32 chuyên đề định lý lucas và ứng dụng trong số học

Đặt vấn đềBài toán Số học nói chung là bài toán hay và khó và đa dạng trong chương trình chuyên Toán và thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi.. Bài toán số học liên quan đến đồng dư

Đặt vấn đề

Bài toán Số học nói chung là bài toán hay và khó và đa dạng trong chương trình chuyên Toán và thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi

Bài toán số học liên quan đến đồng dư theo mô đun nguyên tố và công thức số các tổ hợp Cp

n thường là bài toán "lạ" và khó đối với học sinh

Định lý Lucas (1842-1891) là một trong những định lý đẹp của Lý thuyết

đồng dư theo mô đun nguyên tố Bài viết này giới thiệu và trao đổi với các bạn về nội dung định lý và ứng dụng vào một số bài tập số học liên quan

đến đồng dư theo mô đun nguyên tố

Tài liệu này có ý nghĩa thực tiễn trong giảng dạy và học tập môn toán trung học phổ thông, vì bài toán số học là bài toán khó trong quá trình giảng dạy và học tập, trong các đề thi Học sinh giỏi

Mặc dù đã cố gắng, nhưng có lẽ tập Tài liệu này còn những hạn chế và thiếu sót Vì vậy, tác giả rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các bạn

đồng nghiệp và bạn đọc

Tác giả

Giải quyết vấn đề

A Cơ sở lý luận của vấn đề

Định lý Lucas Cho m, n là các số tự nhiên và p là một số nguyên tố Giả sử biểu diễn cơ sở p của m, n là:

m = mk.pk+ mk−1.pk−1 + + m1.p + m0

n = nk.pk+ nk−1.pk−1 + + n1.p + n0

với 0 6 mi, ni 6 p − 1, i = 0, 1, k Khi đó: Cn

m ≡

k

Q

i=0

Cni

mi (mod p) ( Quy ước Cb

a = 0 khi a < b)

Chứng minh

• Nếu m = n thì Định lý hiển nhiên đúng

• Không mất tính tổng quát, giả sử m > n

Ta có nhận xét: (x + 1)p j

≡ xp j

(mod p), ∀ j ∈ N∗

Do đó: (1 + x)m = (1 + x)

k

P

i=0

m i p i

≡

k

Q

i=0

(1 + xpi)mi

Suy ra (1 + x)m ≡

k

Q

i=0

m i

P

j=0

Cmjixj.pi (mod p)

Đồng nhất hệ số của xn ở 2 vế của đồng dư thức trên, suy ra điều phải chứng minh

B Thực trạng của vấn đề

Trong các kỳ thi học sinh giỏi, bài toán số học là một bài toán hay nhưng khó đối với học sinh, nhất là các bài toán liên quan đến đồng dư theo mô

đun nguyên tố và công thức số các tổ hợp Cp

n thường là bài toán "lạ" và khó

đối với học sinh Đứng trước các bài toán như thế, học sinh thường rất lúng túng không biết hướng tiếp cận, giải quyết vấn đề như thế nào Bài viết này nhằm cung cấp cho học sinh một cách để tiếp cận và giải quyết một số bài toán như trên bằng Định lý Lucas

C Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề

Sau đây là một số ví dụ cụ thể để minh họa cách sử dụng định lý Lucas trong các bài toán số học liên quan đến đồng dư theo mô đun nguyên tố, qua những ví dụ đó người đọc sẽ hình dung được ý đồ của tác giả và tự rút

ra cho bản thân kỹ năng sử dụng định lý

Cnp ≡hn

p

i (mod p)

Lời giải Giả sử biểu diễn cơ sở p của n là:

n = nk.pk+ nk−1.pk−1 + + n1.p + n0 Theo định lý Lucas, ta có:

Cnp ≡ Cn1

1 ≡ n1 ≡ hn

p

i (mod p)

n là số lẻ với mọi

m = 0, 1, , n

Lời giải Vì cần xét tính chẵn lẻ của Cm

n nên ta xét biểu diễn của n, m theo hệ cơ số p = 2

Giả sử n, m biểu diễn theo hệ cơ số 2 là:

n =

k

X

i=0

ni.2i, m =

k

X

i=0

mi.2i; ni, mi ∈ {0, 1}

Khi đó theo định lý Lucas, ta có:

Cnm ≡

k

Y

i=0

Cmi

n i (mod 2)

Do đó Cm

n , ∀ m = 0, 1, , n là số lẻ khi và chỉ khi mi 6 ni ⇔ ni =

1, ∀ i = 0, 1, k

Vậy Cm

n , ∀ m = 0, 1, , n là số lẻ khi và chỉ khi trong biểu diễn theo cơ số 2 của n chỉ có các chữ số 1, tức là n = 2s− 1

Ví dụ 3. Xác định tất cả các số nguyên dương n > 2 sao cho Ck

n−k là số chẵn với mọi k = 0, 1, , [n

2] Lời giải Theo ví dụ trên, ta có Cm

2 s −1 ≡ 1 (mod 2), ∀ 0 6 m 6 2s − 1

Từ đó suy ra n + 1 là lũy thừa của 2, vì nếu không ta đặt s = [log2s], và xét

k = n − (2s − 1) = n − 2

s+1− 2

2 = n 2

Khi đó Ck

n−k = C2ks −1 là một số lẻ, trái điều kiện của bài toán

Ngược lại, với n = 2s − 1, đếm số các chữ số 0, 1 xuất hiện trong biểu diễn nhị phân của n − k và k, theo định lý Lucas, suy ra Ck

n−k ≡ 0 (mod 2), ∀ k = 0, 1, , [n

2].

Vậy n = 2s− 1 thỏa mãn bài toán

Ví dụ 4. Chứng minh rằng tất cả các số Ck

2 n đều là số chẵn với mọi k =

1, 2, , 2n− 1 và có đúng một số trong các số đó không chia hết cho 4 Lời giải Trước hết từ đẳng thức Ck

2 n = 2

n

k .C

k−1

2 n −1, ∀ k = 1, 2, , 2n− 1, suy ra tất cả các số Ck

2 n đều là số chẵn

Hơn nữa, cũng từ đẳng thức trên suy ra tất cả các số Ck

2 n đều là bội của

4, với mọi k 6= 2n−1

Với k = 2n−1 thì C2n−1

2 n = 2.C22nn−1−1−1 Vì 2n − 1 chỉ chứa đúng một chữ số 1 trong biểu diễn theo hệ cơ số 2, nên theo định lý Lucas suy ra C2n−1−1

2 n −1 là một số lẻ, chứng tỏ C2n−1

2 n không chia hết cho 4

Ví dụ 5. Cho p là một số nguyên tố lẻ Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho C1

n, Cn2, , Cnn−1 đều chia hết cho p

Lời giải Giả sử trong hệ cơ số p, n có biểu diễn là:

n = nk.pk + nk−1.pk−1 + + n1.p + n0, 0 6 n0, n1, , nk 6 p − 1 Xét 1 6 m 6 n − 1, giả sử m biểu diễn trong hệ cơ số p là:

m = mk.pk + mk−1.pk−1+ + m1.p + m0, 0 6 m0, m1, , mk 6 p − 1 Theo định lý Lucas, ta có:

Cnm ≡

k

Y

i=0

Cmi

n i (mod p)

• Nếu n = pk thì hiển nhiên thỏa mãn bài toán

• Nếu n 6= pk thì với nk > 1, ta xét m = pk < n Khi đó ta có:

Cnm ≡ nk 1.1 1

| {z }

k−1lần

≡ nk 6≡ 0 (mod p)

Vậy n = pk thỏa mãn bài toán

Ví dụ 6. Gọi Sn là tổng bình phương các hệ số trong khai triển nhị thức (1 + x)n, trong đó n là số nguyên dương, x là số thực bất kỳ Chứng minh rằng S2n + 1 không chia hết cho 3, với mọi n

( Việt Nam TST 2010)

Lời giải Từ đẳng thức (1 + x)2n = (1 + x)n(x + 1)n suy ra

2n

X

i=0

C2ni x2n−i =

 n

X

i=0

Cnixn−i



 n

X

i=0

Cnn−ixi



Đồng nhất hệ số của xn trong đẳng thức trên, suy ra:

C2nn =

n

X

i=0

Cni.Cnn−i =

2n

X

i=0

(Cni)2

Do đó Sn = C2nn , ∀ n ∈ N∗

Như thế ta cần chứng minh: (C2n

4n + 1) 6 3, ∀ n ∈ N∗ Giả sử 2n = Pk

i=0

ai.3i, 0 6 ai 6 2, ∀ i = 0, 1, , k

• Nếu ai ∈ {0; 1}, ∀ i = 0, 1, , k thì 2ai ∈ {0; 2}, ∀ i = 0, 1, , k và trong hệ cơ số 3 thì

4n =

k

X

i=0

2ai.3i

Từ cách biểu diễn trên suy raPk

i=0

ai là một số chẵn, đặt Pk

i=0

ai = 2t, t ∈ N Theo định lý Lucas, ta có:

C4n2n+ 1 ≡

k

Y

i=0

Cai

2a i+ 1 ≡

k

Y

i=0

2ai+ 1 ≡ 2

k

P

i=0

ai

+ 1 ≡ 22t+ 1 ≡ 2 (mod 3)

• Nếu tồn tại ai = 2, không mất tính tổng quát, giả sử j là chỉ số nhỏ nhất trong các chỉ số 0, 1, , k mà aj = 2 Khi đó hệ số tương ứng tại vị trí j trong biểu diễn theo hệ cơ số 3 của 4n bằng 1, mà C2

1 = 0 nên theo

định lý Lucas, ta có

C4n2n + 1 ≡

k

Y

i=0

Cai

2ai + 1 ≡ 1 (mod 3)

Vậy trong mọi trường hợp ta đều có S2n + 1 không chia hết cho 3

D Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Trên đây là một số Ví dụ minh họa ứng dụng của Định lý Lucas, tùy theo bài toán, chúng ta biểu diễn các đối tượng theo hệ cơ số thích hợp để

được kết quả như mong muốn Các ví dụ trên đã được tác giả giảng dạy trong các đợt tập huấn ôn thi Kỳ thi chọn học sinh giỏi Quốc gia và Kỳ thi chọn Đội tuyển Quốc gia dự thi Quốc tế cho Đội tuyển Toán của trường chuyên Hùng Vương trong những năm qua Qua đó học sinh đã nắm vững

được định lý, có kỹ năng sử dụng linh hoạt và trang bị thêm cho bản thân kinh nghiệm, cách tiếp cận, tư duy lôgic, một cách nhìn để giải quyết vấn

đề, nhất là đối với các bài toán số học liên quan đến đồng dư theo mô đun nguyên tố

Kết luận, đề nghị

Trong quá trình giảng dạy, nhất là giảng dạy cho các em trong Đội tuyển học sinh giỏi Toán, tôi thấy cần trang bị kiến thức cho học sinh nền kiến thức chuẩn của tất cả các phân môn Đại số, Số học, Giải tích, Tổ hợp; sau

đó thông qua hệ thống các ví dụ được phân mịn từ dễ đến khó, từ cơ bản

đến nâng cao để minh họa cho các phần lý thuyết tương ứng, giúp cho học sinh hiểu nội dung lý thuyết và có kỹ năng vận dụng linh hoạt kiến thức vào giải quyết vấn đề; bài viết trên đây là một ví dụ minh họa cho tư tưởng

đó

Sau đây là một số bài tập rèn luyện:

Bài1. Cho n là số nguyên dương lẻ, chứng minh rằng:

C4n0 + C4n1 + + C4n2n−1 ≡ 2n−1 (mod 2)

Bài2. Cho n là số nguyên dương lẻ, chứng minh rằng:

C4n2n (8n + 4)

Bài3. Cho p là số nguyên tố Chứng minh rằng

Cp−1k ≡ (−1)k (mod p), ∀ 0 6 k 6 p − 1

Bài 4. Cho số nguyên tố p và các số nguyên dương a > b Chứng minh rằng

Cpapb ≡ Cab (mod p)

Bài5. Cho số nguyên tố p và số nguyên dương k, chứng minh rằng

Cpak ≡ 0 (mod p), ∀ 0 < a < pk

Bài6. Cho số nguyên tố p và các số tự nhiên k, a : 0 6 a 6 pk− 1 Chứng minh rằng

Cpak −1 ≡ (−1)a (mod p)

Bài7. Cho số nguyên dương n Chứng minh rằng số các số m ∈ {0, 1, , n} sao cho Cm

n lẻ là lũy thừa của 2

Bài 8. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho tồn tại vô hạn các số nguyên dương k mà Ci

k nguyên tố với n với mọi i = 0, 1, , k

Bài 9. Cho số nguyên tố p Chứng minh rằng p không là ước của bất

kỳ một trong các số C1

n, Cn2, , Cnn−1 khi và chỉ khi n = spk − 1, với

k ∈ N∗, 1 6 s 6 p − 1

Bài10. Phủ định hay khẳng định: với bất kỳ số nguyên dương k > 2, tồn tại

số nguyên dương n > 2 sao cho Ci

n chia hết cho k, với mọi 1 6 i 6 n − 1