Các định lý cổ điển và ứng dụng trong hình học sơ cấp

Trong chương trình toán phổ thông, chúng ta thường gặp các bài toán như chứng minh sự thẳng hàng của các điểm, chứng minh các đường thẳng đồng quy, bài toán dựng hình,… Có thể sử dụng cá

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG

Đà Nẵng - Năm 2013

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Các kết quả, số liệu nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận văn

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu của đề tài 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài 2

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 3

7 Cấu trúc luận văn 3

CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU VỀ HÌNH HỌC SƠ CẤP VÀ CÁC ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN 4

1.1 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA, ĐỊNH LÝ VÀ TÍNH CHẤT 4

1.1.1 Tứ giác toàn phần 4

1.1.2 Tỉ số kép, hàng điểm điều hòa và chùm điều hòa 4

1.1.3 Đường tròn trực giao 5

1.1.4 Hai điểm liên hợp 6

1.1.5 Cực và đối cực của một điểm đối với đường tròn 6

1.1.6 Định lý Thales trong tam giác 7

1.2 CÁC ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN 7

1.2.1 Định lý Menelaus 7

1.2.2 Định lý Ceva 9

1.2.3 Định lý Desargues 11

1.2.4 Định lý Pascal 13

1.2.5 Định lý Brianchon 15

1.2.6 Định lý Pappus 17

1.3 CÁC ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN THEO QUAN ĐIỂM CỦA HÌNH HỌC XẠ ẢNH 18

1.3.1 Một số kiến thức về không gian xạ ảnh và hình học xạ ảnh 18

1.3.2 Các định lý cổ điển theo quan điểm của hình học xạ ảnh 24

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP 32

2.1 ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ MENELAUS 32

2.1.1 Một số bài toán minh họa 32

2.1.2 Một số bài toán tham khảo 36

2.2 ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ CEVA 36

2.2.1 Một số bài toán minh họa 37

2.2.2 Một số bài toán tham khảo 41

2.3 ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ DESARGUES 42

2.3.1 Một số bài toán minh họa 43

2.3.2 Một số bài toán tham khảo 46

2.4 ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL 46

2.4.1 Một số bài toán minh họa 47

2.4.2 Một số bài toán tham khảo 51

2.5 ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ BRIANCHON 52

2.5.1 Một số bài toán minh họa 52

2.5.2 Một số bài toán tham khảo 54

2.6 ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PAPPUS 55

2.6.1 Một số bài toán minh họa 55

2.6.2 Một số bài toán tham khảo 57

2.7 ỨNG DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN THEO QUAN ĐIỂM XẠ ẢNH 57

2.7.1 Các bài toán của hình học sơ cấp có đặc trưng xạ ảnh 58

2.7.2 Các bài toán affine, Euclide của hình học sơ cấp 70

KẾT LUẬN 79

TÀI LIỆU THAM KHẢO 80 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (bản sao)

Trong chương trình toán phổ thông, chúng ta thường gặp các bài toán như chứng minh sự thẳng hàng của các điểm, chứng minh các đường thẳng đồng quy, bài toán dựng hình,… Có thể sử dụng các phương pháp của hình học phẳng để giải các bài toán trên Chẳng hạn, để chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta có thể chứng tỏ các vectơ được tạo bởi ba điểm đó cùng phương Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy, chúng ta có thể chỉ ra hai trong ba đường thẳng đó cắt nhau tại một điểm và đường thẳng thứ ba đi qua giao điểm này Nhưng trong một số trường hợp việc sử dụng các phương pháp nêu trên để giải gặp nhiều khó khăn

Ở bậc phổ thông, học sinh đã biết chứng minh ba điểm thẳng hàng, hoặc

ba đường thẳng đồng quy bằng cách áp dụng các định lý cổ điển như định lý Menelaus, định lý Ceva [2, tr.19-24] Ngoài các định lý trên, chúng ta còn có thể sử dụng các định lý cổ điển như định lý Desargues, định lý Pascal, định lý Brianchon, định lý Pappus, …Tuy nhiên, trong khuôn khổ có hạn của chương trình hình học phổ thông, học sinh chưa có điều kiện để tìm hiểu sâu rộng về các định lý này

Nhằm mục đích tìm hiểu về các định lý cổ điển, về vai trò của chúng trong hình học sơ cấp Mong muốn bổ sung, hoàn thiện kiến thức để phục vụ trong công tác giảng dạy, bồi dư ng học sinh phổ thông và được sự gợi ý,

2

hướng d n của Thầy PGS.TS Trần Đạo D ng, tôi đã chọn đề tài Các định lý

cổ điển và ứng dụng trong hình học sơ cấp làm đề tài nghiên cứu cho luận văn của mình

2 Mục đích nghiên cứu của đề tài

Mục đích của đề tài nhằm nghiên cứu về các định lý cổ điển và ứng dụng vào giải toán sơ cấp trong chương trình toán phổ thông

Để đạt được mục đích nêu trên, luận văn tập trung khảo sát các định lý

cổ điển như định lý Menelaus, định lý Ceva, định lý Desargues, định lý Pascal, định lý Brianchon, định lý Pappus, … và ứng dụng vào giải một số dạng toán trong hình học sơ cấp

3 Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài

Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài là trình bày và chứng minh một số

định lý cổ điển theo quan điểm của hình học phẳng và hình học xạ ảnh Từ đó đưa ra các ứng dụng của các định lý vào giải các bài toán của hình học sơ cấp

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các định lý cổ điển và ứng dụng các định lý trong giải toán hình học sơ cấp

Phạm vi nghiên cứu gồm nh ng vấn đề thuộc chương trình toán hình học

ở bậc phổ thông Vận dụng các định lý cổ điển vào giải các bài toán trong chương trình toán phổ thông, các đề thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế

5 Phương pháp nghiên cứu

- Tham khảo các tài liệu và hệ thống hóa các kiến thức liên quan đến nội dung nghiên cứu của đề tài

3

- Thu thập các dạng toán trong chương trình phổ thông có liên quan đến

đề tài, các bài toán trong các kì thi học sinh giỏi, thi Olympic toán,…

- Tổng quan tài liệu và thể hiện tường minh các kết quả đạt được trong luận văn

- Trao đổi, thảo luận các kết quả nghiên cứu tại các buổi seminar với giáo viên hướng d n

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Luận văn đã trình bày các định lý cổ điển theo mạch kiến thức r ràng Làm sáng tỏ ứng dụng của các định lý cổ điển vào khảo sát các đối tượng hình học, đặc biệt là ứng dụng vào giải các bài toán sơ cấp Luận văn có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh ở bậc phổ thông có nhu cầu nghiên cứu sâu về các định lý này

7 Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm phần mở đầu, phần kết luận và có hai chương:

- Chương 1 Giới thiệu về hình học sơ cấp và các định lý cổ điển

Chương này giới thiệu các khái niệm, định lý và tính chất cơ bản của hình học sơ cấp Trình bày nội dung và chứng minh các định lý cổ điển theo quan điểm của hình học phẳng và hình học xạ ảnh

- Chương 2 Ứng dụng các định lý cổ điển vào giải toán sơ cấp

Chương này trình bày các ứng dụng của các định lý cổ điển vào giải các bài toán hình học sơ cấp Vận dụng các định lý cổ điển theo quan điểm của hình học phẳng và theo quan điểm của hình học xạ ảnh để giải các bài toán sơ cấp Các bài toán được hệ thống mạch lạc theo từng định lý

1.1 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA, ĐỊNH LÝ VÀ TÍNH CHẤT

1.1.1 Tứ giác toàn phần

được tạo nên bởi bốn đường thẳng, từng đôi một cắt nhau nhưng không có ba đường thẳng nào đồng quy

Một hình tứ giác toàn phần có 4 cạnh là 4 đường thẳng, 6 đỉnh là 6 giao điểm và 3 đường chéo là 3 đoạn thẳng đi qua hai đỉnh đối diện (hai đỉnh không thuộc một cạnh)

Ví dụ: Trên hình ta có một tứ giác toàn phần với bốn

cạnh là AC', B C' ',CA, BC Sáu đỉnh là A, B,C, A', B',C'

Ba đường chéo là AA',BB',CC'

1.1.2 Tỉ số kép, hàng điểm điều hòa và chùm điều hòa

phân biệt và một số thực k 1 ĐiểmM chia đoạn AB theo tỉ số k nếu điểm

C'

B'

C B

tự gọi là một hàng điểm điều hòa nếu ABCD 1.

Định nghĩa 1.5 (Chùm đường thẳng) Chùm đường thẳng là một tập

hợp gồm tất cả các đường thẳng trong mặt phẳng cùng đi qua một điểm Điểm

đó gọi là tâm của chùm

Kết quả dưới đây cho một tính chất quan trọng của chùm đường thẳng

Định lý 1.1 ([7]) Một chùm bốn đường thẳng cắt một cát tuyến thay đổi

theo một hàng điểm có tỉ số kép không đổi

1.1.3 Đường tròn trực giao

Định nghĩa 1.6 (Đường tròn trực giao) Hai đường tròn gọi là trực giao

với nhau tại một điểm chung A của chúng, nếu hai tiếp tuyến ở A của hai

đường tròn đó vuông góc với nhau

Hình 1.2

B

A

6

1.1.4 Hai điểm liên hợp

với nhau đối với đường tròn O nếu đường tròn đường kính MN trực giao

với đường tròn O

Ta có kết quả sau về tập hợp các điểm liên hợp với một điểm cho trước

hợp các điểm N sao cho M v N liên hợp với nhau đối với đường tròn à,

O R là một đường thẳng vuông góc với OM, ký hiệu d M

1.1.5 Cực và đối cực của một điểm đối với đường tròn

Định nghĩa 1.8 (Cực và đối cực của một điểm đối với đường tròn)

Cho đường tròn O R và một điểm , M khác O Ta gọi đường thẳng d M

trong mệnh đề 1.1 là đường đối cực của điểm M và điểm M là cực của đường thẳng d đối với đường tròn M O R ,

Ta có các kết quả sau liên quan đến cực điểm và đường đối cực

Định lý 1.2 (Định lý La Hire) ([7]) Đối với một đường tròn cho trước,

nếu đường đối cực của điểm A đi qua điểm B thì đường đối cực của điểm B

đi qua điểm A

Định lý 1.3 Đối với một đường tròn cho trước, các đường đối cực của

các điểm thẳng hàng thì đồng quy và các cực của các đường thẳng đồng quy thì thẳng hàng

đường thẳng b, nghĩa là các điểm A i b với i 1, 2, ,n thì điểm B thuộc các đường thẳng a với i i 1, 2, ,n Trong đó, điểm B là cực của đường thẳng b, a là các đường đối cực của các điểm i A Vậy các đường đối cực của i

các điểm A đều đồng quy tại điểm B

1.1.6 Định lý Thales trong tam giác

Định lý 1.4 (Định lý Thales thuận) ([4]) Nếu một đường thẳng song

song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó nh ng đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

Định lý 1.5 (Định lý Thales đảo) ([4]) Nếu một đường thẳng cắt hai

cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này nh ng đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác

Điều kiện cần Giả sử ba điểm ', ', ' A B C thẳng hàng thuộc đường thẳng

Từ ba đỉnh , ,A B C vẽ ba đường thẳng song song tùy ý lần lượt cắt đường

thẳng tại A B C Theo định lý Thales ta có 1, 1, 1

Điều kiện đủ Giả sử với tam giác ABC ta có

hệ thức (1.1) Trước hết ta chứng minh rằng đường

thẳng B C' ' phải cắt đường thẳng BC Thực vậy, nếu

A

A'

Giả sử hai đường thẳng BB CC cắt nhau tại ', '

điểm M thì đường thẳng AM phải cắt BC Vì nếu

Vậy đường thẳng AM phải cắt BC tại một điểm A 1

Theo điều kiện cần ta có hệ thức 1

AC A C , điều này chứng tỏ A 1

trùng với A' Vậy ta có A A BB CC đồng quy ', ', ' □

Hình 1.7 Hình 1.6

M C'

11

lấy các điểm A B C Các đường thẳng 1, 1, 1 AA BB CC đồng quy tại một điểm 1, 1, 1khi

Định lý 1.9 (Định lý Desargues) Trong mặt phẳng, cho hai tam giác

điểm khi và chỉ khi giao điểm của các cặp đường thẳng BC và B C' ',

12

Chứng minh

Gọi giao điểm của các cạnh tương ứng là

1 1 1

' '' '' '

Ta có, AB cắt A B' ' tại C , 1 AC cắt A C' '' tại B (do ,1 A C C thẳng ', ''hàng), suy ra các giao điểm A của 1' BC v B C phải thuộc à ' '' B C Tức là, 1 1 A 1'

là giao của B C và 1 1 BC, vậy A trùng với 1' A Suy ra 1 C'' trùng với C', hay các đường thẳng A A BB CC đồng quy ', ', ' □

1.2.4 Định lý Pascal

Định lý 1.10 (Định lý Pascal) Nếu một hình lục giác nội tiếp trong một

đường tròn (các đỉnh của lục giác nằm trên đường tròn) thì ba giao điểm của các cặp cạnh đối diện sẽ nằm trên một đường thẳng (đường thẳng này gọi là đường thẳng Pascal)

Chứng minh

Giả sử ABCDEF là một lục giác nội tiếp trong một đường tròn Các cặp cạnh đối diện là AB v DE BC v E F CD v FA cắt nhau theo thứ tự à , à , à', ', '

''

Nhận xét 1.2 Định lý Pascal v n đúng trong trường hợp lục giác suy

biến thành ngũ giác, tứ giác hoặc tam giác Khi đó, ta xem cạnh do một cặp, hai cặp hay ba cặp đỉnh trùng nhau là tiếp tuyến tại các cặp điểm trùng nhau

F

15

Các trường hợp đặc biệt của định lý Pascal được minh họa trong các hình sau:

1.2.5 Định lý Brianchon

Định lý 1.11 (Định lý Brianchon) Nếu một hình lục giác ngoại tiếp

một đường tròn (các cạnh của lục giác tiếp xúc với đường tròn) thì các đường thẳng nối các đỉnh đối diện của lục giác đó đồng quy tại một điểm (Điểm này được gọi là điểm Brianchon)

Chứng minh

Giả sử ABCE F là một lục giác ngoại tiếp đường tròn

Các cạnh AB BC CD DE E F FA lần lượt tiếp xúc với đường tròn tại , , , , ,các điểm A B C D E F 1, 1, 1, 1, 1, 1

Các đường thẳng A B BC C D D E E F F A theo thứ tự là các 1 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 1đường đối cực của các điểm , , , , ,B C D E F A Theo định lý Pascal, lục giác

1 1 1 1 1 1

A BC D E F nội tiếp đường tròn nên có ba cặp cạnh đối diện là

Hình 1.12

d) c)

b) a)

A' B'

B'

A'

B' C'

AB

F DE

C

C'

AB

CD EF

A' B' C'

16

1 1 à 1 1, 1 1 à 1 1, 1 1 à 1 1

A B v E D BC v E F C D v F A cắt nhau theo nh ng giao điểm thẳng

hàng Các giao điểm này là cực của các đường thẳng BE CF DA , ,

Theo định lý 1.3, các đường thẳng này đồng quy tại một điểm □

Các trường hợp đặc biệt của định lý Brianchon:

Chúng ta có thể áp dụng định lý Brianchon đối với ngũ giác, tứ giác, tam giác ngoại tiếp đường tròn bằng cách coi nh ng hình này như nh ng lục giác đặc biệt (suy biến) có một, hai hoặc ba cặp cạnh trùng nhau

Khi có hai cạnh nào đó trùng nhau ta thay giao điểm của hai cạnh đó bằng tiếp điểm của hai cạnh trùng nhau đó với đường tròn

Chẳng hạn, đối với ngũ giác ABCDE ngoại tiếp đường tròn, ta xem ngũ giác này được tạo nên từ lục giác ABCDEF có hai cạnh EF v FA trùng ànhau Khi đó ba điểm E F F sẽ trùng nhau Ta xem cạnh 1, , 1 AE tiếp xúc với đường tròn tại F Khi đó ta có AD BE CF đồng quy , ,

17

Tương tự, ta có thể áp dụng định lý Brianchon đối với tứ giác và tam giác ngoại tiếp đường tròn

1.2.6 Định lý Pappus

nằm trên đường thẳng d và ba điểm ',A B C nằm trên đường thẳng ', ' d' Khi

đó, giao điểm của cặp đường thẳng AB v A B , ' à ' AC v A C , ' à ' BC v B C ' à 'thẳng hàng

B

D E

1.3.1 Một số kiến thức về không gian xạ ảnh và hình học xạ ảnh

V là không gian vectơ

X V được gọi là một không gian xạ ảnh n chiều liên kết với

không gian vectơ n1

V trên trường Kvà được kí hiệu là n

Định nghĩa 1.10 (Mục tiêu tọa độ xạ ảnh) Cho không gian xạ ảnh n

chiều nđược sinh bởi không gian vectơ n 1

V Trong không gian V n 1 ta chọn

một cơ sở e e1, , ,2 e n1 và vectơ 1

1

n

i i

e e Gọi A là điểm có đại diện là 1

vectơ e1, A là điểm có đại diện là vectơ 2 e2,…,A là điểm có đại diện là n1

vectơ e n1 E là điểm có đại diện là vectơ e Hệ các điểm A A1, 2, ,A n1,E lấy

theo thứ tự đó được gọi là một mục tiêu tọa độ xạ ảnh của không gian xạ ảnh

19

chúng a a1, 2, ,a m là một hệ độc lập tuyến tính trong n 1

V Một hệ không độc lập gọi là phụ thuộc

V Điểm n

X có vectơ đại diện là n1

x V Nếu đối với cơ sở

b b b b b b

với mục tiêu đã chọn Nếu

hai đường thẳng phân biệt u và v có tọa độ u [ , , ]u u u , 1 2 3 v [ , , ]v v v thì 1 2 3

giao điểm của chúng M0 u v có tọa độ

f được gọi là ánh xạ xạ ảnh nếu có một phép đẳng cấu tuyến tính 1 1

:V n V'n sao cho nếu a là vectơ đại diện của điểm A của nthì ( )a là vectơ đại diện của điểm ( )f A thuộc 'n

thẳng 1lên đường thẳng 2 với tâm chiếu O

cho hai đường thẳng phân biệt 1, 2 và một ánh xạ xạ ảnh f : 1 2 Khi đó f là phép chiếu xuyên tâm khi và chỉ

khi f I( ) I với I 1 2

Định nghĩa 1.16 (Mô hình xạ ảnh của không gian affine) Trong

không gian xạ ảnh n, chọn một siêu phẳng n1, gọi 1

A là một không gian affine

n chiều Đây là mô hình xạ ảnh của không gian affine n chiều

21

Định nghĩa 1.17 (Mệnh đề đối ngẫu) Giả sử là một mệnh đề đúng

của hình học xạ ảnh trong không gian xạ ảnh n

chỉ nói về các m phẳng và quan hệ liên thuộc gi a chúng Nếu trong ta thay các từ m phẳng bởi

các từ (n m 1) phẳng còn tất cả các từ khác gi nguyên thì ta được một mệnh đề đúng *của hình học xạ ảnh n chiều Mệnh đề *

được gọi là mệnh đề đối ng u của mệnh đề

nếu là mệnh đề đúng thì mệnh đề đối ng u *

cũng đúng

) Trong không gian xạ ảnh

chính là giao điểm của siêu mặt bậc hai trong n

với siêu phẳng vô tận n 1

Trong mô hình 2 2 1

\

- Nếu conic cắt 1

tại hai điểm: ta có đường hypebol

- Nếu conic không cắt 1: ta có đường elip

- Nếu conic tiếp xúc với 1: ta có đường parabol

là đường thẳng đối cực (hay cực tuyến) của điểm U

Điểm U được gọi là cực điểm của đường thẳng đối với ( )S

) Trong mặt phẳng xạ

ảnh 2cho đường bậc hai ( )S Hai điểm U và V được gọi là liên hợp với nhau đối với ( )S nếu đường thẳng UV cắt ( )S tại hai điểm M và N sao cho ( , ,U V M N, ) 1

điểm không nằm trên ( )S Khi đó cực tuyến của điểm Ulà tập hợp tất cả

nh ng điểm V liên hợp với U đối với ( )S

Định nghĩa 1.21 (Liên hệ xạ ảnh giữa hai hàng điểm) Hai hàng điểm

{ }m và { '} m được gọi là liên hệ xạ ảnh với nhau nếu có một ánh xạ xạ ảnh

:{ } { '}

f m m biến mỗi điểm của hàng điểm { } m thành một điểm của hàng

điểm của { '}m

Kí hiệu: { } { '}m m

Định nghĩa 1.22 (Phép phối cảnh) Một ánh xạ xạ ảnh gi a hai hàng

điểm gọi là phép phối cảnh (phép chiếu xuyên tâm) nếu đường thẳng nối các điểm tương ứng luôn đi qua một điểm O cố định O được gọi là tâm phối

23

cảnh Ánh xạ xạ ảnh gi a hai chùm đường thẳng gọi là phép phối cảnh nếu giao điểm của các cặp đường thẳng tương ứng luôn luôn nằm trên một đường thẳng t cố định, t được gọi là trục phối cảnh

Kí hiệu sự liên hệ xạ ảnh gi a hai hàng điểm hoặc hai chùm đường thẳng

A B C, , , A B C', ', ', , a b c, , , a b c', ', ',

Ta có các kết quả sau liên quan đến phép phối cảnh

Định lý 1.16 ([8]) Điều kiện cần và đủ để phép ánh xạ xạ ảnh

:{ } { '}

f m m trở thành phép phối cảnh là đường thẳng nối hai tâm tự ứng

Định lý 1.17 ([8]) (Định lý Steiner thuận) Nếu ánh xạ xạ ảnh

:{ } { }

f A A gi a hai chùm tâm A và 1 A không phải là phép phối cảnh thì 2

giao điểm của các đường thẳng tương ứng nằm trên một đường conic

định trên conic ( )S và M là một điểm di động trên ( )S Khi đó ánh xạ

:{ } { }

f A A sao cho f AM( 1 ) A M là một ánh xạ xạ ảnh nhưng không phải 2

là phối cảnh

Định nghĩa 1.23 (Hình 3-đỉnh) Tập hợp gồm 3 điểm không cùng nằm

trên một đường thẳng và 3 đường thẳng đi qua các cặp điểm này gọi là một hình 3-đỉnh

Mỗi điểm gọi là một đỉnh, mỗi đường thẳng gọi là cạnh của hình 3-đỉnh Một hình 3-đỉnh với các đỉnh , ,A B C được ký hiệu là ABC

Ta có thể gọi một hình 3-đỉnh ABC là tam giác ABC

Các đỉnh, cạnh của hình 3-đỉnh gọi là đỉnh và cạnh của tam giác

Định nghĩa 1.24 (Hình 6-đỉnh) Trong mặt phẳng xạ ảnh cho tập hợp

gồm sáu điểm A A A A A A lấy theo thứ tự đó và sáu đường thẳng 1, 2, 3, 4, 5, 6

1 2, 2 3, 3 4, 4 5, 5 6, 6 1

A A A A A A A A A A A A trong đó không có hai đường thẳng nào

trùng nhau, được gọi là hình 6-đỉnh (hay là một hình lục giác)

24

Các điểmA A A A A A gọi là các đỉnh của lục giác, các đường 1, 2, 3, 4, 5, 6thẳng A A A A A A A A A A A A gọi là các cạnh của lục giác 1 2, 2 3, 3 4, 4 5, 5 6, 6 1

Ký hiệu: A A A A A A 1 2 3 4 5 6

Với 6 điểm, ta có thể tạo thành nh ng hình lục giác khác nhau

1.3.2 Các định lý cổ điển theo quan điểm của hình học xạ ảnh

Chúng ta dùng phương pháp tọa độ để chứng minh định lý này

Giả sử trong 2đã cho hai tam giác ABC và A B C' ' ', các đường thẳng nối các cặp đỉnh tương ứng AA BB CC cùng đi qua điểm ', ', ' O

Ký hiệu M BC B C' ', N AC A C' ', P AB A B ' '

Ta chứng minh rằng M N P nằm trên một đường thẳng , ,

Thật vậy, nếu điểm O thuộc một trong các đường thẳng AB BC CA thì , ,định lý hiển nhiên đúng

Nếu có một cặp đỉnh tương ứng nào đó trùng nhau, chẳng hạn A A'

Hình 1.19 Hình 1.18

Hình 1.21

A' A

Hình 1.20

B'

C' C

B M

N

P A'

B' C'

A

C

B

O

Ta cần chứng minh ba đường thẳng A A BB CC đồng quy ', ', '

Thật vậy, xét hai tam giác A A N và ' BB M' có các đường thẳng nối các đỉnh tương ứng là AB MN A B đồng quy tại P Theo chứng minh ở phần , , ' 'thuận ở trên ta có ba giao điểm của các cạnh tương ứng là A A' BB' O ,

,

AN BM C A N' B M' C' thẳng hàng

Do đó, ta có A A BB CC đồng quy tại ', ', ' O □

Định lý 1.20 (Định lý Pascal) Điều kiện cần và đủ để một lục giác nội

tiếp một conic (các đỉnh của nó thuộc conic) là giao điểm của các cặp cạnh đối diện nằm trên một đường thẳng (đường thẳng này gọi là đường thẳng Pascal)

Chứng minh

Giả sử ( )S là một conic và A A A A A A là một lục giác nội tiếp Gọi 1 2 3 4 5 6

P A A A A Q A A A A R A A A A Theo định lý Steiner đảo,

hai chùm tâm A và tâm 1 A có liên hệ xạ ảnh 5

{A A , A A , A A , A A , } {A A , A A , A A , A A , }

Gi a hai hàng điểm nằm trên các đường thẳng A A và 3 4 A A ta có liên hệ 2 3

xạ ảnh {M R A A, , 4, 3, } { ,A Q N A2 , , 3, }

Vì giao của hai giá (điểm A ) là điểm tự ứng nên đó là liên hệ phối 3

cảnh với tâm phối cảnh là giao điểm của các cặp đường thẳng tương ứng

27

MA RQ A N A A RQ E A A A A A P tức là P RQ Hay ., ,

P R Q thẳng hàng

Ngược lại, giả sử lục giác A A A A A A có giao điểm của các cặp cạnh 1 2 3 4 5 6

đối diện là , ,P Q R thẳng hàng Gọi ( ) S là conic xác định bởi năm điểm

Các trường hợp đặc biệt của định lý Pascal:

Giả sử A A A A A là một lục giác nội tiếp conic ( )1 2 3 4 5 S Ta thấy khi đó có

một cặp đỉnh liên tiếp nào đó trùng nhau A i A i 1, 1 i 5, A6 A , thì cặp 1

cạnh A A trở thành tiếp tuyến của conic tại điểm đó i i 1

Như vậy, ta gọi một ngũ giác nội tiếp conic là một trường hợp đặc biệt của lục giác nội tiếp khi có một cặp đỉnh liên tiếp trùng nhau

Tương tự đối với tứ giác, tam giác nội tiếp

28

Minh họa như sau:

Áp dụng nguyên tắc đối ng u, từ định lý Pascal ta suy ra định lý sau

Định lý 1.21 (Định lý Brianchon) Điều kiện cần và đủ để một lục giác

ngoại tiếp conic (có các cạnh tiếp xúc với conic) là các đường thẳng nối các cặp đỉnh đối diện đồng quy tại một điểm – gọi là điểm Brianchon của lục giác

Các trường hợp đặc biệt của định lý Brianchon:

Các trường hợp đặc biệt của định lý Brianchon được suy ra từ các trường hợp đặc biệt của định lý Pascal bằng cách lấy đối ng u và được minh họa qua các hình sau

29

Định lý 1.22 (Định lý Pappus) Trong mặt phẳng xạ ảnh 2

, cho ba điểm , ,A B C nằm trên đường thẳng và ba điểm ', ', 'A B C nằm trên đường

thẳng ' Khi đó giao điểm của các cặp đường thẳng AB v A B ' à ' ,' à ' ,

AC v A C BC v B C thẳng hàng ' à '

Chứng minh

Ta dùng phương pháp tọa độ để chứng minh định lý này

Ở đây ta chọn mục tiêu { , , '; '}A B A B Khi đó ta có (1,0,0) A , (0,1,0)B , '(0,0,1)

A , '(1, 1, 1)B

[0, 0, 1], ' [1,-1,0], 'A B [1, 0, 0], AB' [0,1,-1] Vì C nên ( , 1, 0)

Nhận xét 1.4 (Mối liên hệ giữa hình học xạ ảnh và hình học affine)

Gi a hình học xạ ảnh và hình học affine có một mối liên hệ mật thiết Trên cơ sở này, từ một mặt phẳng affine ta sẽ xây dựng được một mô hình của mặt phẳng xạ ảnh bằng cách thêm vào mặt phẳng affine nh ng phần tử mới hay còn gọi là điểm ở vô tận , gọi là mô hình affine Ngược lại, từ một mặt phẳng xạ ảnh, bằng cách chọn một đường thẳng nào đó làm đường thẳng

vô tận ta được một mặt phẳng xạ ảnh – affine, sau đó bỏ bớt đi đường thẳng

vô tận này ta thu được một mô hình của mặt phẳng affine hay gọi là mô hình

Từ một kết quả của hình học affine có thể suy ra một kết quả của hình

học xạ ảnh Đây là quá trình ngược lại với quá trình trên Chẳng hạn, khi cho

một định lý về các đối tượng affine Thực hiện bổ sung thêm nh ng phần tử

vô tận ta thu được một mặt phẳng xạ ảnh và các đối tượng affine nói trên trở thành đối tượng xạ ảnh tương ứng Do chỉ có một cách bổ sung duy nhất

khá rộng các bài toán affine của hình học sơ cấp

32

CHƯƠNG 2

ỨNG DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN

VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP

Trong chương này chúng tôi trình bày ứng dụng của các định lý cổ điển đã nêu ở trên vào giải một số dạng bài toán thường gặp trong hình học

sơ cấp Chủ yếu là bài toán chứng minh các điểm thẳng hàng, bài toán chứng minh các đường thẳng đồng quy, kết hợp vận dụng các định lý cổ điển để giải quyết bài toán chứng minh hai đường thẳng song song

2.1 ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ MENELAUS

Như đã trình bày ở chương 1, định lý Menelaus cho ta một hệ thức liên

hệ gi a vị trí các điểm trên một cạnh của tam giác và điều kiện để nh ng điểm này thẳng hàng

Để chứng minh các điểm thẳng hàng chúng ta thường chỉ ra các điểm cùng nằm trên một đường thẳng Tuy nhiên, trong một số trường hợp việc chứng tỏ này gặp nhiều khó khăn Nhưng nếu chúng ta biết vận dụng các định

lý cổ điển, cụ thể là định lý Menelaus, thì bài toán sẽ được giải quyết đơn giản hơn

2.1.1 Một số bài toán minh họa

ABC Gọi A B C là chân các đường vuông góc hạ từ 1, 1, 1 P xuống các đường thẳng BC CA AB tương ứng Chứng minh rằng các điểm , , A B C thẳng 1, 1, 1hàng

33

Nhận xét Trong bài toán này ta nhận thấy ba điểm A B C đều nằm 1, 1, 1trên các cạnh khác nhau của tam giác ABC hoặc trên các đường kéo dài của các cạnh của tam giác này Do đó nếu thiết lập được hệ thức liên hệ về tỉ số

gi a các điểm này với các đỉnh, chứng minh tích các tỉ số đó bằng 1, thì theo định lý Menelaus ta sẽ có kết quả chứng minh của bài toán

Giải

Ta có PAC PBC PAB, PCB v PCAà PBA 1800 nên

1 1

34

góc vuông C, còn trong tam giác CAK kẻ đường phân giác CE Gọi Dlà trung điểm của đoạn AC, Flà giao điểm của các đường thẳng DE v CK àChứng minh rằng BF / /CE

Nhận xét Mặc dù đây là bài toán chứng minh hai đường thẳng song song

thẳng nhưng chúng liên quan đến tỉ số các cặp cạnh và tam giác đồng dạng

Để rút được các tỉ số này ta cần dùng đến định lý Menelaus

Giải

Kẻ đường phân giác BH của góc CBA của

tam giác ABC

Vì EBC ACK (góc có cạnh tương ứng

vuông góc), nên

0

90

ACE ECB CBH ECB

Suy ra BH EC, do đó EBC cân tại B

(vì có đường phân giác đồng thời là đường cao),

35

Bài toán 2.3 Chứng minh rằng trong tứ giác toàn phần ba trung điểm

của ba đường chéo thẳng hàng

Nhận xét Tứ giác toàn phần có nhiều ứng dụng trong hình học sơ cấp,

bài toán này là một tính chất đặc trưng của tứ giác toàn phần Tuy nhiên để sử dụng nó, chúng ta cần chứng minh Việc vận dụng định lý Menelaus giúp chúng ta có được lời giải cho bài toán này

C 1

C 2

B 2

A 2