HD de toan SP 20112012

Chứng minh tam giác AEM đồng dạng với tam giác ABS.. 3.Gọi N là giao điểm của AM và EF ,P là giao điểm của AS và BC..[r]

GVHD Nguyễn Minh Sang THCS Lõm Thao –Phỳ Thọ

Bộ giáo dục đào tạo cộng hoà x hội chủ nghĩa việt namã Tr

ờng đại học s phạm hà nội Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc

Đề chính thức

đề thi tuyển sinh Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2011

Môn thi: Toán học

(Dùng cho mọi thí sinh thi vào trờng chuyên)

Thời gian làm bài :120 phút

Câu 1: Cho biểu thức

A=(2 y − x x − y +

x2+y2+y − 2

2 y2 +xy − x 2):4 x

4 +4 x2y + y2− 4

x2 +y+xy +x

Với x>0 ; y>0 ; x ≠ 2 y ; y ≠2 −2 x2

1 Rút gọn biểu thức A

2 Cho y=1 hóy tỡm x để A=2

5

Câu 2: Một nhúm cụng nhõn đặt kế hoạch sản xuất 200 sản phẩm.Trong 4 ngày

đầu họ thực hiện đỳng mức đề ra , những ngày cũn lại họ làm vượt mức mỗi ngày

10 sản phẩm ,nờn đó hoàn thành sớm 2 ngày Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày nhúm cụng nhõn cần sản xuất bao nhiờu sản phẩm

Câu 3 :Cho Parabol (P) : y= x2 và đường thẳng (d) y=mx-m2+3 (m là tham số )

Tỡm tất cả cỏc gia trị m để đường thẳng ( d) cắt parabol (P) tại hai điểm phõn biệt cú hoành độ x1; x2 Với giỏ trị nào của m thỡ x1; x2 là độ dài cạnh gúc vuụng của tam giỏc vuụng cú độ dài cạnh huyền bằng √5

2

Câu 4 : Cho đường trũn (O) đường kớnh AB=10 Dõy cung CD vuụng gúc với AB

tại điểm E sao cho AE =1.Cỏc tiếp tuyến tại B và C của đường trũn (O) cắt nhau tại K , AK và CE cắt nhau tại M

1.Chứng minh tam giỏc AEC đồng dạng với tam giỏc OBK Tớnh BK

2 Tớnh diện tớch tam giỏc CKM

Câu 5:Cho hỡnh thoi ABCD cú gúc BAD =1200 Cỏc điểm M ,N chạy trờn BC và

CD tương ứng sao cho gúc MAN=300 Chứng minh rằng tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc MAN chạy trờn đường thẳng cố định

Cõu 6: Chứng minh bất đẳng thức

1

√1+√2+

1

√3+√4+

1

√5+√6+ +

1

√79+√80>4

-Hết -Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh số báo danh

Bộ giáo dục đào tạo cộng hoà x hội chủ nghĩa việt namã Tr

ờng đại học s phạm hà nội Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc

Đề chính thức

đề thi tuyển sinh Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2011

Môn thi: Toán học

(Dùng cho mọi thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin)

Thời gian làm bài :150 phút

Câu 1 Cho a=1

2√√2+1

8−

√2 8

1.Chứng minh rằng 4 a2+√2 a−√2=0

2 Tính giá trị của biểu thức S=a2

+√a4 +a+1

Câu 2

1.Giải hệ phương trình

¿

x2 +y2 + 2 xy

x+ y=1

√x+ y =x2− y

¿ {

¿

2 Cho 2 số hữu tỷ a,b thỏa mãn đẳng thức :

a3b+ab3

+2 a2b2

+2 a+2 b+1=0

Chứng minh rằng 1-ab là bình phương của một số hưũ tỷ

Câu 3 Tìm tất cả các số nguyên tố p có dạng p=a2

+b2 +c 2 với a, b, c là các số nguyên dương sao cho a4 +b 4

+c4 chia hết cho p

Câu 4 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) , BE và CF là

các đường cao Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại S các đường thẳng BC và OS cắt nhau tại M

1.Chứng minh ABAE= BS

ME

2 Chứng minh tam giác AEM đồng dạng với tam giác ABS

3.Gọi N là giao điểm của AM và EF ,P là giao điểm của AS và BC

Chứng minh NP vuông góc với BC

Câu 5 Trong một hộp có chứa 2011 viên bi màu ( mỗi viên bi có đúng 1 màu)

,trong đó có 655 viên bi màu đỏ ,655 viên bi màu xanh , 656 viên bi màu tím và

45 viên bi còn lại là viên bi màu vàng hoặc màu trắng ( mỗi màu ít nhất 1 viên) Người ta lấy ra từ hộp 178 viên bi bất kì Chứng minh rằng trong số các viên bi lấy

ra luôn có ít nhất 45 viên bi cùng màu Nếu người ta chỉ lấy ra 177 viên bi bất kì thì kết quả bài toán còn đúng không ?

-HÕt -Ghi chó : C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm

Hä vµ tªn thÝ sinh sè b¸o danh

A-Đề thi vào khối phổng thông chuyên đại học sư phạm Hà Nội I-Vòng I

C©u 1: Cho biÓu thøc

A=(2 y − x x − y +

x2 +y2 +y − 2

2 y2 +xy − x 2):4 x4+4 x2y + y2− 4

x2 +y+xy +x

Với x>0 ; y>0 ; x ≠ 2 y ; y ≠2 −2 x2

1 Rót gän biÓu thøc A

2 Cho y=1 hãy tìm x để A=2

5

Hướng dẫn :

1 A=(2 y − x x − y +

x2 +y2 +y −2

2 y2+xy − x2):4 x4+4 x2y + y2− 4

x2+y +xy+ x A=(2 y − x x − y +

x2 +y2 +y − 2

(x+ y)(2 y − x)). (x+ y)(x +1)

(2 x2+y −2)(2 x2+y +2) A= 2 x

2

+y −2

(x+ y )(2 y − x).

(x + y)(x +1)

(2 x 2 +y −2)(2 x2

+y +2)=

x +1

(2 y − x )(2 x 2

+y +2)

2 với y= 1 ta có

(2 − x )(2 x2 +3)=

2

5⇔ 4 x3− 8 x2 +11 x −7=0

⇔(x− 1)(4 x2− 4 x +7)=0 ⇔ x=1

C©u 2: Một nhóm công nhân đặt kế hoạch sản xuất 200 sản phẩm.Trong 4 ngày

đầu họ thực hiện đúng mức đề ra , những ngày còn lại họ làm vượt mức mỗi ngày

10 sản phẩm ,nên đã hoàn thành sớm 2 ngày Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày nhóm công nhân cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm

Hướng dẫn:

Gọi số sản phẩm phải làm theo kế hoạch là x ( SP) x >0; x N

Thì số ngày theo kế hoạch là 200x ( ngày)

số ngày làm x+10 sản phẩm là 200 −4 x x +10 ( ngày) vì nhóm công nhân làm vượt 2 ngày nên ta có PT 200x − 200 − 4 x

x+10 =6

Giải ra x=20 t/m ĐK

C©u 3 :Cho Parabol (P) : y= x2 và đường thẳng (d) y=mx-m2+3 (m là tham số )

Tìm tất cả các gia trị m để đường thẳng ( d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 Với giá trị nào của m thì x1; x2 là độ dài cạnh góc vuông của tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng √5

2

Hướng dẫn:

Để (P) cắt (d) tai 2 điểm phân biệt thì hệ PT sau có 2 nghiệm phân biệt

¿

y=x2

y=mx −m2

+ 3

⇔ PT: x2

− mx+m2−3

¿ {

¿

(1) có 2 nghiệm phân biệt

nên Δ=m2− 4 m2+12>0⇔12 −3 m2

>0⇔(m− 2)(m+2)<0 ⇔− 2<m<2

Theo bai toán ta phải có

x1+x2¿2− 2 x1x2= 5

2(∗)

x12 +x22

= 5

2⇔¿

vì x1, x2 là nghiệm PT (1) nên với -2<m< 2 theo Viet ta có

x1 +x2 =m

x1x2=m2− 3

¿ {

¿

thay vào (*) ta có

2 m2− 4(m2−3)=5 ⇔2 m2

=7⇔ m=√72=√

14 2

¿

m=−√72=

−√14 2

¿

¿

¿

¿

¿

mặt khác vì x1; x2 độ dài cạn tam giác nên

¿

x1+x2=m>0

x1x2=m2− 3>0

⇔m>√3

¿ {

¿

kết hợp với -2<m< 2

ta có m=√14

2 thỏa mãn

C©u 4 : Cho đường tròn (O) đường kính AB=10 Dây cung CD vuông góc với AB

tại điểm E sao cho AE =1.Các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại K , AK và CE cắt nhau tại M

1.Chứng minh tam giác AEC đồng dạng với tam giác OBK Tính BK

2 Tính diện tích tam giác CKM

Hướng dẫn:

1.Theo T/C góc ngoài tam giác cân AOC thì góc COB=2gocsOAC suy ra

gocsBOK=gocsOAC nên AC//OK mà CE//KB nên Δ AEC đồng dạng với Δ

OBK (g.g) suy ra BKCE = OB

AE pitago tam giác vuông OCE tính được CE=3 ;mà OB=5;AE=1 tính được BK=15

2 Ta có Δ AEM đồng dạng với Δ ABK nên

AE

AB=

ME

BK ⇒ ME=AE BK

1 15

10 =

3 2

nên CM=CRE− ME=3 −3

2=

3 2

nên SCKM= 1

2 CM BE=

1 2

3

2 9=

27

4 (dvdt)

K

O

C

D

E

C©u 5:Cho hình thoi ABCD có góc BAD =1200 Các điểm M ,N chạy trên BC và

CD tương ứng sao cho góc MAN=300 Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MAN chạy trên đường thẳng cố định

Hướng dẫn:

O

N

M

D A

Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giac AMN là O thì tam giác MON cân tại O có góc MON= góc MAN= 600 nên tam giác MAN đều Mặt khác

gócMON+gocsMCN=600+1200 nên tứ giác MCNO nội tiếp suy ra

góc MCN=góc MNA=600 vì ABCD là hình thoi nên gocMCA=600 vậy

gocsMCA=gocMCO nên O thuộc AC

Câu 6: Chứng minh bất đẳng thức

1

√1+√2+

1

√3+√4+

1

√5+√6+ +

1

√79+√80>4

Hướng dẫn:

A= 1

√1+√2+

1

√3+√4+

1

√5+√6+ .+

1

√79+√80

2 A= 2

√1+√2+

2

√3+√4+

2

√5+√6+ +

2

√79+√80

2 A> 1

√1+√2+

1

√2+√3+

1

√3+√4+ +

1

√79+√80+

1

√80+√81

2 A > √2 −√1

(√2+√1)(√2−√1)+

√3 −√2 (√3+√2)(√3 −√2)+

√4 −√3 (√4 +√3)(√4 −√3)+ .+

√81−√80 (√81+√80)(√81−√80)

2 A >√2−√1+√3 −√2+√4 −√3 + .+√81−√80=√81 −1=8

⇒ A>4 (đpcm)

II- Vòng 2

Câu 1 Cho a=1

2√√2+1

8−

√2 8

1.Chứng minh rằng 4 a2

+√2 a−√2=0

2 Tính giá trị của biểu thức S=a2+√a4+a+1

Hướng dẫn:

1

a=1

2√√2+1

8−√

2

8 ⇒ a+√2

8 =

1

2√√2+1

8⇔(a+√2

8 )2=(1

2√√2+1

8)2

⇔ a2

+a√2

4 +

1

32=

1

4.(√2+1

8)⇔a2

+ 2√a

4 +

1

32=

√2

4 +

1

32 ⇔ 4 a2

+√2 a −√2=0

2.Theo phần 1

¿

4 a2+√2 a−√2=0⇒a2

=√2(1 − a)

4 ⇒ a4

=a2−2 a+1

8

⇒ a4

+a+1= a

2

−2 a+1

8 +a+1=(a+32√2)2

¿

Câu 2

1.Giải hệ phương trình

¿

x2+y2+ 2 xy

x+ y=1

√x+ y =x2− y

¿ {

¿

2 Cho 2 số hữu tỷ a,b thỏa mãn đẳng thức :

a3b+ab3

+2 a2b2

+2 a+2 b+1=0

Hướng dẫn:

¿

x2+y2+ 2 xy

x+ y=1(1)

√x+ y =x2− y (2)

¿ {

¿

x + y=1

¿

x + y=−(x2+y2)(∗)

¿

¿

¿

¿

¿

(1)⇒(x2+y2)( x + y )+2 xy=x + y ⇔( x + y )3

− 2 xy (x+ y)+2 xy =x+ y

⇔( x + y)[( x+ y )2−1]−2 xy ( x+ y − 1)=0 ⇔( x+ y) ( x+ y −1) ( x+ y+1)− 2 xy ( x+ y −1)=0

⇔( x+ y −1)[(x+ y ) ( x + y +1)− 2 xy]=0⇔( x+ y −1)(x2 +xy+ x+xy + y 2

+y − 2 xy)=0

⇔ ( x+ y −1)(x2

+x+ y2

+y)=0

⇔

¿

Vì theo ĐK x+y>0 nên PT (*) VN

với x+y=1 ta có x=1-y thay vào PT (2) ta có

1=(1 − y )2− y ⇔ y2− 3 y=0 ⇔

y=0

¿

y=3

¿

¿

¿

¿

¿

Với y=0 thì x=1;với y=3 thì x=-2

Vậy hệ có 2 nghiệm (x ; y )∈{(1 ;0);(− 2;3)}

2) HD nếu ab=0 thì hiển nhiên đúng

nếu ab khác

Ta có

a+b¿2+2(a+b)=−1

¿

a+b¿2+2ab (a+b)+1=1− ab ⇒1− ab=[ab (a+b)+1]2

¿

a3b+ab3+2 a2b2+2 a+2 b+1=0 ⇔ab¿

Câu 3 Tìm tất cả các số nguyên tố p có dạng p=a2+b2+c2 với a, b, c là các số nguyên dương sao cho a4+b4+c4 chia hết cho p

Hướng dẫn:

V× vai trß cña a, b, c nh nhau gi¶ sö: a b  c1 (a2 +b2 + c2)3

Ta cã a4 + b4 + c4 = ( a2 +b2 + c2)2 - 2( a2b2 + a2c2 + c2b2 )

 a2b2 + a2c2 + c2b2  (a2 +b2 + c2)3

 a2b2 - c4 +c4 + a2c2 + c2b2  (a2 +b2 + c2)

 a2b2 - c4 + c2 (c2 + a2 + b2) (a2 +b2 + c2)

 a2b2 - c4  (a2 +b2 + c2)

 (ab - c) (ab + c) (a2 +b2 + c2)

mµ 0 (ab - c) <(ab + c)<(a2 +b2 + c2) vµ a2 +b2 + c2nguyªn tè

 (ab - c) = 0 mµ a b  c1

Câu 4 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) , BE và CF là

các đường cao Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại S các đường thẳng BC và OS cắt nhau tại M

1.Chứng minh ABAE= BS

ME

2 Chứng minh tam giác AEM đồng dạng với tam giác ABS

3.Gọi N là giao điểm của AM và EF ,P là giao điểm của AS và BC

Chứng minh NP vuông góc với BC

Hướng dẫn:

S

F

E

C B

A

1.ta có SO vuông góc với BC tại M ,MB=MC =ME và góc SBC=góc BAC nên CosBAE=CosMBS suy ra AEAB= MB

BS =

ME

BS ⇒AB

AE =

BS

ME(đpcm)

2.Ta có EM=MC nên Δ EMC cân tại M suy ra góc MEC= góc MCE

mà góc SBA+góc MEC=1800 suy ra góc SBA=góc MEA mà ABAE = BS

ME

nên Δ ABS đồng dạng với Δ AEM ( c.g.c)

3.Vì Δ ABS đồng dạng với Δ AEM suy ra góc SAB=gócMAE

và ASAM= AB

AE mà tứ giác BFEC nội tiếp nên góc AEF=góc ABC suy ra

Δ ABP đồng dạng với Δ AEN (g.g)

suy ra APAN= AB

AE ⇒AS

AM=

AP

AN⇒ NP // MS mà MS⊥ BC ⇒NP⊥ BC ( đpcm)

Cách khác Gọi AS cắt EF tại D chứng minh D là trung điểm EF suy ra MD vuông

góc EF góc ADN=góc AMP nên tứ giác MNDP nội tiếp suy ra góc

MPN=gocsMDN=900 nên MP vuông góc với NP

Câu 5 Trong một hộp có chứa 2011 viên bi màu ( mỗi viên bi có đúng 1 màu)

,trong đó có 655 viên bi màu đỏ ,655 viên bi màu xanh , 656 viên bi màu tím và

45 viên bi còn lại là viên bi màu vàng hoặc màu trắng ( mỗi màu ít nhất 1 viên) Người ta lấy ra từ hộp 178 viên bi bất kì Chứng minh rằng trong số các viên bi lấy

ra luôn có ít nhất 45 viên bi cùng màu Nếu người ta chỉ lấy ra 177 viên bi bất kì thì kết quả bài toán còn đúng không ?

Hướng dẫn:

-Nếu lấy 178 viên bi trong đó ở bi đỏ xanh tím có ít nhất 133 viên bi ( vì có nhiều nhất 45 viên trắng vàng) vì 133 chia cho 3 dư 1 theo nguyên tắc Diric lê ta

có ít nhất 45 viên bi cùng màu đpcm

- Nếu lấy 178 viên bi trong đó ở bi đỏ xanh tím viên bi nhỏ hơn 133 viên bi thì

số bi vàng trắng lớn hơn 45 viên trái GT

-Với số 177 viên thì không đúng VD lấy lần lượt 44,44,44,45( vàng trắng ) thì không đúng