Dạng số phức của phép nghịch đảo và ứng dụng để giải một số dạng toán hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Dạng số phức của phép nghịch đảo và ứng dụng để giải một số dạng toán hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Dạng số phức của phép nghịch đảo và ứng dụng để giải một số dạng toán hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Dạng số phức của phép nghịch đảo và ứng dụng để giải một số dạng toán hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Dạng số phức của phép nghịch đảo và ứng dụng để giải một số dạng toán hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Dạng số phức của phép nghịch đảo và ứng dụng để giải một số dạng toán hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Dạng số phức của phép nghịch đảo và ứng dụng để giải một số dạng toán hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Dạng số phức của phép nghịch đảo và ứng dụng để giải một số dạng toán hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Dạng số phức của phép nghịch đảo và ứng dụng để giải một số dạng toán hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Dạng số phức của phép nghịch đảo và ứng dụng để giải một số dạng toán hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)Dạng số phức của phép nghịch đảo và ứng dụng để giải một số dạng toán hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
VŨ ĐỨC TRỌNG
DẠNG SỐ PHỨC CỦA PHÉP NGHỊCH ĐẢO
VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - 2015
Trang 2TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
VŨ ĐỨC TRỌNG
DẠNG SỐ PHỨC CỦA PHÉP NGHỊCH ĐẢO
VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60 46 01 13
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS Trần Việt Cường
Thái Nguyên - 2015
Trang 3Mục lục
Mục lục i
Mở đầu ii
1 Một số kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Phép biến hình trong mặt phẳng 1
1.2 Tích vô hướng và tích lệch 2
1.2.1 Tích vô hướng 2
1.2.2 Tích lệch 2
1.3 Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng phức 3
1.3.1 Phương trình chính tắc của đường thẳng 3
1.3.2 Phương trình tổng quát của đường thẳng 4
1.3.3 Phép chiếu vuông góc xuống đường thẳng ∆ 4
1.3.4 Phép đối xứng qua đường thẳng 5
1.4 Phương trình đường tròn trong mặt phẳng phức 5
1.4.1 Đường tròn đơn vị |z| = 1 5
1.4.2 Phương trình của đường tròn tâm J , bán kính r > 0 5
1.4.3 Phương trình az ¯z + ( ¯βz + β ¯z) + P = 0, a ∈ R, P ∈ R, β ∈ C, |a| + |β| 6= 0(∗) 6
1.4.4 Hai đường tròn trực giao 6
1.4.5 Hai đường tròn tiếp xúc 6
1.5 Phép nghịch đảo 6
1.5.1 Định nghĩa 6
1.5.2 Tính chất 7
1.5.3 Các định lý 15
Trang 42 Ứng dụng dạng số phức của phép nghịch đảo để giải một số
2.1 Bài toán xác định phép nghịch đảo 21
2.2 Bài toán quỹ tích 24
2.3 Bài toán dựng hình 28
2.3.1 Dựng đường tròn tiếp xúc với các đường tròn, đường thẳng cho trước 28
2.3.2 Dựng đường tròn trực giao với các đường thẳng, đường tròn cho trước 33
2.3.3 Dựng đường tròn vừa tiếp xúc vừa trực giao với các đường thẳng, đường tròn cho trước 37
2.4 Các bài toán tổng hợp 39
2.5 Một số định lý nổi tiếng trong mặt phẳng 49
2.5.1 Công thức Euler 49
2.5.2 Bất đẳng thức Ptolemy 51
2.5.3 Định lý Feuerbach 52
Kết luận 54
Tài liệu tham khảo 55
Trang 5Mở đầu
Số phức từ khi ra đời đã thúc đẩy toán học tiến lên và giải quyết được một
số vấn đề về khoa học, kỹ thuật Riêng trong hình học, số phức cũng có nhữngứng dụng quan trọng Đối với học sinh bậc THPT thì số phức là một nội dungcòn mới mẻ, với thời lượng không nhiều, việc sử dụng số phức như một phươngtiện để giải các bài toán Hình học phẳng là một vấn đề khó, đòi hỏi học sinhphải có năng lực giải toán nhất định, biết vận dụng kiến thức đa dạng của toánhọc Mặc dù sách giáo khoa Giải tích lớp 12 đã đưa bài tập ứng dụng Số phứcvào giải toán hình học phẳng nhưng còn rất ít chỉ mang tính chất giới thiệu
Do vậy, sử dụng công cụ số phức để giải toán hình học là một phương phápmới
Trong hình học, phép biến hình là công cụ giải toán quan trọng, các phépbiến hình đã được học trong nhà trường phổ thông (phép dời hính, phép đồngdạng, phép vị tự) đều biến đường thẳng thành đường thẳng, đường tròn thànhđường tròn Phép nghịch đảo là phép biến hình thuộc loại khác, nó cũng bảotoàn lớp các đường thẳng và đường tròn nhưng có thể biến một đường thẳngthành đường tròn và ngược lại Chính đặc trưng đó của phép nghịch đảo được
sử dụng rất hiệu quả để giải các bài toán hình học, đặc biệt là các bài toántrong hình học phẳng
“Dạng số phức của phép nghịch đảo” là cách tiếp cận tạo nên cách nhìn mới
về các bài toán giải quyết bằng phép nghịch đảo Vì vậy tôi đã chọn đề tài
“Dạng số phức của phép nghịch đảo và ứng dụng để giải bài tập hìnhhọc phẳng” để tìm hiểu và nghiên cứu
Ngoài phân mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo luận văn bao gồm haichương:
Trang 6Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị.
- Trình bày sơ lược các kiến thức về số phức có liên quan (tích vô hướng vàtích lệch, phương trình đường thẳng và đường tròn trong mặt phẳng phức)
- Những kiến thức cơ bản về dạng số phức của phép nghịch đảo (định nghĩa,tính chất, định lý của phép nghịch đảo)
Chương 2: Ứng dụng dạng số phức của phép nghịch đảo để giải một số bài tậphình học phẳng
Các bài tập về dựng hình, quỹ tích, các bài tập tổng hợp chứng minh đẳngthức, chứng minh các đường đi qua điểm cố định, sự tồn tại các đường tiếpxúc và tính ưu việt của phép nghịch đảo trong mặt phẳng phức
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của TS Trần ViệtCường Tác giả xin bày tỏ sâu sắc tới Thầy đã tận tâm giúp đỡ tác giả hoànthành luận văn này
Trong quá trình học tập và làm luận văn, tác giả đã nhận được sự quantâm, giúp đỡ của Khoa Toán, Phòng Đào tạo và Khoa Sau đại học Trường Đạihọc Khoa học - Đại học Thái Nguyên, các thầy cô đã tham gia giảng dạy lớpcao học Toán K7Q Tác giả xin chân thánh cảm ơn sự giúp đỡ quý báu đó
Trang 7Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày sơ lược các kiến thức về số phức có liên quan (tích vôhướng và tích lệch, phương trình đường thẳng và đường tròn trong mặt phẳngphức) và một số kiến thức cơ bản về dạng số phức của phép nghịch đảo (địnhnghĩa, tính chất, định lí của phép nghịch đảo)
Kí hiệu P là tập hợp các điểm trong mặt phẳng
Một song ánh f : P → P từ tập P lên chính nó được gọi là phép biến hìnhcủa mặt phẳng
Điểm M0 = f (M ) được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình f vàđiểm M được gọi là tạo ảnh của điểm M0 qua phép biến hình f
Nếu H là một hình nào đó trong mặt phẳng P thì hình H0 = f (H) ={f (M )|M ∈ H} gọi là ảnh của hình H qua phép biến hình f và H được gọi làtạo ảnh của hình H0 qua phép biến hình đó
Điểm M thuộc mặt phẳng P được gọi là điểm kép trong phép biến hình
Trang 8Phép biến hình f : P → P được gọi là có tình chất đối hợp nếu f2 = Idp.
Một số tính chất (phép toán) của tích vô hướng:
• Tính chất đối xứng: hz, ωi = hω, zi
• Tính chất R-song tuyến tính:
hz1+ z2, ωi = hz1, ωi + hz2, ωihkz, ωi = khz, ωi, k ∈ R
)(R-Tuyến tính đối với z)
hz, ω1+ ω2i = hz, ω1i + hz, ω2i
hz, kωi = khz, ωi, k ∈ R
)(R-Tuyến tính đối với ω)
Trang 9Nếu z và ω khác 0 thì ta có [z, ω] = |z|.|ω| sin(ψ − ϕ), trong đó ϕ và ψ làargumen của z và ω Do đó, ta có h−−→
OM ,−→
OPi =
−−→
OM
−→
OP
k
p1
k
p 1
k
p 1
• Khi (C1) và (C2) phân biệt có tâm lần lượt là C1, C2
C1 ≡ C2 : f (C1, k) (với k = −R1R2 hay kR1R2) là phép nghịch đảo cầntìm
C1 không trùng C2 : f (J, k) (với J là tâm vị tự của (C1), (C2), J khôngthuộc (C1), (C2), k = J C2
J C1
PJ/(C1)) là phép nghịch đảo cần tìm
Trừ khi (C1) và (C2) có bán kính bằng nhau và không tiếp xúc thì có mộtphép nghịch đảo cần tìm, còn khi (C1) và (C2) có bán kính bằng nhau tiếp xúc(ngoài) nhau thì không có phép nghịch đảo biến (C1) thành (C2) (tuy nhiêntrong trường hợp đó có phép đối xứng trục biến (C1) thành (C2)
Nhiều bài toán liên quan đến đường tròn, khi ta chọn hệ trục toạ độ vuônggóc với gốc là tâm đường tròn đó và coi đường tròn đó là đường tròn đơn vịthì các công thức tính toán trở nên đơn giản, dễ nhớ và áp dụng được nhiềutrong bài toán cụ thể Sau đây, chúng ta cùng tìm hiểu một số ví dụ minh hoạ.Bài toán 2.3 Cho đường tròn (O) và một điểm P nằm trong đường tròn (O).Một góc vuông có đỉnh trùng với P quay quanh P và hai cạnh của góc vuông
đó cắt đường tròn (O) tại hai điểm A và B Tại A và B lần lượt kẻ hai tiếptuyến với đường tròn (O) và cắt nhau tại M Tìm quỹ tích điểm M
... 2Ứng dụng dạng số phức phép nghịch đảo để giải số dạng< /h3>
tốn hình học phẳng< /h3>
Chương trình bày số ứng dụng dạng số phức phép nghịch đảo
để giải số dạng tốn hình. .. tâm phép nghịch đảo tỉ số vị tự tỷ số
hệ số hai phép nghịch đảo cho
Chứng minh Coi E mặt phẳng phức, tâm nghịch đảo J phép nghịch? ?ảo f hệ số k phép nghịch đảo f0 hệ số. .. hàng vớitâm nghịch đảo với ảnh chúng qua phép nghịch đảo nằm trênmột đường tròn.
Chứng minh Coi E mặt phẳng phức, tâm nghịch đảo J phép nghịch? ?ảo f hệ số k gốc toạ độ phép nghịch đảo f xác