De thi HSG toan 9 (thang 11/2010)

Tính tỷ số diện tích hai tam giác OAM và OFM.. Chứng minh các đường thẳng AC, EF và QM đồng qui.

TRƯỜNG THCS THIỆU

QUANG NĂM HỌC 2010-2011 ĐỀ THI HSG LỚP 9

Môn: Toân

Thời gian lăm băi:150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bµi 1: (6 ®iÓm)

1 Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 1 24 x  x 9 64 x 2

2 Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ c¸c sỉ kh«ng ©m vµ b lµ sỉ trung b×nh cĩng cña a vµ c th× ta cê:

a b  b c  c a

3 Chứng minh rằng với mọi số nguyín a thì: (a3 + 11a ) chia hết cho 6

Bµi 2: (4 ®iÓm)

1 T×m gi¸ trÞ lín nhÍt vµ gi¸ trÞ nhâ nhÍt cña

2 2

1

y x



2 T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh:

2 2 2 3 2 4 3 0

x  y  xy x y 

Bµi 3: (6 ®iÓm)

Cho đường tròn (O , R) và điểm A với OA = 2R Từ A vẽ 2 tiếp tuyến AE và AF đến (O) (E, F là 2 tiếp điểm) Đường thẳng OA cắt (O) tại C và D (O nằm giữa A và C)

a) Tính diện tích tứ giác AECF theo R.

b) Từ O vẽ đường thẳng vuông góc với OE cắt AF tại

M Tính tỷ số diện tích hai tam giác OAM và OFM.

c) Đường thẳng kẻ từ D vuông góc với OE cắt EC tại

Q Chứng minh các đường thẳng AC, EF và QM đồng qui.

Băi 4 (4,0 đ)

a./ Tìm đa thức f(x) biết rằng f(x) chia cho (x-3) dư 7.

f(x) chia cho (x-2) dư 5 f(x) chia cho (x-3)(x-2) thì thương tìm được lă 3x

vă còn dư.

b./ Víi gi¸ trÞ nµo cña gêc nhôn  th× biÓu thøc P3sin 3 cos cê gi¸ trÞ lín nhÍt ? Cho biÕt gi¸ trÞ lín nhÍt ®ê.

HÕt

§¸p ¸n vµ thang ®iÓm:

ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài ý Nội dung Điểm

1.1 ( 3,0 điểm)

x  x  x  x   4 x12  4 x 32 2

1,0

 0 y 1: y 1 0, y 3 0 , nên (2) 1 y 3 y 2 y (thoả 1

ĐK)

1

x

 1y3: y1 0, y 3 0 , nên pt (2) y  1 3 y 2 0y0

do đó pt (2) có vô số nghiệm y (1 y ), suy ra pt (1) có vô số nghiệm x (3

 y3: y1 0, y 3 0 , nên pt (2) y  1 y 3 2  y , pt vô3 nghiệm

1.2 (3,0 điểm)

(*)

A

c b







0,50

2

a c

b   a c  bb a c b   , nên:

b a A



1,0

A

Vẽ hình chính xác (0,25 đ)

I

M

Q

O

E

F

2.1 (2,0 ®iÓm)

2 2

1

y x



 (x¸c ®Þnh víi môi x R)  y1x2 3x y  5 0 (**)

0,5

 y  pt (**) cê nghiÖm 1: 4

3

x 

 y  ®Ó pt (**) cê nghiÖm th×:1:

2

0.5 VỊy tỊp gi¸ trÞ cña y lµ 1 11

;

2 2

;

Max y Min y

0,5

2.2 (2,0 ®iÓm)

§Ó pt (***) cê nghiÖm nguyªn theo x, th×:

(y 2 k y)( 2 k) 12 ( )a

Ta cê: Tưng y 2 k(y 2 k) 2( k2) lµ sỉ ch½n, nªn

y 2 k; (y 2 k) cïng ch½n hoƯc cïng lÎ Mµ 12 chØ cê thÓ b»ng tÝch 1.12 hoƯc 2.6 hoƯc 3.4, nªn chØ cê c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau:

Gi¶i c¸c hÖ pt trªn ta cê c¸c nghiÖm nguyªn cña pt (a):

 y2;k2 , y2;k2 , y6;k 2 , y6;k2 Thay c¸c gi¸ trÞ y2;y vµo pt (***) vµ gi¶i pt theo x cê c¸c nghiÖm6 nguyªn (x; y) lµ:

(x1;y2), (x3;y2);(x11;y6),(x9;y6) 0,5

b/Ta có: a3 + 11a = (a3 - a) + 12a = a(a -1)(a + 1) + 12a

(0.5đ)

Vì a Z nín a; a -1; n + 1 lă ba số nguyín liín tiếp  a(a– 1)  2 ;

a(a +1)(a – 1)  3 (0,5đ)

Vì (2, 3) = 1 nín a( a-1)( a+1)  6; 12 a  6 (0,5đ)

 a( a -1)( a +1) + 12a  6 Vậy (a3 + 11a )  6 với a  Z (0,5đ)

Bài 4 (4 điểm)

a) (1,25 đ)

Ta có AE = AF (t/c tiếp tuyến) và OE = OF = R nên OA là đường trung trực của đoạn thẳng EF Gọi I là giao điểm của

AC và EF tại I thì OA  EF và IE = IF

 OEA có OEA = 900 (t/c tiếp tuyến) và EI  OA

nên OE2 = OI OA 

2 2

OIE (OIE = 900) nên EI2 = OE2 - OI2 = R2 - 

EF = 2EI = 3.R và AC = AO + OC = 2R + R = 3R

SAECF = 1

2 AC EF = 1

2 3R 3 R = 3 3R2

2

b) (1,25 đ)

Ta có OM // AE ( OE) nên MOA = OAE 

mà OAE = OAM  Do đó MOA = OAM 

Suy ra OMA cân tại M  MO = MA

OAM

OFM

cos OMF

mà OMF = EAF = 2EAO  

sin EAO = OE =R = Þ1  EAO=300

Do đó OMF = 600 nên OAM

OFM

S

1 cos 60 =

1 2 1 2



c) (1,25 đ)

- Chứng minh DEQ = OFM

Suy ra: QD = OM

- Chứng minh QDMO là hình bình hành

Suy ra QM và DO giao nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà I là trung điểm của OD (OI = ID = R

2) nên I là trung điểm của QM

Vậy AC, EF và QM đồng quy tại I

1.

Ta cê:

0ab cd  a c b d  ab cd  a c b d

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

a b c d abcd a b a d b c c d

ad2  bc 2 2ad bc   0 ad bc2 0

0ab cd  a c b d ,a b c d, , , R

DÍu ®¼ng thøc x¶y ra khi ad bc 0 hay c da 0,b 0

¸p dông kÕt qu¶ trªn, ta cê:

max 2 3



