Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông tại B.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐĂKLĂK ĐỀ THI HỌC KI II
TRƯỜNG THPT EAH’LEO MÔN TOÁN LỚP 11 – NĂM HỌC 2010 – 2011
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề)
I.PHẦN CHUNG: (7 điểm)
Câu I: (2 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số:
a) y = x2 − 3 x b)y = 1 + 2 x c)y = x2 cos x d)
3 x
1 x y
2
−
+
câu II: (1 điểm) Tính các giới hạn sau:
a)
2 x
3 3 x
lim
2
− +
→ b) 3 2
3
5 x 4 x lim
+
− + + ∞
→
câu III: (4 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông tại B Cạnh
AB=a(a>0), góc giữa mp(BA’C) và mp(ABC) là 60 0
a) Chứng minh (ABB'A') (⊥ BA'C)
b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(BA’C)
c) Gọi I là trung điểm của AC, tính khoảng cách từ I đến mp(BA’C)
II PHẦN RIÊNG: (3 điểm) Học sinh học chương trình nào thì làm bài theo chương trình đó
1 – Chương trình chuẩn:
Câu IVa: (1 điểm) Tìm m để hàm số sau liên tục tại điểm x=1
( )
=
≠
−
−
=
=
1 x m
1 x 1
x
x x x f y
2
neáu
neáu
Câu Va: (2 điểm) Cho hàm số y= x3− x+ 1 có đồ thị (C)
a) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M(1;-1)
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y= x+ 2011
c) Tìm phương trình các tiếp tuyến kẻ từ A(1;-6) đến đồ thị (C) của hàm số trên
2-Chương trình nâng cao:
Câu IVb: (1 điểm) Cho hàm số: ( )
= +
≠
−
+
−
=
1 x 2 ax 6
1 x 1
x
6 x x x f
3
neáu
neáu
Tìm a để hàm số liên tục tại x=1
Câu Vb: (2 điểm)
a) Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết u4 − u2 = 72, u5− u3 = 144.
b) Chứng minh rằng: nếu 3 số a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng thì các số x=a2-bc, y=b2-ac, z=c2-ab theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng
c) Cho hàm số y=f(x)=x3-3mx2+(m+1)x-m (m là tham số), có đồ thị là (C ) Tìm m để có hai tiếp m tuyến của đồ thị ( )Cm vuông góc với đường thẳng y=x
-Hết -(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
Trang 2A B
C
C'
I
GỢI Ý ĐÁP ÁN ĐỀ THI MÔN TOÁN HỌC KÌ II, KHỐI 11, NĂM HỌC 2010-2011
Câu I
a) y’=2x-3
x 2 1
1 ' x 2 1 x 1 2
1 '
y
+
= + +
=
c) y'= ( )x2 'cosx+ (cosx)'x2 = xcosx− x2sinx
2 2
2 2
3 x
1 x 6 x 3
x
) 1 x ( )' x ( ) 3 x ( )' x
(
'
y
−
−
−
=
−
+
−
−
− +
=
Câu II
1 3
3 x 2 x
3 3 x 3 3 x lim 2
x
3 3 x lim
2 x 2
+ +
−
+ +
− +
=
−
− +
→
→
x
1 1 x
5 x
4 3 lim x
x
5 x 4 x
x 2 3 3
+
−
+
= +
− +
+ ∞
→ + ∞
→
Câu III
a) BC⊥ AB(theo gt)
BC⊥ AA' (Vì AA’⊥ (ABC)) Suy ra BC⊥ (ABB'A')
Suy ra AH⊥ (BA'C)
Mà BC⊂ (BA'C) nên (ABB'A') (⊥ BA'C)
b) Kẻ AH⊥ A'B tại H Khoảng cách từ A đến mp(BA’C) là độ dài AH
Dễ thấy góc ABA’ băng 600 Xét tam giác vuông AHB ta tính đươc AH=
2
3 a
c)Gọi M là trung điểm của HC, suy ra IM//AH suy ra IM⊥ (BA'C)
Khoảng cách từ I đến mp(BA'C) là
4
3 a 2
AH
Câu IVa
Hàm số đã cho xác định trên R nên xác định tại x=1
limf( )x 1
1
→ ; f(1)=m
Hàm số liên tục tại x=1 khi limx 1 (x)= 1⇔ m= 1
→
Câu Va
Ta có f’(x)=3x2-3 suy ra f’(1)=0
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y=-1
b) Gọi M0(x0;y0) là tiếp điểm ta tìm được x0 = ± 2
Có 2 phương trình tiếp tuyến là: y= x+ 1− 4 2,y= x+ 1+ 4 2
Trang 3d) Gọi M0(x0;y0) là tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng0
y f'(x )(x x ) (x ) y ( x 3) (x x ) x3 x0 1
0 0
2 0 0
0
Tiếp tuyến của (C) qua A(1;-6) nên: 6 ( x 3) (1 x ) x3 x0 1
0 0
2
=
Thay x0 = 2 vào (*) suy ra tiếp tuyến cần tìm có pt y= x−15
Câu IVb
a) Gọi số hạng đầu là u1 ,công bội q Ta có hệ:
=
=
⇔
=
−
=
−
2 q
12 u 144 q
u q u
72 q u q
2 1
4 1 1
3 1
b) a, b, c lập thành cấp số cộng nên ta có a+c=2b
Ta có x+z=2y
Kết luận: x, y, z là cấp số cộng
d) Gọi M(x0;y0) là điểm thuộc đồ thị ( )C , tiếp tuyến tại M có hệ số góc là m f'( )x0 Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=x nên f'( )x0 =-1, ta có phương trình:
x2 6mx0 m 2 0
Yêu cầu bài toán khi phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt, giải tìm được
3 2
m< − hoặc m> 1