Nguyên lý dirichlet và ứng dụng trong số học

Ta muốn giải tốt các bài toán số học nâng cao trong chương trình trung học cơ sở cũng như trung học phổ thông chúng ta phải biết thêm một số kiến thức, chẳng hạn như định lý phần dư Trun

Trang 1

Đinh Thanh Huyền

Em xin chân thành cám ơn thư viện trường Đại học Sư Phạm Đà Nẵng

đã tạo điều kiện thuận lợi cho em trong quá trình tìm kiếm tài liệu

Em mong muốn tiếp tục nhận được sự giúp đỡ của cô Phan Quang Như Anh cùng các thày cô trong khoa trong quá trình học tập và nghiên cứu sau này

Đà Nẵng, tháng 5 năm 2012

Sinh viên thực hiện

Đinh Thanh Huyền

Trang 2

2

MỤC LỤC Trang bìa Trang Trang bìa phụ Lời cảm ơn Mục lục Trang mở đầu 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 2

4 Bố cục luận văn 2

Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 3

1.1 Nguyên lý Dirichlet cơ bản 4

1.2 Nguyên lý Dirichlet mở rộng 5

1.3 Nguyên lý Dirichlet dạng tập hợp 6

1.4 Nguyên lý Dirichlet dạng tập hợp mở rộng 7

Chương 2: ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET TRONG CÁC BÀI TOÁN CHIA HẾT 8

Trang 3

3

Chương 3: ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET TRONG CÁC BÀI

TOÁN SUY LUẬN 23

Chương 4: MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC CỦA NGUYÊN LÝ

DIRICHLET 40

4.1 Ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong các bài toán chữ số tận cùng 40

4.2 Ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong các bài toán tổng hiệu 42

4.3 Ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong các bài toán số chính phương 45

4.4 Ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong các bài toán khác 49

NHỮNG ĐIỂM CẦN CHÚ Ý KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN ÁP DỤNG

NGUYÊN LÝ DIRICHLET 58

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 59

TÀI LIỆU THAM KHẢO 61

Trang 4

4

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Thực tế cho thấy rằng các bài toán số học nâng cao xuất hiện ngày càng

nhiều trong các kì thi học sinh giỏi toán quốc gia và quốc tế Ta muốn giải tốt

các bài toán số học nâng cao trong chương trình trung học cơ sở cũng như

trung học phổ thông chúng ta phải biết thêm một số kiến thức, chẳng hạn như

định lý phần dư Trung Quốc, định lý Wilsson, các hàm số học…và một kiến

thức không thể thiếu đó là nguyên lý Dirichlet

Nguyên lý Dirichlet đã được biết đến từ rất lâu Ngay trong chương trình

phổ thông chúng ta cũng đã làm quen với nguyên lý này

Theo một số công trình nghiên cứu, nguyên lý Dirichlet là một công cụ

rất hiệu quả dùng để chứng minh rất nhiều kết quả sâu sắc của toán học Nó

đặc biệt được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học Nhờ có

sự ứng dụng của nguyên lý này mà hàng loạt các bài toán thú vị đã được giải

Mặc dù nguyên lý Dirichlet có nhiều ứng dụng như vậy nhưng các công

trình nghiên cứu về nguyên lý và ứng dụng của nó còn ít và chưa đi sâu vào

ứng dụng của một ngành toán học cụ thể nào Vì vậy tôi chọn đề tài nghiên

cứu “Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng trong số học”, với mục đích giới

thiệu, phát biểu nguyên lý Dirichlet dưới tất cả các dạng và đặc biệt là đi sâu

Trang 5

5

nghiên cứu ứng dụng nguyên lý này trong số học, từ đây chúng ta hiểu rõ hơn

về nguyên lý Dirichlet cũng như thấy rõ được ứng dụng rộng rãi của nó trong

số học

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về nguyên lý Dirichlet với nhiều dạng phát biểu khác nhau

và đưa ra những ứng dụng của nó trong số học

3 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Cung cấp hệ thống lý thuyết về nguyên lý Dirichlet, hệ thống các ví dụ

có lời giải được giải bằng cách ứng dụng nguyên lý này, từ mức độ dễ tới

khó, để từ đó thấy rõ được ứng dụng sâu sắc và rộng rãi của nguyên lý

Dirichlet trong số học

Hi vọng đây sẽ là một tài liệu tham khảo bổ ích cho các thầy cô giáo

cũng như các em học sinh ham mê tìm tòi trong toán học

4 Bố cục luận văn

Luận văn gồm 61 trang Phần mở đầu (2 trang), kết luận và kiến nghị (2

trang), tài liệu tham khảo (1 trang)

Nội dung luận văn gồm 4 chương:

Chương 1: Các kiến thức cơ bản (5 trang)

Chương 2: Ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong các bài toán chia hết

(15 trang)

Chương 3: Ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong các bài toán suy luận

(17 trang) Chương 4: Một số ứng dụng khác của nguyên lý Dirichlet ( 19 trang)

Trang 6

6

CHƯƠNG I CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

Nguyên lý những cái lồng nhốt các chú thỏ đã được biết đến từ rất lâu

Nguyên lý này được phát biểu đầu tiên bởi nhà toán học Johann Peter Gustav

Lejeune Dirichlet (13/2/1805 – 5/5/1859) Dirichlet là một nhà toán học người

Đức được cho là người đưa ra định nghĩa hiện đại của hàm số

Ferdinand Eisenstein, Leopold Kronecker, và Rudolf Lipschitz đều là

học trò của ông Sau khi ông qua đời, các bài giảng của Dirichlet và các kết

quả khác trong ngành số học được sưu tập, biên khảo và xuất bản bởi đồng

nghiệp và cũng là bạn ông là nhà toán học Richard Dedekind dưới tựa đề

Vorlesungen über Zahlentheorie (Các bài giảng về số học)

Ngoài nguyên lý Dirichlet còn có các định lý mang tên ông: Định lý

Dirichlet về cấp số cộng, định lý Dirichlet về xấp xỉ Diophantine, định lý

Dirichlet về phần tử đơn vị

Trang 7

7

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (13/2/1805 – 5/5/1859)

Nguyên lý Dirichlet cơ bản hay còn được gọi là “Nguyên lý những cái

lồng nhốt các chú thỏ” hay “Nguyên lý chuồng chim bồ câu” hoặc “Nguyên

tắc ngăn kéo Dirichlet” được phát biểu dưới dạng bài toán sau đây:

“Nếu nhốt n+1 con thỏ vào n cái lồng thì bao giờ cũng có một cái lồng

chứa ít nhất hai con thỏ ’’

Hoặc

Nguyên tắc ngăn kéo Dirichlet: “Nếu đem n+1 đồ vật xếp vào n ngăn kéo

thì có ít nhất một ngăn kéo chứa từ hai vật trở lên”

Chứng minh

Giả sử không có cái lồng nào nhốt từ hai con thỏ trở lên Thế thì cho dù

mỗi lồng có nhiều nhất là một con thỏ, thì tổng số thỏ bị nhốt cũng chỉ có n

con, mà theo giả thiết có tất cả n+1 con thỏ bị nhốt Từ đây suy ra điều mâu

thuẫn, nên giả sử là sai Vậy cũng phải có một lồng chứa ít nhất hai con thỏ

Trang 8

8

Tổng quát: “Nếu đem nk+1 vật xếp vào n ngăn kéo thì có ít nhất một ngăn

kéo chứa từ k+1 vật trở lên”

Chứng minh

Giả sử không có ngăn kéo nào trong n ngăn kéo chứa k+1 đồ vật Khi đó,

mỗi ngăn kéo chứa nhiều nhất là k vật, thế thì cho dù n ngăn kéo đều chứa k

vật thì tổng số vật cũng chỉ là nk vật mà theo giả thiết ta có nk+1 vật Suy ra

mâu thuẫn, vậy giả sử sai, suy ra đpcm

Ví dụ: Trong một nhóm 27 từ tiếng Anh bất kì nào, cũng có ít nhất hai từ

bắt đầu bằng cùng một chữ cái tiếng Anh Vì trong bảng chữ cái tiếng Anh

Trang 9

9

Từ đây suy ra tổng số con thỏ không vượt quá: m.







n-1

m  n-1 con Điều này

vô lý vì có n con thỏ Vậy giả sử là sai

Nguyên Lý Dirichlet mở rộng được chứng minh

Nguyên lý Dirichlet thực chất là một định lý về tập hữu hạn Người ta

có thể phát biểu nguyên lý này dưới dạng sau đây:

1.3 NGUYÊN LÝ DIRICHLET DẠNG TẬP HỢP

Nguyên lý Dirichlet dạng tập hợp: Cho A và B là hai tập hợp khác

rỗng có số phần tử hữu hạn, mà số lượng phần tử của A lớn hơn số lượng

phần tử của B Nếu với mỗi quy tắc nào đó, mỗi phần tử của A cho tương ứng

với một phần tử của B, thì tồn tại ít nhất hai phần tử khác nhau của A mà

chúng tương ứng với một phần tử của B

Trang 10

10

hữu hạn và S(A), S(B) tương ứng kí hiệu là các số lượng phần tử của A và B

Giả sử có một số tự nhiên k nào đó mà S(A) > k.S(B) và ta có quy tắc cho

tương ứng mỗi phần tử của A với một phần tử của B Khi đó tồn tại k+1 phần

tử của A mà chúng tương ứng với cùng một phần tử B

Trang 11

11

Chú ý: Khi k =1, ta có ngay lại nguyên lý Dirichlet

Nguyên lý Dirichlet tưởng chừng đơn giản như vậy, nhưng nó là một

công cụ rất hiệu quả dùng để chứng minh nhiều kết quả sâu sắc của toán học

Nó đặc biệt có nhiều áp dụng trong lĩnh vực khác nhau của toán học Nguyên

lý này trong nhiều trường hợp người ta dễ dàng chứng minh được sự tồn tại

mà không đưa ra được phương pháp tìm được vật cụ thể, nhưng trong thực tế

nhiều bài toán ta chỉ cần chỉ ra sự tồn tại là đủ rồi

CHƯƠNG II ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET

TRONG CÁC BÀI TOÁN CHIA HẾT

Trong các phép tính trên số nguyên thì phép chia là rất đặc biệt Phép

chia có hàng loạt những tính chất mà phép toán khác không có Chẳng hạn

như các phép toán cộng, trừ, nhân, đều thực hiện được với số 0 còn phép chia

thì không thể…Vì những lý do đặc biệt đó mà trong toán học xây dựng hẳn

một lý thuyết về phép chia

Trang 12

12

Trong việc giải bài tập về phép chia đặc biệt là những bài tập về phép

chia hết, nguyên lý Dirichlet đã được sử dụng rất hiệu quả, và nhờ có nguyên

lý này một lượng bài tập không nhỏ về phép chia hết đã được giả quyết Sau

Khi chia 12 số bất kỳ cho 11 ta sẽ có mỗi số có một số dư trong 11 số

dư: 0, 1, 2,…, 10 Do đó theo nguyên lý Dirichlet phải tồn tại ít nhất hai số

có cùng số dư Hiệu của hai số đó sẽ chia hết cho 11

Trang 13

13

Và A-B chia hết cho 2007

Cho 10 số tự nhiên bất kì a1, a2…, a10 Chứng minh rằng tồn tại một số chia

hết cho 10 hoặc tổng của một số chia hết cho 10 Hãy phát biểu bài toán tổng

quát

Lời giải:

Xét 10 số mới như sau: S1 = a1, S2 = a1+a2, …,S10 = a1+a2…+a10

Lấy 10 số S1, S2,…S10 chia cho 10

+ Nếu có một số Si ( i = 1,10 ) chia hết cho 10 thì bài toán được chứng minh

+ Nếu Si không chia hết cho 10 với mọi i, tức là S1, S2…S10 chia cho 10 có

các số dư là một trong 9 số sau: 1, 2,…, 9 Theo nguyên tắc Dirichlet có hai

số có cùng số dư khi chia cho 10, giả sử đó là Sk và Sl ( k > l) Khi đó

Sk - Sl = al1 al2  ak chia hết cho 10

Suy ra điều phải chứng minh

Bài toán tổng quát

Trong n số tự nhiên bất kì luôn tồn tại một số tự nhiên chia hết cho n hoặc

tổng của một số số chia hết cho n

Chứng minh

Xét n số mới như sau: S1 = a1, S2 = a1+a2, …, Sn = a1+a2…+a n

Lấy n số S1, S2,…Sn chia cho n

+ Nếu có một số Si (i = 1, n) chia hết cho n thì bài toán được chứng minh

Trang 14

14

+ Nếu Si không chia hết cho n với mọi i, tức là S1, S2…S10 chia cho n có

các số dư là một trong n-1 số sau: 1, 2,…, n-1 Theo nguyên lý Dirichlet có

hai số có cùng số dư khi chia cho n, giả sử đó là S k và Sl với k > l

Khi đó

Sk - Sl = al1 al2   ak chia hết cho n

Ví dụ 2.4 [4]

Chứng minh rằng trong 8 số tự nhiên có 3 chữ số bao giờ cũng chọn được hai

số mà khi viết liền nhau ta được một số có 6 chữ số và chia hết cho 7

Lời giải:

Lấy 8 số đã cho chia cho 7 được 8 số dư nhận một trong 7 giá trị 0, 1, 2,…,6

Theo nguyên tắc Dirichlet có hai số có cùng số dư, giả sử là abc , def

khi chia cho 7 có cùng số dư là r Giả sử abc = 7k+r, def = 7l+r

Ta có: abcdef = 1000 abc + def = 1000(7k+r) +7l+r = 7(1000k+l) + 1001r

Do 7(1000k+l) chia hết cho 7, 1001r chia hết cho 7 nên abcdef chia hết

cho 7

Ví dụ 2.5 [4]

Cho 4 số phân biệt a, b, c, d Chứng minh rằng:

(a-b).(a-c).(a-d).(b-c).(b-d).(c-d) chia hết cho 12

Lời giải:

Đặt A = (a-b).(a-c).(a-d).(b-c).(b-d).(c-d)

Trang 15

15

Bốn số nguyên a, b, c, d khi chia cho 3 sẽ có 2 số có cùng số dư khi đó hiệu

của chúng chia hết cho 3, hiệu đó là một trong các thừa số của A nên A chia

hết cho 3 (1)

Bốn số a, b, c, d khi chia cho 4

+ Nếu có ít nhất 2 số có cùng số dư thì hiệu của chúng sẽ chia hết cho 4,

hiệu đó là thừa số của A nên A chia hết cho 4

+ Nếu các số a, b, c, d chia cho 4 cho các số dư khác nhau thì trong 4 số

trên sẽ có 2 số lẻ, 2 số chẵn Lúc đó có 2 hiệu chẵn tức là 2 hiệu chia hết cho

2 Mà 2 hiệu đó là thừa số của A nên A chia hết cho 4

Vậy trong mọi trường hợp A đều chia hết cho 4 (2)

Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 12

Ví dụ 2.6 [4]

Chứng minh rằng trong 5 số nguyên bất kì có thể tìm được 3 số có tổng chia

hết cho 3

Lời giải:

Lấy 5 số nguyên đã cho chia cho 3 được các số dư 0, 1, 2

+ Nếu 5 số nguyên này khi chia cho 3 có đủ 3 loại số dư 0, 1, 2

Giả sử a = 3k, b = 3h+1, c = 3q+2 thì a+b+c = 3(k+h+q+1) chia hết cho 3

Vậy trong 5 số bất kì đó ta tìm được 3 số có tổng chia hết cho 3

+ Nếu 5 số này khi chia cho 3 có 2 loại số dư thì theo nguyên lý Dirichlet có ít

2 = 3 số có cùng số dư Khi đó tổng của 3 số này chia hết cho 3

+ Nếu 5 số này chia cho 3 có cùng số dư thì tổng 3 số bất kì trong chúng chia

hết cho 3

Trang 16

16

Vậy trong mọi trường hợp ta đều tìm được 3 nguyên số trong 5 số

nguyên bất kì có tổng chia hết cho 3

Ví dụ 2.7 [4]

Chứng minh rằng trong 52 số tự nhiên bất kì luôn tìm được một cặp gồm 2 số

sao cho tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 100

Lời giải:

Khi chia 52 số cho 100 ta có các số dư có thể là 0, 1, 2, 3…, 99 Ta lấy ra

từng cặp số sao cho tổng của chúng là 100 và lập thành các nhóm như sau :

(0,0), (1, 99), (2, 98), …, (49, 51), (50, 50)

Tất cả có 51 cặp số, mà theo giả thiết chúng ta có 52 số tức là có 52 số

dư tương ứng khi chia chúng cho 100, nên theo nguyên lý Dirichlet ít nhất

phải có 2 số dư trong cùng một nhóm

Hai số khi chia cho 100 có 2 số dư trong cùng một nhóm này là 2 số cần

tìm Vì nếu số dư của chúng bằng nhau thì hiệu của chúng chia hết cho 100,

còn nếu số dư của chúng khác nhau trong cùng một nhóm thì tổng của hai số

này chia hết cho 100

Ví dụ 2.8 [4]

Chứng minh rằng trong 19 số tự nhiên liên tiếp bất kì luôn tồn tại một số có

tổng các chữ số chia hết cho 10

Lời giải :

Trước hết ta chứng minh: Với 19 số tự nhiên liên tiếp luôn tồn tại 10

số liên tiếp có chữ số hàng chục như nhau còn các chữ số hàng đơn vị liên

tiếp từ 0 tới 9

Trang 17

17

+ Nếu trong 19 số nhiên liên tiếp có mặt 3 chữ số hàng chục khác

nhau thì rõ ràng có một chữ số hàng chục ( ở giữ hai hàng chục kia) cùng với

các chữ số đơn vị liên tiếp từ 0 tới 9

+ Nếu trong 19 số tự nhiên liên tiếp chỉ có hai loại chữ số hàng chục

khác nhau thì từ 19 = 2.9+1 suy ra có 10 số có cùng chữ số hàng chục và các

chữ số hàng đơn vị liên tiếp từ 0 tới 9 Tổng các chữ số của mỗi số trong 10

số tự nhiên nói trên cũng lập thành 10 số tự nhiên liên tiếp, vậy phải có một số

Ta viết số nguyên a1 , a2 , …, a n1 dưới dạng a j = 2k j q j (j = 1,n1) trong

đó k là số nguyên không âm, bj là số nguyên dương lẻ nhỏ hơn 2n

Vì chỉ có n số dương lẻ nhỏ hơn 2n nên theo nguyên lý Dirichlet tồn tại i0

Trang 18

18

Chứng minh rằng: Tồn tại một số tự nhiên x < 17 sao cho (25 x -1) chia hết cho

Giả sử  x  {1, 2,…, 16}, (25x -1) đều không chia hết cho 17

Suy ra trong 16 số (25x -1) không có số nào chia cho 17 có cùng số dư

Thật vậy, giả sử nếu có 2 số 25j -1, và 25i -1 ( 1 i < j 16) có cùng số dư là

r ( r = 1,16 ) khi chia cho 17 thì: 25 j -1=17a +r, 25 i -1=17b+r ( a, b  N)

 25j - 1- ( 25i -1 ) = 17a + r - ( 17b+r) = 17( a-b)

 25j - 25i =17( a-b)

 25i ( 25j-i -1) = 17( a-b)

Ta thấy 25i không chia hết cho 17 do 25i chỉ có 1 ước nguyên tố là 5

 (25j-i -1) chia hết cho 17 Điều này trái với giả sử Suy ra giả sử là sai

Vậy trong 16 số (25x -1) không có số nào có cùng số dư khi chia cho 17

Suy ra tồn tại n  {1, 2,…, 16} sao cho 25 n -1 chia cho 17 dư 16 tức là:

25n -1 = 17c+ 16 ( c  N)

 25n = 17(c+1)

 25n chia hết cho 17, điều này vô lý vì 25n chỉ có ước nguyên tố duy nhất

là 5 nên 25n không thể chia hết cho 17

Vậy giả sử sai, tức là tồn tại số tự nhiên x ≠ 0, x < 17 sao cho (25 x -1) chia hết

cho 17

Ví dụ 2.11 [6] ( Đề thi học sinh giỏi toán cấp II toàn quốc năm 1983)

Trang 19

19

Chứng minh rằng trong các số tựu nhiên thế nào cũng có số k sao cho:

1983k -1 chia hết cho 105

Lời giải:

Cho k lấy giá trị từ 1 đến 105+1 rồi thay vào biểu thức 1983k -1 sẽ nhận

được 105+1 giá trị khác nhau Lấy 105+1 số vừa nhận ở trên chia cho 105, ta

nhận được nhiều nhất là 105 số dư Do đó theo nguyên lý Dirichlet phải có ít

nhất hai số có cùng số dư Giả sử đó là số 1983m -1 và 1983n -1 (m > n) Thế

thì (1983m -1) - ( 1983n -1 ) chia hết cho 105

Mà (1983m -1) - ( 1983n -1 ) = 1983 m - 1983n = 1983n( 1983m-n -1),

nên 1983n ( 1983m-n -1) chia hết cho 105 Do 1983 và 105 nguyên tố cùng

nhau, suy ra ( 1983m-n -1) chia hết cho 105

Vậy k = m-n thỏa mãn điều kiện đầu bài

Ví dụ 2.12 [3]

Biết rằng 3 số: a, a+k, a+2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh

rằng khi đó k chia hết cho 6

Lời giải:

Do a, a+k, a+2k đều là các số lớn hơn 3, nên chúng đều là các số lẻ và không

chia hết cho 3

Do a và a+k cùng lẻ nên k = (a+k) - a sẽ chia hết cho 2

Do a, a+k, a+2k đều không chia hết cho 3, nên khi chia cho 3 ít nhất có 2 số

có cùng số dư ( theo nguyên lý Dirichlet) Chỉ có các khả năng sau xảy ra:

+ Nếu a+k  a ( mod 3) thì ( a+k) - a  0 ( mod 3) suy ra k chia hết cho 3

+ Nếu a+2k  a+k ( mod 3) thì (a+2k) - (a+k)  0 ( mod 3) suy ra k chia

hết cho 3

+ Nếu a+2k  a ( mod 3) thì a+2k - a  0 (mod 3), suy ra 2k chia hết cho 3

Do (2, 3) =1 nên suy ra k chia hết cho 3

Trang 20

20

Tóm lại trong cả 3 trường hợp ta thấy k đều chia hết cho 3

Lại do (2, 3) = 1 nên k chia hết cho 6

+ Nếu trong các số này không có số nào chia hết cho n

Xét những số dư khi chia các số của dãy trên cho n Vì dãy số đã cho gồm n

phần tử, nên tập hợp gồm các số dư khi chia chúng cho n có n phần tử Mà

khi chia cho n, các số trên không chia hết nên ta nhận được nhiều nhất n -1 số

dư thuộc tập hợp {1, 2, …, n-1} Theo Dirichlet sẽ tồn tại hai số có cùng số

dư khi chia cho n

Chứng minh rằng trong 12 số nguyên tố phân biệt luôn luôn chọn ra được 6

số, gọi là a1, a2, a3, a4, a5, a6 sao cho:

( a1 - a2)( a3 - a4)( a5 + a6) chia hết cho 1800

Lời giải:

Trang 21

21

Vì 3 số nguyên tố đầu tiên là 2, 3, 5 do đó trong 12 số nguyên tố phân

biệt đã cho luôn có ít nhất 9 số lớn hơn 5 Vì là số nguyên tố lớn hơn 5 nên:

+ Chín số trên khi chia cho 3 có dư 1 hoặc 2 Theo nguyên lý Dirichlet

phải tồn tại ít nhất 5 số đồng dư với nhau theo mod 3 Năm số này lại không

chia hết cho 5 Vì thế trong 5 số ấy lại có ít nhất 2 số mà ta có thể giả sử là a1,

a2 sao cho a1  a2 ( mod 5) Ngoài ra dĩ nhiên ta có a1  a2 ( mod 3) Từ đó ta

suy ra (a1 - a2) chia hết cho 15

Mặt khác a1, a2 cùng lẻ nên ( a1 - a2) chia hết cho 2 Do đó ( 2, 15) = 1 nên

suy ra ( a1 - a2) chia hết cho 30

+ Xét 7 số còn lại: Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại 4 số đồng dư với nhau

theo mod 3 Đem 4 số này chia cho 5 có 2 khả năng xảy ra:

(a) Nếu có 2 số chẳng hạn là a3, a4 mà a3 a4 Từ đó ta suy ra ( a3 - a4)

chia hết cho 5 Rõ ràng ( a3 - a4) chia hết cho 3 và ( a3 - a4) chia hết cho 2 Vì

( 5, 3, 2) = 1 nên ta có ( a3 - a4) chia hết cho 30 Lấy 2 số a5, a6 bất kì (ngoài

a1, a2 , a3, a4 đã chọn ) thì do a5, a6 lẻ (do nguyên tố), nên a5+ a6 chia hết cho

2 Từ đó suy ra: ( a1 - a2) ( a3 - a4) ( a5 + a6) chia hết cho 30.30.2 = 1800

(b) Nếu 4 số này khi chia cho 5 các số dư khác nhau là { 1, 2, 3, 4}

Giả sử a5  1 (mod 5), a6  4 ( mod 5) thì ta có:

( a5 + a6)  5( mod 5), suy ra ( a5 + a6) chia hết cho 5

Với 2 số a3, a4 thì rõ ràng ( a3 - a4) chia hết cho 3 ( theo cách chọn 4 số trên)

Do a3, a4, a5, a6 lẻ nên (a5 + a6) chia hết cho 2, ( a3 - a4) chia hết cho 2 Từ đó

suy ra ( a5 + a6) chia hết cho 10 và ( a3 - a4) chia hết cho 6 Vậy

Trang 22

22

Ví dụ 2.15 [3]

Cho 5 số phân biệt tùy ý a1, a2 , a3, a4 , a5 Xét tích:

(a1 - a2)(a1 - a3)(a1 - a4)(a1 - a5)(a2 - a3)(a2 - a4)(a2 - a5)(a3 - a4)(a3 - a5)(a4- a5)

Chứng minh rằng tích trên chia hết cho 288

Lời giải:

Kí hiệu tích trên là P

Ta có phân tích sau : 288 = 25 32 và do (2, 3) = 1 nên để chứng minh P

chia hết cho 288 ta chỉ cần chứng minh đồng thời P chia hết cho 25 và P chia

hết cho 32

Theo nguyên lý Dirichlet thì trong n+1 số nguyên tùy ý, luôn tồn tại

hai số có hiệu chia hết cho n Trong 4 số a1, a2 , a3, a4 có 2 số có hiệu chia hết

cho 3, không mất tính tổng quát, có thể cho là ( a1 - a2) chia hết cho 3 Bây

giờ xét 4 số a2 , a3, a4 , a5 ta lại được 2 số cũng có hiệu chia hết cho 3 Như

thế trong tích P có ít nhất hai hiệu khác nhau cùng chia hết cho 3

Do đó P chia hết cho 32.(1)

Lại theo nguyên lý Dirichlet trong 5 số đã cho có ít nhất 3 số có cùng

tính chẵn, lẻ Chỉ có 2 trường hợp sau xảy ra:

1 Nếu ít nhất có 4 số có cùng tính chẵn, lẻ thì từ 4 số này có thể lập nên 6

hiệu khác nhau cùng chia hết cho 2, do đó tích của chúng chia hết cho

26, nói riêng P chia hết cho 25

2 Nếu có đúng 3 số có cùng tính chẵn lẻ Không mất tính tổng quát, có

thể cho đó là a1, a2 , a3 Khi đó 2 số còn lại a4 , a5 cũng có tính chẵn lẻ

giống nhau nhưng khác với tính chẵn lẻ của a1, a2 , a3 Vậy bốn hiệu

sau đây cũng chia hết cho 2:

(a1 - a2), (a1 - a3), (a2 - a3), (a4 - a5)

Mặt khác, trong 5 số đã cho có ít nhất một hiệu chia hết cho 4, vì thế

trong 4 số (a1 - a2), (a1 - a3), (a2 - a3), (a4 - a5) có ít nhất một hiệu chia hết cho

Trang 23

23

4 Do đó: (a1 - a2), (a1 - a3), (a2 - a3), (a4 - a5) chia hết cho 25 tức là P chia hết

cho 25

Tóm lại trong mọi trường hợp ta luôn có P chia hết cho 25.(2)

Từ (1) và (2) suy ra P chia hết cho 288



 trong đó bi { 0,1}, i = 1,10 Khai triển ra ta có Aj = b1u1+ b2u2+…+ b10u10

Do b i { 0,1} nên có tất cả 210 cách chọn dãy b1, b2 , …, b10 tương ứng với

210 = 1024 số Aj dạng như trên Suy ra j = 1,1024

Khi chia 1024 số Aj này cho 1023 thì theo nguyên lý Dirichlet có ít nhất 2

số Ak, Ah ( k ≠ h) sao cho A k  Ah ( mod 1023)

Giả sử Ak, Ah có dạng như sau Ak =

Trang 24

24

Đặt c i = (bk i  bh i ) i = 1,10 Vì

i k

b  {0,1}, bh i {0,1} nên ci  {-1, 0, 1}

Mặt khác do Ak ≠ Ah nên ci không đồng thời bằng 0,  i = 1,10

Suy ra ta chứng minh được sự tồn tại của 10 số c i  {-1, 0, 1} Không đồng

thời bằng 0 sao cho số

10

1

i

i i i

Cho a và m là hai số nguyên dương tùy ý Chứng minh rằng các số dư của

phép chia a, a2, a3…cho m lặp lại một cách tuần hoàn ( có thể không bắt đầu

Vì thế theo nguyên lý Dirichlet, phải tồn tại hai trong số m+1 số chia cho m có

cùng số dư Nói cách khác, giả sử hai số đó là a k và a k+q ( k > 0), ta có :

a k  ak+q ( mod m)

Xét một số tự nhiên bất kì n  k Ta có:

a k a n-k  ak+q a n-k ( mod m) hay với mọi m  k, ta luôn có:

a n  an+q ( mod m) Đẳng thức trên chứng tỏ rằng bắt đầu từ vị trí a k các số dư lặp lại tuần

hoàn Số q thường được gọi là chu kì tuần hoàn của các số dư khi chia các lũy

thừa của a cho m

Trang 25

25

Nếu trong dãy trên không có số nào chia hết cho p, ta đem p số đó chia

cho p nhận được nhiều nhất p -1 số dư, tập hợp các số dư khi chia các số trên

cho p là {1, 2, 3,…, p -1} ( vì 0 không thể trong tập này)

Nhưng vì chúng ta có p số ở dạng trên, nên theo nguyên lý Dirichlet

tồn tại hai số cùng số dư Giả sử các số đó là 111 111

và nó cũng nằm trong dãy trên Điều này mâu thuẫn với giả thiết không có số

nào trong dãy chia hết cho p suy ra giả sử là sai

Ví dụ 2.19 [6]

Cho n là một số lẻ Chứng minh rằng từ (n - 1)2 + 1 số nguyên bất kì có thể

chọn được n số sao cho tổng của chúng chia hết cho n

Lời giải

Trang 26

26

Khi chia (n-1)2 + 1 số đã cho cho n, ta được các số dư là các số nằm trong

tập n phần tử sau: {0, 1, 2, …, n - 1}

+ Nếu khi chia (n-1)2 + 1 số đã cho cho n thấy xuất hiện tất cả n số dư

khác nhau, tức là tồn tại n số tương ứng với n số dư đó Khi đó tổng các số

dư của n số đó là: T = (n-1)n

2

Do n là số lẻ nên (n-1) chia hết cho 2 nên T chia hết cho n Tổng của n số

này chia hết cho n Vậy n số này là n số cần tìm

+ Nếu khi chia (n-1)2+1 số đã cho cho n thấy xuất hiện a loại số dư khác nhau (a  n-1) Khi đó sẽ có ít nhất 

cho n là: r.n chia hết cho n Nên tổng n số này chia hết cho n Vậy n số này là

n số cần tìm

Tóm lại trong mọi trường hợp đều tồn tại n số trong (n-1)2 + 1 số bât kì

mà tổng của chúng chia hết cho n

CHƯƠNG III ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET

TRONG CÁC BÀI TOÁN SUY LUẬN

Các bài toán suy luận là các bài toán khó, cần phải có lối tư duy logic,

rõ ràng, mạch lạc Nếu như không nhận ra dạng cụ thể và biết cách ứng dụng

lý thuyết thuần thục thì rất khó đưa ra lời giải và giải một cách chính xác Một

Trang 27

27

trong những lý thuyết được ứng dụng rất nhiều trong việc giải các bài toán

suy luận là nguyên lý Dirichlet

Chương này sẽ trình bày những ví dụ cho ta thấy rõ hơn sự ứng dụng

nguyên lý Dirichlet trong các bài toán suy luận Và nguyên lý Dirichlet cũng

đóng vai trò rất quan trọng trong việc tìm ra lời giải dễ hiểu, ngắn gọn cho các

bài toán suy luận

Ví dụ 3.1

Chứng tỏ rằng trong bất kì tập hợp gồm 6 lớp học nào cũng có ít nhất 2 lớp

gặp nhau cùng một ngày biết rằng các lớp học nghỉ ngày thứ 7, chủ nhật

Lời giải:

Vì có 6 lớp mà mỗi tuần lễ chỉ học 5 ngày

Theo nguyên lý Dirichlet mở rộng ta có ít nhất 

Ví dụ 3.2

Có 30 học sinh trong lớp học Khi làm bài trắc nghiệm có một học sinh phạm

12 lỗi, các học sinh khác ít lỗi hơn Chứng minh rằng có ít nhất 3 học sinh có

cùng số lỗi

Lời giải:

Có 29 học sinh mà mỗi người phạm ít hơn 12 lỗi tức là mỗi học sinh

trong số này có thể phạm 1, 2, …, 11 lỗi Bây giờ, ta xây dựng 12 cái lồng,

các lồng này mang tên tượng trưng là lồng 0 lỗi, lồng 1 lỗi,…, lồng 11 lỗi, 29

Trang 28

28

Ví dụ 3.3 [2]

Số mã vùng cần thiết nhỏ nhất phải là bao nhiêu để đảm bảo 25 triệu máy

điện thoại trong bang có số điện thoại khác nhau, mỗi số gồm 10 chữ số ( giả

sử số điện thoại có dạng NXX-NXX-XXXX, trong đó 3 chữ số đầu tiên là mã

Ví dụ 3.4

Trong 45 học sinh làm bài kiểm tra, không có ai bị điểm dưới 2, chỉ có 2 học

sinh được điểm 10 Chứng minh rằng ít nhất cũng tìm được 6 học sinh có

điểm kiểm tra bằng nhau ( điểm kiểm tra là một số tự nhiên)

Lời giải:

Cách 1: Có 45 - 2 = 43 học sinh phân chia vào 8 loại điểm ( từ 2 đến 9)

Giả sử mỗi loại trong 8 loại điểm đều là điểm của không quá 5 học sinh

thì lớp học có không quá 5.8 = 40 học sinh ít hơn 43 học sinh, điều này trái

với giả thiết, vậy giả sử là sai Suy ra ít nhất cũng tìm được 6 học sinh có

điểm kiểm tra bằng nhau

Cách 2: Coi 43 học sinh là 43 con thỏ, 8 loại điểm (từ 2 tới 9) là 8 cái lồng

Ví dụ 3.5

Trang 29

29

Cần phải có tối thiểu bao nhiêu sinh viên ghi tên vào lớp toán rời rạc để chắc

chắn rằng sẽ có ít nhất 6 người đạt cùng một điểm thi, nếu thang điểm gồm 5

bậc A, B, C, D, F

Lời giải:

Gọi số sinh viên tối thiểu cần ghi tên vào lớp toán rời rạc để chắc chắn

rằng sẽ có 6 người cùng đạt một điểm thi là n Mà thang điểm gồm 5 bậc, theo

mãn điều kiện bài toán

Ví dụ 3.6 [2]

Một ngăn tủ có 12 chiếc tất màu nâu và 12 chiếc tất màu đen Một người lấy

các chiếc tất một cách ngẫu nhiên trong bóng tối Anh ta cần phải lấy ra bao

nhiêu chiếc tất để chắc chắn rằng có ít nhất 2 chiếc tất cùng màu

Lời giải:

Gọi số chiếc tất anh ta phải lấy ra là n, ta thấy có 2 loại tất là tất màu nâu

và màu đen nên theo nguyên lý Dirichlet mở rộng ta có:

cùng màu

Ví dụ 3.7 [2]

Một mạng máy tính gồm 6 máy Mỗi máy nối trực tiếp hoặc không nối với

các máy khác Chỉ ra rằng có ít nhất 2 máy mà số máy nối với chúng là bằng

nhau

Lời giải:

Trang 30

30

Vì có tất cả 6 máy tính, nên số các máy tính kết nối với một máy là một số

nguyên từ 0 tới 5, không thể xảy ra đồng thời vừa có máy không kết nối với

máy nào, vừa có máy kết nối với cả 5 máy còn lại Tức là số máy tính kết nối

với một máy là một trong 5 số hoặc là từ 0 tới 4 hoặc là từ 1 tới 5

Ví dụ 3.8 [9]

Trong phòng họp có n người, bao giờ cũng tìm ra được 2 người quen trong số

những người dự họp là như nhau

Lời giải:

Số người quen của mỗi người trong phòng họp nhận các giá trị từ 0 tới n-1

Rõ ràng trong phòng không thể đồng thời có người có số người quen là 0 (tức

là 0 quen ai) và có người có số người quen là n-1 ( tức là quen tất cả) Vì vậy

theo số lượng người quen, ta chỉ có thể phân n người thành n-1 nhóm Vậy

theo nguyên lý Dirichlet tồn tại 1 nhóm có ít nhất 

cùng số người quen

Ví dụ 3.9 [2]

Có 10 đội bóng thi đấu với nhau, mỗi đội đấu với các đội khác Chứng minh

rằng vào bất cứ lúc nào cũng có hai đội đã đấu số trận như nhau

Lời giải:

Có 10 đội thi đấu với nhau, mỗi đội phải thi đấu với đội khác, vậy số trận

mà mỗi đội thi đấu là một trong các số 0, 1, 2…, 9 Không thể xảy ra trường

Trang 31

31

hợp vừa có đội không thi đấu trận nào vừa có đội thi đấu cả 9 trận Vì vậy số

trận thi đấu sẽ là 1 trong 9 số hoặc là từ 0 tới 8, hoặc là từ 1 tới 9

Theo nguyên lý Dirichlet trong 10 đội đó bất cứ lúc nào cũng có 2 đội đã

đấu số trận giống nhau

Ví dụ 3.10 [2]

Trong một tháng gồm 20 ngày, một đội bóng chuyền thi đấu mỗi ngày ít nhất

một trận nhưng chơi không quá 45 trận Chứng minh rằng tìm được một giai

đoạn gồm một số ngày liên tục nào đó trong tháng sao cho trong giai đoạn đó

Do đó theo nguyên lý Dirichlet có ít nhất 2 trong 60 số này bằng nhau

Vì vậy tồn tại i và j sao cho a i = a j +14 ( j < i ) Điều này có nghĩa là từ ngày

j+1 đến hết ngày i đội đã chơi đúng 14 trận Suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 3.11

Một đô vật tay tham gia đấu vật giành chức vô địch trong 75 giờ Mỗi giờ

anh ta có ít nhất một trận đấu nhưng toàn bộ anh ta có không quá 125 trận

Chứng tỏ rằng có những giờ liên tiếp anh ta đã đấu đúng 24 trận

Lời giải:

Gọi ai là số trận đấu đã thực hiện khi tới giờ i

Khi đó 1 a1 < a2 <…< a75  125

Trang 32

32

Ta cũng có 25  a1+ 24< a2+24 <…< a75+24  149

Xét 150 số a1, a2, …, a75, a1+ 24, a2+24 ,…, a75+24 các số này nằm trong

đoạn từ 1 tới 149 Do vậy theo nguyên lý Dirichlet sẽ có 2 số giống nhau

Giả sử 2 số đó là a j = a k +24 ( j > k) Vậy trong khoảng thời gian từ giờ

thứ k+1 tới giờ thứ j có đúng 24 trận

Ví dụ 3.12 [1]

Các số từ 1 đến 10 được xếp ngẫu nhiên chung quanh một đường tròn Chứng

minh rằng có ít nhất 3 số liên tiếp mà tổng 3 số này ít nhất là 17

Lời giải:

Giả sử 10 số nói trên xuất hiện ngẫu nhiên theo cách a, b, c, d, e, f, g, h, i, j

Như vậy, các bộ 3 số liên tiếp là:

(a, b, c), (b, c, d), (c, d, e), ( d, e, f),…,( h, i, j), (i, j, a), (j, a, b)

Rõ ràng là có 10 bộ như thế, các tổng tương ứng là:

a+b+c, b+c+d, c+d+e, d+e+f,…, h+i+j, i+j+a, j+a+b

Trong các bộ 3 nói trên, mỗi số trong các số từ 1 đến 10 xuất hiện ở đúng 3

Ta cần chứng minh rằng có một bộ 3 số có tổng ít nhất là 17 Hãy xem

như ta đặt 165 con thỏ vào 10 cái lồng Theo nguyên lý Dirichlet mở rộng có

Định dạng
Số trang	65
Dung lượng	836,34 KB