Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña C trªn AB... Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña C trªn AB.[r]
Trang 1GVHD Nguyễn Minh Sang THCS Lõm Thao –Phỳ Thọ
Bộ giáo dục đào tạo cộng hoà x hội chủ nghĩa việt ã
nam
Tr
ờng đại học s phạm hà nội Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc
Đề chính thức
đề thi tuyển sinh Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2009
Môn thi: Toán học
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào trờng chuyên)
Thời gian làm bài :120 phút
Câu 1: Cho biểu thức
A=√20 a+92+√a4+16 a2+ 64
B=a4+20a3+102a2+40a+200
a-Rút gọn A
b- Tìm a để A+B=0
Câu 2:Hai công nhân cùng làm một công việc 18 h xong.Nếu ngời thứ nhất làm 6h
và ngời thứ 2 làm 12 h thì đợc 50% công việc.Hỏi nếu làm riêng mỗi ngời hoàn thành công việc trên bao lâu?
Câu 3: Cho Parabol y= x2 và đờng thẳng (d) có phơng trình y=mx+1
a- Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A;B với mọi m
b- Gọi A(x1;y1) và B(x2;y2) Tìm giá trị lớn nhất của
M=(y1-1)(y2-1)
Câu 4:Cho tam giác ABC với AB=5 ;AC=3√5; BC=10 Phân giác BK góc ABC cắt
đờng cao AH;trung tuyến AM của tam giác ABC tại O và T (K AC;H, M BC)
a-Tính AH
b-Tính diện tích tam giác AOT
Câu 5: Các số thực x , y thoả mãn đẳng thức :
(x +√1+x2)(y +√1+ y2)=1
Chứng minh x+y=0
Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh số báo danh
Bộ giáo dục đào tạo cộng hoà x hội chủ nghĩa việt namã Tr
ờng đại học s phạm hà nội Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc
Đề chính thức
đề thi tuyển sinh Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2009
Môn thi: Toán học
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin;Thời gian làm bài :150 phút )
Câu 1 Các số thực x, y thoả mãn xy ≠√2 và xy ≠−√2 Chứng minh rằng biểu thức
sau không phụ thuộc vào x, y
P=( 2√32 xy
x2y2−√34+
xy −√32
2 xy+2√32). 2 xy
xy+√32 −
xy
xy −√32
Câu 2 1) Cho phơng trình x2+bx +c=0 , trong đó các tham số b và c thoả mãn
đẳng thức b + c = 4 Tìm các giá trị của b và c để phơng trình có hai
Trang 2nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho x1=x22+x2
1) Giả sử (x, y, z) là một nghiệm của hệ phơng trình:
¿
x
3+
y
12−
z
4=1
x
10+
y
5+
z
3=1
¿ {
¿
Hãy tính giá trị của A = x + y + z
Câu 3 Ba số nguyên dơng a, p, q thỏa mãn các điều kiện:
i) ap + 1 chia hết cho q
ii) aq + 1 chia hết cho p
Chứng minh a>pq
2( p+q)
Câu 4 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB và điểm C thuộc đờng tròn (C không
trùng với A, B và trung điểm cung AB) Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên
AB Đờng tròn (O1) đờng kính AH cắt CA tại E, đờng tròn (O2) đờng kính BH cắt
CB tại F
1) Chứng minh tứ giác AEFB là tứ giác nội tiếp
2) Gọi (O3) là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AEFB, D là điểm đối xứng của C qua O Chứng minh ba điểm H, O3, D thẳng hàng
3) Gọi S là giao của các đờng thẳng EF và AB, K là giao điểm thứ hai của SC với đờng tròn (O) Chứng minh KE vuông góc với KF
Câu 5 Một hình vuông có độ dài bằng 1 đợc chia thành 100 hình chữ nhật có chu
vi bằng nhau (hai hình chữ nhật bất kỳ không có điểm chung) Kí hiệu P là chu vi của mỗi hình chữ nhật trong 100 hình chữ nhật này
1) Hãy chỉ ra một cách để chia P = 2,02
2) Hãy tìm giá trị lớn nhất của P
Đại học s phạm hà nội
Thi tuyển sinh vào khối THPT chuyên năm 2009
Môn thi: Toán học
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào khối chuyên)
Thời gian làm bài :120 phút
H ớng dẫn
Ta có
a2 +8 ¿2
¿
¿
¿
a+10¿2
¿
¿
20 a+92+√ ¿
¿
A=√20 a+92+√a4 +16 a 2
+ 64= √ ¿
B=( a4+20a3+10a2)+2(a2+ 20a+100)=a2(a+10)2+2(a+10)2==(a+10)2(a2+2)
A=|a+10|≥ 0 ;B=(a+10)2(a2+2) 0;A+B 0 dấu “=” khi a=-10
Câu 1: Cho biểu thức
A=√20 a+92+√a4
+16 a2
+ 64
B=a4+20a3+102a2+40a+200
a-Rút gọn A
b- Tìm a để A+B=0
Câu 3: ( 2 điểm) Giải hệ phơng trình
¿
x2+y2+2(x + y +xy)=0(1)
x2
+y2
+4 x −2 y + 4=0(2)
¿ {
¿
Trang 3H ớng dẫn
Gọi thời gian ngời thứ nhất làm một mình xong cả công việc là x (h) x>18 Gọi thời gian ngời thứ hai làm một mình xong cả công việc là y (h) x>18
1 h ngời thứ nhất làm đợc 1
x (CV); 1 h ngời thứ hai làm đợc
1
y (CV)
1 h cả hai ngời làm đợc 1
18 (CV) ta có PT:
1
x+
1
y=
1
ngời thứ nhất làm 6h và ngời thứ 2 làm 12 h thì đợc 50% công việc.ta có PT: 6
x+
12
y =
1
Từ (1) và (2) ta có hệ
¿
1
x+
1
y=
1
18
6
x+
12
y =
1
2
⇔
¿ 1
x+
1
y=
1
18
1
x+
2
y=
1
12
⇔
¿ 1
x=
1
36
1
y=
1
36
⇔
¿x=36
y=36
¿ {
¿
Vậy mội đội đội là riêng 36 h xong
H ớng dẫn
a-xét hệ PT:
¿
y=x2
y =mx+1
⇔
¿y= x2
x2− mx− 1=0
¿ {
¿
Câu 2:Hai công nhân cùng làm một công việc 18 h xong.Nếu ngời thứ nhất
làm 6h và ngời thứ 2 làm 12 h thì đợc 50% công việc.Hỏi nếu làm riêng mỗi ngời hoàn thành công việc trên bao lâu?
Câu 3: Cho Parabol y= x2 và đờng thẳng (d) có phơng trình y=mx+1
a- Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A;B với mọi m b- Gọi A(x1;y1) và B(x2;y2) Tìm giá trị lớn nhất của
M=(y1-1)(y2-1)
Trang 4xét PT x2-mx-1=0 có Δ=m2+ 4 >0
b-y1=mx1+1;y2=mx2+1;M=m2.x1x2 mà x1;x2 là nghiệm PT x2-mx-1=0 theo Viét
x1x2=-1 nêm M=-m2 0 Max(M)=0
H ớng dẫn
H ớng dẫn
a-Đặt CH=x thì BH=10-x ta có áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông
ABH;ACH AH2 =AB2 -BH2 =25-x2 ; AH2 =A2C -H2C =45-(10-x)2
Ta có PT : 25-x2 =45-(10-x)2 ⇔ 25-x2 =45-100+20x-x2 ⇔ 20x=80 ⇔ x=4 nên AH=3
b-áp dụng tính chất phân giác AO
AB
5
5
9 ; SAOB = 5
9SAHB = 10
SABT= 1
2SABM = 15
SAOT=SABT− SAOB= 15
10
5
12 (đvdt)
H ớng dẫn
Ta có :
2
¿
1+x❑
¿❑
x −√ ¿(x +√1+x2)(y +√1+ y2)(x −√1+x2)=(|)
2
¿
1+x❑
¿❑
x −√ ¿⇔−(y +√1+ y2)=(|)(1)
Câu 4:Cho tam giác ABC với AB=5 ;AC=3√5; BC=10 Phân giác BK góc ABC cắt
BC)
a-Tính AH
b-Tính diện tích tam giác AOT
O T M H
K
A
Câu 5: Các số thực x , y thoả mãn đẳng thức :
(x +√1+x2)(y +√1+ y2)=1
Chứng minh x+y=0
Trang 5Tơng tự
2
¿
1+ x❑
¿❑
x+√ ¿ 2
¿
1+ y❑
¿❑
y −√ ¿− (|)=(|)(2)
Cộng (1) và (2) Ta có
− y −√1+ y2− x −√1+x2=x −√1+x2+y −√1+ y2⇔ − y − x=x + y ⇔ x+ y=0
Vậy x+y=0 (đpcm)
Đại học s phạm hà nội
Môn thi: Toán học
(Dùng riêng cho thí sinh thi vào lớp chuyên toán và chuyên tin)
Thời gian làm bài :150 phút
H ớng dẫn
P=( 2√32 xy
x2y2−3
√4+
xy −3
√2
2 xy +2 3
√2). 2 xy
xy + 3
√2−
xy
xy −3
√2 (xy −√32)
¿
( xy+√32)( +xy −
3
√2 2(xy+√32)¿).
2 xy xy+√32 −
xy
xy −√32
xy +√32 ¿2
¿
¿
¿
2√32 xy
¿ P=4
3
√2 xy+x2y2−2√32 xy+√34 2(xy+√32)(xy −√32) .
2 xy xy+√32 −
xy
xy −√32=¿
P=¿
Câu 1 Các số thực x, y thoả mãn xy ≠√2 và xy ≠−√2 Chứng minh rằng biểu thức
sau không phụ thuộc vào x, y
P=( 2√32 xy
x2y2−3
√4+
xy −3
√2
2 xy+2 3
√2). 2 xy xy+ 3
√2 −
xy
xy −3
√2
Câu 2
1) Cho phơng trình x2
+bx +c=0 , trong đó các tham số b và c thoả mãn
đẳng thức b + c = 4 Tìm các giá trị của b và c để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho x1=x22+x2
1) Giả sử (x, y, z) là một nghiệm của hệ phơng trình:
¿
x
3+
y
12−
z
4=1
x
10+
y
5+
z
3=1
¿ {
¿
Hãy tính giá trị của A = x + y + z
Trang 6H íng dÉn
a)Theo gi¶ thiÕt ta cã
Δ=b2− 4 c >0
¿
x1+x2=− b
b+c=4
x1 x2=c
x1=x22
+x2
⇔
¿Δ=b2− 4 c ≥0
x1 x2− x1− x2=4
x1 x2=c
x1=x22
+x2
⇔
¿Δ=b2−4 c >0
x1.=x2+4
x2−1
x1 x2=c
x2+4
x2− 1=x2
2
+x2
⇔
¿Δ=b2−4 c >0
b+c=4
x1 x2=c
x2+4
x2− 1=x2
2
+x2
¿
⇔
¿Δ=b2−4 c >0
b+c=4
x1 x2=c
x23− 2 x2− 4=0
⇔
¿Δ=b2−4 c >0
b+c=4
x1 x2=c
(x2−2)(x22− 2 x2+2)=0
⇔
¿Δ=b2−4 c >0
b=− 8
c =12
x1.=6
x2=2
¿ { { { {
¿
¿ ¿
¿
Trang 7b)
¿
x
3+
y
12−
z
4=1
x
10+
y
5+
z
3=1
⇔
¿4 x + y −3 z=12
3 x+6 y+10 z=30
⇔7 (x+ y+z)=42⇔ A=6
¿ {
¿
H ớng dẫn
xét pq=1 ta có đpcm
xét :pq>1
(ap+1)(aq +1)⋮pq⇔ a2 pq+ap+aq +1⋮ pq⇔a( p+q)+1⋮pq⇔ a≥ pq −1 p+q
xét hiệu pq − 1
p+q −
pq
pq −1 2(p +q)>0 (vì pq>1) nên a>
pq
2( p+q)
Cách khác :
Ta có 2 ap+2 aq>ap+aq+1≥ pq ⇒ 2 a( p+q)>pq ⇔ a>pq
H ớng dẫn
Câu 3 Ba số nguyên dơng a, p, q thỏa mãn các điều kiện:
i) ap + 1 chia hết cho q
ii) aq + 1 chia hết cho p
Chứng minh a>pq
2( p+q)
Câu 4 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB và điểm C thuộc đờng tròn (C không
trùng với A, B và trung điểm cung AB) Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên
AB Đờng tròn (O1) đờng kính AH cắt CA tại E, đờng tròn (O2) đờng kính BH cắt
CB tại F
1) Chứng minh tứ giác AEFB là tứ giác nội tiếp
2) Gọi (O3) là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AEFB, D là điểm đối xứng của C qua O Chứng minh ba điểm H, O3, D thẳng hàng
3) Gọi S là giao của các đờng thẳng EF và AB, K là giao điểm thứ hai của SC với đờng tròn (O) Chứng minh KE vuông góc với KF
1
K
S
O3 I
D
F E
O2
O
∠ CHE) nên tứ giác AEFB nội tiếp b)Kẻ trung trực EF cắt HD tại O3 chứng minh O3 là tâm đờng tròn ngoại tiếp
tứ giác AEFB
giác CHD có IO3là đờng trung bình
trung trực của AB nên O3 là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AEFB
hay H,O3 ,D thẳng hàng
Trang 8c) ∠ BFS= ∠ BKS (cùng bù ∠ EFB) nên tứ giác BFKS nội tiếp suy ra ∠
FKS= ∠ FBA
mà ∠ FBA= ∠ CEF nên ∠ FKS= ∠ CEF nên tứ giác CEFK nội tiếp suy ra
∠ EKF= ∠ ECF=900 hay FK vuông góc với EK
H ớng dẫn
a-cách chia 1 cạnh thành 100 phần bằng nhau qua các điểm chia kẻ các đờng thẳng // cạnh kia ta đợc 100 hình vuông có chu vi bằng nhau khi đó P=2,02
Chia 1 cạnh thành x phần bằng nhau cạnh còn lại là y phần bằng nhau (x,y N*)
Ta có xy=100 gọi kích thớc mỗi hình chữ nhật là a,b thì
a=1
x , b=
1
y khi đó P=
2
xy=
2(x+ y)
x+ y
50 ; P (max )khi x+y (max)
Mà (x;y)=(1;100);(2;50);(4;25);(5;20);(10;10) chỉ có cặp (1;100) thoả mãn
Khi đó P(max)=2,02
Câu 5 Một hình vuông có độ dài bằng 1 đợc chia thành 100 hình chữ nhật có chu
vi bằng nhau (hai hình chữ nhật bất kỳ không có điểm chung) Kí hiệu P là chu vi của mỗi hình chữ nhật trong 100 hình chữ nhật này
1) Hãy chỉ ra một cách để chia P = 2,02
2) Hãy tìm giá trị lớn nhất của P