DE THI HSG TOAN 9 MY THANG 1112

[r]

PHỊNG GD – ĐT PHÙ MỸ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

TRƯỜNG THCS MỸ THẮNG Năm học 2011 – 2012

Đề đề xuất Mơn: TỐN, LỚP 9

Thời gian làm bài: 150 phút

( khơng kể thời gian phát đề )

Ngày thi: 6 – 10 – 2011

Câu 1: (4,0 điểm)

Tính giá trị của tổng :

Câu2 :( 3,0 điểm)

Chứng minh rằng A = (10n + 10n-1 + … + 10 + 1)( 10n+1 + 5 ) + 1 là số chính phương

Câu 3:( 3,0 điểm)

Cho ba số dương a , b , c thỏa mãn a2b2c2 1 Chứng minh rằng :

1

Câu 4:( 3,0 điểm)

Giải phương trình 2 33 x 2 3 6 5  x 8 0 x R 

Câu 5 : (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC cĩ ba gĩc nhọn , từ điểm I thuộc miền trong của tam giác vẽ các đoạn thẳng IH , IK , IL lần lượt vuơng gĩc với BC, CA, AB Tìm vị trí của I sao cho AL2 + BH2 + CK2 nhỏ nhất

Câu 6: (4,0 điểm)

Xét tam giác ABC cĩ độ dài các cạnh là a , b , c sao cho thoả mãn hệ thức :

15bc + 10ca + 1964ab = 2006abc Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

1974 1979 25

M

trong đĩ p là nửa chu vi của tam giác ABC

ĐÁP ÁN

Câu 1:

(4,0 điểm)

Trước hết ta chứng minh

     

2 2 2

1

 

Thật vậy :

 

   

 

 

   

 

 

 

2 2

2 2

1

   

   

2 2 2

1

 

Do đó

             

          

1,0

1,0

1,0 1,0 Câu 2:

(3,0 điểm)

Ta có A = (10n + 10n-1 + … + 10 + 1)( 10n+1 + 5 ) + 1 =  

1

10 1

9  (10n + 10n-1 + … + 10 + 1)( 10n+1 + 5 ) + 1 = 1 1   1 

10 1 10 5 1 9

=

1

10 4.10 9 5 9

=  

2 1 2

1

10 2

n

Mà 10n+1 + 2 có tổng các chữ số là 3 Nên 10n+1 + 2 3

Vậy A là số chính phương Câu 3:

(3,0 điểm)

Từ giả thiết suy ra a , b , c thuộc (0 ; 1)

2

2

2

1

a

0,5

Tương tự :    

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được :

1

Áp dụng bất đẳng thức cô si cho ba số dương nhận được :

3 3 3 3 2 ; 3 3 3 3 2 ; 3 3 3 3 2

Từ (1) và (2) 

1

Đẳng thức xảy ra

3 3

a b c

   

0,5

1,0 0,5

0,5

Câu 4:

(3,0 điểm) Điều kiện x

6 5



Đặt t = 33x  2

3

3 2

3

t

Khi đó phương trình đã cho trở thành : 2t +

3

8 5

3

t



 

3 3

2

2

3 2

8 5

3 3

4 4

2 15 26 20 0

15 4 32 40 0

t

t

t t

 

 











   

1,0

1,0

1,0

Câu 5:

(3,0 điểm)

- Vẽ hình đúng

Ta có AI2 = AL2 + LI2 ; AI2 = AK2 + KI2 Suy ra AL2 + LI2 = AK2 + KI2

Tương tự BH2 + HI2 = BL2 + LI2 và CK2 + KI2 = CH2 + HI2 Cộng (1) ; (2) và (3) ta có : AL2 + BH2 + CK2 = AK2 + BL2 + CH2

Do đó AL2 + BH2 + CK2 =

1

2[(AL2 + BL2 ) + (BH2 + CH2 ) + (CK2 + AK2 )]



1

4 AB BC AC

Ta có AL2 + BH2 +CK2 

1

4(AB2 + BC2 + AC2 ) ( không đổi ) Dấu “ = “ xảy ra <=> AL = BL, BH = BL , CK = AK <=> I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC

0,25

1,0

1,0 0,75

Câu 6:

(4,0 điểm ) Với x > 0 , y > 0 thì

1 1 4

x y x y (1)

Ta có

1974 1979 25

M

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

1989 117

a b c

    







Vậy MinM = 8024

117 118

a b c

   

0,25

1,0 0,75 0,5

1,0

0,5