Chuỗi Fourier Và Ứng Dụng Cho Bài Toán Dao Động Của Sợi Dây

Fourier đã áp dụng chuỗi Fourier để giải phương trình truyền nhiệt trong các côngtrình đầu tiên của ông được công bố vào năm 1807 và 1811.. Trong cuốn Lí thuyết giải tích về nhiệt học Th

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHẠM PHƯỚC HUY

CHUỖI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG CHO BÀI

TOÁN DAO ĐỘNG CỦA SỢI DÂY

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 846.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - Năm 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ HẢI TRUNG

Phản biện 1: TS Lương Quốc Tuyển

Phản biện 2: TS Trần Đức Thành

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ Toán học họp tại Trường Đại học Sư Pham - Đại học Đà Nẵng vào ngày 17 tháng 6 năm 2018

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng;

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Việc nghiên cứu chuỗi Fourier bắt nguồn từ những bài toán trong Vật

lý cụ thể là các bài toán liên quan đến dao động và các bài toán truyềnnhiệt J Fourier là người đầu tiên nghiên cứu chuỗi lượng giác theo cáccông trình trước đó của Euler, D’Alembert và Daniel Bernoulli J Fourier

đã áp dụng chuỗi Fourier để giải phương trình truyền nhiệt trong các côngtrình đầu tiên của ông được công bố vào năm 1807 và 1811 Trong cuốn

Lí thuyết giải tích về nhiệt học (Théorie analytique de la chaleur) của ôngđược công bố vào năm 1822 đã trình bày một cách đầy đủ việc giải quyếtbài toán truyền nhiệt và dao động bằng chuỗi Fourier, nhiều nhà toán họcnổi tiếng, trong đó có Riemann, Cantor và Lebesgue cũng đã gắn liền vớihướng nghiên cứu này Hoàn toàn có thể nói rằng, trong thời đại của chúng

ta, với sức hấp dẫn và sự phát triển của mình, chuỗi Fourier đang chiếmmột vị trí quan trọng trong giải tích

2 Mục đích nghiên cứu

+ Hệ thống các kiến thức về chuỗi Fourier

+ Sử dụng kiến thức về chuỗi Fourier để giải quyết bài toán dao động sợidây với điều kiện ban đầu

3 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu cách giải quyết bài toán dao động sợi dây bằng phươngpháp chuỗi Fourier

4 Phạm vi nghiên cứu

Giải quyết bài toán dao động sợi dây với điều kiện ban đầu và điều kiệnbiên bằng phương pháp chuỗi Fourier

5 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận văn sử dụng các kiến thức nằm trong các lĩnh vực sau đây:Giải tích, Giải tích hàm, Giải tích Fourier, Phương trình đạo hàm riêng, .

6 Đóng góp của đề tài

Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết, có thể sử dụng như là tài liệu thamkhảo dành cho các đối tượng quan tâm đến bài toán dao động của sợi dây

7 Cấu trúc luận văn

Bố cục của luận văn bao gồm: mục lục, mở đầu, nội dung chính, kếtluận và tài liệu tham khảo Nội dung chính của luận văn được chia thành 2chương:

Chương 1, trình bày các kiến thức cơ sở của chuỗi Fourier Trong chươngnày tác giả nhắc lại một số kiến thức cơ bản về chuỗi Fourier, chuỗi lượnggiác, đẳng thức Parseval, dạng phức của chuỗi Fourier

Chương 2, trình bày ứng dụng chuỗi Fourier trong ba bài toán dao độngcủa sợi dây

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ CHUỖI FOURIER

1.1 Chuỗi lượng giác

Định nghĩa 1.1.1 Chuỗi lượng giác là chuỗi hàm số có dạng

∞Xn=1

trong đó a0, an, bn là những hằng số

Số hạng tổng quát un(x) = ancos nx + bnsin nx là một hàm số tuầnhoàn chu kì 2π

n , liên tục và khả vi mọi cấp Nếu chuỗi (1.1) hội tụ thì tổng

của nó là một hàm số tuần hoàn chu kì 2π

là chuỗi Fourier của f (x)

1.3 Điều kiện đủ để hàm số khai triển được thành chuỗi FourierĐịnh lý 1.3.1 Nếu f : R → R là hàm số tuần hoàn chu kì 2π, khả

vi thì chuỗi Fourier của nó hội tụ và có tổng bằng f (x), ∀x ∈ R.

Định lý 1.3.2 Giả sử f : R → R là một hàm số tuần hoàn chu kì2π, thỏa mãn một trong hai điều kiện sau trên đoạn [−π, π]:

- hoặc f liên tục từng khúc và có đạo hàm f0 liên tục từng khúc

- hoặc f đơn điệu từng khúc và bị chặn

Khi đó chuỗi Fourier của f hội tụ tại mọi điểm Tổng S(x) của nó

ta có

Các điều kiện nêu trong định lí này là điều kiện Đirichlet

Ví dụ 1.3.3 Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số f (x) tuần hoàn chu

0

+

Z π 0

Hình 1.1

1.4 Khai triển một hàm số bất kỳ thành chuỗi Fourier

Muốn khai triển f (x) thành chuỗi Fourier, ta xây đựng một hàm sốtuần hoàn g(x) có chu kì lớn hơn hay bằng (b − a) sao cho

Fourier theo các hàm số cosin

Muốn khai triển f (x) thành Chuỗi Fourier theo các hàm số cosin taxây dựng hàm số g(x) chẵn, tuần hoàn với chu kì bằng 4, bằng f (x) = x

2

Hình 1.2

bn= 0, n = 1, 2,

Z 2 0

x

Z 2 0

2

0

nπ

Z 2 0

∞Xn=1

(a2n + b2n)

hay

1 2π

Z π

−π

2 0

1 2

∞Xn=1

(a2n + b2n). (1.6)

Đẳng thức (1.6) được gọi là Đẳng thức Parseval

Ví dụ 1.5.1 Tìm khai triển Fourier của hàm

∞Xn=1

1.6 Dạng phức của chuỗi Fourier

αneinx

Đó là dạng phức của chuỗi Fourier Chú ý rằng α−n = ¯ αn trong đó αn

và số phức liên hợp của αn

Ví dụ 1.6.1 Khai triển thành chuỗi Fourier của hàm f (x) = ex với

Lời giải Vậy ∀x 6= (2k + 1) π,

π

Xn∈R



CHƯƠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA DÂY

2.1 Phương trình dao động của dây

Xét một sợi dây có chiều dài l cố định ở hai đầu mút Khi ở trạng tháitĩnh, dây có dạng đường thẳng Ta chọn đường thẳng này làm trục Ox vàxem các đầu dây trùng với các điểm x = 0 và x = l Mỗi điểm của sợidây có thể biểu thị bằng hoành độ x của nó Ta mô tả quá trình dao độngcủa dây theo vị trí của mỗi điểm đã cho của sợi dây tại các thời điểm khácnhau, bằng cách đưa vectơ dịch chuyển của sợi dây tại vị trí x và tại thờiđiểm t có dạng

Hình 2.1 Dao động của dây

Xét sợi dây như sợi chỉ đàn hồi dễ uốn, về mặt toán học, khái niệm dễuốn thể hiện ở chỗ sức căng xuất hiện trong dây luôn luôn hướng theo tiếp

tuyến với dạng đường cong tức thời của nó, điều đó biểu thị dây không bịcản trở khi uốn cong.

Ta thu được phương trình dao động của dây

Trường hợp 3: Mật độ ρ và sức căng T = T0 là hằng số với β = 0, w =

−ρg, trong đó g là gia tốc trọng trường

Đặt Tρ = a2, ta thu được phương trình dao động của dây dưới tácdụng của trọng lực

2.2 CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN VÀ ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU CHOPHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA DÂY

Để tìm nghiệm dưới dạng tường minh, cần phải có các điều kiện biêncho phương trình dao động Các dạng điều kiện biên cho phương trình daođộng của dây thường có dạng sau

1) Điều kiện biên Dirichlet: Sự di chuyển của các đầu dây có dạng

∂u

 x=l

Trong đó ∂u∂n = grad un, n là vectơ pháp tuyến đơn vị

Điều kiện ban đầu cho bài toán dao động của dây là hình dạng ban đầu

và vận tốc ban đầu

Ta nhận được hai phương trình vi phân

Các điều kiện biên (2.6) cho ta

có nghiệm không tầm thường

Lí thuyết phương trình vi phân cho thấy để (2.12) có nghiệm khôngtầm thường thì λ phải dương Khi đó, nghiệm của bài toán (2.12) có dạng



(2.16)

Ta sẽ tìm nghiệm tổng quát u dưới dạng chuỗi sau

u(x, t) =

∞Xn=1



nπat l

∞Xn=1

Vậy nghiệm của bài toán được cho bởi (2.7) với các hệ số An, Bn như trên

Ví dụ 2.3.1 Giải bài toán

Bn = 2

2nπ

Z l 0

Ta xét bài toán tìm nghiệm u của phương trình biểu diễn dao động củamột sợi dây dài l có hai đầu mút cố định, hình dạng ban đầu của sợi dây

là một tam giác có độ cao bằng h, chân đường cao tại x0 = 2l, vận tốc banđầu bằng không Phương trình dao động của dây là

bằng một hằng số được chọn là −λ, với λ là hằng số Như vậy

có nghiệm không tầm thường

Lí thuyết phương trình vi phân cho thấy để (2.25) có nghiệm khôngtầm thường thì λ phải dương Khi đó ta có

√

√ λx

Với trị riêng đã cho, nghiệm của phương trình (2.23) theo biến t có dạng



nπat l

∞Xn=1

Z l

l 2

Vậy nghiệm của bài toán được cho bởi (2.31) với các hệ số An, Bn nhưtrên

2.5 BÀI TOÁN THỨ BA

Ta xét bài toán tìm nghiệm u của phương trình biểu diễn dao động

cưỡng bức của một sợi dây có hai đầu mút cố định

Bài toán đã được chứng minh có nghiệm duy nhất trong lí thuyết phương

trình đạo hàm riêng Ở đây ta dùng công cụ chuỗi Fourier để giải nghiệm

bài toán Ta khai triển hàm f (x, t) = x(x − 1) thành chuỗi sin

f (x, t) =

∞Xk=1

∞Xk=1

Thay (2.36) vào (2.32) ta được

∞Xk=1

Nhân hai vế của đẳng thức trên với sin(kπx) ta được

∞Xk=1

và

u0t(x, 0) =

∞Xk=1

1 − cos(2m − 1)πt

KẾT LUẬN

Sau thời gian dài tìm hiểu và nghiên cứu, luận văn với đề tài “ ChuỗiFourier và bài toán dao động sợi dây” đã thực hiện được những nội dungsau:

Trong chương I, luận văn đã trình bày một cách hệ thống và chi tiết

về chuỗi Fourier: Định nghĩa, chứng minh chi tiết Định lý 1.3.1, 1.3.2 xâydựng công thức tính hệ số chuỗi Fourier, điều kiện đủ để triển khai thànhchuỗi Fourier, dạng phức của chuỗi Fourier Luận văn trình bày chi tiết các

ví dụ minh họa về khai triển hàm số thành chuỗi Fourier Hầu hết các ví

dụ tác này giả tự đưa ra và lấy đề bài từ các tài liệu tham khảo [2], [5] sau

đó giải chi tiết trong luận văn, mỗi ví dụ điển hình cho mỗi nội dung khácnhau Ở phần 1.4 về việc khai triển hàm số bất kì thành chuỗi Fourier, luậnvăn đã chỉ ra các bước thực hiện cụ thể và một số ví dụ minh họa rõ ràng.Cuối chương I, tác giả đã đề cập đến dạng phức của chuỗi Fourier Tùy theohàm số đề bài cho mà ta có thể áp dụng công thức tính hệ số Fourier dạngphức hoặc dạng thực để tính toán đơn giản hơn

Trong chương II, luận văn đã trình bày bài toán dao động sợi dây,phương trình dao động sợi dây, điều kiện biên và điều kiện ban đầu chophương trình dao đông sợi dây, ba bài toán dao động sợi dây Các ví dụ ởchương này tác giả sưu tầm từ tài liệu tham khảo [4], sau đó giải chi tiết.Qua nội dung trên, chúng ta thấy chuỗi Fourier là công cụ tốt để giải quyếtcác bài toán dao động sợi dây mà trong luận văn đã đề cập

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

[1] Trần Anh Bảo, Nguyễn Văn Khải, Phạm Văn Kiều, Ngô Xuân Sơn(2007), Giải tích số, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm

[2] Nguyễn Viết Đông, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Anh Tuấn, Lê Anh

Vũ (1998), Toán cao cấp Tập 1, Nhà xuất bản Giáo dục

[3] Nguyễn Thừa Hợp (2006), Giáo trình phương trình đạo hàm riêng tập

I và II, Nhà xuất bản ĐHQG Hà Nội

[4] Đinh Xuân Khoa, Nguyễn Duy Bằng (2013), Giáo trình toán cho vật

lý, Nhà xuất bản Hà Nội

[5] Nguyễn Đình Trí (2011), Toán học cao cấp, Nhà xuất bản Giáo dục

[6] Nguyễn Công Tâm (2001), Nhập môn phương trình vật lý – toán, Nhàxuất bản Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh

Tiếng Anh

[7] Edwards C.Hendry, David E.Penney (2007), Elementary diferentialequations with boundary value problem, Prentice Hall

[8] Matthew J.H (2005), Linear Partial Differential Equations, Fall

[9] Ander Vretblad (2003), Fourier Analysis and Its Applications, Springer

Để tìm nghiệm dạng tường minh, cần phải có điều kiện biêncho phương trình dao động Các dạng điều kiện biên cho phương trình dao? ?ộng dây thường có dạng... theohàm số đề cho mà ta áp dụng cơng thức tính hệ số Fourier dạngphức dạng thực để tính tốn đơn giản

Trong chương II, luận văn trình bày tốn dao động sợi dây, phương trình dao động sợi dây, điều