Các đường thẳng euler, simson, steiner và ứng dụng trong hình học sơ cấp

Một trong các đường thẳng đặc biệt với nhiều tính chất thú vị có quan hệ mật thiết với một số đường thẳng đặc biệt khác như đường thẳng Simson, đường thẳng Steiner và đường thẳng Euler n

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

ĐẶNG VĂN TẤN

CÁC ĐƯỜNG THẲNG EULER, SIMSON, STEINER VÀ

ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

ĐẶNG VĂN TẤN

CÁC ĐƯỜNG THẲNG EULER, SIMSON, STEINER VÀ

ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP

Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số : 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG

Đà Nẵng - Năm 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tác giả

Các số liệu và kết quả tính toán đưa ra trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận văn

Đặng Văn Tấn

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 2

7 Cấu trúc của luận văn 3

CHƯƠNG 1: ĐƯỜNG THẲNG EULER, ĐƯỜNG THẲNG SIMSON, ĐƯỜNG THẲNG STEINER 4

1.1 ĐƯỜNG THẲNG EULER, ĐƯỜNG TRÒN EULER VÀ HỆ THỨC EULER 4

1.1.1 Đường thẳng Euler 4

1.1.2 Đường tròn Euler 5

1.1.3 Một vài tính chất 7

1.1.4 Định lí Euler 10

1.2 ĐƯỜNG THẲNG SIMSON 12

1.2.1 Định nghĩa đường thẳng Simson 12

1.2.2 Một số tính chất 13

1.3 ĐƯỜNG THẲNG STEINER VÀ ĐIỂM ANTI-STEINER 18

1.3.1 Đường thẳng Steiner 18

1.3.2 Một số tính chất 19

1.3.3 Điểm Anti-Steiner 21

CHƯƠNG 2: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG TRONG HÌNH

HỌC SƠ CẤP 23

2.1 ỨNG DỤNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG EULER VÀ ĐƯỜNG TRÒN EULER 23

2.1.1 Các bài toán về đẳng thức, quan hệ hình học 23

2.1.2 Các bài toán về quan hệ thẳng hàng và đồng quy 30

2.1.3 Bài toán về quan hệ song song 35

2.1.4 Các bài toán về điểm và đường cố định 36

2.1.5 Các bài toán tham khảo 40

2.2 ỨNG DỤNG ĐƯỜNG THẲNG SIMSON 41

2.2.1 Các bài toán về đẳng thức, quan hệ hình học 42

2.2.2 Các bài toán về quan hệ thẳng hàng và đồng quy 48

2.2.3 Các bài toán về quan hệ song song và vuông góc 53

2.2.4 Các bài toán về điểm và đường cố định 58

2.2.5 Các bài toán tham khảo 62

2.3 ỨNG DỤNG ĐƯỜNG THẲNG STEINER 64

2.3.1 Các bài toán về quan hệ thẳng hàng và đồng quy 64

2.3.2 Bài toán về quan hệ vuông góc 69

2.3.3 Các bài toán về điểm và đường cố định 73

2.3.4 Các bài toán tham khảo 79

KẾT LUẬN 80

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 80

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (Bản sao)

DANH MỤC KÝ HIỆU CÁC CHỮ VIẾT TẮT

(ABC) : Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

(O,R) : Đường tròn tâm O, bán kính R

SM(ABC) : Đường thẳng Simson của M đối với đường tròn ngoại

tiếp tam giác ABC // : Song song

ABC

 : Tam giác ABC

 : Vuông góc

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp quốc gia và các kỳ thi olympic toán quốc tế và khu vực thường có ít nhất một bài toán liên quan đến các đường thẳng đặc biệt hoặc điểm đặc biệt và thường là dạng bài toán khó giải

Một trong các đường thẳng đặc biệt với nhiều tính chất thú vị có quan hệ mật thiết với một số đường thẳng đặc biệt khác như đường thẳng Simson, đường thẳng Steiner và đường thẳng Euler nối trực tâm, trọng tâm và tâm của đường tròn ngoại tiếp của một tam giác

Xuất phát từ thực tế giảng dạy và tìm hiểu qua các tài liệu tham khảo, tôi nhận thấy việc giảng dạy và học tập bộ môn Toán dành cho học sinh, đặc biệt

là bậc phổ thông trung học gặp rất nhiều trở ngại và khó khăn liên quan đến các bài toán có đặc trưng hình học

Với mong muốn tìm hiểu thêm về vai trò và ứng dụng của các đường thẳng đặc biệt trong chương trình toán bậc phổ thông trung học và được sự định hướng của thầy giáo hướng dẫn, PGS TS Trần Đạo Dõng, tôi đã chọn

đề tài “Các đường thẳng Euler, Simson, Steiner và ứng dụng trong hình học sơ cấp” làm đề tài luận văn thạc sỹ của mình

Trong luận văn này, trước hết chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ sở

về đường thẳng Euler, đường thẳng Simson và đường thẳng Steiner được thể hiện trong chương trình Chuyên Toán bậc phổ thông trung học Tiếp đó, chúng tôi ứng dụng để giải một số dạng bài toán liên quan trong hình học phẳng

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài là khai thác các đường thẳng đặc biệt là đường thẳng Euler, đường thẳng Steiner và đường thẳng Simson để khảo sát

một số chủ đề trong hình học thể hiện qua các dạng bài toán về quan hệ thẳng hàng, đồng quy, song song, vuông góc, xác định điểm cố định, nhằm góp phần nâng cao hiệu quả chất lượng dạy học và bổ sung tài liệu tham khảo cho giáo viên, học sinh trong chương trình phổ thông trung học

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Khai thác các đường thẳng Euler, Steiner, Simson để khảo sát các dạng toán cụ thể trong hình học thể hiện qua các bài toán về quan hệ thẳng hàng,

đồng quy, song song, vuông góc, xác định điểm cố định

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Ðối tượng nghiên cứu của đề tài là các kiến thức về đường thẳng Euler, đường thẳng Simson và đường thẳng Steiner, các ứng dụng của chúng trong việc giải một số dạng bài toán hình học phẳng

- Phạm vi nghiên cứu của đề tài là các tính chất và bài toán ứng dụng của đường thẳng Euler, đường thẳng Simson và đường thẳng Steiner trong hình học phẳng thuộc chương trình phổ thông trung học

5 Phương pháp nghiên cứu

- Tổng hợp các bài báo cáo khoa học, các chuyên đề và tài liệu của các tác giả nghiên cứu các kiến thức liên quan đến đường thẳng Euler, đường thẳng Simson và đường thẳng Steiner

-Tổng hợp các bài toán trong các đề thi học sinh giỏi liên quan đến đường thẳng Euler, đường thẳng Simson và đường thẳng Steiner, giải các bài toán đã chọn nếu chưa có lời giải tham khảo hoặc giải bằng phương pháp khác

- Trao đổi, tham khảo ý kiến của thầy hướng dẫn, các bạn đồng nghiệp

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

- Nâng cao hiệu quả dạy và học một số chủ đề cơ bản trong hình học thuộc chương trình Toán phổ thông trung học

- Phát huy tính tự học và sáng tạo của học sinh

- Ứng dụng của đường thẳng Euler, đường thẳng Simson và đường thẳng Steiner trong việc giải một số dạng bài toán hình học phẳng thuộc chưong trình phổ thông trung học

7 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, nội dung luận văn được chia làm 2 chương:

Chương 1 Các đường thẳng Euler, Steiner, Simson

Trong chương 1, luận văn trình bày các khái niệm về các đường thẳng Euler, Steiner, Simson và một số tính chất liên quan đến các đường thẳng đó

Chương 2 Các bài toán ứng dụng trong hình học sơ cấp

Trong chương 2, luận văn trình bày một số ứng dụng của các đường thẳng Euler, Steiner, Simson vào giải các bài toán hình học trong chương trình toán bậcphổ thông trung học Cụ thể là các bài toán về quan hệ thẳng hàng, đồng quy, song song, vuông góc, xác định điểmcố định, đẳng thức hình học

CHƯƠNG 1 ĐƯỜNG THẲNG EULER, ĐƯỜNG THẲNG SIMSON,

ĐƯỜNG THẲNG STEINER

Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản liên quan đến các đường thẳng Euler, Simson, Steiner để làm cơ sở cho việc ứng dụng trong chương tiếp theo Các nội dung trình bày trong chương, chủ yếu được tham khảo trong tài liệu [1], [2], [3]

1.1 ĐƯỜNG THẲNG EULER, ĐƯỜNG TRÒN EULER VÀ HỆ THỨC EULER

1.1.1 Đường thẳng Euler

Trước khi đi vào định nghĩa đường thẳng Euler, chúng ta có định lí sau:

Định lí 1.1.1.([3], đường thẳng Euler)Cho tam giác ABC nội tiếp đường

tròn tâm O Gọi H, G lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác ABC Khi đó ba điểm O, H, G thẳng hàng

Chứng minh Gọi E, F, J lần lượt là hình chiếu của A, B, C lên BC,

AC, AB

M là trung điểm BC; N là điểm đối xứng của H qua M; K là điểm đối

xứng của H qua BC

Ta đi chứng minh K, N thuộc đường tròn (ABC), thật vậy:

Vì BHK cân tại B nên KBE EBHHAF (do tứ giác AFEB nội

tiếp) Nên  KBC KAC hay KABC

Ta có tứ giác BNCH là hình bình hành (do M là trung điểm của BC

và HN)

Suy ra   BNC BHC JHF  1800JAF (do tứ giác AJHF nội tiếp)

Suy ra KN AK O AN và OA= ON

Do G là trọng tâm của ABC nên 2

3

GA

AM 

Hình 1.1

Suy ra G cũng là trọng tâm của AHN và do HO là đường trung tuyến

của AHN nên G HO

Vậy ba điểm O, H, G thẳng hàng (Điều phải chứng minh)

Định nghĩa 1.1.1.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi H,

G lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác ABC Khi đó ba điểm O,H,G

thẳng hàng và đường thẳng đi qua ba điểm đó được gọi là đường thẳng

Euler của tam giác ABC

1.1.2 Đường tròn Euler

Trước khi nói đến đường tròn Euler ta có định lí sau:

N M

Định lí 1.1.2.([3], đường tròn Euler)Trong một tam giác, các trung điểm

của các cạnh, các chân đường cao, các trung điểm các đoạn thẳng nối từ trực tâm tới mỗi đỉnh của tam giác điều thuộc một đường tròn

Chứng minh Để chứng minh định lí trên chúng ta phát biểu và chứng

minh bổ đề sau:

Bổ đề:Cho tam giác ABC có H là trực tâm Gọi A’, B’, C’ lần lượt là

hình chiếu của A, B, C lên BC, CA, AB Gọi M là trung điểm của BC; E là trung điểm của HA Khi đó M và E nằm trên đường tròn ngoại tiếp A’B’C’

Chứng minh bổ đề

Hình 1.2

Ta có tứ giác BC’B’C nội tiếp đường tròn đường kính BC tâm M

C’HA’B nội tiếp đường tròn đường kính BH tâm F

A’C’AC nội tiếp đường tròn đường kính AC tâm N

AC’HB’ nội tiếp đường tròn đường kính AH tâm E

P

N A

B

C

Ta có   EB H EHB B CA'  ' ' ' (tính chất đường tròn nội tiếp nên cùng chắn

Từ (1.2) và (1.3) suy ra tứ giác C’MB’E nội tiếp đường tròn (1.4)

Từ (1.1) và (1.4) suy ra điều phải chứng minh

Chứng minh định lí 1.1.2

Gọi F, K, N, P lần lượt là trung điểm của BH, HC, AC và AB

Khi đó lập luận tương tự thì ta có F K N P , , ,  ( ' ' ') A B C

Do đó E, P, M, N, K, F thuộc (A’B’C’) (Điều phải chứng minh)

Định nghĩa 1.1.2.Cho một tam giác, khi đó các trung điểm của các

cạnh, các chân đường cao, các trung điểm của các đoạn thẳng nối từ trực tâm tới mỗi đỉnh của tam giác điều thuộc một đường tròn Đường tròn đó được gọi là đường tròn Euler hay đường tròn 9 điểm của tam giác đó

Tiếp theo, chúng ta sẽ xét một số tính chất của đường thẳng Euler và đường tròn Euler

1.1.3 Một vài tính chất

Tính chất 1.1.1.Cho tam giác ABC Gọi G, O, H lần lượt là trọng tâm, tâm

đường tròn ngoại tiếp và trực tâm của tam giác ABC thì ta có OH = 3OG

Chứng minh

Kéo dài AO cắt (O) tại D

Ta có ACD900CD AC

Do BH AC

Hay OH=3OG

Tính chất 1.1.2 Tâm đường tròn Euler của tam giác nằm trên đường

thẳng Euler của tam giác đó và là trung điểm của đoạn thẳng nối trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

D O A

của AH, BH, CH; A’, B’, C’ lần lượt là chân đường cao từ A, B, C của tam giác ABC

Gọi I, H, O, G lần lượt là tâm đường tròn Euler, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm của tam giác ABC A 1 là điểm đối xứng cua A qua

O; M, N lần lượt là trung điểm của BC và AC; E, F, K lần lượt là trung điểm

của AH, BH, CH; A’, B’, C’ lần lượt là chân đường cao từ A, B, C của tam giác ABC

Hình 1.4

Theo hình 1.4 ta có OM // EH (vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam

giác nênOBC cân)

Do O là trung điểm AA1

2

Khi đó tứ giác EHMO là hình bình hành

Do I là trung điểm EM nên I là trung điểm HO

Mặt khác do EA’M vuông tại A’ nên I là tâm đường tròn Euler của

ABC

Vậy I HO và HI = IO (điều phải chứng minh)

N I

F

E

K

G H

M

C'

A'

A1 O

A

Tiếp theo chúng ta hãy xét một định lí thường hay áp dụng vào các bài toán liên quan đến đường thẳng và đường tròn Euler, đó là định lí Euler

1.1.4 Định lí Euler

Định lí 1.1.3 ([1], định lí)Cho ABC có đường tròn ngoại tiếp (O,R) và đường tròn nội tiếp (I ,r) Khi đó OI2 R2  2Rr Hệ thức này được gọi là hệ thức Euler của ABC

CIM ICA BCM ICM

M

I O A

B

C

Từ (1.5) và (1.6) ta có 2Rr = AI.MI

Giả sử OI cắt đường tròn (O) tại E và F Khi đó

AI.IM = IE.IF = (R+OI)(R - OI) = R 2 - OI 2

Vậy 2Rr = R 2 - OI 2 và suy ra điều phải chứng minh

Áp dụng phép chứng minh tương tự như trên, chúng ta có các hệ quả sau:

Hệ quả 1.1.1.Cho ABC có đường tròn ngoại tiếp (O,R) và đường tròn bàng tiếp góc A có tâm J và bán kính R A thì ta có OJ2 R2 2RR A

Hệ quả 1.1.2.Cho R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội

tiếp của một tam giác Khi đó khoảng cách d giữa hai tâm của hai đường tròn này xác định bởi d2  R2  2 Rr

Hệ quả 1.1.3.Xét đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của ABC Lấy A 1 tùy ý trên đường tròn ngoại tiếp và dựng các dây A 1 B 1 ; B 1 C 1 sao cho cả hai điều là tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp thì ta có C 1 A 1 cũng là tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp

Chúng ta đã có một tính chất rất hay liên quan đến trực tâm, trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của một tam giác Một câu hỏi đặt ra là nếu tam giác đó cũng nội tiếp trong đường tròn và một điểm nằm trên đường tròn mà

kẻ các đường thẳng vuông góc với các cạnh của một tam giác thì điều gì xảy ra? Để giải quyết vấn đề đó, một định lí được nhiều người biết đến trong hình học phẳng, đó là định lý về đường thẳng Simson hay đường thẳng Wallace - Simson

Vào thế kỷ XIX, người ta cho rằng định lí này thuộc về nhà toán học người Scolland là Robert Simson (1687 - 1768) và tên của ông được đặt cho định lí này Nhưng bằng các cuộc khảo sát và điều tra của J.S Mackay thì định

lí này không nằm trong bất kỳ công trình nào của Simson và cũng không có bằng chứng nào chứng tỏ định lí này thuộc về ông Theo Mackay thì định lí này được khám phá lần đầu bởi William Wallace nên nhiều nhà toán học đã

bỏ qua cái tên quen thuộc là đường thẳng Simson mà thay vào đó là đường thẳng Wallace Hiện nó được gọi là đường thẳng Wallace - Simson Định lý

về đường thẳng này được phát biểu cụ thể ở phần tiếp theo sau đây

1.2 ĐƯỜNG THẲNG SIMSON

1.2.1 Định nghĩa

Trước khi nói đến định nghĩa đường thẳng Simson, ta có các định lí sau:

Định lí 1.1.4.([2], đường thẳng Simson)Cho tam giác ABC và một điểm

M nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác Các hình chiếu của M lên các cạnh AB, BC, CA sẽ nằm trên một đường thẳng

Chứng minh

Gọi D, E, F là hình chiếu của M lần lượt lên BC, AC, AB

Nếu M trùng vào một đỉnh nào đó của tam giác thì điều phải chứng minh

Và FMB BME FAE    1800

 

Suy ra EMC FMB  (1.8)

Từ (1.7) và (1.8) suy ra   Hay F, D, E thẳng hàng

Định lí 1.1.5.(Định lí đảo của Định lí 1.1.4) Cho tam giác ABC và điểm

M sao cho hình chiếu của M xuống các cạnh của tam giác ABC nằm trên một đường thẳng thì M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác đó

Chứng minh

Ta có  BDF EDC (do F, D, E thẳng hàng)

Ta cũng có tứ giác BDMF, CMDE, AFME nội tiếp nên

Do  FAE FME 1800  BAC FMB BME  1800

Từ (1.7) suy ra   BAC EMC BME  1800

Hay A, B, M, C nội tiếp đường tròn

Định nghĩa đường thẳng Simson

Định nghĩa 1.1.3: Cho tam giác ABC và một điểm M nằm trên đường

tròn ngoại tiếp của tam giác Các hình chiếu của M lên các cạnh AB, BC, CA

sẽ nằm trên một đường thẳng và đường thẳng đó được gọi là đường thẳng Simson của M đối với tam giác ABC Kí hiệu S M (ABC)

Tiếp theo chúng ta sẽ xét một số tính chất quan trọng liên quan đến đường thẳng Simson sau đây:

Suy ra BFD BMD    (vì cùng chắn cung BD)

Hơn nữa BMD NAB  (vì cùng chắn cung BN)

Khi đó  NAB BFD  NA S/ / MABC (so le trong)

Hình 1.7

Tính chất 1.1.4.Nếu H là trực tâm của ABC và M là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác thì đường thẳng S M (ABC) đi qua trung điểm của HM

F

A

M

Gọi A’ là hình chiếu của O lên BC; I là giao điểm AH với BC; J là trung điểm AH

XétGOA' và GHA có góc G đối đỉnh và  HAG GA O ' (so le trong) Suy ra GOA' đồng dạng GHA.

OA  AH hay OA ' HJ Khi đó GOA' đồng dạng GHA

Hơn nữa OM= R nên N thuộc đường tròn Euler của tam giác ABC

Tính chất 1.1.6.Gọi M, N là một điểm bất kỳ trên đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC sao cho AN và AM là hai đường đẳng giác của ABC suy ra AN

 S M (ABC)

N

G O' J

A' I

H D

E

F

O A

M

Chứng minh

Trước hết ta nhắc lại: “Hai đường thẳng đẳng giác của một góc là hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và đối xứng qua đường phân giác của góc đó”

Gọi S là chân đường phân giác của BAC

Ta có tứ giác DECM nội tiếp đường tròn

Tính chất 1.1.7.Gọi N là hai điểm bất kỳ trên đường tròn (ABC) Khi đó

ta có góc giữa hai đường thẳng S N (ABC), S M (ABC) bằng 1

D

E F

O A

M

K là giao điểm của S M (ABC) với S N (ABC)

I là hình chiếu của K lên BC ( Xem Hình 1.10)

Ta có tứ giác MEBF và NHCJ nội tiếp đường tròn nên ta có góc

S ABC S ABC FKJ FKI IKJ 

2MON



Hình 1.10

Hệ quả 1.1.4.Nếu M và N là hai điểm đối xứng qua tâm O của đường

tròn ngoại tiếp tam giác ABC (M, N thuộc (O)) thì S M (ABC)  S N (ABC)

Hệ quả 1.1.5 Với hai điểm khác nhau trên đường tròn ngoại tiếp tam

giác ABC thì phương của hai đường thẳng Simson của hai điểm đó cũng khác nhau

Qua định lí trên ta thấy rằng nếu lấy một điểm bất kỳ nằm trên đường tròn, sao cho từ đó dựng các đường thẳng vuông góc tới các cạnh của tam giác nội tiếp đường tròn thì các điểm hình chiếu đó cùng thuộc một đường thẳng Vậy nếu từ điểm đã cho lấy đối xứng qua các cạnh thì sẽ như thế nào? Câu hỏi được giải quyết thông qua một đường thẳng đặc biệt trong hình học

phẳng, đó là đường thẳng Steiner Đường thẳng này được trình bày ở phần tiếp theo sau đây

1.3 ĐƯỜNG THẲNG STEINER VÀ ĐIỂM ANTI-STEINER

1.3.1 Đường thẳng Steiner

Trước khi đi đến định nghĩa đường thẳng Steiner ta có định lí sau:

Định lí 1.1.6 ([2], đường thẳng Steiner)Cho tam giác ABC và một điểm

M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác đó Gọi A’, B’ ,C’ lần lượt là các điểm đối xứng của M qua BC, CA, AB Khi đó ba điểm A’, B’, C’ thẳng hàng

Định nghĩa đường thẳng Steiner

Định nghĩa 1.1.4.Cho tam giác ABC và một điểm M nằm trên đường

tròn ngoại tiếp tam giác đó Gọi A’, B’,C’ lần lượt là các điểm đối xứng của

M qua BC, CA, AB Khi đó ba điểm A’, B’, C’ thẳng hàng và đường thẳng đi qua ba điểm đó được gọi là đường thẳng Steiner

E D

F

B'

A' C'

O A

B

C

M

Sau đây chúng ta có một số tính chất liên quan đến đường thẳng Steiner

như sau:

1.3.2 Một số tính chất

Tính chất 1.1.8.Cho điểm M thuộc đường tròn (ABC) Khi đó đường

thẳng Steiner và đường thẳng Simson cuả M với tam giác ABC song song

nhau và phép vị tự tâm M tỉ số 1

2 biến đường thẳng Simson thành đường

thẳng Steiner

Chứng minh

Gọi E, D, F lần lượt là hình chiếu của M lên AC, BC, AB

Ký hiệu A’, B’, C’ lần lượt là các điểm đối xứng của M qua BC, AC, AB

Hình 1.12

Ta có F, D lần lượt là trung điểm C’M, A’M nên FD//C’A’ (1.12)

Từ (1.12) và (1.13) ta có EF // B’C’ (do F, D, E thẳng hàng) (1.14) Hơn nữa ta có

1' '

1

' '2

F

B'

A' C'

O A

M

Tính chất 1.1.9.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O và điểm M

thuộc (O) Khi đó đường thẳng Steiner của tam giác ABC luôn đi qua một điểm cố định

Chứng minh

Gọi: H là trực tâm của  ABC

N là giao điểm của MA’ với (O)

H’ là giao điểm của AH với (O)

Hơn nữa, H’ là điểm đối xứng của H qua BC Thật vậy:

Gọi H’’ là điểm đối xứng của H qua BC

Khi đó BHH" cân tại B

B' A'

C'

O A

M

MH’ là đoạn thẳng đối xứng HA’ qua BC nên   H MN HA M'  ' (1.17)

Từ (1.16) và (1.17) suy ra  ANM HA M ' AN / /HA' (1.18)

Hơn nữa, theo Tính chất 1.3.3 thì

EF//B’C’ và A’, B’, C’ thẳng hàng (1.19)

Từ (1.18) và (1.19) suy ra H  B’C’

Vậy đường thẳng Steiner luôn đi qua điểm H (cố định) là trực tâm của

tam giác ABC

Chú ý:

Trở lại tính chất 1.1.4, từ tính chất trên ta có trực tâm H thuộc đường thẳng Steiner và theo tính chất 1.1.8 đường thẳng Simson song song với

đường thẳng Steiner (qua phép vị tự tâm M tỉ số 1

2) nên suy ra trung điểm

của MH thuộc đường thẳng Simson

Tiếp theo chúng ta sẽ xét một định lí liên quan đến đường thẳng Steiner như sau:

1.3.3 Điểm Anti-Steiner

Định lí 1.1.7 ([2])(Định lí Collings hay điểm Anti-Steiner) Cho d là một

đường thẳng qua H, gọi d 1 , d 2 , d 3 là các đường thẳng đối xứng của d lần lượt qua BC, CA, AB Khi đó d 1 ,d 2 ,d 3 đồng quy tại một điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Điểm M được gọi là điểm Anti - Steiner của d đối với tam giác ABC

Chứng minh

Gọi M là giao điểm d 1 và d 2

AH, BH cắt (ABC) tại H a , H b khi đó d 1 , d 2 luôn luôn đi qua H a và H b(vì

d 1 đối xứng d qua BC và H và H a cũng đối xứng qua BC)

Gọi N là giao điểm của d 2 với d

Suy ra M thuộc (ABC)

Tương tự, giao điểm M’ của d 1 với d 3 cũng thuộc (ABC)

Do đó d 1 , d 2 , d 3 đồng quy tại một điểm thuộc (ABC)

Chú ý: Kết hợp với tính chất 1.1.3 ta có: Nếu M là điểm Anti-Steiner của d

với tam giác ABC và đường thẳng qua M vuông góc BC cắt (ABC) tại Q thì

AQ // d

Chúng ta đã giới thiệu xong các khái niệm và tính chất cơ bản về ba đường thẳng Euler, Simson, Steiner Trong chương tiếp theo chúng ta sẽ ứng dụng ba đường thẳng đó để giải một số dạng toán trong hình học liên quanđến các đường thẳng đặc biệt này

M

Hb A

N

CHƯƠNG 2 CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số ứng dụng của các đường thẳng Euler, Steiner, Simson vào giải các bài toán hình học trong chương trình toán bậc phổ thông trung học liên quan đến quan hệ thẳng hàng, đồng quy, song song, vuông góc, xác định điểm cố định, đẳng thức hình học Các kiến thức trình bày trong chương chủ yếu được tham khảo từ các tài liệu [1], [2], [3] và [4]

2.1 ỨNG DỤNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG EULER VÀ ĐƯỜNG TRÒN EULER

2.1.1 Các bài toán về đẳng thức, quan hệ hình học

Trong phần này, chúng tôi trình bày một số bài toán chủ yếu liên quan đến công thức Euler

Phương pháp

Bước 1: Khai thác, phân tích giả thiết và kết luận để tìm mối liên hệ với

các tính chất của đối tượng dự định ứng dụng trong đường thẳng hay đường tròn Euler

Bước 2: Ứng dụng để tìm ra lời giải bài toán

Các bài toán minh họa

Bài toán 1 [4].Cho tam giác ABC có BAC 90 0 AB AC nội tiếp

trong (O;R).Đường tròn nội tiếp tâm I,bán kính r Đường tròn bàng tiếp góc

A có bán kính R A Gọi M là điểm chính giữa cung lớn BC của (O) Chứng minh rằng

MA.MI=R(R A +r)

Phân tích và định hướng

Bài toán có đường tròn nội tiếp và đường tròn bàng tiếp nên chúng ta liên tưởng đến tam giác vuông cân Sau đó, sử dụng hệ thức Euler để đi đến điều cần phải chứng minh

Suy ra BIM cân tại M nên BM=IM

Mà IBJ vuông tại B nên M là trung điểm của IJ

M O

J

C A

B

MA MI MA

  (do  AOM cân tại O)

Từ (2.1) suy ra 2MI.MA=2R(R A +r)  MI.MA=R(R A +r)(Điều phải

chứng minh)

Bài toán 2: (Tạp chí Crux Mathematicorum, 1976) [4]

Chứng minh rằng trong tam giác bất kỳ, đường tròn Euler tiếp xúc với đường tròn nội tiếp

Phân tích và định hướng cách giải

Việc chứng minh bài toán có liên quan đến đường tròn nội tiếp nên ta cần có một số tính chất và áp dụng định lí Euler để thu được kết quả Ta cũng biết rằng hai đường tròn tiếp xúc với nhau nếu “khoảng cách hai tâm bằng tổng hai bán kính (nếu tiếp xúc ngoài) hoặc hiệu của hai bán kính (nếu tiếp xúc trong)”

Bổ đề 3: Trong một tam giác bất kì, bình phương khoảng cách từ tâm

đường tròn nội tiếp đến trọng tâm của tam giác đó luôn bằng

B

C

IG  p  r  Rr (điều phải chứng minh)

Trở lại bài toán

Hình 2.3

Gọi O, I, G, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp, trọng tâm

và trực tâm của tam giác ABC

E là tâm đường tròn Euler của tam giác ABC

Suy ra 2 1 2 2 2 2

2

EI  OI OG  GE  GI (2.4) Theo bổ đề 3 ta có 2 1 2 2 

bằng R nên đường tròn nội tiếp tiếp xúc với đường tròn Euler

Bài toán 3 (Dự tuyển IMO, 1996) [1]

Cho tam giác ABC có các cạnh không bằng nhau, gọi các điểm G, I, H lần lượt là trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp và trực tâm của tam giác đó Chứng minh rằng góc GIH là góc tù

Phân tích và định hướng

Chúng ta đã biết rằng tích vô hướng của hai vectơ dương thì góc của chúng lớn hơn 900 và ngược lại thì nhỏ hơn 900 nên ta áp dụng vào bài toán này

Bài giải

Sử dụng công thức Euler d2  R2 2 Rr và d=OI

Theo bài toán 2 đường tròn nội tiếp, tiếp xúc với đường tròn Euler thì ta có

Do R>2r nên suy ra GIH  0 GIH 90 0

Nhận xét: Qua một số bài toán minh họa ở trên ta thấy ứng dụng định lí

Euler để giải quyết là rất hay, đặc biệt những bài toán về tam giác Qua đây, chúng ta cũng nên lưu ý đến đường thẳng Euler và tính chất liên quan, để vận dụng vào những bài toán khác

2.1.2 Các bài toán về quan hệ thẳng hàng và đồng quy

Trong phần tiếp theo này chúng tôi trình bày các bài toán vận dụng kiến thức về thẳng hàng và đồng quy đã biết để giải quyết một số bài toán liên quan đến đường thẳng Euler được thể hiện cụ thể như sau

Phương pháp

Bước 1: Khai thác, phân tích giả thiết và kết luận để tìm mối liên hệ với

các tính chất của đối tượng dự định ứng dụng trong đường thẳng hay đường tròn Euler

Bước 2: Vận dụng các kiến thức thẳng hàng đồng quy đã biết và ứng

dụng đường thẳng Euler hay đường tròn Euler để tìm ra lời giải cho bài toán Một số bài toán minh họa

Bài toán 4 (Tạp chí Komal, bài A, 323, 2003)

Gọi I là điểm đẳng giác của tam giác ABC (tức là I nằm trong tam giác ABC và thỏa mãn   AIB BIC CIA  1200) Chứng minh rằng ba đường thẳng Euler của các tam giác ABI; BCI; CAI đồng quy

Phân tích và định hướng bài toán

Đối với bài toán này thông qua hình vẽ ta thấy rằng ba đường thẳng Euler đó đồng quy tại trọng tâm của tam giác ABC

Do tính đối xứng nên ta chỉ cần chứng minh cho đường thẳng Euler của

tam giác AIC là đủ

Bài giải

Gọi B’ là điểm nằm ngoài  ABC thỏa  ACB’ là tam giác đều

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ACB’



Suy ra tứ giác AB’CI nội tiếp đường tròn

Nên O chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AIC

Gọi M là trung điểm của AC, G là trọng tâm  ABC, G’ là trọng tâm của tam giác AIC

Hay đường thẳng Euler OG’ của  AIC đi qua G là trọng tâm của 

ABC (điều phải chứng minh)

Bài toán 5 [3]

Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’ Chứng minh rằng các đường thẳng Euler của tam giác AB’C’; CA’B’; BA’C’ đồng quy

Phân tích và định hướng bài toán

Gọi O a, O b, O c lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác AB’C’,

BA’C’, CA’B’ còn H a , H b, H c là trực tâm của các tam giác đó theo thứ tự Gọi

S là giao điểm O a H a và O b H b Ta dự đoán S nằm trên đường tròn Euler của tam giác ABC Khi đó ta đến cần chứng minh rằng các đường thẳng Euler của

các tam giác trên điều đồng quy tại một điểm thuộc đường tròn Euler của tam

Hc Ha

Oc Ob

Oa C'

Hơn nữa theo tính chất đường trung bình thì O O Oa c b C

Do đó O SOa b  180 0 O O Oa c b

Suy ra tứ giác SO a O b O c nội tiếp hay S thuộc đường tròn Euler của 

ABC

Gọi S’ là giao điểm của OaHa và OcHc Lập luận tương tự như trên ta

cũng có S’ nằm trên đường thẳng Euler của ABC nên S S’

Do đó O a H a , O c H c cắt nhau tại S khi đó O a H a , O b H b, O c H c đồng quy tại một điểm nằm trên đường tròn Euler của ABC

Tiếp theo chúng ta xét đến dạng bài toán vận dụng tính chất trọng tâm và tính chất đường thẳng Euler để giải quyết, được thể hiện trong bài toán sau

Bài toán 6

Cho ABC có G là trọng tâm, H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Gọi P là điểm đối xứng của H qua O Gọi G 1 , G 2 , G 3 lần lượt là trọng tâm của các PBC,PAC, PAB Chứng minh rằng G 1 A =G 2 B=

Hình 2.8

G1 G

M

P A