Phép nghịch đảo và ứng dụng trong hình sơ cấp

CHƯƠNG 1PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG MẶT PHẲNG VÀ KHÔNG GIANTrong chương này, chúng tôi giới thiệu các kiến thức cơ bản về phươngtích của một điểm đối với đường tròn, mặt cầu, trục đẳng phương,

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trần Đạo Dõng

Đà Nẵng - Năm 2014

Tôi xin cam đoan những nội dung trình bày trong luận văn này là dotôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Trần Đạo Dõng.

Mọi tài liệu trong luận văn đều được trích dẫn rõ ràng và trung thựctên tác giả, tên công trình, thời gian và địa điểm công bố

Nếu có sao chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo tôi xin chịuhoàn toàn trách nhiệm

Tác giả luận văn

Nguyễn Trường Vinh

MỞ ĐẦU 1

1 Tính cấp thiết của đề tài 1

2 Mục tiêu nghiên cứu của đề tài 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 1

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn 2

6 Bố cục đề tài 2

CHƯƠNG 1 PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG MẶT PHẲNG VÀ KHÔNG GIAN 3

1.1 CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN 3

1.1.1 Phương tích của một điểm đối với đường tròn 3

1.1.2 Trục, tâm, mặt phẳng đẳng phương 5

1.1.3 Phép biến đổi hình học 9

1.1.4 Một số phép biến đổi thường gặp 11

1.2 PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG MẶT PHẲNG 12

1.2.1 Định nghĩa 12

1.2.2 Tính chất 14

1.3 PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG KHÔNG GIAN 20

1.3.1 Định nghĩa 20

1.3.2 Tính chất 20

1.4 PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG HỆ TOẠ ĐỘ DESCARTES 24

1.4.1 Phép nghịch đảo trong hệ tọa độ Descartes Oxy 24

1.4.2 Phép nghịch đảo trong hệ tọa độ Descartes Oxyz 25

TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP 26

2.1 ỨNG DỤNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG MẶT PHẲNG 26

2.1.1 Khảo sát phép nghịch đảo 26

2.1.2 Các bài toán chứng minh các tính chất hình học 30

2.1.3 Các bài toán xác định các đại lượng hình học 37

2.1.4 Các bài toán tìm quỹ tích 40

2.1.5 Các bài toán dựng hình 47

2.1.6 Các bài toán liên quan đến hệ tọa độ Descartes Oxy 53

2.2 ỨNG DỤNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG KHÔNG GIAN 56

2.2.1 Khảo sát phép nghịch đảo 56

2.2.2 Các bài toán chứng minh các tính chất hình học 59

2.2.3 Các bài toán tìm quỹ tích 62

2.2.4 Các bài toán dựng hình 66

2.2.5 Các bài toán liên quan đến hệ tọa độ Descartes Oxyz 71

2.3 CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP 73

KẾT LUẬN 79

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 80 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (BẢN SAO)

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Trong chương trình bậc phổ thông trung học (PTTH), phép biến đổihình học là một trong những nội dung quan trọng, đặc biệt là trongbồi dưỡng học sinh giỏi, các lớp chuyên, lớp chọn Đây luôn là mộttrong những bài toán hay và khó trong các kỳ thi VMO, IMO Phépnghịch đảo là một trong những phép biến đổi hình học hay và tính trừutượng cao, có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán hình học sơcấp Cùng với sự định hướng của PGS TS Trần Đạo Dõng và vớimong muốn tìm hiểu về phép biến đổi hình học này, tôi đã chọn đềtài “PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG TRONG HÌNHHỌC SƠ CẤP” làm đề tài luận văn thạc sĩ của mình

2 Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là khai thác phép nghịch đảo trong mặtphẳng và không gian để khảo sát một số chủ đề trong hình học sơ cấpnhằm góp phần nâng cao hiệu quả, chất lượng dạy và học bộ môn Toántrong chương trình bậc PTTH

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Khai thác phép nghịch đảo trong mặt phẳng và không gian để giải cácdạng bài toán cơ bản trong hình học như: khảo sát phép nghịch đảo,bài toán chứng minh tính chất hình học, bài toán xác định đại lượnghình học, bài toán quỹ tích, bài toán dựng hình, các bài toán trong hệtọa độ Descartes

4 Phương pháp nghiên cứu

• Tham khảo tài liệu về phép nghịch đảo trong mặt phẳng, khônggian và hệ thống các kiến thức liên quan

• Trao đổi, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn, đồng nghiệp.

5 Ý nghĩa thực tiễn và khoa học

• Góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học một số chủ đề cơ bản tronghình học ở bậc PTTH

• Hệ thống lại một cách hoàn chỉnh các phương pháp sơ cấp vàphương pháp toạ độ để giải các bài toán liên quan đến phép nghịchđảo

• Phát huy tính tự học, tư duy và sáng tạo của học sinh

6 Cấu trúc luận văn Luận văn bao gồm:

• Phần mở đầu

• Chương 1 Phép nghịch đảo trong mặt phẳng và không gian.Trong chương này, chúng tôi trình bày định nghĩa và các tính chấtcủa phép nghịch đảo trong mặt phẳng, không gian và hệ tọa độDescartes

• Chương 2 Ứng dụng phép nghịch đảo trong hình học sơ cấp.Chương này tập trung vào các ứng dụng của phép nghịch đảo đểgiải các bài toán hay và cơ bản Từ đó đưa ra nhận xét, nhận dạng,

đề xuất phương pháp giải cho từng dạng

• Phần kết luận

• Tài liệu tham khảo

CHƯƠNG 1PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG MẶT PHẲNG VÀ KHÔNG GIAN

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu các kiến thức cơ bản về phươngtích của một điểm đối với đường tròn, mặt cầu, trục đẳng phương, mặtphẳng đẳng phương, các phép biến đổi hình học, phép nghịch đảo trongmặt phẳng, không gian và hệ toạ độ Descartes Các kiến thức trình bàytrong chương có thể tham khảo tại các tài liệu [5], [8], [9]

1.1 CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN

Ở mục này, chúng tôi trình bày các kiến thức liên quan đến phươngtích, phép biến đổi hình học

1.1.1 Phương tích của một điểm đối với đường tròn

Định nghĩa và tính chất của phép nghịch đảo được xây dựng dựa vàotính chất phương tích của một điểm đối với đường tròn, nên ở đây chúngtôi nhắc lại một số kiến thức về phương tích của một điểm đối với đườngtròn

Đầu tiên ta xét định lí sau:

Định lý 1.1.1 Cho đường tròn

(O) tâm O, bán kính R và điểm M

cố định, với OM = d Một đường

thẳng thay đổi đi qua M và cắt

đường tròn tại hai điểm A, B Khi

Chứng minh Gọi C là điểm đối xứng của A qua O Ta có CB ⊥ AM hay

B là hình chiếu của C trên AM

Ký hiệu PM/(O) = M A.M B = d2 − R2

Từ định lí 1.1.1 ta có nhận xét sau:

Nhận xét 1.1.1

i) Nếu PM/(O) > 0 thì M nằm ngoài đường tròn (O)

ii) Nếu PM/(O) = 0 thì M nằm trên đường tròn (O)

iii) Nếu PM/(O) < 0 thì M nằm trong đường tròn (O)

Tính chất 1.1.3 Cho hai đường thẳng AB, CD cắt nhau tại M (khác

A, B, C, D) Nếu M A.M B = M C.M D thì 4 điểm A, B, C, D cùng thuộcmột đường tròn

Tính chất 1.1.4 Cho hai đường thẳng AB, M N cắt nhau tại M Nếu

M A.M B = M N2 thì đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM tiếp xúc với

hợp các điểm M có phương tích đối

với hai đường tròn bằng nhau là

Định nghĩa 1.1.2 (Trục đẳng phương)

Đường thẳng trong định lí 1.1 2 được gọi là trục đẳng phương của haiđường tròn (O1), (O2)

Từ định lí 1.1.2 ta có hệ quả sau:

Hệ quả 1.1.1 Cho hai đường tròn không đồng tâm (O1) và (O2)

i) Trục đẳng phương của hai đường tròn vuông góc với đường thẳng nốihai tâm

ii) Nếu hai đường tròn cắt nhau tại A và B thì AB chính là trục đẳngphương của chúng

iii) Nếu điểm M có cùng phương tích đối với (O1) và (O2) thì đườngthẳng qua M và vuông góc với O1O2 là trục đẳng phương của hai đườngtròn

iv) Nếu hai điểm N, M có cùng phương tích đối với hai đường tròn thìđường thẳng N M chính là trục đẳng phương của hai đường tròn

v) Nếu 3 điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì chúngthẳng hàng

vi) Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau tại điểm A thì đường thẳng qua

A và vuông góc với O1O2 chính là trục đẳng phương của hai đường tròn

b Tâm đẳng phương

Định lý 1.1.3 Cho 3 đường tròn (O1), (O2) và (O3) Khi đó 3 trục đẳngphương của các cặp đường tròn trùng nhau hoặc song song hoặc cùng điqua một điểm

Định nghĩa 1.1.3 (Tâm đẳng phương) Cho 3 đường tròn (O1), (O2) và

(O3), nếu I là giao điểm của 3 trục đẳng phương của các cặp đường trònthì điểm I được gọi là tâm đẳng phương của ba đường tròn

Từ định lí 1.1.3 ta suy ra các hệ quả sau:

Hệ quả 1.1.2 i) Nếu 3 đường tròn đôi một cắt nhau thì các dây cungchung cùng đi qua một điểm.

ii) Nếu 3 trục đẳng phương của 3 đường tròn song song hoặc trùng nhauthì tâm của 3 đường tròn đó thẳng hàng

iii) Nếu 3 đường tròn cùng đi qua một điểm và có các tâm thẳng hàngthì các trục đẳng phương trùng nhau

d Mặt phẳng đẳng phương

Tương tự như trong mặt phẳng, ta có định lí sau:

Định lý 1.1.4 Cho mặt cầu (W ) tâm W, bán kính R và điểm M cố địnhnằm ngoài (W ), với M W = d Một đường thẳng qua M và cắt mặt cầutại hai điểm A, B Khi đó M A.M B = d2 − R2.

Định nghĩa 1.1.4 (Phương tích của một điểm đối với mặt cầu)

Giá trị không đổi M A.M B = d2 − R2 trong định lí 1.1 4 được gọi làphương tích của điểm M đối với mặt cầu (W )

Ký hiệu PM/(W ) = M A.M B = d2 − R2

Định lý 1.1.5 Cho hai mặt cầu

(W1) và (W2) không đồng tâm, có

bán kính lần lược là R1 và R2 Tập

hợp các điểm M có phương tích đối

với hai mặt cầu bằng nhau là một

mặt phẳng

Hình 1.3Chứng minh Gọi O là trung điểm của W1W2, H là hình chiếu củaM trên

W1W2

Định nghĩa 1.1.5 (Mặt phẳng đẳng phương) Mặt phẳng trong định lí

1.1 5 được gọi là mặt phẳng đẳng phương của hai mặt cầu

Từ định lí 1.1.5 suy ra hệ quả sau:

Hệ quả 1.1.3 Cho hai mặt cầu không đồng tâm (W1) và (W2)

i) Nếu hai mặt cầu cắt nhau tại hai điểm A, B thì mặt phẳng (P ) chứa

AB và vuông góc với W1W2 chính là mặt đẳng phương của chúng

ii) Nếu điểm M có cùng phương tích đối với (W1) và (W2) thì mặtphẳng qua M và vuông góc với W1W2 là mặt đẳng phương của hai mặtcầu

iii) Nếu hai điểm N, M có cùng phương tích đối với hai mặt cầu thìmặt phẳng chứa N M và vuông góc với W1W2 chính là mặt đẳng phươngcủa hai mặt cầu

iv) Nếu 4 điểm có cùng phương tích đối với hai mặt cầu thì chúng đồngphẳng

v) Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau tại điểm A thì mặt phẳng qua A

và vuông góc với W1W2 chính là mặt đẳng phương của hai mặt cầu

1.1.3 Phép biến đổi hình học

Ở phần này, chúng tôi trình bày một số định nghĩa về phép biến đổihình học (gọi tắt là phép biến đổi) trong mặt phẳng và không gian

Định nghĩa 1.1.6 (Phép biến đổi)

Phép biến đổi là một quy tắc sao cho mỗi điểm trong mặt phẳng (khônggian) xác định được duy nhất một điểm M′ của mặt phẳng (không gian)

- M′ được gọi là ảnh của M qua phép biến đổi f

- M được gọi là tạo ảnh của M′ qua phép biến đổi f

Định nghĩa 1.1.8 (Phép biến đổi 1 - 1)

Cho phép biến đổi f của P Nếu ứng với mỗi ảnh M′ chỉ có duy nhấtmột tạo ảnh M thì f được gọi là phép biến đổi 1-1 hay còn gọi là phépbiến hình

Định nghĩa 1.1.9 (Đại lượng bất biến) Cho phép biến đổi f của P Giả

sử (P) là một đại lượng hình học (điểm, đường thẳng, mặt phẳng ) saocho f (P) = (P), thì (P) được gọi là đại lượng bất biến của f Trườnghợp (P) là một điểm thì điểm đó gọi là điểm bất động của f

Định nghĩa 1.1.10 (Phép biến đổi đồng nhất)

Cho phép biến đổi f của P Nếu mọi điểm M trong mặt phẳng (khônggian) điều là điểm bất động thì f được gọi là phép biến đổi đồng nhất Kíhiệu e

Định nghĩa 1.1.11 (Tích các phép biến đổi) Cho phép hai biến đổi: f

biến điểm M thành điểm M′, g biến điểm M′ thành điểm M′′ Khi đó,phép biến đổi biến điểm M thành điểm M′′ được gọi là tích của hai phépbiến đổi f, g Kí hiệu g ◦ f

Định nghĩa 1.1.12 Cho n phép biến đổi f1, f2, , fn Tích n phép biếnđổi đã cho là một phép biến đổi được thực hiện theo một thứ tự xác định

Kí hiệu F = f1 ◦ f2 ◦ ◦ fn

Định nghĩa 1.1.13 (Phép biến đổi ngược)

Cho phép hai biến đổi f, g của P Nếu g ◦ f là phép biến đổi đồng nhấtthì g được gọi là phép biến đổi ngược của f Kí hiệu f−1

1.1.4 Một số phép biến đổi thường gặp

Định nghĩa 1.1.15 (Phép đối xứng tâm)

Cho một điểm O cố định Phép đối xứng tâm O là phép biến đổi biến mỗiđiểm M thành một điểm M′ sao cho O là trung điểm của đoạn M M′.Điểm O gọi là tâm đối xứng Kí hiệu ĐO

Định nghĩa 1.1.16 (Phép đối xứng trục)

Cho đường thẳng d cố định Phép đối xứng trục d là phép biến đổi biếnmỗi điểm M thành điểm M′ sao cho đoạn thẳng M M′ nhận d làm đườngtrung trực Đường thẳng d gọi là trục đối xứng Kí hiệu Đd

Định nghĩa 1.1.17 (Phép tịnh tiến)

Cho một vector −→u Phép tịnh tiến theo vecto −→u là một phép biến đổi biến

M thành M′ sao cho −−−→M M′ = −→u Kí hiệu T−→u.

Cho một điểm O và số thực k 6= 0 Phép vị tự tâm O hệ số k là phép biếnđổi biến mọi điểm M thành điểm M′ sao cho −−→OM = k.−−→

OM′

Kí hiệu V(O,k)

Định nghĩa 1.1.20 (Phép đồng dạng)

Cho số thực k 6= 0 Phép đồng dạng là phép biến đổi biến hai điểm M, N

thành hai điểm M′, N′ sao cho −−−→M′N′ = k−−→

M N Kí hiệu Dk.Định nghĩa 1.1.21 (Phép đối xứng mặt)

Cho một mặt phẳng (P ) Phép đối xứng mặt là phép biến đổi biến điểm

M thành điểm M′ sao cho (P ) là mặt phẳng trung trực của M M′

Kí hiệu D(P )

Với mỗi điểm M của mặt phẳng

khác điểmO, ta dựng điểmM′ trên

OM OM′ = k Phép biến đổi f biến M thành M′ được gọi là phép nghịchđảo tâm O, phương tích k Kí hiệu I(O,k)

Từ định nghĩa 1.2.1 ta có nhận xét sau:

Nhận xét 1.2.1

i) Điểm M càng tiến gần O thì điểm M′ càng đi xa điểm O

ii) Khi M là điểm vô cực, thì M′ trùng với O

iii) Khi M trùng với O, thì M′ là điểm vô cực và kí hiệu là ∞

Định nghĩa 1.2.2 (Góc tạo bởi đường tròn và đường thẳng)

Cho đường tròn (O) và đường thẳng d cắt (O) tại điểm A Góc tạo bởiđường tròn (O) và đường thẳng d là góc tạo bởi d và tiếp tuyến tại A vớiđường tròn (O)

Định nghĩa 1.2.3 (Góc tạo bởi hai đường tròn)

Cho hai đường tròn (O) và (O′) cắt nhau tại A Góc tạo bởi hai đườngtròn đã cho tại điểm A là góc giữa hai tiếp tuyến với hai đường tròn tại A

Định nghĩa 1.2.4 (Đường tròn nghịch đảo)

Cho phép nghịch đảo I(O,k)

- Nếu k > 0 thì hai điểm M và M′ = I(O,k)(M ) cùng nằm về một phíađối với điểm O

Khi đó tập hợp những điểm kép

của phép nghịch đảo I(O,k) là đường

tròn tâm O và có bán kính √k Ta

gọi đường tròn đó là đường tròn

nghịch đảo của phép nghịch đảo

Nhận xét 1.2.2 Nếu k < 0 thì

hai điểm M và M′ = I(O,k)(M )

nằm về hai phía đối với điểm O

Khi đó ta không có điểm kép, do

đó không tồn tại đường tròn nghịch

Định nghĩa 1.2.5 (Cực và đối cực)

Trên mặt phẳng cho đường tròn

(O) và một điểm S khác O Cho

phép nghịch đảo tâm O, phương

tích k = R2 biến S thành S′ và

d là đường thẳng qua S, vuông góc

với OS

Hình 1.7Khi đó:

- Đường thẳng d gọi là đường đối cực của S đối với đường tròn (O)

- Điểm S gọi là cực của d đối với đường tròn (O)

1.2.2 Tính chất

Cho phép nghịch đảo I(O,k) với k 6= 0

Tính chất 1.2.1 I(O,k) là phép biến đổi 1 - 1

Chứng minh Thật vậy giả sử M1, M2 có cùng một ảnh M′ trong phépbiến đổi đó, theo định nghĩa M1, M2 cùng nằm trên trục OM′ và thỏamãn các hệ thức

thì từ hệ thức OM OM′ = OM′.OM = k, ta suy ra M lại là ảnh của M′

trong phép biến đổi đó, nghĩa là I(O,k)◦ I(O,k) : M → M

Tính chất 1.2.3 Nếu A′, B′ là ảnh của hai điểm A, B trong phép biếnđổi I(O,k), thì A′B′ = λAB, trong đó λ = |k|

Từ A′B′ = OB′− OA′ = k

OB − k

OA = k.

OA − OBOA.OB = k.

−ABOA.OB.

Ta suy ra A′B′ = λAB, trong đó λ = |k|

OA.OB

• Trường hợp O, A, B lập thành

3 đỉnh của một tam giác Từ

OA.OA′ = OB.OB′ = k, ta suy

Chứng minh Nếu A là điểm bất kì khác O và thuộc d, A′ là ảnh của A

qua phép nghịch đảo I(O,k), thì O, A, A′ thẳng hàng Điều đó chứng tỏ A′

Điều đó chứng tỏ rằng M, M′, H, H′ nằm trên một đường tròn và

M H ⊥ HH′, nên OM ⊥ M′H′ hay \OM′H′ = 900 Suy ra M′ nằmtrên đường tròn đường kính OH′

Khi M thay đổi trên d thì M′ thay đổi trên đường tròn đường kính

OH′

Nếu M trùng với ∞ thì M′ trùng với tâm nghịch đảo O Ngược lại,nếu M′ là điểm bất kì trên đường tròn đường kính OH′, thì ta xác địnhđiểm M là ảnh của M′ trong cùng phép nghịch đảo đó

Tính chất 1.2.6 Ảnh của mọi đường tròn (γ) đi qua tâm nghịch đảo O

là một đường thẳng d không đi qua O và đường thẳng đó song song với tiếptuyến của (γ) tại O

Chứng minh TừOM.OM′ = OH.OH′,

suy ra 4 điểm M, M′, H, H′ cùng

thuộc một đường tròn.Vì OM′ ⊥

M′H′, nên HM ⊥ OH Điều đó

chứng tỏ M thuộc d Vậy ảnh của

mọi đường tròn (γ) đi qua tâm

nghịch đảoO là một đường thẳngd

không đi quaO Mặt khácd ⊥ OH

nên d song song với tiếp tuyến của

Tính chất 1.2.7 Ảnh của mọi đường tròn (γ) không đi qua tâm nghịchđảo O là một đường tròn (γ′) Đường tròn (γ′) cũng là ảnh của đường tròn

(γ) qua phép vị tự V(O,λ), với λ = k

p, trong đó p là phương tích của O đốivới (γ)

Chứng minh Trên (γ) lấy điểm M bất kì Gọi N là điểm chung thứ haicủa trục OM với (γ)

Ta kí hiệu M′ là ảnh của M, điểm

M′ nằm trên trục của OM và

OM OM′ = k (1.1)Mặt khác OM ON = p (1.2)

Hình 1.12

Tính chất 1.2.8 Góc tạo bởi đường thẳng d và đường tròn (γ) cùng điqua tâm nghịch đảo O có số đo bằng góc tạo bởi ảnh của chúng trong phépnghịch đảo đó

Chứng minh Thật vậy, ảnh của d

trong phép nghịch đảo chính là d

Ảnh của(γ) là đường thẳngd′ song

song với tiếp tuyến của (γ) tạo O

Do đó góc tạo bởi d và d′ bằng góc

Tính chất 1.2.9 Góc tạo bởi hai đường tròn (γ) và (γ′) cùng đi qua tâmnghịch đảo O có số đo bằng góc tạo bởi ảnh của chúng trong phép nghịchđảo đó

Chứng minh Ta biết rằng ảnh của hai đường tròn (γ) và(γ′) là hai đườngthẳng d và d′ không đi qua tâm nghịch đảo O

Vì dsong song với tiếp tuyến △

của(γ) tại O, d′ song song với tiếp

tuyến △′ của (γ′) tại O, do đó góc

tạo bởidvà d′ bằng góc tạo bởi hai

tiếp tuyến △ và △′ của (γ) và (γ′)

tại O Đó là điều cần chứng minh Hình 1.14

Tính chất 1.2.10 Nếu đường thẳng d và đường tròn (γ) không đi quatâm nghịch đảo O, thì góc tạo bởi d và (γ) có số đo bằng bằng số đo củagóc tạo bởi ảnh của chúng

Chứng minh Ta chứng minh rằng

ảnh của d trong phép nghịch đảo

là đường tròn(γ′) đi qua tâm O và

tiếp tuyến của(γ′)tại đó song song

vớid Ta kí hiệu (ε) là ảnh của (γ)

Vì (γ) không đi qua O, nên (ε) là

một đường tròn và cũng là ảnh(γ)

Do d và (γ) có điểm chung mà ta kí hiệu là M, nên (ε) và (γ′) có điểmchung là M′ ảnh của M trong phép nghịch đảo đó Ta kí hiệu d1 là tiếptuyến của (γ) tại M, (ε′) là ảnh của d1 trong phép nghịch đảo Do d1 tiếpxúc với (γ) tại M nên (ε′) tiếp xúc với (ε) tại M′ Gọi x là tiếp tuyến của

(ε′) tại O Rõ ràng x//d1 ( Theo tính chất 1.2.6)

Do đó góc tạo bởi (ε′) và (γ′) cũng chính là góc tạo bởi (ε) và (γ′), đó

là góc tạo bởi hai tiếp tuyến của hai đường tròn (ε) và (γ′) tại M′ Vậygóc tạo bởi d và (γ) bằng góc tạo bởi ảnh của chúng

Tính chất 1.2.11 Góc tạo bởi hai đường tròn (γ) và (γ′) không cùng điqua tâm nghịch đảo có số đo bằng góc tạo bởi ảnh của chúng

Chứng minh Xét phép nghịch đảo tâm O, tỉ số k và hai đường tròn (γ1)

và (γ2)

Cả hai đường tròn (γ1) và (γ2) đều không đi qua tâm nghịch đảo O.Khi đó, ảnh của hai đường tròn này qua phép nghịch đảo là hai đườngtròn (γ1′) và (γ2′) Hai đường tròn (γ1′) và (γ2′) cũng là ảnh của hai đườngtròn(γ1) và (γ2) trong phép vị tự tâm O Do góc giữa hai đường tròn (γ1)

và (γ2) bảo toàn qua phép vị tự, nên góc tạo bởi hai đường tròn (γ) và

(γ′) đều không đi qua tâm nghịch đảo có số đo bằng góc tạo bởi ảnh củachúng

Tính chất 1.2.12 Tích của hai phép nghịch đảo có cùng tâm O là I(O,k)

đi qua hai điểm tương ứng M và M′ = I(O,k)(M ) đều trực giao với đườngtròn nghịch đảo đó

Chứng minh Theo giả thiết ta có

Nếu dường tròn nghịch đảo tâm O có bán kính R = √

k thì đường tròn

(C) trực giao với đường tròn (O) Vậy mọi đường tròn đi qua M, M′ (tạonên chùm đường tròn) đều trực giao với đường tròn nghịch đảo tâm O,bán kính R =√

k

1.3 PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG KHÔNG GIAN

1.3.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.3.1 Cho một điểm O và một số k 6= 0 Với mỗi điểm M

bất kì trong không gian khác điểm O, ta dựng điểm M′ trên đường thẳng

OM sao cho OM OM′ = k Phép biến đổi f biến M thành M′ được gọi

là phép nghịch đảo tâm O, phương tích k

OM′ = k và −−→OM2.−−→

OM′ = k Từ đó suyra:

Tính chất 1.3.2 N(O.k) biến một mặt phẳng (P ) đi qua tâm nghịch đảothành (P ).

Chứng minh Nếu M′ là ảnh của M ∈ (P )(M 6= O) qua phép biến đổi

nên M′ ∈ (P ) Nếu M trùng với O, thì M′ là điểm ∞ và điểm đó thuộc

(P )

Tính chất 1.3.3 N(O.k) biến một mặt phẳng không đi qua tâm nghịchđảo O thành một mặt cầu (W )

Chứng minh Gọi H là hình chiếu của vuông góc của O trên (P ) và H′

là ảnh của H trong phép nghịch đảo đó Với điểm M bất kì thuộc (P )

và khác H, phép biến đổi N(O,k) biến M thành M′ Theo định nghĩa cácđiểm H, H′ và M, M′ nằm trên hai đường thẳng cắt nhau tại O và thỏamãn điều kiện −−→OH.−−→

nên khi M thay đổi trong (P ) thì

điểm M′ thay đổi trên mặt cầu

đường kính OH′ Đó là mặt cầu

(W ) Đảo lại, nếu M′ ∈ (W ) và

không trùng với O, thì giao điểm

củaOM′ với (P )là tạo ảnh củaM

qua phép biến đổi N(O,k) Trường

hợp M′ trùng với O, thì tạo ảnh

của M′ là điểm ∞ trong (P )

Hình 1.17

Tính chất 1.3.4 N(O,k) biến một mặt cầu (W ) đi qua tâm nghịch đảotâm O thành một mặt phẳng (P ) song song với mặt phẳng (P′) tiếp xúcvới (W ) tại O.

Chứng minh Gọi I là tâm của

(W ) và H là điểm đối xứng của

O qua I, khi đó H ∈ (W ) Phép

biến đổi N(O.k) biến H thành H′

nằm trên đường thẳngOH Giả sử

M là điểm bất kì khác O và H

nằm trên (W ), M′ là ảnh của M

qua phép biến đổi đó Hiển nhiên

tứ giác HH′M′M nội tiếp Vì vậy

Khi M thay đổi trên (W ), thìM′H′ thay đổi luôn vuông góc với đườngthẳng cố định OH Điều đó chứng tỏ M′ nằm trong một mặt phẳng (P )

đi qua H′ và vuông góc với OH Gọi (P′) là mặt phẳng tiếp xúc của (W )

tại O, ta thấy (P ) và (P′) cùng vuông góc với OH và chúng không cóđiểm chung nào, vì vậy (P )//(P′)

Đảo lại nếu M′ là điểm thuộc (P ), thì OM′ cắt (W ) tại M Tứ giác

HH′M′M nội tiếp đường tròn (vì hai góc đối diện của nó bằng 900) Vìvậy k = −−→

OH.−−→

OH′ = −−→

OM −−→

OM′ Điều đó chứng tỏ M là một tạo ảnh của

M′ qua phép biến đổi N(O,k)

Tính chất 1.3.5 N(O.k) biến một mặt cầu (W ) không đi qua tâm nghịchđảo O thành một mặt cầu (W′) không đi qua O và (W′) cũng là ảnh của

(W ) qua phép vị tự V

O,kq





, trong đó q là phương tích của điểm O đối với

(W )

Chứng minh Kí hiệu I tâm của

(W ) và (M ) là điểm bất kì thuộc

(W ) Gọi M′ là ảnh của M qua

phép biến đổi N(O.k), khi đó M′

nằm trên đường thẳng OM Gọi

M1 là điểm chung thứ hai của OM

với (W ), theo định nghĩa ta có

với k < 0 là mặt cầu bất biến qua phép biến đổi N(J,k)

Chứng minh Thật vậy với M là điểm bất kì thuộc (I,√

Tính chất 1.3.7 Cho hai phép nghịch đảo N(O,k 1 ) và N(O,k 2 ), với k1.k2 6=

0 Ta đặt V = N(O,k1 ) ◦ N(O,k 2 ), khi đó V là một phép vị tự tâm O có hệ

số vị tự λ = k2

k1.Chứng minh Với điểm M khác O ta có N(O,k1 ) : M → M1 và

M (x; y) là một điểm bất kì khác Avà M′(x′; y′) là ảnh của M trong phépbiến đổi đó Theo định nghĩa ta có:

Nhận xét 1.4.1 Nếu tâm nghịch đảoA trùng với gốc toạ độ O thì phươngtrình (1.7) trở thành

1.4.2 Phép nghịch đảo trong hệ tọa độ Descartes Oxyz

Ta xét phép nghịch đảoN(A,k)trong hệ tọa độOxyz, trong đóA(x0; y0; z0).Với điểm M (x; y; z) bất kì khác A, ta kí hiệu M′(x′; y′; z′) là ảnh của M

qua phép biến đổi đó Khi đó, tọa độ điểm M′ là nghiệm của phương trìnhsau:

(x′− x0).(x−0) + (y′− y0).(y − y0) + (z′ − z0).(z − z0) = k (1.9)Nhận xét 1.4.2 Nếu tâm nghịch đảoA trùng với gốc toạ độO, thì phươngtrình (1.9) trở thành

x′.x + y′.y + z′.z = k (1.10)

CHƯƠNG 2ỨNG DỤNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO

TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP

Trong chương này, chúng tôi trình bày các ứng dụng của phép nghịchđảo vào giải các bài toán: khảo sát phép nghịch đảo, chứng minh tính chấthình học, xác định đại lượng hình học, bài toán tìm quỹ tích, bài toándựng hình và bài toán liên quan đến hệ tọa độ Descartes trong mặt phẳng

và không gian Các kiến thức này có thể tham khảo trong các tài liệu [1],[3], [5], [8], [9], [10]

2.1 ỨNG DỤNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG MẶT PHẲNG2.1.1 Khảo sát phép nghịch đảo

Bài toán khảo sát phép nghịch đảo là cơ sở để giải các bài toán khác.Trong phần này, ta xét các bài toán tìm phép nghịch đảo hoặc tìm ảnhcủa một hình nào đó (điểm, đường thẳng, đường tròn ) qua một phépnghịch đảo Để giải được bài toán ta cần xác định: tâm nghịch đảo, vị trítâm nghịch đảo đối với hình đang xét, phương tích k Từ đó ta dựa vàocác tính chất của phép nghịch đảo để đưa ra kết luận

Bài toán 2.1.1 Cho đường tròn (O) tâmO, bán kính R Tìm phép nghịchđảo để đường tròn đã cho biến thành chính nó?

Định hướng giải:

- Đường tròn (O) tâm O, bán kính R biến thành chính nó, nên với điểm

M bất kì trên đường tròn, thì ảnh M′ của nó qua phép nghịch đảo cũngthuộc đường tròn

- Xét phép nghịch đảo I(A,k), A /∈ (O), ta có AM AM′ = k Theo tínhchất 1.1.2, suy ra k = AN2, với AN là tiếp tuyến của (O) tại N

Chứng minh Xét đường tròn (O).

Hiển nhiên tâm nghịch đảo A

không nằm trên đường tròn (O)

Với mọi điểm M nằm trên (O)

đường thẳng OM có điểm chung

TừAkẻ tiếp tuyếnAN với(O)(N là tiếp điểm) Ta cóAM AM′ = AN2.Đẳng thức đó chứng tỏ M′ là ảnh của M trong phép nghịch đảo I(A,k) với

k = AN2

Vậy phép nghịch đảo I(A,k) với k = AN2 biến đường tròn (O) thànhchính nó

Từ bài toán 2.1.1 ta có nhận xét sau:

Nhận xét 2.1.1 Phép nghịch đảo I(A,k) có tâm A không thuộc đường tròn

(O) và k = PA/(O) biến (O) thành chính nó

Bài toán 2.1.2 Tìm phép nghịch đảo biến hai đường tròn thành hai đườngthẳng song song?

Định hướng giải:

- Hai đường tròn biến thành hai đường thẳng, do đó tâm nghịch đảo O

thuộc hai đường tròn

- Hai đường tròn biến thành hai đường thẳng song song, nên O là tiếpđiểm của hai đường tròn

- Sử dụng tính chất 1.2.6 ta thu được kết quả

Chứng minh Xét hai đường tròn (I) và (I′) Gọi hai đường thẳng d và d′

lần lược là ảnh của hai đường tròn (I) và (I′) trong cùng một phép nghịchđảo I(O,k) Hiển nhiên O thuộc cả hai đường tròn (I), (I′), nên O là giaođiểm của hai đường tròn này

Hình 2.2Gọi đường thẳng △ và △′ là hai tiếp tuyến của (I) và (I′) tại O Khi đó

d//△ và d′//△′

Mặt khác d//d′, nên △ ≡ △′ Hai đường tròn (I) và (I′) cùng tiếp xúcvới một đường thẳng tại một điểm, thì chúng tiếp xúc nhau tại điểm đó.Vậy phép nghịch đảo I(O,k) với O là tiếp điểm của hai đường tròn,k 6= 0biến hai đường tròn thành hai đường thẳng song song

Bài toán 2.1.3 Hãy tìm ảnh của một chùm đường thẳng trong phépnghịch đảo:

i) Nhận tâm O của chùm đường thẳng làm tâm nghịch đảo

ii) Có tâm nghịch đảo S là một điểm khác với tâm O của chùm đườngthẳng

Định hướng giải:

i) Sử dụng tính chất 1.2.4

ii) Sử dụng tính chất 1.2.5

Chứng minh i) Phép nghịch đảo

nhận tâmOcủa chùm đường thẳng

làm tâm Vì chùm đường thẳng đi

qua tâm nghịch đảo O nên nó biến

thành chính nó Vậy ảnh của chùm

đường thẳng trong phép nghịch

đảo tâm O biến thành chính nó Hình 2.3

ii) Phép nghịch đảo có tâm S khác

với tâm O của chùm đường thẳng

Vì các đường thẳng không đi qua

tâm S nên ảnh của nó trong phép

nghịch đảo là đường tròn đi qua

tâm nghịch đảo S Do chùm đường

thẳng cắt nhau tại O nên ảnh của

chúng cắt nhau tại O′ là ảnh của

Chứng minh i) Trường hợp hai

đường tròn (I) và (I′) không bằng

nhau và không tiếp xúc nhau Có

a) Phép nghịch đảo tâm O, với phương tích k = λ.p = R′

R.p trong

đó p là phương tích của điểm O đối với đường tròn (I)

b) Phép nghịch đảo tâm O′, với phương tích k′ = −R′

R.p

′ trong đó

p′ là phương tích của điểm O′ đối với đường tròn (I′)

ii) Trường hợp hai đường tròn (I) và (I′) bằng nhau và không tiếp xúcnhau

Phép vị tự tâm O′ biến đường tròn

này thành đường tròn kia Do đó

chỉ có một phép nghịch đảo tâmO′

với phương tíchk′ = −R′

R.p

′, trong

đó p′ là phương tích của điểm O′

iii) Trường hợp hai đường tròn (I) và (I′) không bằng nhau và tiếp xúcnhau tại điểm A, thì tiếp điểm là tâm vị tự nhưng không phải tâm nghịchđảo và chỉ có một phép nghịch đảo tâm O, với phương tíchk = R′

R.p trong

đó p là phương tích của điểm O đối với đường tròn (I)

Hình 2.7iv) Trường hợp hai đường tròn (I)

và(I′) bằng nhau và tiếp xúc nhau

tại điểm A, thì không có phép

nghịch đảo nào biến đường tròn

2.1.2 Các bài toán chứng minh các tính chất hình họcBài toán chứng minh các điểm thẳng hàng, các đường thẳng đồng quy,

sự tiếp xúc của của các đường tròn, luôn là bài toán khó đối với học sinh.Các tính chất của phép nghịch đảo là một trong những công cụ chứng minhcác bài toán trên một cách đơn giản và rõ ràng hơn

Bài toán 2.1.5.

i) (Định lí Ptoleme) Cho tứ giác nội tiếp ABCD Chứng minh rằng:

AC.BD = AB.CD + AD.BC.ii) (Bất đẳng thức Ptoleme) Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng:

AC.BD ≤ AB.CD + AD.BC.

Định hướng giải: Chứng minh định lí này có nhiều cách, nhưng sử dụngtính chất 1.2.3 của phép nghịch đảo ta dễ dàng thu được kết quả

Chứng minh i) Cho tứ giác lồi ABCD Xét phép nghịch đảo tâm D

phương tích k biến A, B, C lần lược thành A′, B′, C′

Nhân hai vế với DA.DB.DC ta được

AC.DB = AB.CD + AD.BC

Vậy tứ giác lồi ABCD nội tiếp thì AC.BD = AB.CD + AD.BC

ii) Chứng minh tương tự (i)

Bài toán 2.1.6 Cho đường tròn (O) đường kính BC.Một điểm A nằmngoài đường tròn (O) Gọi B0, C0 lần lược là giao điểm của AC, BC với

(O) Gọi H là giao điểm của BB0, CC0 Gọi M, N lần lược là tiếp điểmcủa tiếp tuyến từ A đến (O) Chứng minh rằng H, M, N thẳng hàng.Định hướng giải: Nhận định rằng AN và AM là hai tiếp tuyến, nên

ta sử dụng phép nghịch đảo tâm A, phương tích k = AM2 = AN2 Tachỉ cần tìm ảnh của H qua phép nghịch đảo trên và chứng minh ảnh của

M, N, E thẳng hàng

Định hướng giải: Đây cũng là bài toán chứng minh ba điểm thẳnghàng nhưng có phần phức tạp hơn Để chứng minh được bài toán ta làmcác công việc sau:

- Tìm tâm nghịch đảo: (I) là đường tròn nội tiếp ABC, ta chọn I làmtâm, phương tích k = R2, với R là bán kính đường tròn (I)

- Tìm ảnh M′ của M qua phép nghịch đảo trên hay chứng minh

IM.IM′ = R2 Tương tự tìm ảnh N′, E′ của N, E

- Chứng minh M′, N′, E′ cùng thuộc đường tròn: Xét đường tròn (AI),

ta có \IM′A = 900 Ta cần chứng minh AA1, BB1, CC1 cắt nhau tại mộtđiểm P Từ đó suy ra M′ thuộc đường tròn (IP ) Tương tự chứng minh

N′, E′ thuộc (IP ) Ta được điều cần chứng minh

Hình 2.11

Chứng minh Rõ ràng B1C1 là trục đẳng phương của đường tròn (I) vàđường tròn đường kính AI BC là trục đẳng phương của đường tròn (I)

và đường tròn đường kínhA1I Vậy M thuộc trục đẳng phương của đườngtròn đường kính AI và đường tròn đường kính A1I

Gọi M′ là giao điểm thứ hai của hai đường tròn đó, nên M′ thuộc M I.Mặt khác IM′ ⊥ AM′ (vì M′ thuộc đường tròn đường kính AI) và vuông

IM′ ⊥ A1M′ (vì M thuộc đường tròn đường kính A1I), do đó AA1 đi qua

M′

Mặt khác CB1 = CA1, AB1 = AC1, BA1 = AC1 (tính chất hai đườngtiếp tuyến cắt nhau), suy ra

Theo định lí Ceva AA1, BB1, CC1 cắt nhau tại một điểm P Vậy M′

thuộc đường tròn đường kính IP (vì IM′ ⊥ M′P) Gọi R là bán kínhđường tròn (I), ta có IM.IM′ = R2, nên phép nghịch đảo tâm I phươngtích k = R2 biến M′ thành M

Tương tự phép nghịch đảo đó biến N′ thành N, biến E′ thành E.Theo tính chất 1.2.6, do M′, N′, E′ thuộc đường tròn đường kính IP,nên M, N, E thuộc đường thẳng là ảnh của đường tròn đường kính IP

trong phép nghịch đảo tâm I phương tích k = R2

Vậy M, N, E thẳng hàng

Nhận xét 2.1.2 Bài toán 2.1.6 và 2.1.7 cho thấy việc chứng minh ba(hoặc nhiều) điểm thẳng hàng sử dụng phép nghịch đảo trở nên đơn giảnhơn Ta chỉ cần chứng minh các điểm đó là ảnh của các điểm cùng thuộcmột đường tròn trong một phép nghịch đảo nào đó

Bài toán 2.1.8 Cho hai đường tròn tiếp xúc nhau ở A Một tiếp tuyếntại M của đường tròn thứ nhất cắt đường tròn thứ hai ở B và C Chứngminh rằng đường thẳng AM là đường phân giác của góc tạo bởi hai đườngthẳng AB và AC.

Định hướng giải: Chọn phép nghịch đảo tâm A, phương tích k =

AH2, với AH ⊥ MC, biến M C thành đường tròn (AH), biến (O1), (O2)

thành đường thẳng m ⊥ O1A, d ⊥ O2A Ta thấy M C là tiếp tuyến của

(O1), nênm tiếp xúc(AH) tại M′,M C cắt (O2) tạiA, B, nênd cắt (AH)

tại B′, C′ Dựa vào mối liên hệ giữa cung và góc trong đường tròn ta suy

ra được điều phải chứng minh

Chứng minh Gọi AH là khoảng cách từ A tới tiếp tuyến tại điểm M với

(O1) Gọi I(A,k) là phép nghịch đảo tâm A phương tích k = AH2

Hình 2.12Qua I(A,k):

- Tiếp tuyến tại M biến thành đường tròn đường kính AH

- Đường tròn (O1) biến thành đường thẳng m ⊥ O1Avà tiếp xúc với đườngtròn đường kính AH tại điểm M′ = I(A,k)(M ).

- Đường tròn (O2) chứa hai điểm B, C biến thành đường thẳng d ⊥ O2A

và đi qua B′ = I(A,k)(B) và C′ = I(A,k)(C), B′, C′ nằm trên đường trònđường kính AH Do d//m và M′ là tiếp điểm của đường tròn đường kính

AH, nên cung B′M′ bằng cung M′C′

- Gọi N là điểm xuyên tâm đối của M′ ta có cung C′N bằng cung N B′

Do đó:

• C\′AN = N AB\ hay AN là phân giác của góc \CAB

• Mặt khác \N AM = 900, nên AM là phân giác của \N AN1

Do \N AB = N\1AC1, suy ra AM là đường phân giác của \BAC1, với \BAC1

là góc tạo bởi hai đường thẳng AB và AC

Bài toán 2.1.9 Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AH, BK, CI

của tam giác đồng quy tại J Gọi (O1), (O2), (O3) lần lược là ba đườngtròn ngoại tiếp tam giác AIK, BHI, CHK, (O5) là đường tròn tiếp xúcvới cả ba đường tròn (O1), (O2), (O3) Chứng minh rằng (O5) tiếp xúc với

(O4), với (O4) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Định hướng giải: Ta thấy J là trực tâm, nên ta sử dụng phép nghịchđảo tâm J Nó biến (O1), (O2), (O3) thành các đường thẳng BC, CA, AB,đường tròn (O5) biến thành đường tròn nội tiếp △ABC, đường tròn (O4)

biến thành đường tròn Euler của △ABC, ta thu được kết quả

Chứng minh Xét phép nghịch đảo tâm J phương tích

k = JA.JH = JB.JK = JC.JI