sử dụng phương pháp

“Ghép cặp” để bài toán trở nên đơn giản Ở các bài toán bất đẳng thức, thôngthường chúng ta hay gặp phải hai dạng toán sau:

Dạng 1: Chứng minh X + Y + Z  A + B + C

Để giải bài toán này ta có thể sử dụng các cách sau:

- Nếu ta chứng minh được: X + Y 2 XY  2A , sau đó tương tự hóa để chỉ

ra Y + Z  2B; Z + X  2C (Nhờ tính chất đối xứng của bài toán) Cộng babất đẳng thức trên lại theo vế rồi rút gọn cho 2, ta có: X + Y + Z  A + B + C

- Nếu ta chứng minh được X + A 2 XA 2B (Nhờ tính chất đối xứng củabài toán).Sau đó tương tự hóa để chỉ ra Y + Z 2C; Z + X 2A Cộng ba bấtđẳng thức trên lại theo vế rồi rút gọn cho 2, ta có ngay điều phải chứng minh

Dạng 2: Chứng minh XYZ  ABC với X, Y, Z  0.

Đối với dạng này ta thường chứng minh cho XY  A2, sau đó tương tự hóa đểchỉ ra YZ  B2 ; ZX  C2 , nhân ba bất đẳng thức trên vế theo vế rồi lấy cănbậc hai, ta có: XYZ  ABC

Ví dụ 1: Chứng minh rằng: x2 +y2 +z2  xy + yz + zx với mọi x,y,z

(Ví dụ 1a-Tr61-Hướng dẫn ôn thi vào lớp 10-NXB ĐHQG Hà Nội)

Hướng dẫn HS phân tích tìm lời giải: Bài toán này có dạng X + Y + Z  A +

B + C, ta hướng dẫn học sinh đưa về dạng X + Y 2 XY  2A, sau đó tương

2 2 2

2

(1); y z  y z yz

2

2 2

2 2 2

2

(2);

zx x z

2

(3) Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức trên ta được

zx yz xy y z z y y x

2

2 2 2 2 2 2

hay x2 +y2 +z2  xy + yz + zx với mọi x,y,z Dấu bằng xảy ra khix= y = z

Ví dụ 2 Chứng minh rằng : bc ca ab a b c a b c , , 0

(Bài 394a-Nâng cao và phát triển Toán 8-Tập 2)

Hướng dẫn HS phân tích tìm lời giải:

Bài toán này có dạng X + Y + Z  A + B + C, trong đó:

c

ab C b

ca Y

c b

ca a

bc b

ca a

ca c

ab b

ab a

bc c

ab a

a  b  c    .

Dấu “ = ” xảy ra  a = b = c

Để khắc sâu dạng toán trên giáo viên yêu cầu học sinh thực hành giải bài toán

Ví dụ 3: Cho ABC, a, b, c lần lượt là số đo 3 cạnh của tam giác Chứng minhrằng : abc  bc a(ca b)ab c

(Ví dụ 99-Nâng cao và phát triển Toán 8-Tập 2)

Hướng dẫn HS phân tích tìm lời giải:

Để ý rằng bất đẳng thức này có dạng XYZ  ABC vì vậy sử dụng kỹ thuật ghépđối xứng, ta chỉ cần chứng minh b2  (a + b – c)( b + c - a)

Lời giải: Vì a,b,c là số đo ba cạnh của tam giác, nên: (b + c - a) > 0;

)

a c b c b a a

c b c b a

)

b a c a c b b

a c a c b

)

c b a b a c c b a b a c

Nhân vế với vế của bất đẳng thức trên ta được:

abc  bc a(ca b)ab c, dấu bằng xảy ra khi a = b = c, tức là 

ABC là tam giác đều

2.3.4.3 Phương pháp đổi biến số trong bất đẳng thức Cô-si.

Trong bất đẳng thức, những bất đẳng thức càng nhiều biến càng khó” Điều này cũng đồng nghĩa với việc khẳng định “Bài toán sẽ trở nên đơn giảnhơn nếu ta đưa được một bất đẳng thức nhiều biến về dạng ít biến hơn” Kỹthuật đổi biến chính là một công cụ hữu ích để thực hiện ý tưởng này

b c b

a

(Bài 402b- 23 chuyên đề giải 1001bài toán sơ cấp-NXB giáo dục)

Hướng dẫn HS phân tích tìm lời giải:

Để đơn giản hóa các đại lượng vế trái ta có thể đặt: b + c = x, c + a = y, a + b =

z Khi đó ta tìm a,b,c qua x,y,z, thay vào biểu thức vế trái bài toán sẽ

trở nên hết sức đơn giản bằng cách ghép cặp dạng 

Khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức sau:

2

3 2 2

y x z x

x z

y z

x x

z y

x x y

Hướng dẫn HS phân tích tìm lời giải: Vì a,b,c là số đo ba cạnh của tam giác,

nên: (b + c - a) > 0; (c +a - b) > 0; (a + b - c) > 0 Tương tự ví dụ 1, để đơn giảnhóa các đại lượng vế trái cách đặt tối ưu là: (b + c – a) = x, (c +a – b) = y, (a + b– c) = z Từ đây ta rút a,b,c theo x,y,z: , 2

2

, 2

y x c x z b z y

a      , thay vào bấtđẳng thức cần chứng minh ta được bất đẳng thức mới tương đương và dễ dàng

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c

2.3.4.4 Phương pháp phân tích số mũ, đánh giá đại diện

Nội dung của phương pháp này thể hiện:

- Các biến có vai trò như nhau nên trong quá trình biến đổi ta nên có xu

hướng giữ nguyên tính bình đẳng của chúng

- Các biểu thức có vai trò bình đẳng nên tìm cách biến đổi một biểu thức

và áp dụng tương tự cho toàn thể

- So sánh bậc của vế trái và bậc của vế phải để xét xem có cần phải thêm

bớt vào một hoặc một số số hạng nào đó có bậc thấp hơn hoặc cao hơn hoặc mộthằng số để khi sử dụng bất đẳng thức Cô-si ta thu được bậc cần thiết

- Hết sức chú ý điều kiện để dấu bằng xảy ra, điều kiện đó giúp ích rất

nhiều trong quá trình tìm tòi hướng giải

Ví dụ 1: Cho x, y, z dương thỏa mãn x.y.z = 1 Chứng minh rằng: