Tích vectơ và ứng dụng giải toán sơ cấp

Ứng dụng giải các bài toán hệ thức lượng trong tam giác.. Trang 2 Lời nói đầu Trong toán học sơ cấp, vectơ là một khái niệm rất quan trọng, nó có tính khái quát cao, có thể áp dụng tron

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

VÀ ỨNG DỤNG GIẢI TOÁN SƠ CẤP

Sinh viên thực hiện : Trần Đăng Quang

Đà Nẵng, tháng 05 năm 2018

Trang 1

Mục lục

Lời nói đầu .2

Chương I Vectơ và các phép toán 3

1.1 Các định nghĩa 3

1.2 Các phép toán cơ bản 3

1.3 Tích các vectơ 4

Chương II Ứng dụng tích vectơ vào giải toán sơ cấp 12

2.1 Ứng dụng tích vô hướng 12

2.2 Ứng dụng tích có hướng 14

2.3 Ứng dụng tích ngoài 16

2.4 Ứng dụng giải các bài toán quỹ tích 19

2.5 Ứng dụng giải các bài toán cực trị 22

2.6 Ứng dụng giải các bài toán hệ thức lượng trong tam giác 25

2.7 Các đẳng thức vectơ 27

Kết luận 35

Tài liệu tham khảo 36

Trang 2

Lời nói đầu

Trong toán học sơ cấp, vectơ là một khái niệm rất quan trọng, nó có tính khái quát cao, có thể áp dụng trong hình học phẳng, hình học không gian thậm chí là cả đại số Nhờ có vectơ các bài toán hình học trở nên trực quan hơn Có nhiều bài tập hình học phẳng và hình học không gian nếu giải bằng hình học thuần túy sẽ rất khó nhưng trở nên đơn giản hơn dùng phương pháp vectơ Chính vì vậy, nghiên cứu các ứng dụng của vectơ vào việc giải toán hình học,

thậm chỉ cả đại số là một vấn đề rất thú vị Vì vậy, tôi lựa chọn đề tài Tích vectơ

và ứng dụng giải toán sơ cấp

Đối với các vectơ rất nhiều khía cạnh có thể nghiên cứu nhưng trong phạm vi đề tài này, chủ yếu vẫn là khai thác các khia cạnh sau:

- Vectơ và các phép toán

- Ứng dụng tích vectơ vào giải toán sơ cấp

Trang 3

Chương I Vectơ và các phép toán

✓ Độ lớn của một vectơ gọi là modul của vectơ đó và được kí hiệu là |𝑎⃗| Modul của vectơ 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ được viết là PQ

Định nghĩa 1.2

Các vectơ có độ lớn bằng 1 được gọi là vectơ đơn vị Vectơ đơn vị được phân biệt với các vectơ khác bằng 1 dấu mũ; ví dụ 𝑎̂⃗ là đại diện cho một đơn vị theo hướng của vectơ 𝑎⃗ Rõ ràng, 𝑎⃗ = 𝑎 𝑎̂⃗

Trong hệ trục tọa độ Descartes vuông góc 𝑂𝑥𝑦𝑧 các vectơ đơn vị trên trục

Ox, Oy và Oz lần lượt được kí hiệu là 𝑖⃗, 𝑗⃗ và 𝑘⃗⃗

Định nghĩa 1.3

✓ Vectơ – không là vectơ có độ lớn không và không có hướng, được kí hiệu 0⃗⃗

✓ Vectơ đối của vectơ 𝑎⃗, được kí hiệu là −𝑎⃗, là một vectơ có modul bằng vectơ 𝑎⃗ nhưng ngược hướng với vectơ 𝑎⃗

✓ Các vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng modul và cùng hướng

1.2 Các phép toán cơ bản

Định nghĩa 1.4

Cho 2 vectơ 𝑎⃗ và 𝑏⃗⃗ được biểu diễn bởi 2 vectơ 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑄𝑅⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Khi đó vectơ biểu diễn bởi 𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗⃗ được định nghĩa là tổng của 2 vectơ 𝑎⃗ và 𝑏⃗⃗, kí hiệu là 𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗

Trang 4

Nếu vectơ 𝑎⃗ và 𝑏⃗⃗ được biểu diễn bởi 2 vectơ 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑃𝑆⃗⃗⃗⃗⃗ và ta được hình bình

hành PQRS, khi đó đường chéo 𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗⃗ qua P đại diện cho tổng của 2 vectơ 𝑎⃗ và 𝑏⃗⃗

Đây là quy tắc hình bình hành của phép cộng vectơ

Định nghĩa 1.5

Hiệu giữa 2 vectơ 𝑎⃗ và 𝑏⃗⃗ được viết là 𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗ và theo quy tắc của đại số vô

hướng của nó được viết thành tổng 𝑎⃗ + (−𝑏⃗⃗) Biểu diễn 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗ bởi các vec tơ 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗,

✓ Mặt phảng định hướng: Mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng định hướng nếu

trong hai chiều quay quanh gốc O của tia Ox trong mặt phẳng (P) ta chọn 1

chiều dương và 1 chiều âm Trong phạm vi tài liệu này chọn chiều dương là

cùng chiều kim đồng hồ, chiều âm là ngược kim đồng hồ

✓ Góc định hướng giữa hai tia Ox và Oy, kí hiệu là (Ox,Oy), là góc có độ lớn

bằng góc hình học 𝑥𝑂𝑦̂ có hướng đi từ Ox sang Oy

✓ Góc giữa hai vectơ 𝑎⃗ và 𝑏⃗⃗, kí hiệu là góc hình học 𝐴𝑂𝐵̂, trong đó 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎⃗ ,

𝑂𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑏⃗⃗

Trang 5

✓ Góc định hướng giữa hai vectơ 𝑎⃗ và 𝑏⃗⃗, kí hiệu là (𝑎⃗, 𝑏⃗⃗), là góc có độ lớn bằng góc giữa hai vectơ và hướng đi từ 𝑎⃗ sang 𝑏⃗⃗

1.3.2 Tích vô hướng

Định nghĩa 1.9 Tích vô hướng của 2 vectơ 𝑎⃗ và 𝑏⃗⃗ tạo với nhau một góc 𝜃 được

định nghĩa là đại lượng vô hướng 𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠(𝜃) và được kí hiệu là 𝑎⃗ 𝑏⃗⃗ hoặc đơn giản 𝑎⃗𝑏⃗⃗

Tích vô hướng có tính giao hoán vì

𝑎⃗𝑏⃗⃗ = 𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 𝑏𝑎𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 𝑏⃗⃗𝑎⃗

1.3.3 Tích ngoài

Định nghĩa 1.10 Tích ngoài của hai vectơ 𝑎⃗ và 𝑏⃗⃗, kí hiệu là 𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗, được định

nghĩa như sau:

Hướng của đa giác lồi

Cho tam giác ABC, ta thấy các hướng A B C; B C A; C A B trùng nhau Các hướng trùng nhau đó gọi là hướng của các tam giác ABC Đương nhiên các tam giác ABC, BCA, CAB có cùng hướng Nếu hướng của tam giác ABC trùng với hướng của mặt phẳng thì ta nói tam giác có hướng dương (thuận) Nếu tam giác ABC có hướng ngược với hướng của mặt phẳng thì ta nói ABC có hướng âm (nghịch)

Diện tích đại số của đa giác lồi

𝑆[𝐴1𝐴2… 𝐴𝑛] = −𝑆(𝐴1𝐴2… 𝐴𝑛 ) Trong đó 𝑆(𝐴1𝐴2… 𝐴𝑛 ) là diện tích tam giác 𝐴1𝐴2… 𝐴𝑛

Trường hợp đặc biệt đa giác lồi là tam giác thì ta có

Định lí 1.13 Diện tích đại số của tam giác ABC được xác định như sau:

𝑆[𝐴𝐵𝐶] = 1

2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Từ định lí trên ta thấy ngay hệ quả:

𝑆[𝐴𝐵𝐶] = 𝑆[𝐵𝐶𝐴] = 𝑆[𝐶𝐴𝐵]

Mối quan hệ giữa diện tích đại số và diện tích hình học của tam giác

Khái niệm diện tích hình học chính là khái niệm diện tích mà ta vẫn hiểu theo nghĩa thông thường Tuy nhiên, khi cần phân biệt khái niệm diện tích và diện tích đại số thì người ta thường thay thuật ngữ “diện tích” bằng thuật ngữ

“diện tích hình học” Đối với một tam giác thì diện tích đại số và diện tích hình học liên hệ với nhau bởi các định lí sau đây:

Định lí 1.14

i) Nếu tam giác ABC có hướng dương thì 𝑆[𝐴𝐵𝐶] = 𝑆(𝐴𝐵𝐶)

ii) Nếu tam giác ABC có hướng dương thì 𝑆[𝐴𝐵𝐶] = −𝑆(𝐴𝐵𝐶)

Định lí 1.15 Với mọi điểm M ta có:

𝑆[𝐴1𝐴2… 𝐴𝑛] = 𝑆[𝑀𝐴1𝐴2] + 𝑆[𝑀𝐴2𝐴3] + ⋯ + 𝑆[𝑀𝐴𝑛𝐴1]

Định lí 1.16 Cho tam giác ABC, điểm C’ nằm trên đường thẳng BC, ta có:

𝐵𝐶𝐵𝐶′=

𝑆[𝐴𝐵𝐶]

𝑆[𝐴𝐵𝐶′]

Định lí 1.17 Cho tam giác ABC và điểm O Giả sử các đường thẳng AO và BC

cắt nhau tại M (khác B, C) Ta có:

Định nghĩa 1.19 Tích có hướng của 2 vectơ 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗ tạo với nhau một góc 𝜃 được

định nghĩa như một vectơ (gọi là vectơ tích) có độ lớn là 𝑎𝑏𝑠𝑖𝑛(𝜃) và có hướng vuông góc với hướng của 2 vectơ 𝑎⃗ và 𝑏⃗⃗ theo đường đinh xoắn ốc về phía phải

từ hướng của vectơ 𝑎⃗ tới hướng của vectơ 𝑏⃗⃗ di chuyển theo hướng của vectơ tích Vectơ tích của 2 vectơ 𝑎⃗ và 𝑏⃗⃗ được kí hiệu là 𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗

Quan hệ giữa hướng của vectơ 𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗ và hướng của vectơ 𝑎⃗ và vectơ 𝑏⃗⃗ được minh họa như hình vẽ Điều quan trọng cần chú ý là mặc dù tích 𝑏⃗⃗ ∧ 𝑎⃗ có

độ lớn bằng với tích 𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗ nhưng hướng của nó là ngược với hướng của 𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗ vì xoay đinh ốc từ hướng của vectơ 𝑏⃗⃗ đến hướng của vectơ 𝑎⃗, ngược chiều với trường hợp tích 𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗ Vì thế 𝑏⃗⃗ ∧ 𝑎⃗ = −𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗ và do đó phép nhân có hướng của hai vectơ là không có tính giao hoán

Biểu thức tọa độ của tích có hướng

Trang 8

𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = |[𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗; 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗]|

➢ Cho hình hộp chữa nhật ABCD.A’B’C’D’

𝑉ABCD.A’B’C’D’ = |[𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗; 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗]𝐴𝐴′|

➢ Điều kiện đồng phẳng của 3 vectơ

a⃗⃗, b⃗⃗, c⃗ là 3 vectơ đồng phẳng ⇔ [a⃗⃗, b⃗⃗] c⃗ = 0

Định nghĩa: Cho ba vectơ 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗, nếu lấy tích vectơ 𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗, rồi nhân vô hướng

với 𝑐⃗, ta được số (𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗) 𝑐⃗ Số này được gọi là tích hỗn tạp (hỗn hợp) của ba vectơ 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗ và được ký hiệu là (𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗)

Như vậy (𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗) = (𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗) 𝑐⃗

Ý nghĩa hình học

Từ một điểm O bất kì dựng các vectơ 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎⃗, 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑏⃗⃗, 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑐⃗

A B

C

O

E

Ta dựng hình hộp có đỉnh O và ba cạnh là OA, OB, OC Ta có thể tích V của hình hộp này bằng V=S.h, trong đó h là chiều cao, tức là bằng độ dài hình chiếu của vectơ 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ lên đường thẳng OE

Thật vậy, nếu 3 vectơ 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗ đồng phẳng là hiển nhiên

Trong trường hợp ba vectơ 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗ không đồng phẳng, giả sử ba vectơ 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗ tạo thành một tam diện thuận thì khi hoán vị hai trong ba vectơ đó ta được một tam diện nghịch và bởi vây tích hỗn tạp sẽ đổi dấu

(𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, (𝑐⃗⃗⃗⃗ + 𝑐1 ⃗⃗⃗⃗)) = (𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐2 ⃗⃗⃗⃗) + (𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐1 ⃗⃗⃗⃗) 2

Tính chất này dễ dàng chứng minh dựa vào tính chất của tích vectơ và tích vô hướng của hai vectơ

Biểu thức tọa độ của tích hỗn tạp của ba vectơ

Giả sử trong hệ trục tọa độ Oxyz cho ba vectơ 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗ có tọa độ là 𝑎⃗ =(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3), 𝑏⃗⃗ = (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3), 𝑐⃗ = (𝑐1, 𝑐2, 𝑐3)

2 𝑏3|

2 +|𝑎𝑏3 𝑎1

3 𝑏1|2

Trang 12

Chương II Ứng dụng tích vectơ trong giải toán sơ cấp

Đây là điều phải chứng minh

➢ Bài tập 2.2.2 Cho 6 số thực a, b, c, x, y, z thỏa mãn:

Trang 13

3 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) = (𝑥⃗⃗⃗⃗1 + 𝑥⃗⃗⃗⃗2 + 𝑥⃗⃗⃗⃗)3 𝑢⃗⃗ = 𝑥⃗⃗⃗⃗1 𝑢⃗⃗+ 𝑥⃗⃗⃗⃗1 𝑢⃗⃗+ 𝑥⃗⃗⃗⃗1 𝑢⃗⃗

Hơn nữa: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 =𝑥⃗⃗⃗⃗1 𝑢⃗⃗ Vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ∝1< 900 Để chứng minh, ta xét bổ đề sau:

Bổ đề: Cho ba vectơ trong không gian có độ dài bằng nhau và các góc tạo bởi hai

trong ba vectơ đó đều bằng nhau Xét một vectơ 𝑢⃗⃗ mà góc tạo bởi vectơ đó với ba vectơ đã cho là ∝1, ∝2, ∝3 thỏa mãn ∝1< 900 Khi đó,

𝑐𝑜𝑠 ∝1+ 𝑐𝑜𝑠 ∝2+ 𝑐𝑜𝑠 ∝3<3

2 Chứng minh: Gọi 𝜙 là góc giữa các vectơ 𝑥 ⃗⃗⃗⃗, 𝑥1 ⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑥2 ⃗⃗⃗⃗⃗ đã cho 3

𝐴2 ≤ (𝑝2+ 𝑞2)[(𝑚 + 𝑚 ′ ) 2 + (𝑛 + 𝑛′) 2 ] ≤ √2(1 + 𝑐𝑜𝑠𝜙 − 𝑐𝑜𝑠𝜙 2 <3

2

Bổ đề chứng minh xong

Bài toán trên là hệ quả trực tiếp của bổ đề này

➢ Bài tập 2.2.3 Giải bất phương trình

√𝑥 − 1 + 𝑥 − 3 ≤ √2(𝑥 − 3) 2 + 2𝑥 + 2 Gợi ý giải:

Với 𝑥 ≥ 1 xét các vectơ 𝑢 ⃗⃗ = (√x − 1, x − 3) và 𝑒⃗ = (1, 1)

Ta có |𝑢 ⃗⃗| = √𝑥 − 1 + (𝑥 − 3) 2 và |𝑒⃗| = √2

Áp dụng bài toán 2.2.1, ta có:

𝑢⃗⃗𝑒⃗ ≤ |𝑢⃗⃗||𝑒⃗| ⇔ √𝑥 − 1 + 𝑥 − 3 ≤ √2(𝑥 − 3)2 + 2𝑥 + 2

Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;3;1), C(-1;4;2)

a) Chứng minh: A,B,C là 3 đỉnh của một tam giác

b) Tính diện tích tam giác và độ dài trung tuyến AM

c) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC

Gợi ý giải:

a) Ta có: 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−2; 3; 1); 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−3; 4; 2)

Nên [𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗] = (2; 1; 1) ≠ 0 nên 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ không cùng phương do đó A, B, C tạo

thành 3 đỉnh của tam giác

Cho các điểm A(1;0;1), B(0;0;2), C(0;1;1), D(-2;1;0)

a) Chứng minh: A,B,C,D là các đỉnh của một tứ diện

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD

c) Tính thể tích của tứ diện ABCD và khoảng cách từ A đến mp(BCD)

Gợi ý giải:

a) Ta có: 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−1; 0; 1); 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−1; 1; 0); 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−3; 1; −1) [𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗] = (2; 1; 1) vì [𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗] 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3 ≠ 0

Nên các véc tơ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ không đồng phẳng Do đó A, B, C, D là 4 đỉnh của tứ

diện

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AC và BD là

h = |[𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗] 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗|

[𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗] = 1

Trang 16

Nhận xét: có thể tính h theo cách xác định đoạn vuông góc chung hoặc tính h

bằng khoảng cách từ AC đến( )  chứa BD và ( )  //AC Tuy nhiên 2 cách này dài

hơn cách tính trên

Bài tập 2.3.2

Cho tam giác ABC có A(-2;0;1), B(0;-1;1), C(0;0;-1)

a) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tính bán kính của

𝐴𝐵 ⊥ 𝐶𝐻, 𝐵𝐶 ⊥ 𝐴𝐻 và 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ đồng phẳng

⇔ {

𝐴𝐼2 = 𝐵𝐼2

𝐴𝐼2 = 𝐵𝐼2[𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗] 𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗⃗ = 0

Cho tứ giác lồi ABCD có các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại E Gọi

I, J lần lượt là trung điểm của AC và BD Chứng minh:

𝑆𝐸𝐼𝐽 = 1

4𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷Gợi ý giải:

Cho tam giác ABC Các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các đường thẳng

BC, CA, AB; các điểm A’’, B’’, C’’ theo thứ tự là trung điểm các đoạn AA’, BB’, CC’ Chứng minh:

𝑆𝐴′′ 𝐵′′𝐶′′ = 1

4𝑆𝐴′𝐵′𝐶

B'' C'' A''

A

A'

B' C'

J I A

B

E

C

Cho lục giác lồi ABCDEF M, N, P, Q, R, S lần lượt là các trung điểm của

AB, DE, CD, FA, EF, BC Chứng minh:

Gọi I là trung điểm của BC, D là điểm thỏa mãn 𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗

E là trung điểm DC Ta có:

(𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)(𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) = 2𝑀𝐼⃗⃗⃗⃗⃗⃗6𝑀𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 ⇔ 𝑀𝐼⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 Suy ra 𝑀𝐼 ⊥ 𝑀𝐸

Vậy tập hợp điểm M là đường tròn đường kính EI

Nếu 𝐴̂ vuông: Tập hợp các điểm M là {𝐸}

Nếu 𝐴̂ nhọn: Tập hợp các điểm M là đường tròng (𝐸; √2𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝑐𝑜𝑠𝐴)

b) C1 Gọi I là trung điểm BC, J là trung điểm AI

E

A

C J

Trang 21

⟺M thuộc đường thằng vuông góc với AI tại điểm H xác định bởi: 𝐽𝐻̅̅̅̅ = 𝐵𝐶2

8𝐴𝐼 ̅̅̅ C2 Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp, G là trọng tâm ΔABC

F

M

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính EF

Đảo Lấy M thuộc đường tròn đường kính EF, ta có 𝑀𝐸 ⊥ 𝑀𝐹 Qua B kẻ đường thẳng song song với MF, đường thẳng này theo thứ tự cắt ME,MA tại H, K Vì (ABEF) = -1 nên HB = HK Vì BK // MF;

𝑀𝐸 ⊥ 𝑀𝐹 nên 𝐵𝐾 ⊥ 𝑀𝐸 Suy ra tam giác MBK cân tại M

Suy ra ME là phân giác của góc 𝐴𝑀𝐵̂ ⟹ 𝑀𝐴

+ Nếu 𝐵 ≥ 1200 thì (MA+MB+MC) nhỏ nhất ⇔ 𝑀 ≡ 𝑇

+ Nếu 𝐶 ≥ 1200 thì (MA+MB+MC) nhỏ nhất ⇔ 𝑀 ≡ 𝑇

Trang 26

𝑀𝐴2+ 𝑀𝐵2+ 𝑀𝐶2 ≥ 𝑀𝐴 𝐺𝐴 + 𝑀𝐵 𝐺𝐵 + 𝑀𝐶 𝐺𝐶

≥ 𝐺𝐴2+ 𝐺𝐵2+ 𝐺𝐶2Giải:

𝑚𝑎, 𝑚𝑏, 𝑚𝑐

Gợi ý giải:

Áp dụng hệ thức trong bài toán trên, ta có:

𝑀𝐴 𝐺𝐴 + 𝑀𝐵 𝐺𝐵 + 𝑀𝐶 𝐺𝐶 ≥ 𝐺𝐴2+ 𝐺𝐵2+ 𝐺𝐶2

Trang 27

A

M' M

Cho 𝑀 ≡ 𝑂, O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác Sau đó Áp dụng bổ đề:

Cho bốn góc 𝛼, 𝛼′, 𝛽, 𝛽′ thỏa mãn:

{

𝛼 + 𝛼′ = 𝛽 + 𝛽′

𝑠𝑖𝑛 𝛼𝑠𝑖𝑛 𝛼′ =

𝑠𝑖𝑛 𝛽𝑠𝑖𝑛 𝛽Thì 𝛼 = 𝛼′, 𝛽 = 𝛽′

Từ đó, suy ra được bất đẳng thức trong bài

2.7 Các đẳng thức vectơ

Bài toán 2.1.1 Hệ thức Jacobi

Cho tam giác ABC Có các cạnh 𝐴𝐵 = 𝑐, 𝐵𝐶 = 𝑎,

𝐴𝐶 = 𝑏 M là điểm nằm trong tam giác, đặt:

Suy ra điều phải chứng minh

ii) Với I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

𝑎+𝑏+𝑐 ≥ 0

iii) 𝑂𝐼2 = 𝑅2 −4𝑅𝑆

2𝑝 = 𝑅2 − 2𝑅𝑟 ≥ 0

Ta có điều cần chứng minh

Bài toán 2.1.2 Điểm Giác-gôn

Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc ba cạnh BC,

CA, AB lần lượt tại 𝐴1, 𝐵1, 𝐶1 Khi đó, chứng minh 𝐴𝐴1, 𝐵𝐵1, 𝐶𝐶1 đồng quy tại

𝑦 =

1

𝑝 − 𝑏1

Cho 𝑀 ≡ 𝐽 ta có bài tập sau

➢ Bài tập 2.1.2 Cho tam giác ABC Chứng minh:

𝑟𝑐4𝑅 + 𝑟Thay vào hệ thức (3) ta có:

2

𝑝(𝑝 − 𝑎)+

𝑆2𝑝(𝑝 − 𝑏)+

𝑆2𝑝(𝑝 − 𝑐)= 𝑟(𝑟𝑎+ 𝑟𝑏+ 𝑟𝑐) = 𝑟(4𝑅 + 𝑟)

Bài toán 2.1.3 Điểm Lơ-moan

Cho tam giác ABC Trên ba cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy ba điểm

𝐶1𝐵 = 1 Do định lí Cêva nên ba đường đồng quy tại điểm L

Hệ thức cần chứng minh cũng suy ra ngay từ cách xác định điểm

Từ bài toán trên ta có bài tập sau:

➢ Bài tập 2.1.3 Cho tam giác ABC Chứng minh:

i) 𝑅2 ≥ 3𝑎2𝑏2𝑐2

(𝑎 2 +𝑏 2 +𝑐 2 ) 2

ii) 3(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎) ≥ 𝑎2 + 𝑏2+ 𝑐2 + 36𝑅𝑟

⇔ 4(𝑎3+ 𝑏3+ 𝑐3) ≥ 9(𝑎 3 + 𝑏3+ 𝑐3+ 9𝑎𝑏𝑐)

⇔ 12(𝑎2𝑏 + 𝑎2𝑐 + 𝑏2𝑎 + 𝑏2𝑐 + 𝑐2𝑎 + 𝑐2𝑏) ≥ 5(𝑎3+ 𝑏3+ 𝑐3) + 57𝑎𝑏𝑐) Nhưng do (*) thì

12(𝑎2𝑏 + 𝑎2𝑐 + 𝑏2𝑎 + 𝑏2𝑐 + 𝑐2𝑎 + 𝑐2𝑏) ≥ 6(𝑎3+ 𝑏3+ 𝑐3) + 54𝑎𝑏𝑐)

≥ 5(𝑎 3 + 𝑏 3 + 𝑐 3 ) + 57𝑎𝑏𝑐)

Ta có điều cần chứng minh

Trang 35

Kết luận

Qua tài liệu trên, tôi xin chân thành cảm ơn TS Lê Văn Dũng, khoa Toán, trường

ĐH Sư Phạm – ĐHĐN đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa luận trên

Trong phạm vi tài liệu, tôi đã tìm hiểu được những định nghĩa cơ bản về vectơ và tích vectơ Trọng tâm nội dung là các ứng dụng của tích vectơ vào giải toán sơ cấp với các phần:

- Các đẳng thức vectơ: trong đó đã nêu ra hệ thức Jacobi, điểm Giác-gôn, điểm Lơ-moan và các bài tập ứng dụng đẳng thức

- Ứng dụng tích vô hướng

- Ứng dụng tích có hướng

- Ứng dụng tích ngoài

- Ứng dụng vectơ giải các bài toán quỹ tích

- Ứng dụng vectơ giải các bài toán cực trị

- Ứng dụng vectơ giải các bài toán hệ thức lượng trong tam giác

Với những nội dung nghiên cứu trên tôi hi vọng đề tài sẽ đóng góp một phần trong việc cải thiện phương pháp giảng dạy và học tập toán sơ cấp Trong những nội dung trình bày trên không tránh khỏi những sai sót, mong quý thầy cô và các bạn bỏ qua

và bổ sung thêm

Trang 36

Tài liệu tham khảo

1 Trần Hạo Nam (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), Nguyễn Văn

Đoành, Trần Đức Huyên, Hình học 10 cơ bản, Nhà xuất bản Giáo dục Việt

Nam (2010)

2 Trần Hạo Nam (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), Khu Quốc

Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện, Hình học 11, Nhà xuất bản Giáo dục

Việt Nam (2010)

3 Trần Hạo Nam (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), Khu Quốc

Anh, Trần Đức Huyên, Hình học 12, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam

(2010)

4 Nguyễn Minh Hà (chủ biên), Nguyễn Xuân Bình, Bài tập nâng cao và một số

chuyên đề Hình học 10, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam (2006)

5 Nguyễn Thế Sinh, Sử dụng vectơ chứng minh bất đẳng thức,