a Chứng minh AC vuộng góc với mpSBD b Chứng minh DC vuông góc với SC c Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm B lên các đường thẳng SA và SC.. Chứng minh mpSBD vuông góc với mpBMN.
Trang 1ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2009-2010
I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ HỌC SINH: (7,0 điểm)
C©u 1 T×m c¸c giíi h¹n sau
a) lim2 2
11 3
x
x x
2 2
lim
2
x
x
2
3 5
lim
x
x
x
Câu 2 Tính tổng S = 9 + 3 + 1 +…+ 3
1
3n + …
Câu 3 Phương trình sau có nghiệm hay không trong khoảng ( -4;0)
x3 3x2 4x 7 0
Câu 4 Xét tính liên tục của hàm số sau trên R
4
1
2 )
(
2
x x x x
f
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD, SB vuông góc với mặt phẳng (ABCD) a) Chứng minh AC vuộng góc với mp(SBD)
b) Chứng minh DC vuông góc với SC
c) Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm B lên các đường thẳng SA và SC Chứng minh mp(SBD) vuông góc với mp(BMN)
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2009-2010
I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ HỌC SINH: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm)
a) Tìm điều kiện xác định và tính đạo hàm y' của hàm số y = x
sin3x (1,0 điểm) b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) = 2x 3 3x +1 tại giao điểm của (C) với trục tung
Câu 2: (1,0 điểm) Tính: limx 22x 3x +10
x 2
Câu 3: (1,5 điểm) Cho hàm số
4
x + 8x ˆ
ne u x > 2 f(x) = x + 2 (m R)
ˆ
mx -1 ne u x 2
Xác định giá trị của m để hàm số đã cho liên tục trên tập xác định của nó ?
Nếu x 1 Nếu x= -1
Trang 2Câu 4: (2,5 điểm) Cho hình chóp S.MNPQ, có đáy MNPQ là hình vuông cạnh a và O là
tâm của nó Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (MNPQ) và SO = a 66 Gọi A
là trung điểm của PQ
a) Chứng minh rằng PQ mp(SAO) b) Tính góc giữa SN và mp(MNPQ); tính theo a khoảng cách từ điểm O tới mp(SPQ)
1 Dành cho học sinh học theo chương trình chuẩn:
Câu 5.a: (2,0 điểm) a) Cho hàm số y = xcosx Chứng minh rằng: 2(cosx y') + x(y'' + y) = 0 (1,0 điểm)
b) Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số thực
m: (1 m )x 2 2007 3x 1 = 0
Câu 6.a: (1,0 điểm) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = m, BC = n, CC' = p
Chứng tỏ rằng tất cả các đường chéo của hình hộp đều bằng nhau và tính độ dài của các đường chéo đó Từ đó suy ra độ dài đường chéo của hình lập phương cạnh m
2 Dành cho học sinh học theo chương trình nâng cao:
Câu 5.b: (2,0 điểm)
a) Cho dãy số (un) với n n 1n
3 u ( 5)
Chứng tỏ (un) là một cấp số nhân Hãy tính
lim(u u u )
b) Cho hàm số f(x) = 1 x1 x ne u xˆ 0 (a R)
ˆ
a ne u x = 0
Xác định a để hàm số f có đạo hàm tại điểm x 0 Khi đó tính đạo hàm của hàm số tại điểm x 0
Câu 6.b: (1,0 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh a Tính góc giữa hai mặt
phẳng (AB1C1) và (AC1D1)
DE II
Câu 1Tính a)
1
3 lim
4 x
4 lim
x
x
Câu 2 Cmr f(x) =
2 9khi x 3 3
1 khi x = 3
x x
gián đoạn
Trang 3Câu 3: hình chóp đều S ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a 2, M là trung điểm AB và O là tâm của đáy
a) Chứng minh: SM CD b) Xác định hình chiếu vuông góc của M trên (SCD) c) Tính góc [(SMO),(SCD)] ; d) Tính [AB, SC]
Câu 4: 1) Tính y’: a)y =(2 x 1) 2 x x 2 ; b) y = x2cosx
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (H):y x 11
x
a) tại A(2;3) b) biết tiếp tuyến với đường thẳng 1 5
8
y x
DE III CÂU 1: Tính a) lim ( 2 3 )
lim
6 x
x x
; c) 2
1 2 lim
2 3 x
x
Câu 2: Xét tính liên tục của f(x)=
khi 2 2
3 khi 2
x
x
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a; SA (ABCD), SA a 2 Gọi M
và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD
a/ Chứng minh rằng MN // BD và SC (AMN)
b/ Gọi K là giao điểm của SC với mp (AMN) Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vuông góc 2 Tính góc [SC,(ABCD)]
Câu 4: 1)Tính đạo hàm a) y = x + sin5x; b) y =x.sin5x
2) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số y x 1
x
tại giao điểm của nó với trục hoành
CÂU 1: Tính: 1) 2 2
2 4
x x x
3 1 lim
3
x
x
CÀU 2:.
3 2 2 2 khi x 1 ( ) 3
3 khi x = 1
x x x
x a
Tìm a để liên tục tại x=1
CÂU 3: Tứ diện S.ABC có ABC đều cạnh a, SA (ABC), SA =32a Gọi I là trung điểm
BC
a) Cmr (SBC) (SAI) b) Tính d[A,(SBC)] c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).d) Tính d[SA, BC]
a)y= + 3x+1- + ; b)y = +
Trang 42) Cho (C): y = x3 − 3x2 + 2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) Biết tiếp tuyến vuông góc
d:y = -1 1
3 x
Hết
-ĐÁP ÁN & THANG ĐIỂM ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II
Môn: TOÁN 11 – NĂM HỌC 2009-2010
a
Tìm điều kiện xác định và tính đạo hàm y' của hàm số
cos 2
x y
x
1,0 đ
0,25 2
( ) 'cos 2 (cos 2 ) ' '
cos 2
y
x
0,25 2
cos 2 2 sin 2 '
cos 2
y
x
0,25
b
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số
3
yf x x x , tại giao điểm của (C) với trục tung 1,0 đ
2
Hệ số góc của tiếp tuyến: f '(0) 3 0,25
Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là: y 3x 1 0,25
2
Tìm giới hạn:
1
lim
1
x
x
1,0 đ
2
0,25
Trang 5
1
( 1)(4 3) lim
x
lim
x
x
0,50
1
lim
x
x
0,25
3
Xác định giá trị của a để hàm số
4 8
ˆ
ˆ
1, 2
ne u x
ax ne u x
Với mọi x < 2 , hàm số ( ) 4 8
2
f x
x
liên tục trên khoảng (; 2)
Với mọi x > 2 , hàm số f x( ) ax 1 liên tục trên khoảng (2; +)
0,25
f(2) = 2a + 1; xlim ( )2 f x xlim (2 ax 1) 2a 1
3
2
2
x x
x
0,25
Để hàm số liên tục trên , đk cần và đủ là nó liên tục tại điểm x =
2; tức là:
2
23 lim ( ) (2) 2 1 24
2
Vậy 23
2
a là giá trị cần tìm
0,50
M O
C
A
D
B
S
H
0,50
Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO (ABCD), suy ra CD SO 0,25
Trang 6CD BC (gt), BC // OM CD OM (2) 0,25
b
Tính góc giữa đường thẳng SA và mp(ABCD); tính khoảng cách
(theo a) từ điểm O tới mp(SCD).
1,25 đ
Gọi là góc giữa đường thẳng SA và mp(ABCD)
Vì SO (ABCD) nên OA là hình chiếu của SA lên mp(ABCD)
Do đó (SA OA; ) SAO
0,25
Trong tam giác SAO vuông tại O, ta có:
0
6
2
SO a
AO a
Vậy góc giữa đường thẳng SA và mp(ABCD) bằng 60 0
0,50
Từ O ta kẻ OH vuông góc với SM (H thuộc SM) Vì CD
mp(SMO) nên mp(SCD) mp(SOM), suy ra OH (SCD)
Do đó d(O; (SCD)) = OH
0,25
a OH
Vậy ( ;( )) 42
14
a
a Cho hàm số y x sinx Chứng minh rằng:2( ' sin )y x x y( '' y) 0 1,0 đ
TXĐ: Ta có y'xsinxsinx x cosx; 0,25
Do đó: 2( ' sin )y x x y( '' y)
2(sinx xcosx sin )x x(2cosx xsinx xsin )x
2 cosx x 2 cosx x 0
0,50
b
Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị
của tham số thực m: (1 m x2 ) 2009 3x 1 0 1,0 đ
Đặt f x( ) (1 m x2 ) 2009 3x 1 Ta có: f(0) 1 0 0,25
f m m m
suy ra: f( 1) (0) f (m2 1) 0, m 0,25
Trang 7Mặt khác hàm số f x( ) (1 m x2 ) 2009 3x 1 liên tục trên đoạn [1; 0] 0,25
Do đó theo tính chất của hàm số liên tục, tồn tại số c ( 1; 0) sao
cho f c ( ) 0 Vậy phương trình ( ) 0có ít nhất một nghiệm trên
khoảng (1; 0) với mọi m
0,25
B
C
A
B1
1
A1
D
Ta có các mặt chéo ACC1A1 và BDD1B1 là hai hình chữ nhật bằng
nhau nên các đường chéo AC1, A1C, BD1 và B1D bằng nhau 0,25
Áp dụng định lý Pithagore, ta được:
AC12 = AC2 + CC12 = AB2 + BC2 + CC12 = a2 b2 c2 0,25 Vậy AC1 = A1C = BD1 = B1D = a2b2c2 0,25
Suy ra độ dài đường chéo của hình lập phương có cạnh a là a 3 0,25
a
Cho dãy số (u n ) với un ( 2)nn 1
3
Chứng tỏ (u n ) là một cấp số nhân
Hãy tìm giới hạn lim(u 1 u 2 u ) n . 1,0 đ
n
u 0, n ;
n 2 n
*
n 1
n+1 n 1 n
,
0,25 Vậy (un) là một cấp số nhân, với u1 = 4
3 và công bội 2
3
q
0,25
Ta có:
n n
0,25
Do đó:
n
(vì
n
2
3
Chú ý: Học sinh có thể giải như sau:
Trang 8Do |q| = 2/3 < 1 nên (un) là một cấp số nhân lùi vô hạn, do đó:
1
1 q 5
0,25
b
Cho hàm số
ˆ
ˆ , 0
x
ne u x
Xác định m để
hàm số có đạo hàm tại điểm x 0 Khi đó tính đạo hàm của hàm
số f tại điểm x 0.
1,0 đ
Để hàm số có đạo hàm tại điểm x = 0 thì điều kiện cần là nó phải
liên tục tại điểm đó, tức là lim ( )x0 f x f(0) 0,25
f(0) = m;
2
x
f x
Vậy khi 1
2
m thì hàm số liên tục tại điểm x = 0. 0,25
Lúc đó , ta có:
( )
1
ˆ
2
x
ne u x x
f x
ne u x
.
2
x
0,25
2 2
8
2
m thì hàm số có đạo hàm tại điểm x 0 và '(0) 1
8
6.b
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Tính góc giữa hai
A
D
A '
B '
C '
D ' M
Trang 9Gọi M là hình chiếu vuông góc của B' lên đường thẳng AC'.
Do AB'C' = AC'D' (c.c.c) nên D'M = B'M và D'M AC'
Suy ra AC' mp(B'MD') Do đó góc giữa hai mp(AB'C') và
mp(AC'D') bằng góc giữa hai đường thẳng B'M và D'M
0,25
Tính B MD ' ' ? Ta có: 1 2 1 2 1 2 12 12 32
B M AB B C a a a
2
3
a
0,25
2 2
0 2
2
4 2
4
3
a a
B M B D
a
B M
0,25
Lưu ý:
Phần riêng: Nếu là học sinh các lớp 11B(9,10) thì được chọn tùy ý một trong hai
phần (phần 1 hoặc phần 2) , còn học sinh các lớp 11A(1,2,3) bắt buột làm phần dành cho học sinh học chương trình nâng cao.
Học sinh có thể giải bằng các cách khác nhau, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa tương
ứng với thang điểm của ý và câu đó.
Thang điểm đề 2 tương tự