Chuỗi fourier và ứng dụng trong vật lí (2017)

Nếu chuỗi số ∑ ∑ đều hội tụ tuyệt đối thì tổng của chuỗi lượng giác:∑ 1.5 liên tục trên R và tổng của chuỗi lượng giác của đoạn [ ] có tính chất:Với mỗi , hàm số liên tục trên khoảng , c

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

CẤN THỊ LAN HƯƠNG

CHUỖI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyếtKHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn: TS.Nguyễn Huy Thảo

HÀ NỘI – 2017

2

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới TS.Nguỹen Huy Thảo, thầy đã định hướng cho tôi có những tư duy khoa học đúng đắn, tận tình chỉ bảo và tạo rất nhiều thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình xây dựng và hoàn thiện đề tài này.Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật lý trường ĐHSPHN2 đãgiúp đỡ tạo điều kiện cho tôi trong thời gian hoàn thành khoá luận

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 18 tháng 4 năm 2017

Sinh viênCấn Thị Lan Hương

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng:

Khoa luận đề tài “Chuỗi Fourier và ứng dụng trong Vật lý” dưới sự hướng dẫn củaTS.Nguyễn Huy Thảo có các nội dung và kết quả nghiên cứu hoàn toàn trung thực.Mọi sự giúp đỡ trong việc thực hiện khoá luận đã được cảm ơn, các tài liệu tham khảo được sử dụng đều được ghi rõ trong khoá luận

Hà Nội, ngày 18 tháng 4 năm 2017

Sinh viênCấn Thị Lan Hương

MỞ ĐẦU

NỘI DUNG

CHƯƠNGI: LÝ THUYẾT CHUỖI

1.1: Một số nội dung cơ bản về chuỗi 9

1.1.1: Các định nghĩa 9

1.1.2: Tính chất 9

1.1.3: Tiêu chuẩn hội tụ 10

1.1.4: Chuỗi số dương 10

1.2: Chuỗi lượng giác 12

1.2.1: Định nghĩa 12

1.2.2: Định lý 13

1.3: Chuỗi Fourier 14

1.3.1: Định nghĩa 14

1.3.2: Định lý 15

1.3.3: Tính chất của các hệ số Fourier 16

1.3.4: Tính hội tụ Fourier 17

1.3.5: Dạng phức của chuỗi Fourier 17

1.3.7: Khai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier 19

CHUỖI II: ỨNG DỤNG CỦA CHUỖI FOURIER 2.1: Ứng dụng trong Vật lý 28

2.1.1: Phương trình truyền nhiệt 28

2.1.2: Phương trình dao động của dây 36

2.2: Ứng dụng của huỗi Fourier trong một số lĩnh vực khác 48

2.2.1: Tích chập và biến đổi Fourier 48

2.2.2: Tuyến tnh, tính bất biến 54

2.2.3: Xác định xung phản hồi và hàm chuyển của một hệ thống 58

2.2.4: Ứng dụng của tch chập- xử lý tn hiệu và bộ lọc 63

2.2.5: Ứng dụng của tch chập- điều chỉnh biên độ và ghép tần số 66

2.2.6: Ứng dụng của chuỗi Fourier trong âm nhạc 69 KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

6

ra chuỗi đặc biệt mà hiện nay mang tên ông gọi là chuỗi Fourier ChuỗiFourier ra đời tạo nền tảng cho nhiều nghiên cứu khoa học, đồng thời tạo rabước tiến mới cho cả lý thuyết khoa học và ứng dụng thực tế.

Ngày nay, những nghiên cứu về chuỗi Fourier có nhiều ứng dụngtrong các ngành khoa học như số học, xử lý tín hiệu, xác suất, hình học…

và đặc biệt trong vật lý với các bài toán về sự dao động và sự truyền nhiệt.Việc ứng dụng chuỗi Fourier giúp giải quyết nhiều vấn đề mà trước đây tachưa làm được và giúp các ngành khoa học phát triển hơn

Với mục đích tìm hiểu về ứng dụng của chuỗi Fourier và cũng để làmquen với nghiên cứu khoa học, chúng tôi đã chọn đề tài “chuỗi Fourier vàứng dụng" để làm khóa luận tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Trình bày một số ứng dụng của chuỗi Fourier

Rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học

Đóng góp thêm tài liệu tham khảo cho sinh viên khoa Vật lý trường sưphạm Hà Nội II

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về chuỗi Fourier, tính hội tụ, tính chất của các hệ sốFourier

Hệ thống hóa một số kiến thức cơ bản về chuỗi Fourier Nghiên cứusâu hơn và chuỗi fourier

Tìm hiểu và nghiên cứu của các ứng dụng của chuỗi Fourier

4 Phạm vi nghiên cứu.

Nghiên cứu về chuỗi Fourier và các ứng dụng nổi bật của chuỗi

5 Phương pháp nghiên cứu.

Phương pháp nghiên cứu chủ yếu là:

-Sưu tầm, đọc, nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp kiến thức

-Trao đổi, thảo luận với bạn bè, giáo viên hướng dẫn, qua đó tổng hợpkiến thức và trình bày theo đề cương nghiên cứu, thực hiện kế hoạch vàhoàn thành khóa luận

6 Đóng góp của đề tài.

Khóa luận trình bày được hệ thống kiến thức cơ sở đến mở rộng của chuỗi Fourier Cung cấp và làm sáng tỏ các ứng dụng của chuỗi Fourier

7 Cấu trúc

Chương I: Trình bày một số kiến thức cơ bản về chuỗi và các kiến thức quan

trọng cần thiết về chuỗi Fourier

Chương II: Trình bày về ứng dụng của chuỗi Fourier trong giải bài toán vật lý và

một vài ứng dụng trong các lĩnh vực khác

NOI DUNG

CHƯỞNG I: LÝ THUÝET CHUOI

1.1: Một số nội dung cơ bản về chuỗi.

ta nói chuỗi số (1.1) hội tụ có tổng là S và viết ∑

Trường hợp ngược lại, nếu không tồn tại hoặc thì chuỗi số(1.1) được gọi là chuỗi phân kì

 Định nghĩa 3:

Ta gọi là phần dư thứ của chuỗi số Nếu chuỗi số hội tụ thì khi

Nếu không dần tới một giới hạn hữu hạn khi , thì chuỗi số phân kì

 Định lý (Tiêu chuẩn Cauchy).

Chuỗi số ∑ hội tụ khi và chỉ khi mỗi số cho trước, tìm được số nguyêndương N sao cho:

Chuỗi số ∑ có các số hạng với mọi được gọi là chuỗi số dương

Các dấu hiệu hội tụ

Cho hai chuỗi số dương ∑ và ∑ Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

thì hai chuỗi số ấy đồng thời hội tụ hay phân kì

 Định lý 3: (Dấu hiệu tích phân Cauchy).

Giả sử là một hàm số liên tục trên khoảng [ [

∑

với gọi là chuỗi số đan dấu

 Định lý: ( Định lý Leibniz)

Nếu chuỗi số đan dấu ∑ thoả mãn các điều

kiện sau: (i)

(i) Nếu thì chuỗi hội tụ tuyệt đối.

(ii) Nếu thì chuỗi phân kì

(iii) Nếu thì chưa kết luận được về sự hội tụ của chuỗi

 Định lý 3: (Dấu hiệu Cauchy)

Giả sử chuỗi số ∑ √| | Khi đó

(i) Nếu thì chuỗi hội tụ tuyệt đối

(ii) Nếu thì chuỗi phân kì

(iii) Nếu thì chưa kết luận được về sự hội tụ của chuỗi

 Định lý 4:

Giả sử ∑ là một chuỗi số với √| | Khi đó(i) Nếu thì chuỗi hội tụ tuyệt đối

(ii) Nếu thì chuỗi phân kì

(iii) Nếu thì chưa thể nói gì về tính chất của chuỗi số

∑ (1.2)

Trong đó { } { } là hai dãy số thực

 Định lý 5:

Nếu chuỗi số ∑ ∑ đều hội tụ tuyệt đối thì tổng của chuỗi lượng giác:

∑ (1.5)

liên tục trên R và tổng của chuỗi lượng giác

của đoạn [ ] có tính chất:Với mỗi , hàm số liên tục trên khoảng ,

có giới hạn phải hữu hạn tại điểm và giới hạn trái tại điểm Nói cáchkhác, là liên tục từng khúc trên đoạn [ ] nếu chỉ có một số hữu hạn điểm giánđoạn loại I và liên tục tại mọi điểm còn lại của đoạn..

 Định nghĩa 2:

Giả sử là một hàm số tuần hoàn xác định trên R với chu kỳ , liên tục từng khúc trên mỗi đoạn bị chặn Chuỗi lượng giác:

∑trong đó các hệ số được cho bởi công thức:

∫

∫

gọi là chuỗi Fouriercủa hàm số được gọi là các hệ số Fourier của Các công thức tnh được gọi là công thức Euler.

Vì là một hàm số tuần hoàn chu kỳ nên nhờ một phép biến đổi biến số, dễ dàng chứng minh được: ∫

∫Đặc biệt ta có:

∫

nếu là một hàm số chẵn thì là những hàm số chẵn và là nhữnghàm số lẻ Do đó:

∫

Vì thế chuỗi Fourier của có dạng:

∑

Tương tự, nếu là một hàm số lẻ thì là những hàm số lẻ và là những hàm số chẵn Do đó

∫Khi đó chuỗi Fourier của có dạng:

∑

1.3.2: Định lý.

Giả sử là một hàm số tuần hoàn với chu kì Giả sử chuỗi lượng giác:

∑Hội tụ đều trên đoạn [ ] (do đó hội tụ đều trên R) và có tổng là Khi đó ta có:

Cho là hàm số với bình phương khả tch trên đoạn [ ]

Nếu là tổng Fourier bậc của thì:

∫ [ ] ∫ [ ]trong đó minium ở vế phải lấy theo mọi đa thức lượng giác có bậc không quáNếu là các hệ số Fourier của thì ta có bất đẳng thức Bessel sauđây:

1.3.4: Tính hội tụ Fourier.

Không phải khi nào chuỗi Fourier của hàm cũng hội tụ đến chính hàm đó, nên ta dùngbiểu thức:

∑

để biểu thị rằng hàm có khai triển Fourier là chuỗi ở vế phải

 Dấu hiệu hội tụ của chuỗi Fourier

Cho hàm tuần hoàn với chu kì , bị chặn và đơn điệu từng khúc trên mỗi chu kì Khi

đó chuỗi Fourier của hàm hội tụ, tổng của chuỗi Fourier bằng tại mọi điểm màhàm liên tục Tại những điểm mà hàm không liên tục, tổng chuỗi Fourier hội tụ vềgiá trị [ ]

trong đó:

1.3.5: Dạng phức của chuỗi Fourier.

Sử dụng công thức biểu diễn hàm lượng giác thông qua số

phức:

và

Ta có thể viết lại khai triển Fourier dưới dạng:

∑ [ ]Đặt ta có:

∑Lưu ý rằng , ta có

Công thức này được gọi là dạng phức của chuỗi Fourier

 Dạng phức của chuỗi Fourier đối với hàm tuần hoàn chu kì

Với khả tch trên đoạn [ ] Đối với hàm này ta lập được chuỗi Fourier

∑trong đó

∫

∫{

Ta sử dụng đẳng thức Euler liên hệ các hàm lượng giác với hàm mũ

Suy ra

Ta có thể viết

Thay vào (1.9) ta được

∑ ( )Nếu đặt (1.11)

tổng riêng thứ của chuỗi (1.10), tức là của cả chuỗi (1.9), có thể viết là:

∑ ∑

Ta có cách viết

∑Dạng phức của chuỗi Fourier của hàm

1.3.7: Khai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier.

 Định nghĩa khai triển Fourier của một hàm số.

Cho chuỗi lượng giác:

∑

là chuỗi Fourier của trên đoạn [ ] Nếu chuỗi (1.12) hội tụ và hội tụ đến tổngchính là thì ta nói rằng khai triển thành Fourier trên đoạn [ ] Đồng thờiviết

 Khai triển Fourier tổng quát

Khai triển một hàm tuần hoàn trong khoảng[ ].

Hàm được gọi hàm liên tục từng khúc trong [ ] nếu [ ] có thể chia thành một

số hữu hạn các khoảng con [ ]

sao cho hàm liên tục trên mỗi khoảng mở và tồn tại các giá trị hữu hạn của cácgiới hạn một phía:

tại các đầu khoảng con

Nói cách khác, khi đó trong mỗi khoảng con hàm có thể thác triển liên tục đượclên các đầu của khoảng thành hàm liên tục trong mỗi khoảng con đóng [ ]

đó Nếu các đầu khoảng đó là các điểm gián đoạn của hàm thì chúng chỉ cóthể là các điểm gián đoạn loại một Ta không quan tâm tới giá trị của hàm tại chính cácđầu khoảng con Chúng có thể xác định với giá trị tuỳ ý hoặc không xác định, và điều

đó không ảnh hưởng gì đến các giá trị của các hệ số Fourier của

 Định nghĩa:

Hàm được gọi là hàm khả vi từng khúc trên đoạn [ ] nếu là hàm liên tụctừng khúc trong [ ] và trong mỗi khoảng con mở hàm khả vi, đồng thờitồn tại các giá trị giới hạn hữu hạn:

Nói cách khác, hàm sau khi đã thác triển liên tục trong khoảng lên hai đầu khoảng thì hàm đã thác triển này là hàm khả vi trong khoảng đóng [ ]

Ta có định lý khai triển sau:

 Định lý Dirichlet.

Giả sử hàm là hàm xác định trên toàn trục số tuần hoàn với chu kì , khả vi từngkhúc trong [ ]

Khi đó, chuỗi Fourier của hàm hội tụ trong toàn khoảng [ ] và tổng bằng

với mọi [ ]

Ta thừa nhận định lý trên

Nếu là điểm liên tục của hàm thì:

Do đó

Như vậy chuỗi Fourier của hàm khả vi từng khúc tại những điểm liên tục của hàm, hội tụ

về chính giá trị của hàm ấy Còn tại những điểm gián đoạn của hàm thì hội tụ về giá trịtrung bình cộng của các giá trị giới hạn bên phải và bên trái của hàm

Chú ý: Nếu là hàm lẻ, nghĩa là thì chuỗi Fourier của hàm chứanhững từ gồm toàn các hàm , vì khi đó là một hàm lẻ và mọi hệ sốđều bằng

0

∫

Khai triển một hàm không tuần hoàn trong [ ].

Xét hàm không tuần hoàn và giả thiết rằng trong khoảng [ ] hàm khả vi từng khúc

Ta thành lập một cách hình thức chuỗi

trong đó các hệ số được tnh theo công thức Euler

∫Chuỗi (1.13) vẫn được gọi là chuỗi Fourier của hàm

Để xét xem chuỗi có hội tụ về hay không, ta xây dựng hàm sao cho trong khoảng [ ] trùng với hàm

[Còn ngoài khoảng trên thì lặp lại một cách tuần hoàn với chu kì Vậy chuỗi (1.13)cũng là chuỗi Fourier của hàm

Theo kết quả đã xét ở trên, thì tại mọi chuỗi (1.13) hội tụ về Do

chỉ khi [ ] nên ta có

khi [ ]

Do tnh tuần hoàn với chu kì của

Vậy nếu là hàm không lặp lại tuần hoàn với chu kì , khả vi từng khúc trong[ ] thì chuỗi Fourier của hàm:

Giả sử là hàm khả vi từng khúc [ ] Nếu [ ] [ ] thì theo định lý khaitriển hàm khai triển được thành chuỗi Fourier và chuỗi đó là duy nhất vì các hệ sốcủa hàm hoàn toàn được xác định bởi công thức Euler.

Ta xét hai trường hợp [ ] [ ]

a, Trường hợp [ ] thực sự nằm trong [ ]

Trường hợp này là trường hợp [ ] [ ] Xét hàm tuầnhoàn với chu kỳ , khả vi từng khúc trong [ ] sao cho trong [ ] thì trùng vớihàm còn trong [ ] thì hoàn toàn tuỳ ý

Ta khai triển thành chuỗi Fourier thì chuỗi này có tổng là:

Trong [ ] vì nên ta có:

Vì ngoài [ ] (x) có thể chọn tuỳ ý, mỗi cách chọn cho ta một chuỗi Fourier (1.14)khác nhau, nên ta có vô số chuỗi như vậy Vậy nếu hàm khả vi từng khúc trong[ ] sao cho [ ] [ ] thì có vô số chuỗi Fourier dạng:

hội tụ về

[ ]Trong đó, các hệ số được tnh bởi công thức:

∫

∫

Ở đây, là một hàm bất kì, khả vi từng khúc trong [ ] và trùng với trong[ ]

hội tụ trong toàn khoảng [ ] tới thì bài toán vô nghiệm

Khai triển chẵn, lẻ của một hàm.

Giả sử là hàm khả vi từng khúc trong đoạn [ ] Theo mục ở trên, ta có thể khaitriển ra toàn khoảng [ ] thành hàm và có vô số cách khai triển như vậy.Trong đó, có hai cách khai triển đặc biệt được gọi là khai triển chẵn và khai triển lẻ

- Khai triển chẵn là khai triển sao cho hàm thu được là hàm chẵn

Khi đó trong chuỗi Fourier của hàm chỉ chứa toàn số hạng cosin, tức

là:

∑ [ ]trong đó

∫

∫ ∫

- Khai triển lẻ là cách khai triển sao cho hàm thu được là một hàm lẻ.

Khi đó, trong chuỗi Fourier của hàm chỉ chứa toàn số hạng sin, tức là:

∑ [ ]trong đó:

∫

∫ ∫

Dạng khai triển Fourier trong [ ]

Giả sử khả vi từng khúc trong [ ] ta khai triển một cách tuần hoàn hàmvới chu kì ra ngoài khoảng [ ]

Ta có

Ta biến đổi với biến mới sao cho

Khi đó, với [ ] [ ] và

( )Hàm có chu kỳ nên hàm có chu kì

Hàm khả vi từng khúc trong [ ] nên có thể khai triển được thành chuỗiFourier trong [ ]

∑Khi đó, ta có khai triển của trong [ ]

∑ ( )trong đó:

∫

∫với được viết dưới dạng:

∫

1.16

∫Nếu là hàm tuần hoàn với chu kì , khả vi từng khúc trong [ ], thì hàm có thểkhai triển được một cách duy nhất chuỗi Fourier dạng (1.15), trong đó các hệ sốđược tnh theo công thức (1.16)

Ta có:

∑ ( )với

Nếu hàm cho trong , theo trên ta có thể khai triển chẵn hàm trong dướidạng

∑ ∫

hoặc khai triển lẻ hàm trong dưới dạng:

∑ ∫

CHƯỞNG II: ƯNG DUNG CUẦ CHUOI FOURIER

2.1: Ứng dụng trong Vật lý

2.1.1: Phương trình truyền nhiệt.

Ta xét một vật rắn G và gọi là nhiệt độ của vật tại điểm G ở thờiđiểm t Nếu tại những điểm khác nhau của vật G có nhiệt độ khác nhau thì nhiệt sẽtruyền từ nơi có nhiệt độ cao sang nơi có nhiệt độ thấp

Giả sử là một mảnh mặt bất kì khá bé trong vật G Khi đó, theo định luật về sự truyềnnhiệt, nhiệt lượng truyền qua mảnh ,trong khoảng thời gian tỷ lệ với

, với là pháp tuyến của theo chiều truyền nhiệt( tức là chiều giảm củanhiệt độ)

Trong đó là hệ số truyền nhiệt trong

Giả sử vật đang xét là đẳng hướng, tức là tại mọi điểm nhiệt truyền theo hướngnào cũng như nhau, thì hệ số chỉ phụ thuộc mà không phụ thuộc vào hướngcủa pháp tuyến với

Gọi q là dòng nhiệt, tức là nhiệt lượng đi qua một đơn vị diện tch trong một đơn vị thờigian Khi đó từ (2.1) suy ra

là hằng số nếu vật đẳng hướng và đồng chất

Ta xét một thể tích V bất kì trong vật rắn G giới hạn bởi một mặt kín trơn S và tnh sựthay đổi nhiệt lượng trong thể tch V trong khoảng thời gian từ t1 đến t2 bằng hai cách

Cách 1: Gọi C là nhiệt dung là tỉ khối (mật độ khối) của vật thể tại

điểm thì nhiệt lượng cần thiết để trong phần thể tch của vật thể có sựthay đổi nhiệt độ từ đến là

[ ]

Do đó nhiệt lượng cần thiết để trong toàn bộ thể tch V có sự thay đổi nhiệt độ

∫ ∬Với ⃗ là pháp tuyến ngoài với mặt S

Gọi F(x,y,z) là mật độ nguồn nhiệt trong thể tích V tại điểm (x,y,z) ở thời điểm t, tức là nhiệt lượng sinh ra hay mất đi trong một đơn vị thể tch, thì

∫ ∭

Từ đẳng thức (2.4), ta có

∫ ∭ ∫ ∬ ∫ ∭

Theo công thức Gauss-Ostrogradsky ta có

1) Nhiệt độ u chỉ phụ thuộc x,y,t, chẳng hạn, nếu ta xét sự truyền nhiệt trong một bản phẳng đẳng hướng, đồng chất rất mỏng đặt trên mặt phẳng Oxy, thì nhiệt độ

u(x,y,z,t) tại điểm (x,y) ở thời điểm t thoả mãn phương trình

/2) Nhiệt độ u chỉ phụ thuộc x,t, chẳng hạn, nếu ta xét sự truyền nhiệt trong mộtthanh đồng chất, đẳng hướng, rất mỏng đặt dọc theo trục Ox, thì nhiệt độ u(x,t)tại điểm x của thanh tại điểm t thoả mãn phương trình

Trong hai trường hợp trên, ta phải giả thiết không có sự trao đổi nhiệt giữa bản phẳng hay thanh với môi trường xung quanh

 Các điều kiện ban đầu và điều kiện biên cho phương trình nhiệt

Cho vật thể tch V với mặt S bao xung quanh, các điều kiện biên khác nhau có thể đặttrên biên S như sau:

1) Điều kiện Dirichlet (hay bài toán biên loại I) đòi hỏi nhiệt độ được xác định trên biên của miền, mà tại đó phương trình nhiệt giải được Loại điều kiện biên bày códạng:

|trong đó là nhiệt độ đã được xác định

2) Điều kiện biên Neumann (hay bài toán biên loại 2) đòi hỏi dòng nhiệt đi qua biênđược xác định rõ trên biên của miền, mà tại đó phương trình truyền nhiệtgiải được Loại điều kiện biên này có dạng:

|

|

trong đó f2 là dòng nhiệt đã được xác định

3) Điều kiện biên Robin (hay bài toán biên loại 3) đòi hỏi dòng nhiệt đi qua biên vànhiệt độ trao đổi với môi trường xung quanh được xác định rõ trên biên của miền,

mà tại đó phương trình truyền nhiệt giải được Loại điều kiện biên này có dạng

| |trong đó h>0 là hằng số, f3 là dòng nhiệt đã được xác định

Chú ý rằng, dòng nhiệt trao đổi với môi trường xung quanh phụ thuộc vào cả nhiệt

độ của môi trường

4) Điều kiện hỗn hợp là kết quả của các điều kiện loại 1và loại 2

Theo phương pháp tách biến Fourier, ta tìm nghiệm của phương trình (2.18) dưới dạng

Thay (2.21) vào (2.18) ta được

Chia hai vế cho ta được

Vế trái (2.22) chỉ phụ thuộc t, vế phải chỉ phụ thuộc x, nghĩa là cho dù các biến số thayđổi, nhưng tỉ số luôn bằng nhau Đẳng thức chỉ có thể thoả mãn nếu bằng một hằng số, do

đó tồn tại hằng số thực thoả mãn

Từ đó ta có hai phương trình vi phân sau:

Các điều kiện biên (2.19) cho ta

}

Ứng với trị riêng nghiệm của phương trình (2.23) theo biến t là

( )

(2.33)với An là các hằng số tuỳ ý

Vậy các hàm

( )

là các nghiệm riêng của phương trình (2.18), thoả mãn các điều kiện biên (2.19)

Ta lập chuỗi

Với f là hàm liên tục, liên tục từng khúc với mọi t>0 thoả mãn f(0,t)=f( ,t)=0

Ta tìm nghiệm của bài toán (2.37), (2.38), (2.39) dưới dạng:

∑Như vậy điều kiện biên (2.39) được thoả mãn Xét f(x,t) như hàm của x và phân tch hàm

đó thành chuỗi Fourier theo sin trên

∑với

∫Thay (2.40) vào (2.37) ta được :

∑ [ ( ) ]Đặt ta có mọi hệ số của chuỗi Fourier trên phải bằng 0, nghĩa là

Từ (2.38) ta có ∑

Từ đó ta nhận được các điều kiện ban đầu của Tn(t) là Tn(0) = 0 (2.44)

Nghiệm của bài toán (2.43), (2.44) được cho bởi công thức:

∫Thay vào chuỗi (2.40) ta nhận được nghiệm của bài toán (2.37), (2.38), (2.39) dưới dạng:

∑ 0∫ 1Thế biểu thức từ (2.42) vào (2.45), ta biến đổi nghiệm u(x,t) như sau

∫ ∫ { ∑ }

∫ ∫

với

∑ ( )

2.1.2: Phương trình dao động của dây.

 Phương trình dao động của dây.

Xét một sợi dây có chiều cố định ở hai đầu mút Khi ở trạng thái tĩnh, dây có dạngđường thẳng Ta chọn đường thẳng này làm trục Ox và xem các đầu dây trùng với cácđiểm x=0 và x= Mỗi điểm của sợi dây có thể biểu thị bằng hoành độ x Ta mô tả quátrình dao động của dây theo vị trí của mỗi điểm đã cho của sợi dây tại các thời điểmkhác nhau, bằng cách đưa véctơ dịch chuyển của sợi dây tại vị trí x và tại thời điểm t códạng

⃗⃗

Để đơn giản, ta giả sử quá trình dao động của sợi dây chỉ nằm trong mặt phẳng (u,x) vàvectơ dịch chuyển ⃗ vuông góc với trục Ox tại thời điểm bất kì Như vậy, việc mô tả quátrình dao động chỉ cần một hàm u(x;t) đặc trưng cho độ dịch chuyển vuông góc với sợidây

u