chuyen de PT bac hai on thi vao 10 THPT

4 Tìm biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số.. b Chứng minh rằng phương trình 1 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.[r]

Chuyên đề 2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI (4 buổi)

A NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0 (a 0 ; a, b, c  R)

+) Nếu a, b  0, c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = 0; x2 =

b a



+) Nếu a, c  0, b = 0 Khi đó :

Nếu a.c > 0 thì phương trình vô nghiệm

Nếu a.c < 0 thì phương trình có nghiệm

c x

a

 

+) Nếu a, b, c  0, tính :  b2 4ac (hoặc  b '2 ac,

1

2



) Nếu Δ < 0 (hoặc Δ’ < 0) phương trình vô nghiệm

Nếu Δ = 0 (hoặc Δ’ = 0) phương trình có nghiệm kép 1 2

b

2a

Nếu Δ > 0 (hoặc Δ’ > 0) phương trình có hai nghiệm phân biệt

1

b x

2a



(

1

b x

a



) ; 2

b x

2a



(

1

b x

a



)

2 Hệ thức Vi-ét.

Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0 ; a, b, c  R) có hai nghiệm x1, x2 thì :

b

a

; 1 2

c

x x

a



Ngược lại, nếu có hai số x, y thỏa mãn x + y = S ; xy = P thì x ; y là nghiệm của phương trình X2 SX P 0  (với S2  4P)

* Một số hệ thức khi áp dụng hệ thức Vi-ét:

+ Tổng bình phương các nghiệm: x12x22(x x1 2) 22 x x1 2 = S2 – 2P

+ Tổng nghịch đảo các nghiệm:

1 2

1 2 1 2

P

x x

x x x x



+ Tổng nghịch đảo bình phương các nghiệm:

2 2 2

1 2

1 2 1 2

x x

+ Bình phương của hiệu các nghiệm: (x x1 2)2 (x x1 2) 42 x x1 2 = S2 – 4P

+ Tổng lập phương các nghiệm: x13x23(x x1 2) 33 x x x x1 2( 1 2) = S3 – 3PS

3 Điều kiện có nghiệm của phương trình : ax2bx c 0  (a ≠ 0) (1)

+) Phương trình (1) có 2 nghiệm    0;

+) Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt    0

+) Phương trình (1) có 2 nghiệm cùng dấu 

0

P 0

 







+) Phương trình (1) có 2 nghiệm dương 

0

P 0

S 0

 









 



+) Phương trình (1) có 2 nghiệm âm 

0

P 0

S 0

 









 

 +) Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu  ac < 0 (hoặc P < 0)

B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP.

1) Giải phương trình bậc hai dạng tổng quát

2) Xác định tham số để phương trình : có nghiệm ; có nghiệm kép ; có hai nghiệm phân biệt ; có hai nghiệm dương ; có hai nghiệm âm ; có hai nghiệm khác dấu

3) Chứng minh (chứng tỏ) phương trình có nghiệm với mọi giá trị của tham số

4) Tìm biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số

C VÍ DỤ.

Ví dụ 1 Cho phương trình x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0 (m là tham số) (1)

a) Giải phương trình với m = 1

b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn hệ thức x12x22 9

d) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 không phụ thuộc vào m

Lời giải.

a) Với m = 1 ta có phương trình : x2 x 2 0

Phương trình này có a + b + c = 0 nên có nghiệm x11 ; x2 2

b) Ta có  2m 3 2 4 m 2 3m 9

Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

c) Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m ta có :

Theo định lí Vi-ét ta có :

2

1 2





 thay vào (*) ta có :

2m 3 2 2 m 2 3m 9 m2 3m 0  m m 3    0 m 0 ; m = 3

Vậy với m = 0 và m = 3 thì x12x22 9

d) Từ (1a) ta có :

m

2



thay vào (1b) ta được :

2

2

Ví dụ 2 cho phương trình : x2 3m 1 x 2m   22m 0 (m là tham số) (2)

a) Giải phương trình với m = 2

b) Tìm giá trị của m để phương trình (2) có hai nghiêm phân biệt x1 ; x2 sao cho : x1 x2 2 c) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 sao cho : S = x12x22 có giá trị nhỏ nhất

Lời giải :

a) Với m = 2 ta có phương trình : x25x 4 0 

Phương trình này có : a b c 0   nên có nghiệm x11 ; x2 4

b) Ta có :  3m 1 2 4 2m 22m m 1 2

Phương trình có hai nghiệm phân biệt   0 m 1 (*)

Theo định lí Vi-ét ta có :

2

1 2





 thay vào (2’) ta có :

3m 1 2 4 2m 22m  4 m2 2m 3 0 

Phương trình này có a – b + c = 0 nên có nghiệm m1 = 1 ; m2 = 3 thỏa mãn (*)

Vậy m = 1;3

S x x  x x  2x x 3m 1  2 2m 2m

2

Đẳng thức xảy ra khi

Vậy S x 12 x22có giá trị nhỏ nhất bằng

4

5 khi

1 m 5



Ví dụ 3 Cho phương trình : x2  2x 3m 2 m 2 0  (m là tham số) (3)

a) Chứng minh rằng phương trình (3) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Tìm giá trị m để phương trình đã cho nhận x = 2 là nghiệm

c) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn điều kiện :

2

Lời giải :

a) Ta có Δ = 12 – 3m2 m 2 

=

2

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 với mọi m

b) x = 2 là nghiệm của phương trình đã cho  4 4 3m  2m 2 0 

2

Do   12 4( 3)( 2)  23  (*) vô nghiệm, vậy không tồn tại giá trị nào của m để phương trình đã cho có nghiệm bằng 3

c) Theo định lí Vi-ét ta có

 

 

1 2

2

1 2

x x 2 1a

x x 3m m 2 1b





2

Từ (1a) và (2) suy ra x1 ; x2 là nghiệm của hệ :

1 2

1 2





 Giải ra ta được x1 = 3 ; x2 = 1

Thay x1 = 3 ; x2 = 1 vào (1b), ta có

Giải ra ta được 1

m

6





; 1

m

6





(thỏa mãn ĐK bài toán)

Ví dụ 4 Cho phương trình : x2 – 2(m – 1)x – m = 0 (m là tham số)

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 với mọi m b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 không phụ thuộc vào m

c) Với m  0, lập phương trình ẩn y thỏa mãn : 1 1 2

1

x

; 2 2 1

1

x

Lời giải :

a) Ta có Δ’ =  

2

  với mọi m

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 với mọi m

b) Ta có : x1 x2 2 m 1   2m 2 ; x x1 2 m

1 1

2

1

x

; 2 2 1

1

x

1 2

1 2

y y

2

1 2

1 2

2 1 m



Vậy y1 ; y2 là nghiệm của phương trình :    

2

my  2 1 m y  1 m 0

Ví dụ 5 Tìm giá trị của tham số m để hai phương trình sau có nghiệm chung :

2

2

x m 4 x m 5 0 (1)

x m 2 x m 1 0 (2)

Lời giải :

Điều kiện cần : Giả sử phương trình (1) và (2) có nghiệm chung xo, thì :

2

2

x m 4 x m 5 0 (1)

x m 2 x m 1 0 (2)







Trừ từng vế ta có : 2xo   4 0 xo 2

Thay xo vào phương trình ta tìm được m = 1

Điều kiện đủ :

Với m = 1 thì phương trình (1) trở thành x2 5x 6 0   x12; x2 3

Phương trình (1) trở thành x2  3x 2 0   x11; x2 2 Hai phương trình này có nghiệm chung là x = 2 Vậy giá trị m tìm được là m = 1

Ví dụ 6 Cho phương trình: x2 – 5x + m = 0 (m là tham số)

a) Giải phương trình trên khi m = 6

b) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x 1  x 2  3

Lời giải.

a) Với m = 6, ta có phương trình : x2 – 5x + 6 = 0

Ta có : ∆ = 25 – 4.6 = 1

Do ∆ > 0 phương trình có hai nghiệm : x1 = 3; x2 = 2

b) Ta có: ∆ = 25 – 4.m

Để phương trình đã cho có nghiệm thì ∆ 0

25 m 4

(*) Theo hệ thức Vi-ét, ta có x1 + x2 = 5 (1); x1x2 = m (2)

Mặt khác theo bài ra thì x 1  x 2  3

(3)

Từ (1) và (3) suy ra x1 = 4; x2 = 1 hoặc x1 = 1; x2 = 4 (4)

Từ (2) và (4) suy ra: m = 4 Thử lại thì thoả mãn

Ví dụ 7 Cho phương trình ẩn x : x2 – 2mx + 4 = 0 (m là tham số) (1)

a) Giải phương trình đã cho khi m = 3

b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: ( x1 + 1 )2 + ( x2 + 1 )2 = 2

Lời giải.

a) Với m = 3 ta có phương trình : x2 – 6x + 4 = 0

Ta có :  

2

Do ∆’ > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1 = 3  5; x 2   3 5

b) Ta có: ∆/ = m2 – 4

Phương trình (1) có nghiệm 

0 m – 4 0

m -2





 (*)

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

1 2

1 2

x x 2m

x x 4







 Suy ra: ( x1 + 1 )2 + ( x2 + 1 )2 = 2

 x12 + 2x1 + x22 + 2x2 = 0

 (x1 + x2)2 – 2x1x2 + 2(x1 + x2) = 0

 4m2 – 8 + 4m = 0  m2 + m – 2 = 0 

1 2





Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy chỉ có nghiệm m2 = – 2 thỏa mãn Vậy m = – 2 là giá trị cần tìm

Ví dụ 8 Cho phương trình ẩn x : x2 – 2mx – 1 = 0 (m là tham số) (1)

a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2

b) Tìm các giá trị của m để: x1 + x2 – x1x2 = 7

Lời giải

a) Ta có    

2 / m 1 1 m2 1

      > 0, m  R

Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

b)Phương trình (1) luông có nghiệm với mọi m Theo định lí Vi-ét ta có :

1 2

1 2

x x 2m

x x 1









Ta có : x12 + x22 – x1x2 = 7 (x1 + x2)2 – 3x1.x2 = 7

 4m2 + 3 = 7 m2 = 1  m = ± 1

Ví dụ 9 Cho phương trình ẩn x : x2 – x + 1 + m = 0 (m là tham số) (1)

a) Giải phương trình đã cho với m = 0

b)Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn :

x1x2.( x1x2 – 2 ) = 3( x1 + x2 )

Lời giải.

a) Với m = 0 ta có phương trình x2 – x + 1 = 0

Vì ∆ = - 3 < 0 nên phương trình trên vô nghiệm

b) Ta có : ∆ = 1 – 4(1 + m) = -3 – 4m

Để phương trình (1) có nghiệm thì ∆0  - 3 – 4m  0  4m

- 3

4

(*)

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

1 2

1 2

x x 1 m





 



Ta có : x1x2.( x1x2 – 2 ) = 3( x1 + x2 )  (1 + m)(1 + m – 2) = 3 m2 = 4 m = ± 2 Đối chiếu với điều kiện (*) suy ra chỉ có m = –2 thỏa mãn

Ví dụ 10 Cho phương trình x2 – 6x + m = 0 (m là tham số)

a) Với giá trị nào của m thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện x1 – x2 = 4

Lời giải

a) Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi tích ac < 0  m < 0

b) Phương trình có 2 nghiệm x1, x2  ∆’ = 9 – m ≥ 0  m ≤ 9

Theo hệ thứcViét ta có

1 2

1 2

x + x = 6 (1)

x x = m (2)





 Theo yêu cầu của bài ra x1 - x2 = 4 (3)

Từ (1) và (3) ta có hệ phương trình

x + x = 6 x 5





Suy ra m = x1.x2 = 5 (thoả mãn)

Vậy m = 5 là giá trị cần tìm

Ví dụ 11 Cho phương trình: x2 + 2 (m + 1)x + m2 = 0 (m là tham số) (1)

a) Giải phương trình với m = 5

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm bằng - 2

Lời giải

a) Với m = 5 ta có phương trình: x2 + 12x + 25 =0

∆’ = 62 -25 = 36 - 25 = 11

Suy ra : x1 = - 6 - 11; x2 = - 6 + 11

b) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi:

∆’ > 0  (m + 1)2 - m2 > 0 2m + 1 > 0  m >

- 1

2 (*) Phương trình có nghiệm x = - 2  4 - 4 (m + 1) + m2 = 0

 m2 - 4m = 0 

m = 0

m = 4





 (thoả mãn điều kiện (*)) Vậy m = 0 hoặc m = 4 là các giá trị cần tìm

Ví dụ 12 Cho phương trình bậc 2: (m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0 (m là tham số) a) Tìm m, biết phương trình có nghiệm x = 0

b) Xác định giá trị của m để phương trình có tích 2 nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng 2 nghiệm của phương trình

Lời giải

Phương trình có nghiệm x = 0 nên: m + 1 = 0 m1

b) Phương trình có 2 nghiệm khi:

∆’ = m2 - (m - 1) (m + 1) ≥ 0  m2 - m2 + 1 ≥ 0, đúng m

Do x1.x2 = 5 (gt) Ta có : 

m + 1

m - 1 = 5  m + 1 = 5m - 5

3 4m = 6 m =

2

Với

3

m =

2 ta có 1 2



Ví dụ 13 Cho phương trình: x2 2 m 1 x m 3 0      (m là tham số) (1) a) Giải phương trình với m = -3

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm thoả mãn hệ thức x + x12 22 = 10

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc giá trị của m

Lời giải

a) Với m = - 3 ta có phương trình: x2 + 8x = 0  x (x + 8) = 0 

x = 0

x = - 8





 2) Phương trình (1) có 2 nghiệm khi: ∆’  0 (m - 1)2 + (m + 3) ≥ 0

 m2 - 2m + 1 + m + 3 ≥ 0

 m2 - m + 4 > 0 

2

đúng m Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm phân biệt m

Theo hệ thức Vi ét ta có:

1 2

1 2

x + x = 2(m - 1) (1)

x - x = - m - 3 (2)







Ta có x + x12 22 = 10  (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 10  4 (m - 1)2 + 2 (m + 3) = 10

 4m2 - 6m + 10 = 10

m = 0 2m (2m - 3) = 0 3

m = 2







 3) Từ (2) ta có m x x  1 2 3 thế vào phương trình (1) ta có:

x  x  2 x x   3 1   2x x  8  x1x2 2x x1 2 8 0

Đây là hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc m

D MỘT SÔ BÀI ĐÃ THI VÀO 10 THPT CỦA NGHỆ AN :

1 Cho phương trình bậc hai : x2 + (m + 1)x + m -1 = 0

a) Giải phương trình khi m = 2

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

2 Cho phương trình bậc hai, với tham số m : 2x2 – (m + 3)x + m = 0 (1)

a) Giải phương trình (1) khi m = 2

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn : x1 + x2 = 5 x x1 2

c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x x1 2

3 Cho phương trình bậc hai : x2 + (m + 1)x + m -1 = 0

a) Giải phương trình khi m = 2

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

4 Cho phương trình: x2 2(m 1)x 2m 4 0    ( m là tham số)

a) Giải phương trình khi m = -2

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

c) Tìm 1 hệ thức không phụ thuộc tham số m giữa các nghiệm.

5 Cho phương trình: (m+1)x2 - 2(m + 2)x + m - 3 = 0 (1)

a) Giải phương trình (1) khi m = 0

b) Định m để phương trình (1) có nghiệm.

c) Định m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn: (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18.

6 Cho phương trình: 3x2 - 4x + m + 5 = 0 (m là tham số) (1)

a) Giải phương trình với m = - 4

b) Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt sao cho 7

4 1

1 2 1







x x

c) Cho phương trình : x2 mx m 2 m 3 0  (với m là tham số).

1 Giải phương trình khi m = 2

2 Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 là dộ dài 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông ABC có độ dài cạnh huyền BC = 2

8 Cho phương trình: x2 – 2(m + 2)x + m2 – 9 = 0 (1)

a) Giải phương trình (1) với m = 1

b) Tìm m để (1) có 2 nnghiệm phân biệt

c) Gọi 2 nghiệm phân biệt của (1) là x1 và x2 Hãy xác định các giá trị của m để : x 1  x 2  x 1  x 2

9 Cho phương trình bậc hai sau, với tham số m : x2 - (m + 1)x + 2m - 2 = 0 (1)

a) Giải phương trình (1) khi m = 2

b) Tìm giá trị của tham số m để x = -2 là một nghiệm của phương trình (1)

(Trích đề thi vào lớp 10 tỉnh Nghệ An năm 2010 – 2011)

10 (2,0 điểm) Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x + m2 – 6 = 0, m là tham số

a) Giải phương trình với m = 3

b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn : x12x22 16

(Trích đề thi vào lớp 10 tỉnh Nghệ An năm 2012 – 2013)

Hướng dẫn

a) Khi m = 3 ta có phương trình x2 4x 3 0 

Do a + b + c =1  4 3 0, suy ra x1 1, x2 3

Vậy với m=3 phương trình có hai nghiệm x11, x2 3

b) Để phương trình có hai nghiệm     ' 0  (m 1) 2 (m2 6) 0

2

Theo hệ thứ Vi-ét ta có x1x2 2m 2, x x 1 2 m2  6

m 0

m 4 (loai)





Vậy m = 0 thì phương trình trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x12x22 16

E BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1 Cho phương trình : x2  2 m 1 x 3 m 0      (m là tham số)

a) Giải phương trình với m = 0

b) Tìm giá trị m để phương trình đã cho nhận x = 2 là nghiệm

c) Chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

d) Tìm các giá trị của m sao cho nghiệm x1 ; x2 của phương trình đã cho thỏa mãn điều kiện x12x22 10

2 Cho phương trình : x2 2mx 2m 1 0   (m là tham số)

a) Chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho, đặt  2 2

A 2 x x  5x x

Tìm m sao cho A = 27

c) Tìm giá trị của m sao cho phương trình đã cho có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia d) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 không phụ thuộc vào m

3 Cho phương trình : x2  4x m 1 0   (m là tham số)

a) Giải phương trình với m = 6

b) Xác định giá trị của m để phương trình có nghiệm

c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x12x22 10

4 Cho phương trình : x2  2mx m 2 0   (m là tham số)

a) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm không âm

b) Khi đó hãy tính giá trị của biểu thức : A x1  x2 theo m

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 không phụ thuộc vào m

5 Cho phương trình : x2  2 m 1 x m    2  3m 4 0  (m là tham số)

a) Xác định giá trị của m để trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn 1 2

1

x x  b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 không phụ thuộc vào m

6 Cho phương trình bậc hai : x2  mx m 1 0   (m là tham số)

a) Giải phương trình với m = 2013

b) Chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m

c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm dương

d) Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho, xác định giá trị của m để :

1 2

2 2

2x x 3

P





đạt giá trị lớn nhất

7 Cho phương trình : ax2ab 1 x b 0    (a, b là tham số)

a) Chứng minh rằng với mọi a, b phương trình đã cho đều có nghiệm

b) Xác định giá trị a, b để phương trình chỉ có một nghiệm bằng

1

2

8 Cho phương trình m 1 x  2 2 m 1 x m 0     (m là tham số) (1)

a) Giải và biện luận phương trình (1) theo m

Tìm giá trị của m sao cho x 1  x 2  2

Tài liệu tham khảo :

1) Bồi dưỡng và luyện thi vào lớp 10 THPT của TS Mai Xuân Vinh (Sở Giáo dục đào tạo Nghệ An)

2 Đề thi vào lớp 10 THPT từ 1996 đến 2012 của Nghệ An và một số đề thi vào lớp 10 THPT các tỉnh phía Bắc