T×m GTLN, GTNN cña biÓu thøc.[r]
Trang 1Chuyên đề I : Các phép toán về căn bậc hai –rút gọn biểu thức
A Kiến thức cần nhớ
1 Điều kiện để căn thức có nghĩa
A có nghĩa khi A ≥ 0
2 Các công thức biến đổi căn thức
a 2
c A A ( 0; 0)
( 0)
A B= A B B≥
( 0; 0)
A B= A B A≥ B≥
( 0; 0)
( 0; 0)
A
AB AB B
i A A B ( 0)
B B
2
( 0; )
C C A B
A A B
A B
ư
±
∓
m
2
A B
ư
±
∓
B.Kĩ năng cần đạt:
Tìm căn bậc hai của một số hoặc biểu thức
Tìm điều kiện của biến để biểu thức xác định
Thực hiện các phép tính về căn bậc hai, các phép biến đổi đơn giản =>Rút gọn và tính giá trị của biểu thức chứa căn bậc hai
Giải phương trình chứa căn bậc hai
C.Các dạng bài tập cơ bản:
1.Tìm điều kiện của x để biểu thức xác định:
2.Rút gọn biểu thức và một số dạng bài tập kèm theo
*Các biểu thức chứa căn đơn giản trong sách bài tập để học sinh củng cố các công thức
Bài 1 Tính
5 1
8 2 5
10 2 10
ư
+ +
6 12 33 216
15 ư + ư
d)
162 30
27 5 48
18
12
8
2
+
+
ư
ư
75
4 6 27
1 3 3
16
3 2
3 2 3 2
3 2
ư
+ + +
h)
2
10
) 5 3
(
5
3
+
+
75 5
3 3
4 6 27
2 ư + k) 8 3 ư 2 25 12 + 4 192
n) 4 + 10 + 2 5 + 4 ư 10 + 2 5
4
5
2
5 8
2
5 2
ư
ư
+
Bài 2 Chứng minh
(5 + 2 6)(49 ư 20 6) 5 ư 2 6 = 9 3 ư 11 2
*Các biểu thức phức tạp hơn
Trang 2Trường THCS Hải lựu GV: Vũ VĂN TIếN
2
-Các dạng bài tập kèm theo có thể là:
Tính giá trị của biểu thức tại một giá trị của biến
Giải phương trình: Tìm x để giá trị của biểu thức bằng a
Giải bất phương trình: Tìm x để giá trị của biểu thức không âm, So sánh biểu thức
với một số hoặc một biểu thức khác, chứng minh giá trị của biểu thức
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
Tìm x nguyên, x hữu tỉ để giá trị của biểu thức nguyên
Bài 1:
4
với x>0 ,x≠1 a)Rút gọn A b)Tính A với a = ( 4 + 15 ) ( 10 ư 6 ) ( 4 ư 15)
Bài 2: Cho A = 2 1 1
ư + + ư với x≥0 , x≠1
a Rút gọn A b Tìm GTLN của A
HD: a)A =
1
x
x+ x+
b)Nếu x = 0 thì A = 0
1
x
Theo bất đẳng thức Co si có: x min 2 x 1.Khi đó Amax =
3
x
x
Bài 3:
:
ư + + + ư ư ư
với x > 0 , x≠4
a)Rút gọn A b)So sánh A với 1
A HD: a) A = 9
6
x
x
( )
2 9
)Xét hiệu: A - 0 A
x b
x x
ư
+
Bài 4:
1 :
ư ư ư + ư ư ư
ư + ư ư +
a)Tìm x để biểu thức A xác định b)Rút gọn A c)x= ? Thì A < 1 d)Tìm
x∈Zđể A∈Z
a) x≥0 , x≠9, x≠4 b)A= 3
2
Bài 5: Cho A = 15 11 3 2 2 3
3
≤ HD:
a)A=2 5
3
x
x
ư
+
17 5 3
x x
x
Trang 3Trường THCS Hải lựu GV: Vũ VĂN TIếN
3
d)Xét hiệu A – 2/3 rồi chứng minh hiệu đó không dương
Các bài tập luyện:
x x y y
x y
y x
với x≥0 , y≥0, x≠ y
a)Rút gọn A b)CMR : A ≥0
HD: ) =
xy
a A
x xy y
2
3
Với x,y 0
b A
x
.
x
Với x > 0 , x≠1
a) Rút gọn A b)Tìm x để A = 6 HD:a) A = 2(x x 1)
x
+ + b)
Bài 8: Cho A = 4 3 2
:
với x > 0 , x≠4
a)Rút gọn A b)Tính A với x = 6 ư 2 5 HD:a)A = 1 ư x) b)
:
1 x 1 x 1 x 1 x 2 x
a)Rút gọn A b)Tính A với x = 6 ư 2 5 HD: A = 3
2 x b)
: 1
với x≥0 , x≠1
a)Rút gọn A b)Tìm x∈Z để A∈Z HD:a)A =
3
x
:
1
x
x
+ ư + ư ư ư
với x≥0 , x≠1 a)Rút gọn A b)Tìm x để A∈Z c)Tìm x để A đạt GTNN
1
x
x
ư +
) = ư = ư A nguyên⇔ nguyên nên đặt: = ∈ ⇔ = ư ≥ ⇔ < ≤ ⇒ ∈ ; ⇒ ∈ ; ⇔ ∈ ;
n
c)Xong: x = 0, Amin = -1
Bài 12: Cho A = 2 3 3 2 2
9
x
với x≥0 , x≠9
a)Rút gọn A b)Tìm x để A < -1
3
a
ư + b)
:
+ ư ư ư ư ư ư
với x≥0 , x≠1
a)Rút gọn A b)Tính A với x = 6 ư 2 5 c)CMR : A ≤ 1 HD: a)A = 4
4
x
x+ b) c)Xét
hiệu A – 1
:
x
+
+
a)Rút gọn A b)So sánh A với 1 HD:a)A = x 1
x
: 1
9 1
x
ư ư + ư ư
9
Trang 4Trường THCS Hải lựu GV: Vũ VĂN TIếN
4
a)Rút gọn A b)Tìm x để A =6
5 c)Tìm x để A < 1 HD: a)A =
3 1
x x x
+
ư b,c)
.
với x≥0 , x≠1
a)Rút gọn A b)CMR nếu 0 < x < 1 thì A > 0 c)Tính A khi x =3+2 2 d)Tìm GTLN
của A
HD:a) A = x(1 ư x) b,c,d(Quá cơ bản)
: 2
với x≥0 , x≠1
1
x+ x+ b)
Bài 18: Cho A = 4 1 2
1
x
ư
+
với x > 0 , x≠1, x≠4
a)Rút gọn A b)Tìm x để A = 1
2
Bài 19
:
+ ư ư +
ư ư ư +
với x≥0 , x≠1
a)Rút gọn A b.)Tính A khi x= 0,36 c)Tìm x∈Z để A∈Z Bài 6:Cho A =
x ưx x +x x
+ + ư + với x≥0 , x≠1 a Rút gọn A b CMR : 0 ≤ ≤A 1
HD: a) A =
1
x
xư x+ b)
1 :
với x≥0 , x≠9; x≠2
a Rút gọn A b)Tìm x sao cho A nguyên
3
x+
3 3
ư
+
n
n x
Bài 21:Cho A = 2 9 3 2 1
ư + ư ư với a ≥0 , a≠9 , a≠4
a Rút gọn A b Tìm a để A < 1 c Tìm a∈Z để A∈Z
3
a a
+
với x ≥0 , x≠9 , x≠4
a)Rút gọn A b)Tìm x để A∈Z c)Tìm x để A < 0 HD:a) A = 2
1
x x
ư + b,c(Dạng cơ bản)
Bài 23 :Cho biểu thức:A =
1 2
2 2 1
ư
ư
ư
ư
ư
x
x
x ( x ≥ 2; x ≠ 3) a) Rút gọn A b) Tính A khi x=6
ư
+
ư + +
+ +
ư
+
1
1 1
1 1
2
x
x x
x
x x
x
điều kiện thích hợp của x
+ +
+
ư
ư
ư
ư
+
1
4 1
: 1
1 1
1 2
x x
x x
x x x
a) Rút gọn C b) Tìm x ∈ Z sao cho C ∈ Z
Trang 5Trường THCS Hải lựu GV: Vũ VĂN TIếN
5
ư
ư
ư
ư
+
ư
ư
+
2 2 : 9
3 3 3 3
2
x
x x
x x
x x
x
( x ≥ 0; x ≠ 9)
a) Rút gọn D b) Tìm x sao cho D<
3
1 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của D
ư
ư
ư +
+
ư
ư +
ư +
x
x x
x x
x
x x
1
2 2
1 2
3 9
x ∈ Z sao cho E ∈ Z
+
ư
ư +
3 : 1 1
3
2
x
x
x (-1< x < 1) a) Rút gọn F b) Tính giá trị của F khi x= 4 2 ư 5
+
ư
ư +
ư
ư
ư
ư
ư +
1 1
3 : 1 1 3 1
1 5 5
2
x
x x
x
x
b) CMR: F < 3
ư
ư
ư + +
+
ư
+
2
1 :
1
1 1 1
x x
x
x x
x
a) Rút gọn H b) CMR H > 0 với điều kiện xác định của H
Bài 31 : Cho biểu thức: K =
3
3 2 1
2 3 3 2
11 15
+
+
ư
ư
ư +
ư +
ư
x
x x
x x
x
a) Rút gọn K b) Tìm x để K = 0,5 c) Tìm x để K nhận giá trị lớn nhất Tìm giá trị lớn nhất đó
Bài 32: Cho biểu thức: L =
4
12
+
ư
ư
x
x
x ( x ≥ 2; x ≠ 3) a) Tìm x để L đạt giá trị lớn nhất Tìm giá
trị lớn nhất đó b) Tìm x sao cho L = 2x
Bài 33: Cho biểu thức: M=
ư
ư + +
+
ư
+
1
1 1 1
2
x x
x
x x
x
a) Rút gọn M b) Tính giá trị của M khi x= 28-6 3 c) CMR : M<
3 1
+
ư
+
ư +
+
ư
ư
+ + +
+
1 1 1
1 : 1 1 1
1
xy
x xy xy
x xy
x xy xy
a) Rút gọn N b) Tính giá trị của N khi x= 4 + 2 3 ; y= 4 ư 2 3 c) Biết x+ y =4 Tìm giá trị
nhỏ nhất của N
*Bài 35: Cho biểu thức:
xy x
y x
y y
y x
x P
ư +
ư + +
ư
ư +
=
1 1 1
) )
1 )(
(
a) Tỡm điều kiện của x và y để P xỏc định Rỳt gọn P b) Tỡm x,y nguyờn thỏa
món phương trỡnh P = 2
HD:
a) Điều kiện để P xỏc định là :; x≥ 0 ;y ≥ 0 ;y ≠ 1 ;x+ y≠ 0 (*)
(1 ) (1 )
P
=
=
( )(1 )(1 )
=
=
x y y y x
y
=
( )
1
y
=
ư
.
x xy y
Trang 6Tr−êng THCS H¶i lùu GV: Vò V¡N TIÕN
6
b) P = 2 ⇔ x + xy − y.= 2⇔ x(1 + y) (− y + 1)= 1 ⇔( x − 1 1)( + y)= 1
Ta có: 1 + y≥ 1 ⇒ x− ≤ 1 1 ⇔ ≤ ≤ 0 x 4 ⇒ x = 0; 1; 2; 3 ; 4 Thay vào ta cócác cặp giá
trị (4; 0) và (2 ; 2) thoả mãn
*Bài 36: Cho hàm số f(x) = x2 − 4x+ 4 a) Tính f(-1); f(5) b) Tìm x để f(x) = 10
c) Rút gọn A =
4
) (
2 −
x
x
f khi x ≠ ± 2
HD:a)f(x) = x2− 4x+ 4 = (x− 2 )2 = x− 2 => f(-1) = 3; f(5) = 3 b)
−
=
=
⇔
−
=
−
=
−
⇔
=
8
12 10
2
10 2
10
)
(
x
x x
x
x
f
c)
) 2 )(
2 (
2 4
)
(
−
=
−
=
x x
x x
x
f
+)Với x > 2 suy ra x - 2 > 0 suy ra
2
1 +
=
x
A ; +)Với x < 2 suy ra x - 2 < 0 suy ra
2
1
+
−
=
x
A
Bài 37 Cho P = 2
1
x
x x
+
1
x
x x
+
1
x x
+
− a/ Rút gọn P b/ Chứng minh: P < 1
3 với x ≥ 0 và x ≠1
HD:a) Điều kiện: x ≥ 0 và x ≠1
1
x
x x
+
1
x
+
( 1)( 1)
x
+
3
2
x x
+
1
x
x x
+ + + - 1
1
( 1)( 1)
=
( 1)( 1)
x x
−
1
x
x+ x+ b/ Với x ≥ 0 và x ≠1 Ta có: P < 1
1
x
x+ x+ < 1
3 ⇔ 3 x < x + x + 1 ; ( vì x +
x + 1 > 0 )
⇔ x - 2 x + 1 > 0⇔ ( x - 1)2 > 0 ( Đúng vì x ≥ 0 và x ≠1)
*Bài 38 : Tính giá trị của biểu thức:
A =
5
3
1
7 5
1
9 7
1
+
+ +
99 97
1
+ HD: A =
5 3
1
+ +
7 5
1
9 7
1 + + .+
99 97
1
+ =
2
1( 5 − 3+ 7 − 5+ 9 − 7+ .+
97
=
2
+
+ +
−
+
ab
b a ab
b a
1 1
:
− + + +
ab ab b a
1
2 1
a) Tìm điều kiện xác định của D và rút gọn D b) Tính giá trị của D với a =
3
2
2
HD: a) - Điều kiện xác định của D là a≥ 0 ;b≥ 0 ;ab≠ 1
−
+
ab
a b
a
1
2
− + +
ab ab b a
1
= 1
2 +
a a
Trang 7Tr−êng THCS H¶i lùu GV: Vò V¡N TIÕN
7
1
4 3
D= −
− c) Áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có :2 a≤a+ 1 ⇒D≤ 1 Vậy giá trị của D là 1
TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 9 MỚI NHẤT-2019
Bộ phận bán hàng: 0918.972.605 Đặt mua tại: https://xuctu.com/
Email: sach.toan.online@gmail.com