de thi va dap an hoc sinh gioi lop 10

Mọi cách giải khác đúng đều đạt điểm tối đa..[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH

TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 10 NĂM HỌC 2008 – 2009

Thời gian: 180 phút (không kể giao phát đề)

Bài 1(2,0 điểm) Giải phương trình:

3 2

x x







Bài 2(2,0 điểm) Cho hệ

3 3





Chứng minh rằng 3 m 2 y 31 m

Bài 3(2,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với , ,x y z  và x + y + z = 1.0

Bài 4(2,0 điểm) Chứng minh bất đẳng thức:

với a b c  0

Bài 5(2,0 điểm) Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c, a2 b2c2 và các đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh B và C lần lượt là mb, mc thoả mãn b 1

c

m c

b m  Gọi S là diện tích tam giác

Chưng minh rằng tanA 4S2

a

-Hết -Chú ý Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm;

Học sinh không được sử dụng bất cứ tài liệu nào

ĐÁP ÁN

1

Phương trình tương đương: 53 x3 1 2 x2 2

Đặt :

2

Phương trình trở thành:  2 2 2

2 5uv 2 u v 2( ) 5( ) 2 0

1 2

u

u

v







 



+/ u 2 x 1 2 x2 x 1

v       (Vô nghiệm)

u

v



Vậy phương trình có nghiệm 5 37

2

0,25

0,75

0,5

0,5

2

Ta có: x64y6 2y3 x34x y3 3 2 0  ( )x3 2 (4y31)x34y6 2y3 2 0 (1)

(4y 1) 4(4y 2y 2) 9 0

       

 1  2 - 2 xy3  3 1-2y 3

Thay x3 = m – y3 , ta có:

3

     hay 3  m 2  y 31 m

0,5 0,5 0,5 0,5

3

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số không âm x,y,z ta có:

3

3

   

Suy ra

3 3

9

  Vậy giá trị lớn nhất của

3 2 9

P  

  khi và chỉ khi 1

3

x  y z

0,5 0,5 0,5 0,5

1

1

(do a + c > 0)





2

0,5

0,5

b(b )+c(a b) 0

(a b)(c ) 0 do a b c > 0

a

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c > 0

0,5 0,5

5

Áp dụng công thức đường trung tuyến trong tam giác ta có:

c b

m

hay c2(2a2 + 2b2 – c2) = b2(2a2 + 2c2 – b2)

 c4 – b4 + 2a2(b2 – c2) = 0  (c2 – b2)(b2 + c2 – 2a2) = 0 (1)

Do c 1

b  nên từ (1) suy ra b

2 + c2 – 2a2 = 0 (2) Mặt khác theo định lý Côsin trong tam giác ta có:

a2 = b2 + c2 – 2bccosA

Kết hợp với (2) ta có: a2 = 2bccosA

Suy ra a2sinA = 2bccosAsinA  a2sinA = 4ScosA, do A 900 nên suy ra tanA 4S2

a



0,5

0,5 0,25

0,25 0,5

Chú ý Mọi cách giải khác đúng đều đạt điểm tối đa.