Góc định hướng và ứng dụng trong hình học phẳng

Nhờ góc định hướng và các hệthức giữa chúng, ta có nhiều ý tưởng, cách tư duy hơn trong việc tiếpcận một bài toán Hình học phẳng; góc định hướng cũng giúp ta trìnhbày lời giải vừa gọn gà

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Nguyễn Duy Thái Sơn

ĐÀ NẴNG - NĂM 2018

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình và chuđáo của TS Nguyễn Duy Thái Sơn Tôi xin phép được gửi đến thầy sựkính trọng và lòng biết ơn sâu sắc về sự tận tâm của thầy đối với bảnthân tôi không những trong thời gian làm luận văn mà còn trong suốtquá trình học tập.

Tôi cũng xin phép gửi lời cám ơn chân thành đến quý thầy cô đãgiảng dạy lớp PPTSCK32, những người đã cho tôi kiến thức, quan tâm,động viên, nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập cũng nhưtrong thời gian thực hiện đề tài

Cuối cùng, tôi xin phép gửi lời cám ơn đến những người thân, bạn

bè đã quan tâm, giúp đỡ tôi trong suốt quãng đường học tập vừa qua

Đà Nẵng, tháng 1 năm 2018Phan Nguyễn Anh Khoa

MỞ ĐẦU 1

1.1 Góc hình học 4

1.1.1 Góc giữa hai tia cùng gốc 4

1.1.2 Góc giữa hai đường thẳng 5

1.1.3 Góc giữa hai vectơ 6

1.2 Góc định hướng 6

1.2.1 Góc định hướng giữa hai tia cùng gốc 6

1.2.2 Góc định hướng giữa hai vectơ 7

1.2.3 Góc định hướng giữa hai đường thẳng 8

1.3 Góc lượng giác 9

1.3.1 Góc lượng giác giữa hai tia cùng gốc 9

1.3.2 Góc lượng giác giữa hai vectơ 9

1.3.3 Góc lượng giác giữa hai đường thẳng 10

1.4 Hai tam giác bằng nhau cùng hướng, ngược hướng 11

1.5 Hai tam giác đồng dạng cùng hướng, ngược hướng 12

1.6 Một vài kết quả cơ bản 13

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG 19 2.1 Ứng dụng trong chứng minh hai góc bằng nhau 19

2.2 Ứng dụng trong chứng minh hai đường thẳng song song 20 2.3 Ứng dụng trong chứng minh ba điểm thẳng hàng 21

2.4 Ứng dụng trong chứng minh hai đường thẳng vuông góc 22 2.5 Ứng dụng trong chứng minh các điểm đồng viên 23

CHƯƠNG 3 CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP 26

N Tập hợp các số nguyên dương.

Z Tập hợp các số nguyên

A 6 = B Các điểm A, B khác nhau.

AB ≡ CD Các đường thẳng AB, CD trùng nhau.

AB //CD Các đường thẳng AB, CD song song nhau.

AB ⊥ CD Các đường thẳng AB, CD vuông góc nhau.

AB ∩ CD = O Các đường thẳng AB, CD cắt nhau tại O.

(O, R) Đường tròn tâm O bán kính R.

(ABC) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong những năm qua, các bài toán Hình học phẳng, đặc biệt lànhững bài toán về góc, đường tròn, đường thẳng hay những bài toánliên quan đến phép biến hình, phép đồng dạng là một trong nhữngthử thách lớn đối với các em học sinh trong các kì thi quốc gia, quốc

tế Trong quá trình học tập, nghiên cứu và công tác, tôi nhận thấy việcgiải các bài toán Hình học phẳng này đòi hỏi phải xét rất nhiều trườnghợp, vị trí các điểm, các góc trong bài toán (thường được gọi tắt là cácthế hình) Góc định hướng trên mặt phẳng là một khái niệm tinh tế màsách giáo khoa Toán chưa đề cập đầy đủ Tương tự như khi xét đoạnthẳng với đồng thời hai yếu tố là độ dài và hướng người ta đưa ra kháiniệm vec-tơ, thì khi xét góc với đồng thời hai yếu tố là độ lớn và hướngngười ta có khái niệm góc định hướng Nhờ góc định hướng và các hệthức giữa chúng, ta có nhiều ý tưởng, cách tư duy hơn trong việc tiếpcận một bài toán Hình học phẳng; góc định hướng cũng giúp ta trìnhbày lời giải vừa gọn gàng, vừa chặt chẽ, chung cho mọi thế hình có thể

có của bài toán

Với những lí do nói trên và với mong muốn tìm hiểu kĩ hơn về gócđịnh hướng cũng như có thêm một tài liệu tham khảo cho đối tượng họcsinh giỏi, tôi chọn đề tài

“GÓC ĐỊNH HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC PHẲNG”

làm đề tài luận văn của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài là nhằm hệ thống lại một số kiến thức cơ bản,

bổ sung (so với các nội dung có trong sách giáo khoa THPT) các kiếnthức về góc định hướng và trình bày các ứng dụng của góc định hướngtrong việc giải các bài toán hình học phẳng

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Góc định hướng và những ứng dụng của nótrong việc giải các bài toán hình học phẳng

Phạm vi nghiên cứu: Các tính chất cơ bản của góc định hướng vàcác bài toán hình học phẳng liên quan đến góc định hướng

4 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu để thu thập thông tin rồitrình bày nội dung phục vụ cho yêu cầu của đề tài

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Giải một số bài toán hình học phẳng Đề tài đóng góp thiết thực choviệc dạy và học về hình học phẳng Hi vọng luận văn khi hoàn thành sẽtrở thành một tài liệu tham khảo có ích cho các học sinh muốn tìm hiểu

về hình học phẳng nói chung và góc định hướng nói riêng

6 Bố cục đề tài

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày vắn tắt các kiến thức cơ sở sẽ được sử dụngtrong Chương 2

Chương 2: Ứng dụng trong việc giải các bài toán hình học phẳng

Chương này trình bày các ứng dụng của góc định hướng trong việcgiải các bài toán hình học phẳng.

Chương 3: Các bài toán tổng hợp

Chương này trình bày một số bài toán sử dụng tổng hợp các ứngdụng trong Chương 2 để giải

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Góc hình học

1.1.1 Góc giữa hai tia cùng gốc

Định nghĩa 1.1.1 ([3], chương 2) Bộ không phân biệt thứ tự gồm hai

tia Ox, Oy cùng gốc và không cùng thuộc một đường thẳng được gọi là góc giữa hai tia, kí hiệu là xOyV

hoặc yOxV

Định nghĩa 1.1.2 ([3], chương 2) Giao của nửa mặt phẳng (mở) bờ

Ox chứa tia Oy và nửa mặt phẳng (mở) bờ Oy chứa tia Ox được gọi là miền trong của góc giữa hai tia xOyV

Định nghĩa 1.1.3 ([3], chương 2) Bộ không phân biệt thứ tự gồm hai

tia trùng nhau Ox, Oy cũng được gọi là góc giữa hai tia (góc không

-giữa hai tia, khi cần nhấn mạnh), kí hiệu bởi một trong các cách sau:

Định nghĩa 1.1.5 ([3], chương 2) Bộ không phân biệt thứ tự gồm hai

tia đối nhau Ox, Oy cùng với một nửa mặt phẳng (mở) bờ xy cũng được

gọi là góc giữa hai tia (góc bẹt - giữa hai tia, khi cần nhấn mạnh), kí

hiệu là xOyV

hoặc yOxV

Định nghĩa 1.1.6 ([3], chương 2) Nửa mặt phẳng (mở) bờ xy trong

định nghĩa 1.1.5 là miền trong góc bẹt - giữa hai tia xOyV

Định nghĩa 1.1.7 ([3], chương 2) Độ dài phần giao miền trong của

góc giữa hai tia xOyV

và đường tròn tâm O, bán kính 1 được gọi là số đo (theo đơn vị radian) của xOyV

2 radian =

90◦ (đọc là 90 độ) Theo thói quen, thay vì viết "α radian" người ta viết đơn giản là "α".

Chú ý 1 xOyV

= 0 khi và chỉ khi xOyV

là góc không - giữa hai tia

2 xOyV

= π khi và chỉ khi xOyV

là góc bẹt - giữa hai tia

1.1.2 Góc giữa hai đường thẳng

Định nghĩa 1.1.8 ([3], chương 2) Bộ không phân biệt thứ tự gồm hai

đường thẳng d1 và d2 được gọi là góc giữa hai đường thẳng, kí hiệu là

Định nghĩa 1.1.9 ([3], chương 2) Trường hợp hai đường thẳng d1 và

d2 cắt nhau tạo thành bốn góc giữa hai tia, số đo của góc bé nhất trong

bốn góc đó được gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng d1 và d2

Trường hợp d1 và d2 song song hoặc trùng nhau thì ta quy ước góc giữa

d1 và d2 bằng 0

Số đo của góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 được kí hiệu là sđ(d1, d2)

V

Nếu không có gì nhầm lẫn thì số đo của góc giữa hai đường thẳng d1 và

d2 sẽ được kí hiệu đơn giản là (d1, d2)

1.1.3 Góc giữa hai vectơ

Định nghĩa 1.1.10 ([3], chương 2) Bộ không phân biệt thứ tự gồm

hai vectơ #»a, #»b khác #»0 được gọi là góc giữa hai vectơ, kí hiệu là (#»a , #»b)

Số đo góc giữa hai vectơ #»a và #»b được kí hiệu là sđ(#»a , #»b)

V

.Nếu không có gì nhầm lẫn số đo của góc giữa hai vectơ #»a và #»b được

kí hiệu đơn giản là (#»a , #»b)

1.2.1 Góc định hướng giữa hai tia cùng gốc

Định nghĩa 1.2.1 ([3], chương 2) Bộ có phân biệt thứ tự gồm hai tia

Ox , Oy cùng gốc được gọi là góc định hướng giữa hai tia, cũng được kí hiệu là (Ox, Oy).

Khi các tia Ox, Oy trùng nhau, góc định hướng giữa chúng được gọi

là góc - không, và còn được kí hiệu bởi một trong các cách sau:(Oy, Ox), (Ox, Ox), (Oy, Oy).

Định nghĩa 1.2.2 ([3], chương 2) Mặt phẳng được gọi là định hướng

nếu trên đó một trong hai hướng của mỗi góc định hướng giữa hai tiakhác góc - không được đánh dấu cộng (+) và hướng còn lại được đánhdấu bởi dấu trừ (-) Hướng mang dấu cộng (tương ứng trừ) được gọi làhướng dương (tương ứng âm)

Thông thường, người ta quy ước hướng dương là hướng ngược vớihướng quay của kim đồng hồ, hướng âm là hướng trùng với hướng quaycủa kim đồng hồ.

Định nghĩa 1.2.3 ([3], chương 2) Trên mặt phẳng định hướng, số đo

của góc định hướng giữa hai tia (Ox, Oy) được kí hiệu là sđ(Ox, Oy) và

được xác định như sau

nếu (Ox, Oy) có hướng âm

0 nếu hai tia Ox, Oy trùng nhau.

Nếu không có gì nhầm lẫn thì số đo của góc định hướng giữa hai

tia (Ox, Oy) được kí hiệu đơn giản là (Ox, Oy) Đương nhiên −π ≤ (Ox, Oy) ≤ π.

Định lý 1.2.4 Với hai tia Ox, Oy bất kì, ta có (Ox, Oy) = −(Oy, Ox).

1.2.2 Góc định hướng giữa hai vectơ

Định nghĩa 1.2.5 ([3], chương 2) Bộ có phân biệt thứ tự gồm hai vectơ

#»a, #»b khác #»0 và không ngược hướng nhau được gọi là góc định hướnggiữa hai vectơ, cũng được kí hiệu là (#»a , #»b)

Định nghĩa 1.2.6 ([3], chương 2) Bộ có phân biệt thứ tự gồm hai

vectơ #»a, #»b khác #»0 và ngược hướng nhau cùng với một trong hai số π,

−π được gọi là góc bẹt định hướng giữa hai vectơ, cũng được kí hiệu là(#»a , #»b)

Định nghĩa 1.2.7 ([3], chương 2) Cho hai vectơ #»a và #»b đều khácvectơ #»0 và không ngược hướng Từ một điểm O bất kì, ta vẽ # » OA = #»a

và # »OB = #»b Số đo góc định hướng giữa hai vectơ (#»a , #»b) là số đo

(OA, OB).

Số đo góc bẹt định hướng giữa hai vectơ là một trong hai số π, −π

trong định nghĩa của nó

Số đo góc định hướng giữa hai vectơ (#»a , #»b) được kí hiệu là sđ(#»a , #»b).Nếu không có gì nhầm lẫn số đo góc định hướng giữa hai vectơ #»a và

#»

b được kí hiệu đơn giản là (#»a , #»b ) Đương nhiên −π ≤ (#» a , #»b ) ≤ π.

Định lý 1.2.8 Với hai vectơ #» a , #» b bất kì khác #» 0 , ta có (#» a , #»b) =

−(#»b , #» a ).

1.2.3 Góc định hướng giữa hai đường thẳng

Định nghĩa 1.2.9 ([3], chương 2) Bộ có phân biệt thứ tự gồm hai

đường thẳng d1, d2 không vuông góc nhau được gọi là góc định hướng

giữa hai đường thẳng, và cũng được kí hiệu là (d1, d2)

Định nghĩa 1.2.10 ([3], chương 2) Bộ có phân biệt thứ tự gồm hai

đường thẳng d1, d2 vuông góc nhau cùng với một trong hai số π

2, −

π

2được gọi là góc định hướng giữa hai đường thẳng, cũng được kí hiệu là

(d1, d2)

Định nghĩa 1.2.11 ([3], chương 2) Cho hai đường thẳng d1 và d2 không

vuông góc nhau Từ một điểm O bất kì, ta vẽ tia Ox cùng phương với

d1, tia Oy cùng phương với d2 sao cho −π

2 < (Ox, Oy) <

π

2 Số đo góc

định hướng giữa hai đường thẳng (d1, d2) là số đo (Ox, Oy).

Số đo góc vuông định hướng giữa hai đường thẳng là một trong hai

số π

2, −

π

2 trong định nghĩa của nó.

Số đo góc định hướng giữa hai đường thẳng (d1, d2) được kí hiệu là

sđ(d1, d2)

Nếu không có gì nhầm lẫn số đo góc định hướng giữa hai đường thẳng

d1 và d2 được kí hiệu đơn giản là (d1, d2) Đương nhiên −π

2 ≤ (d1, d2) ≤

π

2.

Định lý 1.2.12 Với hai đường thẳng d1, d2 bất kì, ta có (d1, d2) =

−(d2, d1).

1.3 Góc lượng giác

1.3.1 Góc lượng giác giữa hai tia cùng gốc

Định nghĩa 1.3.1 ([3], chương 2) Bộ hai thành phần ((Ox, Oy), k)

(k ∈ Z) được gọi là góc lượng giác giữa hai tia, kí hiệu là (Ox, Oy) k

Điểm O được gọi là đỉnh, các tia Ox, Oy theo thứ tự được gọi là cạnh đầu, cạnh cuối của góc lượng giác giữa hai tia (Ox, Oy) k

Góc định hướng giữa hai tia (Ox, Oy) được gọi là góc định hướng giữa hai tia sinh của góc lượng giác giữa hai tia (Ox, Oy) k , số nguyên k được gọi là chu kì của góc lượng giác giữa hai tia (Ox, Oy) k

Định nghĩa 1.3.2 ([3], chương 2) Số đo của góc lượng giác giữa hai

tia (Ox, Oy) k được kí hiệu là sđ(Ox, Oy) k và được xác định bởi:

sđ(Ox, Oy) k = sđ(Ox, Oy) + k2π.

Nếu không có gì nhầm lẫn thì số đo của góc lượng giác giữa hai tia

(Ox, Oy) k được kí hiệu đơn giản là (Ox, Oy) k

Chú ý (Ox, Oy)0 = (Ox, Oy).

1.3.2 Góc lượng giác giữa hai vectơ

Định nghĩa 1.3.3 ([3], chương 2) Bộ hai thành phần ((#»a , #»b ), k) (k ∈

Z) được gọi là góc lượng giác giữa hai vectơ, cũng được kí hiệu là (#»a , #»b)k.Các vectơ #»a, #»b theo thứ tự được gọi là cạnh đầu, cạnh cuối của góclượng giác giữa hai vectơ (#»a , #»b)k

Góc định hướng giữa hai vectơ (#»a , #»b) được gọi là góc định hướnggiữa hai vectơ sinh của góc lượng giác giữa hai vectơ (#»a , #»b)k, số nguyên

k được gọi là chu kì của góc lượng giác giữa hai vectơ (#»a , #»b)k

Định nghĩa 1.3.4 ([3], chương 2) Số đo của góc lượng giác giữa hai

vectơ (#»a , #»b)k được kí hiệu là sđ(#»a , #»b)k và được xác định bởi:

sđ(#»a , #»b)k = sđ(#»a , #»b ) + k2π.

Nếu không có gì nhầm lẫn thì số đo của góc lượng giác giữa hai vectơ(#»a , #»b)k được kí hiệu đơn giản là (#»a , #»b)k

Chú ý (#» a , #»b)0 = (#»a , #»b)

1.3.3 Góc lượng giác giữa hai đường thẳng

Định nghĩa 1.3.5 ([3], chương 2) Bộ hai thành phần ((d1, d2), k) (k ∈

Z) được gọi là góc lượng giác giữa hai đường thẳng, cũng được kí hiệu

là (d1, d2)k

Các đường thẳng d1, d2 theo thứ tự được gọi là cạnh đầu, cạnh cuối

của góc lượng giác giữa hai đường thẳng (d1, d2)k

Góc định hướng giữa hai đường thẳng (d1, d2) được gọi là góc địnhhướng giữa hai đường thẳng sinh của góc lượng giác giữa hai đường

thẳng (d1, d2)k , số nguyên k được gọi là chu kì của góc lượng giác giữa hai đường thẳng (d1, d2)k

Định nghĩa 1.3.6 ([3], chương 2) Số đo của góc lượng giác giữa hai

đường thẳng (d1, d2)k được kí hiệu là sđ(d1, d2)k và được xác định bởi:

sđ(d1, d2)k = sđ(d1, d2) + kπ.

Nếu không có gì nhầm lẫn thì số đo của góc lượng giác giữa hai đường

thẳng (d1, d2)k cũng sẽ được kí hiệu đơn giản là (d1, d2)k

Chú ý (d1, d2)0 = (d1, d2)

1.4 Hai tam giác bằng nhau cùng hướng, ngược hướng

Định nghĩa 1.4.1 ([4], chương 2) △ABC, △A′B′C′ được gọi là bằng

nhau cùng hướng nếu ta có BC = B′C′, CA = C′A′, AB = A′B′ vàcác đẳng thức sau giữa các góc định hướng giữa hai vectơ: (# »AB, AC# ») =(A# »′B′, A# »′C′), (# »BC, BA# ») = (B# »′C′, B# »′A′), (# »CA, CB# ») = (C# »′A′, C# »′B′)

Định lý 1.4.2 ([4], trang 102) Nếu △ABC, △A′B′C′ bằng nhau cùng hướng thì

1 (# » AB, AC# ») ≡ (A# »′B′, A# »′C′) (mod 2π), (# » BC, BA# ») ≡ (B# »′C′, B# »′A′)

(mod 2π), (# » CA, CB# ») ≡ (C# »′A′, C# »′B′) (mod 2π).

2 (AB, AC) ≡ (A′B′, A′C′) (mod π), (BC, BA) ≡ (B′C′, B′A′) (mod π), (CA, CB) ≡ (C′A′, C′B′) (mod π).

Định lý 1.4.3 ([4], trang 102) Nếu (# » AB, AC# ») ≡ (A# »′B′, A# »′C′) (mod 2π)

và AB = A′B′, AC = A′C′ thì △ABC, △A′B′C′ bằng nhau cùng hướng.

Định lý 1.4.4 ([4], trang 102) Nếu (AB, AC) ≡ (A′B′, A′C′) (mod π), (BC, BA) ≡ (B′C′, B′A′) (mod π) và AB = A′B′ thì △ABC, △A′B′C′

bằng nhau cùng hướng.

Định nghĩa 1.4.5 ([4], chương 2) △ABC, △A′B′C′ được gọi là bằng

nhau ngược hướng nếu ta có BC = B′C′, CA = C′A′, AB = A′B′ vàcác đẳng thức sau giữa các góc định hướng giữa hai vectơ: (# »AB, AC# ») =

2 (AB, AC) ≡ −(A′B′, A′C′) (mod π), (BC, BA) ≡ −(B′C′, B′A′)

(mod π), (CA, CB) ≡ −(C′A′, C′B′) (mod π).

Định lý 1.4.7 ([4], trang 105) Nếu (# » AB, AC# ») ≡ −(A# »′B′, A# »′C′) (mod 2π)

và AB = A′B′, AC = A′C′ thì △ABC, △A′B′C′ bằng nhau ngược hướng.

Định lý 1.4.8 ([4], trang 105) Nếu (AB, AC) ≡ −(A′B′, A′C′) (mod π), (BC, BA) ≡ −(B′C′, B′A′) (mod π) và AB = A′B′ thì △ABC, △A′B′C′

bằng nhau ngược hướng.

1.5 Hai tam giác đồng dạng cùng hướng, ngược hướng

Định nghĩa 1.5.1 ([4], chương 2) △ABC, △A′B′C′ được gọi là đồngdạng cùng hướng nếu ta có BC

B′C′ = CA

C′A′ = AB

A′B′ và các đẳng thứcsau giữa các góc định hướng giữa hai vectơ: (# »AB, AC# ») = (A# »′B′, A# »′C′),(# »BC, BA# ») = (B# »′C′, B# »′A′), (# »CA, CB# ») = (C# »′A′, C# »′B′)

Định lý 1.5.2 ([4], trang 133) Nếu △ABC, △A′B′C′ đồng dạng cùng hướng thì

1 (# » AB, AC# ») ≡ (A# »′B′, A# »′C′) (mod 2π), (# » BC, BA# ») ≡ (B# »′C′, B# »′A′)

(mod 2π), (# » CA, CB# ») ≡ (C# »′A′, C# »′B′) (mod 2π).

2 (AB, AC) ≡ (A′B′, A′C′) (mod π), (BC, BA) ≡ (B′C′, B′A′) (mod π), (CA, CB) ≡ (C′A′, C′B′) (mod π).

Định lý 1.5.3 ([4], trang 133) Nếu (# » AB, AC# ») ≡ (A# »′B′, A# »′C′) (mod 2π)

và AB

A′B′ = CA

C′A′ thì △ABC, △A′B′C′ đồng dạng cùng hướng.

Định lý 1.5.4 ([4], trang 134) Nếu (AB, AC) ≡ (A′B′, A′C′) (mod π), (BC, BA) ≡ (B′C′, B′A′) (mod π) thì △ABC, △A′B′C′ đồng dạng cùng hướng.

Hệ quả 1.5.5 ([4], trang 134) Với mọi △ABC và △A′B′C′, các mệnh

đề sau là tương đương:

1 △ABC, △A′B′C′ đồng dạng cùng hướng.

2 (# » AB, A# »′B′) ≡ (# »BC, B# »′C′) ≡ (# »CA, C# »′A′) (mod 2π).

3 (AB, A′B′) ≡ (BC, B′C′) ≡ (CA, C′A′) (mod π).

Định nghĩa 1.5.6 ([4], chương 2) △ABC, △A′B′C′ được gọi là đồngdạng ngược hướng nếu ta có BC

B′C′ = CA

C′A′ = AB

A′B′ và các đẳng thứcsau giữa các góc định hướng giữa hai vectơ: (# »AB, AC# ») = −(A# »′B′, A# »′C′),(# »BC, BA# ») = −(B# »′C′, B# »′A′), (# »CA, CB# ») = −(C# »′A′, C# »′B′)

Định lý 1.5.7 ([4], trang 135) Nếu △ABC, △A′B′C′ đồng dạng ngược hướng thì

1 (# » AB, AC# ») ≡ −(A# »′B′, A# »′C′) (mod 2π), (# » BC, BA# ») ≡ −(B# »′C′, B# »′A′)

(mod 2π), (# » CA, CB# ») ≡ −(C# »′A′, C# »′B′) (mod 2π).

2 (AB, AC) ≡ −(A′B′, A′C′) (mod π), (BC, BA) ≡ −(B′C′, B′A′)

(mod π), (CA, CB) ≡ −(C′A′, C′B′) (mod π).

Định lý 1.5.8 ([4], trang 135) Nếu (# » AB, AC# ») ≡ −(A# »′B′, A# »′C′) (mod 2π)

và AB

A′B′ = CA

C′A′ thì △ABC, △A′B′C′ đồng dạng ngược hướng.

Định lý 1.5.9 ([4], trang 136) Nếu (AB, AC) ≡ −(A′B′, A′C′) (mod π), (BC, BA) ≡ −(B′C′, B′A′) (mod π) thì △ABC, △A′B′C′ đồng dạng ngược hướng.

1.6 Một vài kết quả cơ bản

Định lý 1.6.1 ([3], trang 83) Với ba tia Ox, Oy, Oz và ba số nguyên

k, l, m bất kì, ta có:

1 (Ox, Oy) k ≡ (Ox, Oz) l + (Oz, Oy) m (mod 2π) (Hệ thức Chasles cho góc lượng giác giữa hai tia).

2 (Ox, Oy) k ≡(Oz, Oy) m −(Oz, Ox) l (mod 2π).

Hệ quả 1.6.2 Khi cho k = l = m = 0, định lý 1.6.1 trở thành:

1 (Ox, Oy) ≡ (Ox, Oz) + (Oz, Oy) (mod 2π).

2 (Ox, Oy) ≡ (Oz, Oy) − (Oz, Ox) (mod 2π).

Định lý 1.6.3 ([3], trang 91) Với ba vectơ #» a , #» b , #» c khác #» 0 và ba số nguyên k, l, m bất kì, ta có:

1 (#» a , #»b)k ≡ (#»a , #» c)l + (#»c , #»b)m (mod 2π) (Hệ thức Chasles cho góc lượng giác giữa hai vectơ).

Định lý 1.6.7 ([3], trang 105) Với mọi hai vectơ #» a , #» b khác #» 0 , ta có:

(#»a , #»b ) ≡ 0 (mod 2π) khi và chỉ khi #» a và #» b cùng hướng.

Định lý 1.6.8 ([3], trang 105) Với mọi hai vectơ #» a , #» b khác #» 0 , ta có:

(#»a , #»b ) ≡ π (mod 2π) khi và chỉ khi #» a và #» b ngược hướng.

Định lý 1.6.9 ([3], trang 105) Với mọi hai vectơ #» a , #» b khác #» 0 , ta có:

(#»a , #»b) ≡ −(#»b , #» a ) (mod 2π).

Định lý 1.6.10 ([3], trang 105) Với mọi bốn vectơ #» a , #» b , a#»′, #»b′ khác

#»0 , nếu #» a , a#»′ cùng hướng và #» b , #»b′ cùng hướng thì (#» a , #»b) ≡ (a#»′, #»b′)

(mod 2π).

Định lý 1.6.11 ([3], trang 105) Với mọi bốn vectơ #» a , #» b , a#»′, #»b′ khác

#»0 , nếu #» a , a#»′ ngược hướng và #» b , #»b′ ngược hướng thì (#» a , #»b) ≡ (a#»′, #»b′)

(mod 2π).

Định lý 1.6.12 ([3], trang 105) Với mọi ba vectơ #» a , #» b , a#»′ khác #» 0 , nếu

(#»a , #»b) ≡ (a#»′, #»b ) (mod 2π) thì #» a , a#»′ cùng hướng.

Định lý 1.6.13 ([3], trang 105) Với mọi bốn vectơ #» a , #» b , #» c , #» d khác

#»0 , ta có: (#» a , #»b) ≡ (#»c , #»d ) (mod 2π) khi và chỉ khi (#» a , #» c) ≡ (#»b , #»d)

2 (mod π) khi và chỉ khi d1 ⊥ d2.

Định lý 1.6.17 ([3], trang 106) Với mọi hai đường thẳng d1, d2, ta có: (d1, d2) ≡ −(d2, d1) (mod π).

Định lý 1.6.18 ([3], trang 106) Nếu các đường thẳng d1, d2, d′

1, d′ 2

1 và d2 ⊥ d′

2 thì (d1, d2) ≡ (d′

1, d′

2) (mod π).

Định lý 1.6.20 ([3], trang 107) Với bốn đường thẳng d1, d2, d3, d4 bất

kì, ta có: (d1, d2) ≡ (d3, d4) (mod π) khi và chỉ khi (d1, d3) ≡ (d2, d4)

Định lý 1.6.23 ([3], trang 107) Với hai đường thẳng AB, CD và hai

số nguyên k, l bất kì, ta có (AB, CD) k ≡ (# »AB, CD# »)l (mod π).

Hệ quả 1.6.24 Khi cho k = l = 0, ta có (AB, CD) ≡ (# » AB, CD# »)

(mod π).

Định lý 1.6.25 ([3], trang 107) Với mọi hai vectơ # » AB, # » CD khác #» 0 , ta

có (# » AB, CD# ») ≡ π + (# » BA, CD# ») ≡ (# »AB, DC# ») + π ≡ (# » BA, DC# ») (mod 2π).

Định lý 1.6.26 ([3], trang 107) Với mọi ba điểm đôi một khác nhau A,

B, C, ta có (# » AB, AC# ») + (# »BC, BA# ») + (# »CA, CB# ») ≡ π (mod 2π).

Định lý 1.6.27 ([4], trang 107) Với mọi △ABC, các điều kiện sau là

tương đương:

1 △ABC cân tại A.

2 (# » BA, BC# ») ≡ −(# »CA, CB# ») (mod 2π).

3 (BA, BC) ≡ −(CA, CB) (mod π).

Định lý 1.6.28 ([4], trang 107) Cho △ABC Các điều kiện sau tương

đương:

1 △ABC cân tại A.

2 2(BA, BC) ≡ (# » BA, AC# ») (mod 2π).

3 (BA, AC) ≡ 2(BA, BC) (mod π).

Định lý 1.6.29 ([4], trang 108) Cho △ABC có đường cao AH Khi

đó, các điều kiện sau là tương đương:

1 △ABC cân tại A.

2 (# » AB, AH# ») ≡ −(# »AC, AH# ») (mod 2π).

3 (AB, AH) ≡ −(AC, AH) (mod π).

Định lý 1.6.30 ([4], trang 108) Cho △ABC có đường cao AH Khi đó

các điều kiện sau là tương đương:

1 △ABC cân tại A.

2 2(AB, AH) ≡ (# » AB, AC# ») (mod 2π).

3 (AB, AH) ≡ 1

2(# »AB,

# »

AC ) (mod π).

Định lý 1.6.31 ([4], trang 177) Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B

khác nhau thuộc (O) M là điểm bất kì Khi đó, M ∈ (O) khi và chỉ khi (MA, MB) ≡ 1

2(# »OA,

# »

OB ) (mod 2π).

Định lý 1.6.32 ([4], trang 179) Cho △ABC và điểm M Khi đó

M thuộc đường tròn ngoại tiếp △ABC khi và chỉ khi (MA, MB) ≡ (CA, CB) (mod π).

Định lý 1.6.33 ([4], trang 179) Cho △ABC và đường thẳng △ đi qua

A Khi đó △ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp △ABC khi và chỉ khi (△, AB) ≡ (CA, CB) (mod π).

E

F G

K

P

Lời giải Không mất tính tổng quát giả sử (# » AB, AC# ») là góc dương Gọi

P là điểm đối xứng của điểm G qua điểm K.

Lời giải Vì A, M, N, B đồng viên nên (MN, MA) ≡ (BN, AB) (mod π) (1).

Vì A, M′, N′, B đồng viên nên (AM′, M′N′) ≡ (AB, BN′) (mod π) hay (MA, M′N′) ≡ (AB, BN) (mod π) (2).

Cộng (1) và (2) vế theo vế rồi áp dụng hệ thức Chasles ta được

(MN, M′N′) ≡ 0 (mod π).

Vậy MN //M′N′