1Chứng minh rằng hai tam giác BCD và BPQ đồng dạng 1 Chứng minh rằng khi M thay đổi thì đờng tròn ngoại tiếp tam giác KCP luôn đi qua điểm cố định... 1thøc Ta cã..[r]
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIấN HỆ THPT CHUYấN NĂM 2009
MễN THI: TOÁN (Vũng 1) Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian phỏt đề)
Câu I. 1) Giải phơng trình
x2− x +2=2√x2− x +1
2) Giải hệ phơng trình
¿
x2− y2+ xy=1
3 x + y= y2+3
¿ {
¿
Câu II. 1) Tìm chữ số tận cùng của số 1313+ 66+20092009
2) Với a, b là những chữ số thực dơng, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
√a(4 a+5 b)+√b (4 b +5 a)
Câu III Cho hình thoi ABCD Gọi H là giao điểm của hai đờng chéo AC và BD
Biết rằng bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng a và bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABD bằng b
1) Chứng minh rằng AH
BH =
a b
2) Tính diện tích hình thoi ABCD theo các bán kính a, b Câu IV Với a, b, c là những số thực dơng, chứng minh rằng
a2
√3 a2+8 b2+ 14 ab+
b2
√3 b2+8 c2+14 bc+
c2
√3 c2+8 a2+14 ca≥
a+b +c
5
Cỏn bộ coi thi khụng giải thich gỡ thờm.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIấN HỆ THPT CHUYấN NĂM 2009
MễN THI: TOÁN (Vũng 2) Thời gian làm bài: 150 phỳt (Khụng kể thời gian phỏt đề)
Câu I. 1) Giải phơng trình
14√x+35+6√x +1=84+√x2+36 x +35
2) Chứng minh rằng
Trang 22 n −1¿4
¿
4+ ¿
1 4+14+
3
4 +34+ +
2 n− 1
¿
Với mọi n nguyên dơng
Câu II. 1) Tìm số nguyên dơng n sao cho tất cả các số
n + 1, n + 5, n + 7, n + 13, n + 17, n + 25, n + 37 đều là nguyên tố 2) Mỗi lần cho phép thay thế cặp số (a,b) thuộc tập hợp
M={(16 , 2),(4 , 32),(6 , 62), (78 ,8)} bằng cặp số (a + c, b + d) trong đó cặp
số (c, d) cũng thuộc M
Hỏi sau một số hữu hạn lần thay thế ta có thể nhận đợc tập hợp các cặp
số M1 ={(2018 ,702), (844 , 2104),(1056 , 2176),(2240 ,912)} hay không?
Câu III
Cho đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B Trên đờng thẳng
AB ta lấy một điểm M bất kỳ sao cho điểm A nằm trong đoạn BM
(M ≠ A)
Từ điểm M kẻ tới đờng tròn (O’) các tiếp tuyến MC và MD (C và D là các
tiếp điểm, C nằm ngoài (O)) Đờng thẳng AC cắt lần thứ hai đờng tròn (O) tại điểm P và đờng thẳng AD cắt lần thứ hai đờng tròn (O) tại Q Đờng thẳng CD cắt PQ tại K
1)Chứng minh rằng hai tam giác BCD và BPQ đồng dạng
1) Chứng minh rằng khi M thay đổi thì đờng tròn ngoại tiếp tam giác
KCP luôn đi qua điểm cố định
Câu IV Giả sử x,y,z là những số thực thoả mãn điều kiện
0 ≤ x , y , z ≤2 và x+ y + z = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức :
M=x4+y4+z4+12(1 − x )(1 − y )(1− z)
Trờng đại học khoa học tự nhiên
Thi tuyển sinh lớp 10 hệ THPT chuyên năm 2009
Môn : toán (vòng 1) Thời gian làm bài :120 phút (Không kể thời gian phát đề)
H ớng dẫn 1)ĐKXĐ: ∀ x ∈ R
√x2− x +1 −1¿2=0
¿
¿
x2− x +2=2√x2− x +1 ⇔ x2− x+1 −2√x2− x +1+1=0 ⇔¿
Phơng trình có 2 nghiệm x 1 =0;x 2 =1
Câu I. 1) Giải phơng trình
x2− x +2=2√x2− x +1
2) Giải hệ phơng trình
¿
x2− y2+ xy=1
3 x + y= y2 +3
¿ {
¿
Trang 3x2− y2
+ xy=1
3 x+ y= y2+3
⇔
¿y2=1− x2− xy
x2
+xy − 3 x − y +2=0
⇔
¿y2=1− x2− xy
(x − 1)(x + y −2)=0
¿
⇔
¿y2 =1− x 2− xy
x=1
¿
x=2− y
¿
¿⇔
¿
¿
¿
x=2− y
¿
y2+2 y −3=0
¿
¿
¿
¿
¿
x=1
¿
y2− y=0
¿
¿
¿
¿
⇔
¿
¿
¿
y=0
¿
x=1
¿
¿
¿
VËy hÖ cã 3 nghiÖm (x;y)=(1;0);(1;1); (5;-3)
H íng dÉn
1)
Ta cã
1313=(134)3 13 ≡3(mod 10);66≡6 (mod 10);20092009= ( 2009 )2008 2009≡ 9(mod10)
13 13
+ 6 6 +2009 2009≡3+ 6+9 ≡ 8(mod 10)
C©u II. 1) T×m ch÷ sè tËn cïng cña sè 1313+ 66+ 20092009
2) Víi a, b lµ nh÷ng ch÷ sè thùc d¬ng, t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc
√a(4 a+5 b)+√b (4 b +5 a)
Trang 4nên 1313+ 66+20092009 có tận cùng là 8
2)áp dụng BĐT Cô si cho 2 số dơng
9a và 4a+5b ta có √9 a(4 a+5 b)≤ 9 a+4 a+5 b
13 a+5 b
2
9b và 4b+55 ta có √9 b(4 b+5 a)≤ 9 b+4 b+5 a
13 b+5 a
2
Nên P≥ 3(a+b)
18 a+18 b
2
= 1
3 nên Min(P)= 1
3 khi a=b
Cách khác áp dụng bất đẳng thức Bunhicôpsky 2 dãy
√a ;√b và dãy √4 a+5 b ;√4 b+5 a ta có
(√a(4 a+5 b)+√b (4 b+5 a))2≤(a+b)(9 a+9 b) ⇔√a(4 a+5 b)+√b (4 b+5 a)≤ 3(a+b)
√a (4 a+5 b)+√b(4 b+5 a) ≥
1 3
Min (P)= 1
3
khi √4 a+5 b
√a =
√4 b+5 a
√b ⇔ 4 a+5 b
4 b+5 a
b ⇔ 4 ab+5 b2 =4 ab+5 a 2⇔ a=b
H ớng dẫn
b − AH¿2=b2⇔ b2
a2 AH
2
+b2− 2 bAH+AH2 =b 2⇔ b2
a2 AH
2− 2 bAH+AH2
= 0
¿
¿
b2
a2 AH
2
+ ¿
a2
+b2
¿2
¿
SABCD=2 AH BH=8 a
3
b3
¿
Câu III Cho hình thoi ABCD Gọi H là giao điểm của hai đờng chéo AC và BD
Biết rằng bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng a và bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABD bằng b
1) Chứng minh rằng AH
BH =
a b
2) Tính diện tích hình thoi ABCD theo các bán kính a, b
O2
K
C
A
a-Tam giác BKO1 dd tam giác O2KA nên
a
b=
O1B
O2A=
O1K
AK =
O1K
BK =TgB1
Mà AH
BH =tgB1 nên a
b=
AH BH b-Theo a ta có HB=b
a HA
trong Δ vuông BO2H ta có BH2+O2H2=O2B2
nên
Trang 5H ớng dẫn
ta có √3 a2+8 b2+14 ab=√(3 a+2b)(a+4 b)≤4 a+6 b
2 =2 a+3 b
√3 b2
+8 c2 +14 cb=√(3 b+2 c)(b+4 c)≤4 b+6 c
2 =2 b+3 c
√3 c2+8 a2+ 14 ac=√(3 c +2 a)(c +4 a)≤4 c +6 a
2 =2 c+3 a
Ta có
2
√3 a2 +8 b 2
+ 14 ab+
b2
√3 b2
+8 c2 +14 bc+
c2
√3 c2
+8 a2
+ 14 ca
P ≥ a
2
2 a+3 b+
b2
2 b+3 c+
c2
2 c+3 a=Q
áp dụng BĐT Bunhiacopsky cho 2 dãy
a
√2 a+3 b ;
b
√2 b+3 c ;
c
√2 c+3 a và √2 a+3 b ;√2 b+3 c ;√2 c+3 a
Ta có a+b +c¿2⇔ Q≥1
5(a+b+ c)
Q(5 a+5 b +5 c)≥¿
vậy P≥ Q ≥1
5(a+b+c )
Dấu “=” xảy ra khi khi a=b=c
Cách khác: Chứng minh Q 1
5(a+b+c) áp dụng BĐT Cô-Si
a2
2 a+3 b+
2 a+3 b
2 a
5 ⇔ a2
2 a+3 b ≥
2 a
5 −
2 a+3 b
8 a −3 b
25 tơng tự
b2
2 b+3 c ≥
8 b −3 c
c2
2 c+3 a ≥
8 c −3 a
25
Vậy
Q≥ 8 a −3 b
8 b −3 c
8 c −3 a
a+b+c
5
-Trờng đại học khoa học tự nhiên
Môn : toán (vòng 2) Thời gian làm bài :150 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu IV Với a, b, c là những số thực dơng, chứng minh rằng
a2
√3 a2+8 b2+ 14 ab+
b2
√3 b2+8 c2+ 14 bc+
c2
√3 c2+8 a2+14 ca≥
a+b +c
5
Trang 6H ớng dẫn
1)ĐKXĐ: x ≥ −1
Đặt √x+35=a ;√x +1=b ;(a>0 ;b ≥0)
a=6
¿
b=14
¿
x=1;(T /m)
¿
x=195 ;(T /m)
¿
¿
¿
⇔¿
¿
¿
¿ 14√x+35+6√x +1=84+√x2 +36 x +35⇔14 a+6 b − 84 −ab=0
2).Dùng phơng pháp quy nạp toán học
* Với n=1 đúng giả sử đúng với n=k ta có
S k= k2
4 k2+ 1 ; ta phải chứng minh đúng với n=k+1 nghĩa là
k +1¿2
¿
k +1¿2+ 1
4 ¿
¿
S k+1= ¿
Câu I. 1) Giải phơng trình
14√x+35+ 6√x +1=84+√x2 +36 x +35 2) Chứng minh rằng
2 n −1¿4
¿
4+ ¿
1 4+1 4 + 3
4 +3 4 + +2 n− 1¿
Với mọi n nguyên dơng
Trang 72 k +1¿4
¿
k +1¿2
¿
k +1¿2+1
¿
2 k +1¿4
¿
k +1¿2
¿
k +1¿2+1
¿
2 k +1¿4
¿
4+ ¿
4 ¿
¿
4+ ¿
4 ¿
¿
4+ ¿
¿
S k+ 1=SK+2(k +1)−1
¿
Ta có :
k +1¿2
¿
k +1¿2+1
¿
k +1¿2(4 k2+1)− k2[4 (k +1¿2+1)]
¿
¿[4(k +1¿2+1)](4 k2 +1)
¿
2 k +1¿4
¿
¿
4 ¿
¿
¿
¿
Cách khác:
đặt a=2n-1( n N❑
¿ xét tổng quát a
4+a4=
1
4(a2− 2 a+21 −
1
a2+2 a+2) thay n lần lợt
từ 1 ;2;3;4;… Ta có a lần lợt 1;3;5;7;…
Ta có
2 n− 1+1¿2+1
¿
2 n− 1+1¿2+1
¿
¿
¿
4 S=1
1−
1
5+
1
5−
1
13+ −
1
¿
Câu II. 1) Tìm số nguyên dơng n sao cho tất cả các số
n + 1, n + 5, n + 7, n + 13, n + 17, n + 25, n + 37 đều là nguyên tố 2) Mỗi lần cho phép thay thế cặp số (a,b) thuộc tập hợp
M={(16 , 2),(4 , 32),(6 , 62), (78 ,8)} bằng cặp số (a + c, b + d) trong đó cặp
số (c, d) cũng thuộc M
Hỏi sau một số hữu hạn lần thay thế ta có thể nhận đợc tập hợp các cặp
số M1={(2018 ,702), (844 , 2104),(1056 , 2176),(2240 ,912)} hay không?
Trang 8H ớng dẫn
1) Với n<6 không có số nào thoả mãn
Với n=6 thoả mãn Với n>6 n có dạng n=7k;7k+1;7k+2;7k+3;7k+4;7k+5;7k+6 (
(k∈ N❑
)
n=7k thì n+7 ⋮ 7; n=7k+1 thì n+13 ⋮ 7; n=7k+2 thì n+5 ⋮ 7
n=7k+3 thì n+25 ⋮ 7; n=7k+4 thì n+17 ⋮ 7; n=7k+5 thì n+37 ⋮ 7; n=7k+6 thì n+1 ⋮ 7
Vậy chỉ có duy nhất n=6 thoả mãn đề bài
2) Ta thấy a-b ⋮ 7;(a+c)-(b+d)=((a-b)+(c-d)) ⋮ 7 mà 2014-844=1170=167x7+1 Không chia hết cho 7 vậy sau một số hữu hạn lần thay thế ta không thể nhận đợc tập hợp các cặp số M1={(2018 ,702), (844 , 2104),(1056 , 2176),(2240 ,912)}
H ớng dẫn Câu III
Cho đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B Trên đờng thẳng
AB ta lấy một điểm M bất kỳ sao cho điểm A nằm trong đoạn BM
( M ≠ A)
Từ điểm M kẻ tới đờng tròn (O’) các tiếp tuyến MC và MD (C và D là các
tiếp điểm, C nằm ngoài (O)) Đờng thẳng AC cắt lần thứ hai đờng tròn (O) tại điểm P và đờng thẳng AD cắt lần thứ hai đờng tròn (O) tại Q Đờng thẳng CD cắt PQ tại K
1) Chứng minh rằng hai tam giác BCD và BPQ đồng dạng 2) Chứng minh rằng khi M thay đổi thì đờng tròn ngoại tiếp tam giác KCP luôn đi qua điểm cố định
K
P
Q
D
C
B
A
O' O
M
1)ta có ∠ DCB= ∠ DAB (Chắn cungBD)
∠ DAB = ∠ QPB (chắn cungBQ) Nên ∠ DCB= ∠ QPB(1)
∠ DBC= ∠ PAQ( cùng bù ∠
DAC)
∠ PAQ = ∠ PBQ ( chăn cung PQ)
Nên ∠ DBC= ∠ PBQ(2)
Từ (1) ;(2) ta có
Δ BCD đ d với Δ BPQ (g.g) 2)theo a) thì ∠ DCB= ∠ QPB nên
tứ giác KPCB nội tiếp nên đờng tròn ngoại tiếp tam giác KCP luôn đi qua
điểm B cố định khi M thay đổi
Trang 9H ớng dẫn Giả sử x,y,z là những số thực thoả mãn điều kiện
0 ≤ x , y , z ≤2 và x+ y + z = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức :
M =x4+y4+z4+12(1 − x )(1 − y )(1− z)
Giải: cách 1 đặt 1-x=a;1-y=b;1-z=c thì a+b+c=0 nên a3+b3+c3=3abc
và −1 ≤ a ;b ;c ≤ 1
M=(1-a)4+(1-b)4+(1-c)4+12abc=a4+b4+c4-4(a3+b3+c3-3abc)+6(a2+b2+c2)-4(a+b+c) +3
M= a4+b4+c4+6(a2+b2+c2)+3
áp dụng BĐT Bunhiacopsky cho 2 dãy a;b;c và 1;1;1 ta có 3(a2+b2+c2)
(a+b+c)2=0
Nên a2+b2+c2 0 Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=0
áp dụng BĐT Bunhiacopsky cho 2 dãy a2;b2;c2 và 1;1;1 ta có 3(a4+b4+c4)
(a2+b2+c2)2=0 ⇔ a4+b4+c4 0 Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=0
Vậy M 3 suy ra min (M)= 3 khi a=b=c=0 khi đó x=y=z=1
Mặt khác a2+b2+c2=(1-x)2+(1-y)2+(1-z)2=3-2(x+y+z)+x2+y2+z2= x2+y2+z2-3
Giả sử 0 x ≤ y ≤ z ≤ 2 ; ta có x2+y2+z2-3=(x+y)2-2xy+z2 -3 (3-z)2 +z2-3=2z2-6z+6
x2+y2+z2-3=2z2-6z+6= 2(z −3
2)2+ 3
2≤2 vì 0<z 2 suy ra a
2+b2+c2 2
ta có a2;b2;c2 [0 ;1] nên (a4+b4+c4) ( a2+b2+c2) suy ra M 7(a2+b2+c2)+3 17
Max(M)=17 khi (a;b;c)=(-1;0;1) và các hoán vị hay (x;y;z) =(0;1;2)và các hoán
vị
Cách 2:thay x4+y4+z4=(x2+y2+z2)2-2(x2y2+y2z2+z2x2)
Mà x2+y2+z2=(x+y+z)2-2(xy+yz+zx)=9-2a (đặt xy+yz+zx=a)
x2y2+y2z2+z2x2=(xy+yz+xz)2-2xyz(x+y+z)=a2-6xyz
12(1-x)(1-y)(1-z)=12(1-x-y-z+xy+yz+zx-xyz)=12a-12xyz-24
Nên M=(9-2a)2-2(a2-6xyz)+ 12a-12xyz-24=81-36a+4a2-2a2+12xyz+12a-12xyz-24 M=2a2-24a+57=2(a-6)2-15 (*)
Ta có x2+y2+z2 xy+yz+zx ⇔ (x+y+z)2 3(xy+yz+zx) nên a 3
Ta cũng có (2-x)(2-y)(2-z) 0 ⇔ 8-4(x+y+z)+2(xy+yz+zx)-xyz 0
⇔ xy+yz+zx 2+xyz 2 hay a 2 vậy 2 a 3 thay suy ra -4 (a-6) -3 Hay 16 (a-6)2 9 vào (*) 3 M 17
Vậy Min(M)= 3 khi a=3 khi đó x=y=z=1;
Max(M) =17 khi a=2 khi đó (x;y;z)=(0;1;2) và các hoán vị
Câu IV Giả sử x,y,z là những số thực thoả mãn điều kiện
0 ≤ x , y , z ≤2 và x+ y + z = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức :
M=x4+y4+z4+12(1 − x )(1 − y )(1− z)