Nguyên lý dirichlet và ứng dụng giải toán sơ cấp

Nó đặc biệt có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực lại có thể áp dụng rộng rãi trong việc chứng mình các bài toán tổ hợp, số học, đại số và là công cụ tạo nên nhiều kết quả đẹp trong hình học.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

DỊCH THỊ THÙY LINH

NGUYÊN LÝ DIRICHLET VÀ ỨNG DỤNG GIẢI TOÁN SƠ CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

DỊCH THỊ THÙY LINH

NGUYÊN LÝ DIRICHLET VÀ ỨNG DỤNG GIẢI TOÁN SƠ CẤP

Chuyên nghành : Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số : 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học :PGS.TSKH TRẦN QUỐC CHIẾN

Đà Nẵng - 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận văn

Dịch Thị Thùy Linh

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 2

6 Cấu trúc luận văn 2

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 3

1.1 ĐẠI CƯƠNG VỀ TỔ HỢP 3

1.1.1 Sơ lược lịch sử 3

1.1.2 Bài toán tổ hợp 8

1.2 NGUYÊN LÝ DIRICHLET 10

1.2.1 Đôi nét về nhà toán học Dirichlet 10

1.2.2 Nguyên lý Dirichlet 11

1.2.3 Nguyên lý Dirichlet Đối ngẫu 14

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP 23

2.1 ỨNG DỤNG TRONG LÝ THUYẾT TỔ HỢP 23

2.2 ỨNG DỤNG TRONG SỐ HỌC 27

2.3 ỨNG DỤNG TRONG SỐ HỌC 32

2.4 CÁC ỨNG DỤNG KHÁC 43

KẾT LUẬN 51

TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (bản sao)

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong toán học việc tìm ra kết quả cụ thể của một bài toán đôi khi rất khó khăn,trong những trường hợp như thế ta chỉ cần chỉ ra sự tồn tại là đủ rồi Đặc biệt việc chỉ ra một cấu hình thỏa mãn tính chất nào đó có ý nghĩa quan trọng về mặt lí thuyết cũng như thực tế Bài toán tồn tại được nghiên cứu từ rất lâu và gớp phần đáng kể thúc đẩy sự phát triển của lí thuyết tổ hợp cũng như nhiều nghành toán học khác

Nguyên lý dirichlet nhiều khi người ta hay gọi là nguyên lí ngăn kéo hay chuồng bồ câu là một nguyên lí có nội dung khá đơn giản, song nó lại là một công cụ rất hiệu quả dùng để chứng minh nhiều kết quả sâu sắc của toán học Đôi khi có những bài toán người ta đã dùng rất nhiều phương pháp khác nhau để giải mà vẫn chưa đi đến được kết quả, nhưng nhờ nguyên lí Dirichlet

mà bài toán trở nên dễ dàng giải quyết

Dùng nguyên lí này ta dễ dàng chứng minh sự tồn tại của một đối tượng với tính chất xác định Nó đặc biệt có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực lại

có thể áp dụng rộng rãi trong việc chứng mình các bài toán tổ hợp, số học, đại

số và là công cụ tạo nên nhiều kết quả đẹp trong hình học.Đặc biệt trong các

kì thi học sinh giỏi cũng như Olympic toán quốc tế ngyên lý này được áp dụng rất nhiều Cùng với mong muốn tạo ra một tài liệu hữu ích cho các thầy

cô giáo và các em học sinh đam mê tìm tòi toán học, cùng với sự giúp đỡ của

PGS.TSKH Trần Quốc Chiến nên tôi chọn đề tài “Nguyên lý dirichlet và ứng dụng giải các bài toán sơ cấp” cho luận văn thạc sĩ của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Luận văn được hoàn thành với mục tiêu nghiên cứu nội dung ,các tính chất của nguyên lý Dirichlet nguyên lý mở rộng, đối ngẫu của nó.Đồng thời

nghiên cứu ứng dụng của các nguyên lí này vào việc giải các bài toán về số

học, hình học, tổ hợp vv trong toán sơ cấp

3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Nguyên lí dirichlet, nguyên lí dirichlet mở rộng , nguyên lí dirichlet đối ngẫu, ứng dụng của các nguyên lí này vào giải toán

3.2 Phạm vi nghiên cứu

Nguyên lí Dirichlet trong giải toán sơ cấp

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu các cơ sở lí luận, cơ sở khoa học nhằm cho một cái nhìn tổng quát nhất về nội dung nguyên lí Dirichlet và nhận diện bài toán để có

thể giải quyết được bằng nguyên lí Dirichlet

Phân tích và tổng hợp các dạng bài tập nhằm xây dựng được một hệ thống bài tập đi từ dễ tới khó, từ cụ thể tới tổng quát có ứng dụng nguyên lí

Dirichlet

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Giúp bạn đọc tiếp cận với một phương pháp chứng minh toán học hữu hiệu, thú vị Và hi vọng cung cấp một tài liệu bổ ích cho các em ham mê tìm

tòi toán học

6 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận luận văn gồm có 2 chương

Chương 1 : KIẾN THỨC CƠ SỞ, trình bày sơ lược đại cương về tổ hợp, nội dung nguyên lý Dirichlet, các tính chất và định lý lien quan đến nguyên lý

Chương 2 : ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP, trình bày một số bài toán ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong lý thuyết tổ hợp, số học , hình học ….vv

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 ĐẠI CƯƠNG VỀ TỔ HỢP

Tổ hợp là một lĩnh vực của toán học rời rạc, là ngành khoa học xuất hiện khá sớm vào đầu thế kỷ 17 Hiện nay, lý thuyết tổ hợp được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau như lý thuyết số, hình học, đại số, xác suất thống kê, khoa học máy tính, hóa học…Tổ hợp đụng chạm đến nhiều vấn

đề khác nhau của toán học nên khó có thể định nghĩa một cách tổng quan

Nội dung của lý thuyết tổ hợp gắn liền với việc nghiên cứu, phân bố các phần tử vào các tập hợp Các phần tử này thường hữu hạn và việc phân bố phải thỏa mãn những điều kiện nhất định nào đó

Trong nhiều trường hợp, việc xác định sự tồn tại một cấu hình thỏa mãn tính chất nào đó có ý nghĩa quan trọng về mặt lý thuyết cũng như thực tế

Vì vậy một bài toán tổ hợp là một bài toán: “Xét sự tồn tại các cấu hình tổ hợp thỏa mãn tính chất cho trước”

Bài toán tồn tại được nghiên cứu từ rất lâu và góp phần đáng kể thúc đẩy sự phát triển của lý thuyết tổ hợp cũng như nhiều ngành toán học khác, các bài toán dưới đây phần nào cho ta thấy rõ hơn điều đó

1.1.1 Sơ lược lịch sử

Có thể nói tư duy tổ hợp ra đời từ rất sớm Vào thời nhà Chu – Trung Quốc người ta đã biết đến những hình vuông thần bí Thời cổ Hy Lạp – thế kỉ thứ 4 trước Công nguyên, nhà triết học Kxenokrat đã biết cách tính số các từ khác nhau lập từ bảng chữ cái cho trước Nhà toán học Pitagor và học trò đã tìm ra được nhiều số có tính chất đặc biệt Chẳng hạn, 36 không những là tổng của 4 số chẵn và 4 số lẻ đầu tiên, mà còn là tổng lập phương của 3 số tự nhiên đầu tiên

Từ định lý Pitagor người ta cũng đã tìm ra những số mà bình phương của nó bằng tổng bình phương của 2 số khác Các bài toán như vậy đòi hỏi phải có nghệ thuật tổ hợp nhất định Tuy nhiên có thể nói rằng, lý thuyết tổ hợp được hình thành như một ngành toán học mới vào thế kỉ 17 bằng một loạt công trình nghiên cứu của các nhà toán học xuất sắc như Pascal, Fermat, Euler, Leibnitz, …

Các bài toán tổ hợp có đặc trưng bùng nổ tổ hợp với số cấu hình tổ hợp khổng lồ Việc giải chúng đòi hỏi một khối lượng tính toán khổng lồ (có trường hợp mất hàng chục năm) Vì vậy trong thời gian dài, khi mà các ngành toán học như phép tính vi phân, phép tính tích phân, phương trình vi phân,

…phát triển như vũ bão, thì dường như nó nằm ngoài sự phát triển và ứng dụng của toán học Tình thế thay đổi từ khi xuất hiện máy tính và sự phát triển của toán học hữu hạn Nhiều vấn đề tổ hợp đã được giải quyết trên máy tính Từ chỗ chỉ nghiên cứu các trò chơi, tổ hợp đã trở thành ngành toán học phát triển mạnh mẽ, có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực toán học, tin học,…

Chúng ta sẽ đi vào nghiên cứu, tìm hiểu một số bài toán nổi tiếng trong lịch sử

 Bài toán tháp Hà Nội

Bài toán này do Edouard Lucas đưa ra vào cuối thế kỉ 19(ông cũng là

người đưa ra dãy Fibonacci) Bài toán phát biểu như sau: Có 3 cọc, cọc thứ nhất có n đĩa kích thước khác nhau, xếp chồng nhau, đĩa nhỏ nằm trên đĩa lớn Hãy chuyển các đĩa từ cọc thứ nhất sang cọc thứ ba, sử dụng cọc trung gian thứ hai sao cho luôn đảm bảo đĩa nhỏ nằm trên đĩa lớn Hãy đếm số lần

di chuyển đĩa Tìm phương án di chuyển tối ưu

Số lần di chuyển là 2n1

Khi n=64 ta có số lần di chuyển là 18 446 744 073 709 551 615

 Bài toán xếp n cặp vợ chồng

Bài toán này cũng do Lucas đưa ra năm 1891 Bài toán phát biểu như

sau: Có n cặp vợ chồng cần xếp vào bàn tròn sao cho không có cặp nào

ngồi gần nhau Có bao nhiêu cách xếp như vậy?

Bài toán này dẫn đến việc ngiên cứu một khái niệm quan trọng là số phân bố và mãi đến năm 1934 mới có lời giải

Số cách xếp là 2.n! U n trong đó U n là số phân bố Bảng sau cho thấy

sự bùng nổ tổ hợp ghê gớm của số phân bố

Un= 2 13 80 579 4 738 43 387 439 729 4 890741

 Bài toán đường đi quân ngựa trên bàn cờ

Cho bàn cờ vua với kích thước 8 x 8 = 64 ô Tìm đường đi của quân ngựa qua tất cả các ô, mỗi ô chỉ 1 lần, và quay về ô xuất phát Người ta chứng minh tổng quát được rằng:

Trên bàn cờ vuông có số cạnh chẵn lớn hơn hoặc bằng 6 bao giờ cũng tồn tại đường đi

Đường đi của Euler (1759) có tính chất: hiệu các ô đối xứng qua tâm

Đường đi của Beverle (1848) có tính chất: tổng các ô trên cột và hàng bằng 260

Hình vuông la tinh cấp n là hình vuông gồm các số 1, 2, …, n – 1, n

thỏa mãn tổng mỗi hàng và tổng mỗi cột đều bằng nhau và bằng :

Công thức tính số hình vuông la tinh đến nay vẫn còn bỏ ngỏ Tuy nhiên, ta có thể lập chương trình liệt kê tất cả hình vuông la tinh chuẩn Dưới đây là một số giá trị:

l n = 1 1 1 4 56 9 408 16 942 080

(l n là số hình vuông la tinh chuẩn cấp n)

 Hình lục giác thần bí

Năm 1910 Cifford Adams đưa ra bài toán hình lục giác thần bí sau:

Trên 19 ô lục giác hãy điền các số từ 1 đến 19 sao cho tổng theo sáu hướng của lục giác bằng nhau (= 38)

Sau 47 năm trời kiên nhẫn cuối cùng ông cũng tìm ra lời giải Nhưng

do sơ ý đánh mất bản thảo ông đã tốn thêm 5 năm nữa để khôi phục lời giải Năm 1962

Adams công bố lời giải Đây cũng là lời giải duy nhất

Mỗi cách phân bố sắp xếp như thế gọi là một cấu hình tổ hợp

một cấu hình tổ hợp trên các tập A 1, A 2 ,….,A n

Ví dụ: Xét sự bố trí các quân cờ trên bàn cờ vua Mỗi thế cờ có thể coi

là một cấu hình tổ hợp Ở đây ta có thể định nghĩa

A là tập hợp các quân cờ trắng

B là tập hợp các quân cờ đen

S là sơ đồ sắp xếp các quân cờ trên bàn cờ

R là hệ thống các điều kiện được xác định bằng luật cờ vua

Ví dụ: Bài toán tháp Hà Nội

A là tập hợp n đĩa

S là sơ đồ sắp xếp các đĩa trên 3 cọc

R 1 là điều kiện mỗi lần chuyển 1 đĩa từ một cọc sang cọc khác

R 2 là điều kiện đĩa nằm dưới lớn hơn đĩa nằm trên

Cấu hình tổ hợp là một cách sắp xếp các đĩa trên 3 cọc thỏa các điều

kiện R 1 và R 2

Ví dụ: Bài toán đường đi quân ngựa trên bàn cờ

A là tập hợp các ô trên bàn cờ, có thể biểu diễn như sau

S là sơ đồ sắp xếp tất cả các ô của A thành một vòng khép kín

R là điều kiện từ mỗi ô trên vòng có thể đi đén các ô kề theo quy tắc đi của quân ngựa

b Các dạng bài toán tổ hợp

 Bài toán tồn tại

Mục tiêu của bài toán tồn tại là chứng minh sự tồn tại hoặc không tồn tại của cấu hình tổ hợp nào đó

Có những bài toán loại này rất khó và việc cố gắng giải chúng đã thúc đẩy sự phát triển nhiều hướng nghiên cứu toán học

Ví dụ: Cho n nguyên dương

A là tập hợp n x n điểm

S là tập hợp 2n điểm trong A

R là điều kiện không có 3 điểm trong S thẳng hàng

Với 2 n 15 cấu hình tổ hợp tồn tại Nhưng bài toán chưa có lời giải với

Ví dụ: Đếm số tập con của một tập hợp

Hoặc đếm số nghiệm nguyên dương của phương trình

x + y + z = 10

 Bài toán liệt kê

các bài toán loại này nghiên cứu những thuật toán hiệu quả để xây dựng tất cả các cấu hình tổ hợp đã cho Nhiều vấn đề trong lĩnh vực khác nhau thường được đưa về bài toán liệt kê và kiểm tra xem các cấu hình tổ hợp có thỏa mãn tính chất cho trước hay không

Ví dụ: Liệt kê tất cả các hoán vị của n phần tử

 Bài toán tối ưu tổ hợp

Trong nhiều vấn đề, mỗi cấu hình tổ hợp được gán một giá trị bằng số (chẳng hạn như hiệu quả sử dụng, hay chi phí thực hiện) Khi đó bài toán tối

ưu tổ hợp nghiên cứu những thuật toán tìm cấu hình tổ hợp có giá trị tối ưu (lớn nhất hoặc nhỏ nhất )

Ví dụ: (Bài toán ba lô) Một nhà thám hiểm dùng một cái ba lô trọng

lượng không quá b để mang đồ vật Có n đồ vật 1, 2,…,n Đồ vật thứ j có trọng lượng và aj giá trị sử dụng là c j = 1, 2, …n Hỏi nhà thám hiểm

cần mang theo những đồ vật nào để tổng giá trị sử dụng là lớn nhất ?

1.2 NGUYÊN LÝ DIRICHLET

1.2.1 Đôi nét về nhà toán học Dirichlet

G Lejeune-Dirich tên đầy đủ là Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, (1762-1837) là nhà toán học nổi tiếng người Đức Ông là người có những phát minh lớn trong lí thuyết số, thiết lập các công thức cho cho số các lớp dạng toàn phương hai ngôi với định thức cho trước Ông cũng là người chứng minh định lý về tập hợp vô hạn các số nguyên tố trong một cấp số cộng gồm những số nguyên mà số hạng đầu và công sai là nguyên tố cùng nhau bằng cách sử dụng những hàm giải tích, gọi là hàm (chuỗi) Dirichlet và sáng lập ra

lý thuyết tổng quát về các đơn vị đại số trong một trường số đại số

Về giải tích, Dirichlet là một trong những người đầu tiên quan niệm

hàm là sự cho ứng với mọi x một phần tử y, mà không cần phải có biểu thức của y theo x bằng các phép tính số học Dirichlet cũng là người đầu tiên đề

xuất và nghiên cứu khái niệm hội tụ có điều kiện của chuỗi

Ông phát biểu và chứng minh những điều kiện đủ, thường gọi là điều kiện Dirichlet, để chuỗi Fourier của một hàm số hội tụ tới hàm số đó

Dirichlet cũng có những công trình đáng kể về cơ học và vật lý toán, đặc biệt về lý thuyết thế

Nguyên lí Dirichlet - còn gọi là nguyên lí chim bồ câu (The Pigeonhole Principle) hoặc nguyên ý những cái lồng nhốt thỏ hay nguyên lí sắp xếp đồ vật vào ngăn kéo (The Drawer Principle) – là nguyên lý đưa ra một nguyên tắc về phân chia phần tử các lớp

Nguyên lí này được Dirichlet phát biểu đầu tiên năm 1834

Nguyên lý Dirichlet là một công cụ rất hiệu quả dùng để chứng minh nhiều kết quả sâu sắc của toán học Nó đặc biệt có nhiều áp dụng trong lĩnh vực khác nhau

1.2.2 Nguyên lý Dirichlet

a Nguyên lý Dirichlet 1 (Nguyên lý những ngăn kéo)

Nguyên lý Dirichlet khẳng định một sự kiện “hiển nhiên” rằng n+1 vật không thể xếp vào n ngăn kéo sao cho mỗi vật ở riêng một ngăn kéo Một

cách tổng quát, nguyên lý này khẳng đinh rằng :

Nếu có m đối tượng được xếp vào n hộp với m >n thì tồn tại hộp chứa

ít nhất hai đối tượng

Chứng minh:

Nguyên lý này rất dễ kiểm tra:

Giả Sử : Nếu không có hộp nào chứa ít nhất 2 đối tượng, thì số đối

tượng không lớn hợn n, mâu thuẫn với giả thuyết số đối tượng m lớn hơn số

hộp n

Tuy rằng với nguyên lý này người ta chỉ chứng minh được sự tồn tại mà không đưa ra phương pháp tìm được vật cụ thể,nhưng trong thực tế nhiều bài toán ta chỉ cần chỉ ra sự tồn tại là đủ rồi Ngày nay chúng ta đã

có những tổng quát hóa rất mạnh của nguyên lý này trong các ứng dụng không tầm thường như các định lý kiểu Ramsey, phương pháp xác suất…vv

Bằng cách chọn ngăn kéo và vật một cách khéo léo thì việc giải các bài toán sử dụng nguyên lý Dirichlet trở nên rất đơn giản

  (vô lí vì giả thiết cho m vật)

Vậy giả sử sai Nguyên lí được chứng minh

Ví dụ 1: Trong 100 người thì bao giờ cũng có ít nhất 9 người cùng

Giả sử A , A , A1 2 k là các tập con hữu hạn của S

a.) Nếu mỗi phần tử của S chứa ít nhất r tập con A i thì :

Ví dụ : Xếp ngẫu nhiên các số 1, 2, , 12 trên vòng tròn Chứng minh

rằng luôn tìm được 3 số kề nhau có tổng lớn hơn hoặc bằng 20

Suy ra tồn tại một tập A i có chứa ít nhất 20 quả bóng

1.2.3 Nguyên lý Dirichlet Đối ngẫu

a Nguyên lý Dirichlet đối ngẫu hữu hạn phần tử

Nguyên lý Dirichlet đối ngẫu được phát biểu như sau:

 Nguyên lý Dirichlet đối ngẫu : Cho tập hữu hạn S   và S1 ,S2,…

Sn là các tập con của S sao cho S1  S2   S n k S Khi đó tồn tại một

phần tử xS sao cho x là phần tử chung của k+1 tập S ( i i 1 2, , n )

Ta sẽ chứng minh nguyên lí này tương đương với nguyên lí Dirichlet

Định lí 1 (Định lí tương đương): Nguyên lý Dirichlet và Nguyên lý Dirichlet

đối ngẫu tương đương nhau

Ta phân bố các phần tử cuả tập X vào m hộp 1,2,……m nhƣ sau:

Nếu : x iS j Thì x ,S i j đƣợc phân vào hộp I với mọi i =1 ,2 ,… m

 Nguyên lý Dirichlet đối ngẫu suy ra nguyên lý Dirichlet :

Kí hiệu n phần tử j = 1,2, … n Ta phân bố các phần tử j = 1,2,… n vào

m hộp H i ,

i=1,2 … m Kí hiệu S H / i i 1 2, m ,S j H / j i H , j i  1 2, , n Hiển nhiên S j   1 j 1 2, , n và S m

Suy ra : S1  S2  S n  n k.mk S

Theo nguyên lý Dirichlet đối ngẫu tồn tại phần tử H i chung của k+1 tập S j (j = 1 ,2 … n) Tức là tồn tại hộp H i chứa ít nhất k+1 phần tử

b Nguyên lí Dirichlet đối ngẫu vô hạn phần tử

 Tập phần tử là một khoảng trên đường thẳng

Trong mục này ta kí hiệu d(I) là độ dài khoảng I R

Định lí 2 : Cho A là một khoảng giới nội, A , A , A1 2 n là các khoảng sao cho

Định lí 3 : Cho A là một khoảng giới nội, A , A , A1 2 n là những khoảng con của A, k là số tự nhiên thỏa : k.d( A )d( A ) d( A ) d( A )1  2   n

Khi đó tồn tại ít nhất k+1 khoảng A i (i = 1,2,…n) có điểm trong

chung

Chứng minh :

Ta chứng minh bài toán này bằng phương pháp quy nạp

o Trường hợp : k=1 được chứng minh ở định lý 2.

o Giả sử định lí đúng với k Ta cần chứng minh nó đúng với k+1.

Cho A , A , A1 2 n là các khoảng con của A thỏa

( k1).d( A )d( A ) ( A ) d( A )1  2   n (2.1)

Ta sẽ chỉ ra rằng tồn tại điểm trong chung của k+2 khoảng A ( i i 1 2, n )

Vì A i  A, nên d(A ) i d(A) (i1 2, n) từ đó suy ra

d( A ) d( A ) d( A )   n.d( A )

Theo (2.1) ta có : ( k1).d( A )d( A ) d( A ) d( A )1  2   n n.d( A ) suy ra

k+1 < n Vì vậy n k 2

Ta chứng minh điểm chung cho ít nhất k+2 tập A , A , A1 2 n thỏa (2.1)

bằng qui nạp theo n Ta bắt đầu từ n = k+2, tức là :

suy ra ít nhất k +2 tập hợp thỏa (2.1) có điểm trong chung

Bây giờ chúng ta giả thiết với n k 2 có ít nhất k +2 tập hợp thỏa

(2.1) có điểm trong chung Ta sẽ phải chứng minh rằng từ :

k.d( A )d( A )d( A ) d( A ) (2.18) Thật vậy trong trường hợp ngược lại ta có:

( k )d( A )d( A )d( A ) d( A )Hoặc là : ' 1" 2" "

n

k.d( A )d( A )d( A ) d( A )Cộng hai vế lại và do (2.15) và (2.16) ta có :

'

n

k.d( A )k.d( A )d( A )d( A ) d( A ) (2.19) Cộng hai vế (2.19) với "

A , A , A , , A có điểm trong chung Từ (2.11) suy

ra rằng kết luận cũng đúng cho dãy A , A , A1 2 n

Giả sử (2.18) đúng Theo giả thiết qui nạp đối với k suy ra k+1 tập

hợp trong dãy 1" 2" 3" "

n

A , A , A , , A có điểm trong chung Từ (2.12) chỉ ra rằng tồn tại một điểm mà nó là điểm trong k+1 tập hợp A , A , A1 2 n Và của cả A n1

Như vậy từ (2.10) suy ra k+2 tập hợp trong dãy A , A , A1 2 n có điểm

trong chung Suy ra kết luận đúng với n+1 Theo phương pháp qui nạp , suy

ra điều phải chứng minh

 Tập hợp phần tử là miền phẳng giới hạn bởi đường cong khép kín Trong mục này ta kí hiệu S(A) là diện tích bề mặt A

Định lý 4: Nếu A là một miền phẳng giới hạn bởi đường cong khép kín, còn

Chứng minh : tương tự như chứng minh định lý 2

Định lý 5 : Cho A là một miền phẳng giới hạn bởi đường cong phẳng khép

kín, còn A , A , A1 2 n là những miền phẳng thỏa mãn A i  A ( i  1 2, , ,n ) còn k là số tự nhiên thỏa :

k.S( A )S( A ) S( A ) S( A )  

Khi có ít nhất k+1 trong những miền phẳng trên có điểm trong chung Chứng minh : Tương tự như chứng minh Định lý 3

 Tập phần tử là khối ba chiều giới hạn bởi các mặt cong

Trong mục này ta kí hiệu V(A) là thể tích khối A

Định lý 6 : Nếu A là khối giới hạn bởi các mặt cong , còn A , A , A1 2 n là các khối sao cho A i  A ( i  1 2, , ,n ) và V( A ) V(A ) V(A ) V(A ) 1  2   n , thì ít nhất có hai khối trong số các khối trên có điểm trong chung

Chứng minh : Tương tự như chứng minh định lý 2

Định lý 7 : Cho A là một khối giới hạn bởi các mặt cong , A , A , A1 2 nlà những khối và thỏa mãn A i A ( i  1 2, , ,n ) Còn k là sô tự nhiên thỏa :

Ta có hình chiếu của một đường tròn bán kính R là một đoạn thẳng có

độ dài 2R Vì vậy trên cạnh hình vuông

đã chọn có những đoạn thẳng chiếu

xuống với tổng độ dài là 10

 mà 10

3



 Nên theo nguyên lý Dirichlet đối ngẫu (Định lí 3) suy ra có một điểm

M nào đó thuộc AB có điểm trong chung của ít nhất 4 đoạn thẳng đã chiếu xuống Khi đó đường thẳng đi qua M vuông góc với AB cắt ít nhất 4 trong những đường tròn đó

Hình 1.1

Ví dụ 2 :

Một tập hợp những điểm M là hợp của một số đoạn thẳng nằm trong khoảng  0 1, Biết rằng khoảng cách giữa hai điểm bất kì của M khác 0 , 1 Chứng minh tổng độ dài của những đoạn tạo nên M không vượt quá 0,5

  là kết quả của 6 điểm

khác nhau x ,x , ,x1 2 6 của M trừ đi tương ứng số dạng 1 2 6

10 10 10

k

k k , , , , với k i là một số nào đó từ 0 ,1,2,…,9 và i =1,2 ,… ,6 Theo nguyên lý Dirichlet ít nhất có hai trong các số k ,k , ,k1 2 6 là liên tiếp Hay ví dụ như

Vậy tổng độ dài các điểm tạo nên M không vượt quá 0,5

Ví dụ 3 :

Tìm hình vuông có kích thước bé nhất để trong hình vuông đó có thể sắp xếp 5 hình tròn có kích thước bằng 1 sao cho không có hai đường tròn có điểm trong chung?

Lời giải:

Giả sử hình vuông ABCD có tâm O và cạnh là a Chứa 5 hình tròn

không cắt nhau đều có bán kính bằng 1, khi đó các tâm của chúng nằm trong các hình vuông A1B1C1D1 có tâm O, và AB A B1 1 và cạnh bằng a -2 (Xem

hình 1.2.) Các đường thẳng nối từ trung điểm của các cạnh đối diện của hình vuông A1B1C1D1 chia hình vuông đó thành 4 hình vuông nhỏ

Theo nguyên lý Dirichlet, ở một trong chúng ít nhất cũng có 2 trong số các tâm Khi đó khoảng cách giữa hai tâm này một mặt không lớn hơn đường chéo hình vuông bé,mặt khác không bé hơn 2 Do vậy có :

1 1 1

Vậy nếu : a 2 2  2 và tâm của các hình tròn là các điểm O, A1 , B1 ,

hình vuông cần tìm là 2 2  2

Hình 1.2

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET VÀO

GIẢI TOÁN SƠ CẤP

2.1 ỨNG DỤNG TRONG LÝ THUYẾT TỔ HỢP

Tuy rằng với nguyên lý Dirichlet người ta chỉ chứng minh được sự tồn tại mà không đưa ra phương pháp tìm được vật cụ thể nhưng trong thực tế nhiều bài toán ta chỉ cần chỉ ra sự tồn tại là đủ rồi

Nguyên lí Dirrichlet thực chất là một định lí về tập hữu hạn Ta có thể phát biểu chính xác nguyên lí này như sau:

Cho A ,B là hai tập hợp không rỗng có số phần tử hữu hạn, mà số lượng phần tử A lớn hơn số lượng phần tử B Nếu với một qui tắc nào đấy, mỗi phần tử A cho tương ứng với một phần tử B Thì tồn tại hai phần tử khác nhau của A mà chúng tương ứng với cùng một phần tử của B

Để dễ hiểu ta cứ cho rằng các phần tử của B là những “ Ngăn kéo” và các phần tử của A là những “vật” được đặt vào các ngăn của nó

Trong phát biểu của nguyên lí trên các phần tử hữu hạn được tính bằng các số tự nhiên, vì vậy nguyên lí Dirrichle liên quan mật thiết tới tập hợp số tự nhiên và các tính chất của tập hợp số này

Mặc dù nguyên lý Dirichlet được phát biểu rất đơn giản nhưng cái khó của nó là phải xác định được xem vật là gì, ngăn kéo là gì

Để rõ hơn ta sẽ xét một số bài toán sau đây:

Bài toán 1: Trong sinh học người ta biết rằng số tóc trên đầu của mỗi người

nhỏ hơn 200.000 cái Chứng minh rằng trong số người của thành phố Hà Nội, với số dân hơn 2.000.000 người, có ít nhất 11 người có cùng số tóc

Lời giải:

Chúng ta xét 200.000 ngăn kéo được đánh số từ 0 đên 199.000, rồi đặt mỗi người dân Hà Nội vào một ngăn kéo mà số tóc bằng số thứ tự của ngăn kéo Giả sử không có 11 người có cùng số tóc Như vậy mỗi ngăn kéo sẽ có nhiều nhất là 10 người có cùng số tóc, do đó số dân Hà Nội có nhiều nhất là :

200.000 x 10 = 2.000.000 người , điều này trái với giả thiết là số dân

Hà Nội lớn hơn 2 triệu

Bài toán 2 : Chứng minh rằng trong mỗi nhóm gồm n người có ít nhất hai

người có cùng số lượng người quen giữa những người trong nhóm đó

Lời giải:

Chúng ta xét n ngăn kéo được đánh số từ 0 đến n-1, mỗi người trong

nhóm được đặt vào một ngăn mang số trùng với số người trong nhóm mà người đó quen.Ta xét hai trường hợp sau:

TH1: Nếu có một người không quen ai cả trong số những người còn lại, thì ngăn số n-1 là trống (vì ngược lại thì cả ngăn 0 và n-1 đều không trống, dẫn đến vô lí) Như vậy mỗi người trong số n người được đặt vào vào các ngăn mang số 0,1,2,…, n-1 với số lượng n-1 ngăn Từ nguyên lý Dirichle

suy ra có ít nhất 2 người ở trong một ngăn hay là họ cùng chung số lượng người quen

TH2 : Nếu mọi người có ít nhất 1 người quen, mỗi người sẽ được đặt vào các ngăn mang số 1,2,3,…,n-1 Với số lượng n-1 ngăn cho n người, theo

nguyên lý Dirichle ta cũng suy ra được sẽ có ít nhất 2 người có cùng số lượng người quen

Bài toán 3 : Trên trái đất sống hơn 6 tỷ người, biết rằng không quá 1% sống trên

100 tuổi Chứng minh rằng ít nhất có 2 người sinh cùng một giây đồng hồ

Lời giải :

Theo dương lịch hiện hành 100 năm có ít hơn 37000 ngày Mỗi ngày có