LỊCH SỬ HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM SỐ PHỨC
Lịch sử số phức bắt đầu từ thế kỷ XVI, đánh dấu thời kỳ Phục hưng của toán học châu Âu sau thời kỳ trung cổ Các đại lượng ảo như √−1, 𝑏√−1 và a+b√−1 lần đầu tiên xuất hiện trong các công trình của các nhà toán học Italy.
“Nghệ thuật vĩ đại hay là về các quy tắc của đại số” (1545) của G Cardano (1501 –
Tác phẩm "Đại số" (1572) của R Bombelli và công trình của G Cardano được nhà toán học Đức Felix Klein đánh giá cao, cho rằng chúng chứa đựng những yếu tố quan trọng của đại số hiện đại, vượt xa giới hạn của toán học cổ đại.
Khi giải phương trình bậc hai Cardano và Bombelli đã đưa vào xét kí hiệu
√−1 là lời giải hình thức của phương trình 𝑥 2 + 1 = 0
Xét biểu thức 𝑏√−1 là nghiệm hình thức của phương trình 𝑥 2 + 𝑏 2 = 0 Khi đó biểu thức tổng quát hơn có dạng 𝑎 + 𝑏√−1 , 𝑏 ≠ 0 có thể xem là nghiệm hình thức của phương trình (𝑥 − 𝑎) 2 + 𝑏 2 = 0
Biểu thức 𝑎 + 𝑏√−1, với 𝑏 ≠ 0, đã xuất hiện trong quá trình giải phương trình bậc hai và bậc ba theo công thức Cardano Đại lượng này được gọi là “ảo” và sau đó được Gauss định nghĩa là số phức, thường được ký hiệu là 𝑎 + 𝑏𝑖.
𝑖 ≔ √−1 được L.Euler đưa vào (năm 1777) gọi là đơn vị “ảo”
Quá trình chấp nhận số phức như một công cụ quan trọng trong toán học đã diễn ra từ từ, với nhiều băn khoăn về tên gọi và ký hiệu 𝑖 ≔ √−1, được coi là đơn vị ảo Sự xuất hiện của số phức đã gây ra khủng hoảng niềm tin do tính chất không rõ ràng của nó.
SVTH: Nguyễn Thị Ba Trang 6 là một công cụ trong phép đếm, được xem như một ký hiệu trừu tượng, thỏa mãn định nghĩa i^2 = -1.
Sự khủng hoảng niềm tin gia tăng do việc áp dụng không cẩn thận các quy tắc đại số thông thường cho số phức, dẫn đến những nghịch lý khó chịu Ví dụ, khi xác định 𝑖 ≔ √−1, việc sử dụng các quy tắc khai căn bậc hai thông thường lại cho ra kết quả mâu thuẫn.
Hệ thức i² = -1 định nghĩa số phức mới i, cho phép chúng ta mở rộng khái niệm số Điều này có nghĩa là hệ thức này không thể được chứng minh mà chỉ đơn thuần là một quy ước.
Tuy vậy, cũng có người muốn chứng minh hệ thức đó.Trong cuốn sách
Viện sĩ L.S Pointriagin đã mô tả phương pháp tọa độ bằng cách sử dụng nửa đường tròn với đường kính AB Từ điểm R trên nửa đường tròn, hạ đường vuông góc RS, được xác định là trung bình nhân giữa các đoạn AS và SB Theo đó, bình phương đoạn RS tương đương với tích của các đoạn AS và BS Trong mặt phẳng phức, điểm -1 được ký hiệu là A, điểm +1 là B, và điểm i là R, với S là điểm 0 Tác giả đã lập luận rằng đoạn thẳng RS là i, đoạn thẳng AS là -1, và đoạn thẳng SB là +1, từ đó áp dụng định lý đã đề cập.
𝑖 2 = (−1)(+1) = −1 Thật đáng tiếc là phép chứng minh kì lạ này vẫn được viết trong sách và giảng dạy ở một số trường phổ thông trước thế chiến thứ II
Lịch sử toán học ghi nhận rằng Cardano đã đề cập đến các nghiệm phức, nhưng ông gọi chúng là các nghiệm “ngụy biện” Ví dụ, trong quá trình giải hệ phương trình, ông đã sử dụng thuật ngữ này để chỉ ra sự phức tạp của các nghiệm.
SVTH:Nguyễn Thị Ba Trang 7
Cardano đã tìm được nghiệm 5 5 và ông đã gọi nghiệm này là “ âm thuần túy” và thậm chí còn gọi là “nghiệm âm ngụy biện”
Có lẽ tên gọi “ảo” là di sản vĩnh cửu của “ một thời ngây thơ đáng trân trọng của số học”
Trong thế kỷ XVIII, nhiều nhà bác học lớn vẫn chưa hình dung rõ ràng về bản chất đại số và hình học của các đại lượng ảo, khiến chúng trở thành một điều bí ẩn Ví dụ, I Newton không công nhận sự tồn tại của các đại lượng ảo và không xem chúng thuộc về các khái niệm số, trong khi G Leibniz mô tả chúng như "nơi ẩn náu đẹp đẽ huyền diệu đối với tinh thần của đấng tối cao", giống như một sinh vật lưỡng cư sống giữa cái có thật và cái không có thật.
Nhà toán học người Italy R Bombelli là người đầu tiên nhận ra lợi ích của việc đưa số phức vào toán học Trong tác phẩm "Đại số" (1572), ông đã định nghĩa các phép tính số học trên các đại lượng ảo, từ đó sáng tạo nên lý thuyết về các số "ảo".
Thuật ngữ "số phức" lần đầu tiên được K Gauss sử dụng vào năm 1831 Trong thế kỷ XVII và XVIII, nhiều nhà toán học, bao gồm cả L Euler vào năm 1777, đã nghiên cứu các tính chất và ứng dụng của đại lượng ảo này.
1855) nhà toán học Đức mở rộng khái niệm logarit cho số phức bất kì (1738), còn
A Moivre (1667 – 1754) nhà toán học Anh nghiên cứu và giải bài toán căn bậc tự nhiên đối với số phức (1736)
Sự nghi ngờ về số phức được xóa bỏ khi nhà toán học Na Uy C Wessel giới thiệu minh họa hình học cho số phức và các phép toán liên quan trong công trình năm 1799 Minh họa này thường được gọi là "sơ đồ Argand" để tôn vinh R Argand, nhà toán học Thụy Sỹ, người đã đạt được kết quả tương tự một cách độc lập.
SVTH:Nguyễn Thị Ba Trang 8
Lí thuyết thuần túy số học về số phức, được phát triển bởi nhà toán học Ailen W Hamilton, xem số phức như các cặp số thực có thứ tự (a, b) với a, b thuộc tập hợp số thực ℝ.
(1837) Ở đây đơn vị “ảo” i chỉ đơn giản là một cặp số thực có thứ tự - cặp (0;1), tức là đơn vị “ảo” được lí giải một cách hiện thực
Đến thế kỷ XIX, Gauss đã thành công trong việc chứng minh vững chắc khái niệm số phức, đồng thời ông cũng được biết đến với việc đưa ra chứng minh chính xác đầu tiên cho định lý cơ bản của Đại số, khẳng định rằng mọi phương trình đa thức trong trường số phức ℂ đều có nghiệm.
CÁC DẠNG BIỂU DIỄN SỐ PHỨC
1.2.1 Biễu diễn số phức dưới dạng cặp
Dưới dạng cặp ,mỗi số phức z được biểu diễn bởi một cặp số thực có thứ tự (x;y),với x,y ∈ ℝ Định nghĩa:
Gọi ℝ là trường số thực, kí hiệu ℂ là tập hợp tất cả các cặp số thực có thứ tự (x,y) ,với x,y ℝ , trên ℂ ta định nghĩa 2 phép toán như sau:
SVTH:Nguyễn Thị Ba Trang 10
3) Tồn tại phần tử không:
Phần tử 0 trong ℂ là cặp (0;0)
(-x; -y) là phần tử đối của (x;y)
SVTH:Nguyễn Thị Ba Trang 11
(1;0) là phần tử trung hòa trong phép nhân hay (1;0) là phần tử đơn vị của ℂ
Phần tử nghịch đảo của z là z -1 = ( 𝑥
Tập hợp các số phức ℂ được chứng minh là một trường, trong đó mọi số thực a tương ứng với cặp (a;0).
Hai số phức z1=(x1;y1) ; z2=(x2;y2) được gọi là bằng nhau nếu {𝑥 1 = 𝑥 2
𝑦 1 = 𝑦 2 Hai số phức z=(x;y) và z =(x;-y) được gọi là liên hợp với nhau
Mọi cặp (𝑥; 𝑦)(0;0) luôn cặp nghịch đảo (𝑥; 𝑦) -1
SVTH:Nguyễn Thị Ba Trang 12
Dưới dạng cặp các phép toán trên ℂ được thực hiện theo nguyên tắc sau:
1.2.2 Biểu diễn số phức dưới dạng đại số
Mỗi số phức (x;y) ℂ đều biểu diễn được dưới dạng:
Trong đó cặp (0;1) được kí hiệu bởi chữ i
Như vậy dạng đại số của số phức là z= x+y.i với i 2 =-1 Định nghĩa:
Số phức có dạng z = x + yi, trong đó x và y là các số thực (x, y ∈ ℝ) và i là đơn vị ảo, thỏa mãn i² + 1 = 0 Phần thực của số phức z được ký hiệu là Re(z) = x, trong khi phần ảo được ký hiệu là Im(z) = y.
Nếu y=0, khi đó z = x+0.i gọi là số thực x=0, khi đó z = 0+yi gọi là số thuần ảo kí hiệu ℂ :{ z = x+yi / x,y ℝ } là tập hợp tất cả các số phức
SVTH:Nguyễn Thị Ba Trang 13
Số phức có dạng 𝑧 = 𝑥 − 𝑦𝑖 gọi là số phức liên hợp của số phức 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖
(3) 𝑧 𝑧̅ là số thực không âm
Số |z|=r= x 2 +y 2 gọi là môđun của số phức z=x+yi Định lý:
SVTH:Nguyễn Thị Ba Trang 14
Ta dễ dàng kiểm tra (1) → (4) đúng
Bất đẳng thức bên trái có được là do:
Mặc khác |𝑧 1 − 𝑧 2 | = |𝑧 1 + (−𝑧 2 )| ≤ |𝑧 1 | + |−𝑧 2 | = |𝑧 1 | + |𝑧 2 | ,(ĐPCM) Đối với dạng đại số các phép toán trên ℂ được thực hiện theo ngyên tắc: z1+z2=(𝑥 1 + 𝑥 2 ) + (𝑦 1 + 𝑦 2 )𝑖
SVTH:Nguyễn Thị Ba Trang 15 z1- z2= (𝑥 1 − 𝑥 2 ) + (𝑦 1 − 𝑦 2 )𝑖 z1.z2= (𝑥 1 𝑥 2 − 𝑦 1 𝑦 2 ) + (𝑥 1 𝑦 2 + 𝑥 2 𝑦 1 )𝑖
1.2.3 Biễu diễn hình học của số phức
Mỗi số phức được định nghĩa dưới dạng một cặp số thực, do đó trong không gian Eclide với hệ tọa độ Descartes vuông góc ℝ², số phức z = (x; y) tương ứng với điểm M(x; y), trong đó hoành độ là x và tung độ là y Mối quan hệ giữa tập hợp các số phức và các điểm trong mặt phẳng là tương ứng một – một, và số phức z được gọi là nhãn hay tọa độ của điểm M.
Như vậy số phức z= x + yi có thể biểu diễn bằng 1 vectơ đi từ gốc tọa độ với các hình chiếu x và y lên các trục tọa độ
Với cách biểu diễn số phức dưới dạng vectơ đi từ gốc tọa độ các phép cộng trừ số phức được thực hiện theo quy tắc cộng trừ vectơ
SVTH:Nguyễn Thị Ba Trang 16
Ví dụ:trên mặt phẳng phức cho 𝑀 1 (1; 3), 𝑀 2 (3; −1) là hai điểm biểu diễn của số phức điểm 𝑧 1 , 𝑧 2 ∈ ℂ
Từ (*) ta suy ra nhãn cuả một vectơ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ bất kì có điểm đầu và điểm cuối bất kì không trùng với gốc O là: 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑏 − 𝑎 với 𝑎, 𝑏 ∈ ℂ là nhãn của điểm A,B
1.2.4 Dạng lượng giác của số phức
Quay lại cách sử dụng tọa độ cực trên mặt phằng phức ℂ Độ dài bán kính vectơ OM:
Góc cực =Argz gọi là argumen của z
( đây gọi là dạng lượng giác của số phức z)
Công thức tính Argumen của z với - < :
SVTH:Nguyễn Thị Ba Trang 17
Chứng minh : x=rcos ; y= rsin tg =tgargz = y x =arctg y x theo đk: - < x=0 , y>0 , =arctg y x = /2 x=0 , y0 , - /2 < < /2 =arctg y x x