CHUYÊN ĐỀ TOÁN LŨY THỪA CẤP THCS

Để tìm được ba chữ số cuối của một lũy thừa đã là khó với học sinh, bài này lại yêu cầu tìm ba chữ số cuối của một tích các lũy thừa thì quả thật là rất khó... Dạng 4: Tính toán trên các[r]

CHUYÊN ĐỂ TOÁN LŨY THỪA

1 Hệ thống hóa kiến thức cơ bản

2 Kiến thức mở rộng, nâng cao

3 Một số dạng toán thường gặp và phương pháp giải

3.1 Dạng1: Tìm số chưa biết

3.1.1 Tìm cơ số, thành phần trong cơ số của luỹ thừa

3.1.2 Tìm số mũ, thành phần trong số mũ của luỹ thừa

3.3 Dạng 3 So sánh hai luỹ thừa

3.4 Dạng 4 Tính toán trên các luỹ thừa

3.5 Dạng 5 Toán đố với luỹ thừ

II PHƯƠNG PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 Hệ thống hóa kiến thức cơ bản

Muốn học tốt kiến thức toán lũy thừa, các em học sinh cần phải hiểu, nhớ các công thức lũy thừa cơ bản, rồi từ đó vận dụng để giải quyết các bài tập từ cơ bản đến nâng cao

a) Định nghĩa luỹ thừa với số mũ tự nhiên:

an =     

a a

a b

xxx

2 Kiến thức mở rộng, nâng cao

Đây là các kiến thức không được giới thiệu trong sách giáo khoa toán 7 nhưng khi giải các bài tập nâng cao thì cần phải có những kiến thức này

3.1.1 Tìm cơ số, thành phần của cơ số trong luỹ thừa

Phương pháp chung: Đưa về hai lũy thừa cùng số mũ

Bài 1 Tìm x biết rằng:

a) x3 = -27 b) (2x – 1)3 = 8

c) (x – 2)2 = 16 d) (2x – 3)2 = 9

Phương pháp giải

Đối với những bài toán dạng này, học sinh chỉ cần nắm vững kiến thức cơ bản

là có thể dễ dàng làm được, lưu ý đối câu a) và câu b), biểu thức có số mũ lẻ thì ta áp dụng công thức tổng quát: A2n + 1 = B2n + 1

 A = B a) x3 = -27 b) (2x – 1)3 = 8

Vậy x =

3 2

Còn đối với câu c) và câu d) thì biểu thức có số mũ chẵn nên ta áp dụng công thức tổng quát: A2n = B2n  A = B hoặc A = -B

Giáo viên có thể gợi ý:

0

3 2

0

x x

Đến đây giáo viên có thể cho học sinh làm bài tập sau:

Bài 3 Tìm số hữu tỉ y biết: (3y - 1) 10 = (3y - 1) 20 (*)

x x x

Rất có thể học sinh dừng lại ở đây, vì đã tìm được x Nhưng đề bài yêu cầu tìm

y nên ta phải thay trở lại điều kiện đặt để tìm y

Bài này ngược với bài trên, hai lũy thừa đã có số mũ đã biết giống nhau nhưng

cơ số chưa biết lại khác nhau Lúc này ta cần sử dụng tính chất: bình phương của hailũy thừa bằng nhau khi hai cơ số bằng nhau hoặc đối nhau

Ta thấy: (3x - 5)100  0,x Q

(2y +1)200  0, x Q

=> Biểu thức (*) chỉ có thể bằng 0, không thể nhỏ hơn 0

Vậy: (3x - 5)100 + (2y + 1)200 = 0 khi

(3x - 5)100 = (2y + 1)200 = 0 => 3x – 5 = 2y + 1 = 0

Bài 5 Tìm các số nguyên x và y sao cho: (x + 2) 2 + 2(y – 3) 2 < 3

Phương pháp giải

Theo bài 3, học sinh sẽ nhận ra ngay: (x + 2)2  0, x Z (1)

2(y – 3)2  0, x Z (2)Nhưng nảy sinh vấn đề ở “ < 3 ”, học sinh không biết làm thế nào Giáo viên có thểgợi ý: Từ (1) và (2) suy ra, để: (x + 2)2 + 2(y – 3)2 < 3 thì chỉ có thể xảy ra nhữngtrường hợp sau:

3.1.2 Tìm số mũ, thành phần trong số mũ của lũy thừa.

Phương pháp chung: đưa về hai lũy thừa có cùng cơ số

1 1 2

n m

2 2

n m

=> 





 1

415 915 < 2n 3n < 1816 216

 (4 9)15 < (2.3)n < (18.2)16

 3615 < 6n < 3616

 630 < 6n < 632 => n = 31

Bây giờ, học sinh không những biết làm các bài toán tương tự mà còn có thể tự

ra các bài toán dạng tương tự

1) Tìm các số nguyên n sao cho:

2

6 6 6 6 6 6 3 3 3

4 4 4 4

5 5

5 5 5 5 5 5 5 5 5

5 5 5 5

3



x x

4) b)

n

2 2

2

6 6 6 6 6 6 3 3 3

4 4 4

4

5 5

5 5 5 5 5 5 5 5 5

5 5 5

6 6

Đặt x - 1 = y ta có: x + 2 = y + 3

 x + 4 = y + 5Khi đó (1) trở thành: yy+3 = yy+5

 yy+5 - yy+3 = 0  yy+3(y2 – 1) = 0



y 3 2

Với bài này, x xuất hiện cả trong cơ số và cả ở ngoài (không phải ở trong số

mũ như bài trên) Học sinh sẽ lúng túng và gặp khó khăn khi tìm lời giải, khi đó giáo viên hướng dẫn

Xét a  1 Ta thấy vế trái của (1) luôn là số chẵn và vế phải của (1) luôn là số

lẻ với mọi a  1, a, b  N, điều này vô lí

Kết luận: Vậy a = 0 và b = 3

b) 10a + 168 = b2 (2)

Tương tự câu a

Phương pháp chung: cần nhớ một số nhận xét sau:

 Tất cả các số có chữ số tận cùng là: 0; 1; 5; 6 nâng lên lũy thừa nào (khác 0)cũng có chữ số tận cùng là chính những số đó

 Để tìm chữ số tận cùng của một số ta thường đưa về dạng các số có chữ số tậncùng là một trong các chữ số đó

 Lưu ý: những số có chữ số tận cùng là 4 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ

số tận cùng là 6 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 4, những

số có chữ số tận cùng là 9 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số tận cùng là

1 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 9

 Chú ý: 24 = 16; 74 = 2401; 34 = 81; 84 = 4096

CÁC DẠNG BÀI TẬP

 20072007 = 20072004 20073 = (20074)501 3 = ( 1)501 3

= 1 3 => 20072007 có chữ số tận cùng là 3

 23456 = (24)864 = 16864 = 6 => 23456 có chữ số tận cùng là 6

 5235 = 5232 523 = (524)8 8 = ( 6)8 8 = 6 8 = 8 => 5235 có chữ số tận cùng là 8

n

chia hết cho 10 (n  N, n ≥ 1) c) H = 92n 3chia hết cho 2 (n  N, n ≥ 1)

Phương pháp giải

Với dạng bài này, học sinh phải dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5, cho cả

2 và 5 Đọc đầu bài, học sinh sẽ định hướng được phải tìm chữ số tận cùng như bài 5,nhưng khi bắt tay vào làm thì gặp khó khăn lớn với các lũy thừa 2 2n, 2 4n, 92n họcsinh không biết phải tính như thế nào, rất có thể học sinh sẽ nhầm: 2 2n 2 2n; 2  4n 2 4n

có chữ số tận cùng là 1

=> H = 92n 3 có tận cùng là 4 Vậy H  2

Bài tập luyện tập :

1) Tìm chữ số tận cùng của các số sau:

= 3n 30 + 2n+1 6

= 6 (5.3n + 2n+1)  6,nN

3.2.2 Tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa.

Phương pháp: Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa, ta cần chú ý những số đặc biệt sau:

 Các số có tận cùng là 01, 25, 76 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng chính nó

 Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa ta thường đưa về dạng các số có hai chữ số tận cùng là: 01; 25 hoặc 76

 Các số 210 ; 410; 165; 65; 184; 242; 684; 742 có tận cùng bằng 76

 Các số 320; 910; 815; 74; 512; 992 có tận cùng là 01

 Số 26n (n  N, n >1)

Bài 1: Tìm hai chữ số tận cùng của: 2 100 ; 3 100

Dựa vào nhận xét ở trên học sinh có thể dễ dàng làm được bài này :

Đưa về dạng các số có hai chữ số tận cùng là: 01; 25 hoặc 76.

Từ bài toán 2, cho học sinh làm bài toán tổng quát:

Bài 3: Tìm hai chữ số tận cùng của:

Phương pháp: Chú ý một số điểm sau:

 Các số có tận cùng 001, 376, 625 nâng lên lũy thừa (khác 0) cũng có tận cùngbằng chính số đó

 Số có tận cùng 0625 nâng lên lũy thừa (khác 0) cũng có tận cùng bằng 0625

a) 23n 47n = (23)n 47n = (8 47)n = 376n

376n có tận cùng là 376 => 23n 47n có tận cùng là 376

b) 23n+3 47n+2.

Dù đã làm được câu a, đến câu b học sinh cũng không tránh khỏi lúng túng ở

số mũ Giáo viên có thể hướng dẫn:

23n+3 47n+2 = 23(n+1) 47n+1 47

= (23)(n+1) 47n+1 47

= (8.47)n+1 47 = 47 376n+1

a) Ta có: 54n = 54.4n1= 6254n1 tận cùng là 625 ( n N, n ≥ 1)

=> 54n + 375 có tận cùng 000 Vậy: 54n + 375 1000

b) Ta có 52n = 522.2n2=  4 2 2

5 n = 6252n2(n N, n ≥ 2) Vậy 52n - 25 có 2 chữ số tận cùng là 00 Do đó : 52n- 25 100

Phương pháp chung: để so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi về hai lũy thừa có cùng cơ số hoặc có cùng số mũ (có thể sử dụng các lũy thừa trung gian để so sánh).

)500

và ( 2

1

)500 = 500

500

2

) 1 (

= 2 500

1

Vì 2400 < 2500 nên 2 400

1 > 2 500

1

Vậy (16

1

)100 > ( 2

1

)500

1 2008

2009 2008





; B = 2008 1

1 2008

2008 2007

2009 2008

2009 2008





< 2008 1 2007

2007 1

2008

2009 2008

2008

2009 2007





=2008 1

1 2008

2007 2007





=B Vậy A < B

Giáo viên cũng có thể hướng dẫn học sinh giảỉ bài toán theo những cách sau:

Cách 1: Ta có: 2008.A =  

 1 2008

2008 ).

1 2008 (

2009

2008

1 2008

2007 1

2008

2009 2009

2008

2008 2008

Cách 2:

1

= 2008 1

1 2008

2008

2008 2009

1 2008 (

2008

2008 2008

2007 2008





= 2008 1

2007 2008

2008

2007 2008

1 2008 (

2008

2007 2007

1 100

99 100





1 100

100 101

100 101





> 1 => N =100 1

1 100

100 101





>100 1 99

99 1 100

100 101

100 101





= (100 1).100

100 ).

1 100 (

99 100





= 100 1

1 100

99 100





= MVậy M < N

1 100

99 100





= 100 1

99 100 100

99 100

1 100 (

99 99

100 101





= 100 1

99 100 100

100 101

1 100 (

100 100

Bây giờ giáo viên có thể cho học sinh làm một số bài tập tương tự sau:

1 So sánh:

16 15





và B = 13 1

1 13

17 16





b) A = 1999 1

1 1999

1998 1999





và B = 1999 1

1 1999

1999 2000





c) A = 100 1

1 100

99 100





và B = 100 1

1 100

68 69

68 69

1 100

(

68 99

68 100

1 100 (

99 68

99 69

Phương pháp: Vận dụng linh hoạt các công thức, phép tính về lũy thừa để tínhcho hợp lí và nhanh Biết kết hợp hài hòa một số phương pháp trong tính toán khibiến đổi.

Bài 1 Tính giá trị các biểu thức sau:

a) A = 27 7 10 27

27 13 7 30

5 2 5 2

5 2 5 2





b) M =  

) 5 ( 6 ( 6 ( ) 5 (

a) A = 27 7 10 27

27 13 7

30

5 2 5

.

2

5 2 5

20 17 7 10

20 17 7 13





= 23 = 8b) M =  

) 5 ( 6 ( 6 ( ) 5 (

x x

Học sinh dễ phát hoảng khi nhìn thấy câu b vì số mũ của lũy thừa cứ cao dần

mà số lại chưa cụ thể Nhưng khi thay giá trị của x vào thì M lại tìm được một cách

dễ dàng

M =  

) 5 ( 6 ( 6 ( ) 5 (

x

) 5 7 ( 6 ( 6 ( ) 5 7 (

4 7

Với bài toán này, học sinh phải huy động kiến thức về dấu hiệu chia hết, kĩnăng và phương pháp biến đổi, lưu ý rằng: nếu am, an, (m; n) = 1 thì am.n (a, m,

H = 3135 299 – 3136 36

H = 3135 299 – 3136 - 35 3136

H = 3135 (299 – 313) - 35 3136

H = 3135 14 - 35 3136

H = 7 (3135 2 – 5 3136 )7

Bài 3 Cho A = 2 + 2 2 + 2 3 + … + 2 60 Chứng tỏ rằng: A3, A7, A5

Phương pháp giải Với bài này, giáo viên hãy hướng dẫn các em đi nhóm các lũy thừa thànhtừng nhóm 2; 3; 4 lũy thừa sao cho sau khi đặt thừa số chung ở mỗi nhóm thì xuấthiện số cần chứng tỏ A chia hết cho nó

Bài 6 Thu gọn tổng sau: M = 1 - 2 + 2 2 - 2 3 + … + 2 2008

5 này hai tổng 2M và M lại có những số hạng đối nhau nên ta sẽ xét tổng của chúng:

Với mọi số tự nhiên a và b, ta có: (a - b).(a + b) = a 2 - b 2

1 12

1 10

1 8

1 6

1 4

1 2

1

2 2 2 2 2 2

Phương pháp giải

Để làm được câu a, học sinh phải nắm được các kiến thức liên quan Nhữngbài toán dạng này thực sự rất khó với học sinh Để học sinh hiểu được phụ thuộchoàn toàn vào sự dẫn dắt, gợi mở của giáo viên.

1

2 

; 2 3

1 3

1

2 

; 3 4

1 4

1

2 

; ; 2007 2008

1 2008

1 10

1 8

1 6

1 4

1 2

1 5

1 4

1 3

1 2

1

1      

) < 2 2

1(1+1) = 2 2

1.2 = 2 1

(Vì theo câu a, 7 1

1 6

1 5

1 4

1 3

1 2

1

2 2 2 2 2

)Vậy K < 2

1.Bây giờ giáo viên có thể cho học sinh làm một số bài tập luyện tập sau:

1) Chứng tỏ rằng các biểu thức sau đều viết được dưới dạng số chính phương:

M = 13+23 Q = 13+23+33+43+53

N = 13+23+33 R = 13+23+33+43+53+63

3.5 Dạng 5: Toán đố với lũy thừa

Dạng toán đố với lũy thừa có một số bài chủ yếu liên quan đến số chính phương (Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên)

Phương pháp: Cần hiểu một số kiến thức sau

 Số chính phương chỉ có thể có số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9 và không thể có

số tận cùng bằng 2, 3, 7, 8

 Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa sốnguyên tố với số mũ chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ

 Số lượng các ước của một số chính phương là một số lẻ Ngược lại một số có

số lượng các ước là một số lẻ thì số đó là số chính phương

các chữ số vào dòng chữ sau để được phép tính đúng.

MÙI MÙI = TÂN MÙI (*)

Bạn hãy trả lời giúp.

 a 125 và a – 1 8 => a = 625

 a 8 và a - 1 125 => a = 376

Do đó: 625 625 = 390625 (thỏa mãn)

376 376 = 141376 (không thỏa mãn, vì chữ T khác chữ N)Vậy MÙI MÙI = TÂN MÙI chính là 625 625 = 390625

Bài 2 Đố bạn số chính phương nào có 4 chữ số được viết bởi các chữ số: 3; 6; 8;

8

Phương pháp giải

Với bài toán này, ta phải sử dụng phương pháp loại trừ để tìm ra đáp án:

Gọi số chính phương phải tìm là n2

Số chính phương không tận cùng bằng 3, 8 nên n2 có tận cùng là 6

Số tận cùng là 86 thì chia hết cho 2, không chia hết cho 4 nên không phải là số chínhphương Vậy n2 có tận cùng là 36 Do đó số chính phương cần tìm là 8836