Chuỗi fourier và ứng dụng

Một số điều kiện hội tụ đều của chuỗi Fourier .... Để có thể hiểu sâu sắc hơn, nắm vững một số kiến thức quan trọng và ứng dụng của chuỗi Fourier và bước đầu tiếp cận với việc nghiên cứu

Em xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới TS Bùi Kiên Cường, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo, giúp đỡ tận tình cho

em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Em cũng trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Giải tích và toàn thể các bạn sinh viên trong khoa đã nhiệt tình góp ý, giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu để hoàn thành khóa luận này

Do trình độ chuyên môn còn hạn chế và eo hẹp về thời gian nên nội dung khóa luận này không tránh khỏi những thiếu sót Em kính mong nhận được sự phê bình góp ý của quý thầy cô và các bạn để nội dung khóa luận này của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Lê Mai Anh

Em xin cam đoan nội dung khóa luận này hoàn toàn là kết quả nghiên cứu của bản thân dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Bùi Kiên Cường, không trùng với bất cứ kết quả nghiên cứu của ai khác Trong qúa trình nghiên cứu và thực hiện đề tài em có tham khảo một số tài liệu (đã nêu trong phần tài liệu tham khảo)

Em xin chịu mọi trách nhiệm về lời cam đoan của mình

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Lê Mai Anh

Lời cam đoan

Mở đầu 1

Chương I Một số kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Chuỗi số 3

1.1.1 Định nghĩa 3

1.1.2 Phần dư của chuỗi hội tụ 3

1.1.3 Điều kiện để một chuỗi hội tụ 4

1.1.4 Điều kiện cần và đủ để chuỗi hội tụ ……… 4

1.2 Dãy hàm 5

1.2.1 Định nghĩa 5

1.2.2 Sự hội tụ đều của dãy hàm 5

1.3 Chuỗi hàm 5

1.3.1 Định nghĩa 5

1.3.2 Sự hội tụ đều của chuỗi hàm 6

1.3.3 Điều kiện hội tụ đều của chuỗi hàm 6

1.3.4 Tính chất của tổng chuỗi hàm 8

1.4 Không gian các hàm khả tổng 9

1.4.1 Không gian L1 ,  9

1.4.2 Không gian L2 ,  9

1.5 Hệ trực giao, hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert 10

1.5.1 Vectơ trực giao, hệ trực giao 10

1.5.2 Hệ trực chuẩn 11

1.5.3 Tính đầy đủ của một hệ trực chuẩn 11

Chương II Chuỗi Fourier 12

2.1 Hệ hàm lượng giác trực giao 12

2.4 Sự hội tụ của chuỗi Fourier 13

2.4.1 Bổ đề Riemann 13

2.4.2 Hàm liên tục từng khúc, hàm khả vi từng khúc 15

2.5 Một số điều kiện hội tụ đều của chuỗi Fourier 17

2.6 Chuỗi Fourier dưới dạng phức, đồng nhất thức Parseval 18

2.7 Khai triển hàm thành chuỗi Fourier 20

2.7.1 Khai triển Fourier của hàm tuần hoàn trong khoảng ,  20

2.7.2 Khai triển một hàm không tuần hoàn trong khoảng  ,  23

2.7.3 Thác triển chẵn, thác triển lẻ 24

2.7.4 Khai triển một hàm xác định trong khoảng  a b 29 ,

2.7.5 Khai triển Fourier trong đoạn  l l, bất kỳ 30

Chương III: Một số ứng dụng của chuỗi Fourier 32

3.1 Bất đẳng thức đẳng chu 32

3.1.1 Đường cong, chiều dài, diện tích 33

3.1.2 Phát biểu và chứng minh bất đẳng thức đẳng chu 35

3.2 Định lí phân phối đều Weyl 37

3.2.1 Các số thực modul theo số nguyên 37

3.2.2 Nội dung định lí 39

3.3 Hàm liên tục nhưng không khả vi tại bất kì điểm nào 43

3.4 Phương trình nhiệt trên đường tròn 45

Kết Luận 51

Tài liệu tham khảo 52

I MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Việc nghiên cứu chuỗi Fourier bắt nguồn từ các ngành của Vật lý như lí thuyết dao động và lý thuyết truyền nhiệt Nhà toán học người Pháp Joseph Fourier là người đầu tiên nghiên cứu chuỗi lượng giác theo các công trình trước đó, đã áp dụng chuỗi Fourier để giải phương trình truyền nhiệt Chính bản thân chuỗi Fourier đã chứa đựng các nội dung hết sức đa dạng và phong phú, nó có rất nhiều ứng dụng trong khoa học

và kĩ thuật, đặc biệt là trong Toán học và Vật lý Nhiều kết quả của nó là

cả những công trình nghiên cứu lớn của các nhà toán học, đôi khi những kết quả ấy được phát triển thành lý thuyết có ứng dụng rộng rãi trong

thực tiễn

Để có thể hiểu sâu sắc hơn, nắm vững một số kiến thức quan trọng

và ứng dụng của chuỗi Fourier và bước đầu tiếp cận với việc nghiên cứu

khoa học em đã chọn đề tài: “Chuỗi Fourier và ứng dụng" để thực hiện

khóa luận tốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu giúp em làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về giải tích hàm đặc biệt về chuỗi Fourier và một số

ứng dụng của nó

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về chuỗi Fourier và một số ứng dụng

4 Đối tượng nghiên cứu

Các khái niệm và kết quả về chuỗi Fourier và một số ứng dụng

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lý thuyết

Phương pháp giải tích Fourier

6 Cấu trúc

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận gồm có 3 chương

Chương I: Một số kiến thức chuẩn bị

Chương II: Chuỗi Fourier

Chương III: Một số ứng dụng của chuỗi Fourier

7 Đóng góp của khóa luận

Khóa luận là một tài liệu tổng quan về lý thuyết chuỗi Fourier và một số ứng dụng của nó trong nghiên cứu nghiệm của một số lớp phương trình Cụ thể là các yếu tố hình học như phép trực giao, cơ sở

Hilbert và phép đẳng cấu,… trong không gian Hilbert

II NỘI DUNG

Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

a





 là một chuỗi số

Nếu dãy  A n hội tụ và lim n

n A A

  thì ta nói chuỗi số

1

k k

a





phân kỳ

Ta gọi a n là số hạng của chuỗi số,

1.1.2 Phần dƣ của chuỗi hội tụ

Cho chuỗi hội tụ

1

k k

1.1.3 Điều kiện để một chuỗi hội tụ

Định lý 1.1(điều kiện cần) Nếu chuỗi

1

k k

 Theo nguyên lý Cauchy để chuỗi (1.2) hội

tụ điều kiện cần và đủ là   0 cho trước  n0 n0( ) *

a





 hội tụ là   0,  n0 n0( )

sao cho  n n0,  p *ta đều có a n1a n2   a n p 

Từ định lí này ta suy ra chuỗi

1

n n

Nếu tại x0U chuỗi số 0

1

( )

n n

u x





 hội tụ thì ta nói x0 là điểm hội tụ

của chuỗi hàm (1.3), nếu 0

1

( )

n n

Tập hợp tất cả các điểm hội tụ của một chuỗi hàm được gọi là

miền hội tụ của chuỗi hàm đó Giả sử A là miền hội tụ của chuỗi hàm

(1.3), khi đó với xA chuỗi

1

( )

n n

Ta gọi S x là tổng của chuỗi hàm ( )

1.3.2 Sự hội tụ đều của chuỗi hàm

u x





 được gọi là hội tụ đều tới tổng ( )S x trên U

nếu   0 cho trước đều  n0 n0( )  không phụ thuộc vào x sao

cho khi nn0 thì

( ) ( )

n

S x S x  với  x U

1.3.3 Điều kiện hội tụ đều của chuỗi hàm

Định lý 1.4 (điều kiện cần và đủ Cauchy)

Chuỗi hàm

1

( )

k k

n m k





Định lí 1.5 (dấu hiệu Weierstrass)

Cho chuỗi hàm

1

( )

n n

u x





 gồm các hàm u n xác định trên tập U Giả thiết tồn tại một dãy số dương  C n sao cho

i) u x n( ) C n  x U ,  n *,

ii) Chuỗi số

1

n n

u x





 hội tụ đều trên U

Định lí 1.6 (dấu hiệu Dirichlet)

Cho hai dãy hàm  a n ,  b n cùng xác định trên tập U Giả thiết:

i) Dãy tổng riêng A x n( ) của chuỗi hàm

1

( )

n n

a x





 bị chặn đều trên U có nghĩa là tồn tại một số M 0 sao cho

ii) Dãy hàm  b n đơn điệu, có nghĩa là với mỗi x U dãy b x n( ) là dãy

số đơn điệu và dãy hàm  b n hội tụ đều trên U đến 0

Khi đó chuỗi hàm

1

( ) ( )

n n n

a x b x





Định lí 1.7 (dấu hiệu Abel)

Cho hai dãy hàm  a n và  b n cùng xác định trên tập U Giả thiết:

i) Chuỗi hàm

1

( )

n n

Trong L1 ,  ta đưa vào một khoảng cách bằng công thức:

( , )f g f g

   Khi đó L1 ,  cùng với khoảng cách này tạo

thành một không gian metric với quy ước f g khi và chỉ khi ( ) ( )

f x g x hầu khắp nơi trên  , 

Sự hội tụ theo nghĩa này của một dãy các hàm khả tích được gọi là

 ,  mà  f x( )2d

   

Trong L2 ,  ta đưa vào một chuẩn bằng công thức:

Khoảng cách giữa hai phần tử f g trong , L2 ,  được định nghĩa:

L   cùng với tích vô hướng trên tạo thành một không gian Hilbert

1.5 Hệ trực giao, hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert

1.5.1 Vectơ trực giao, hệ trực giao

Hai vectơ x và y trong không gian Hilbert H được gọi là trực

giao nếu  x y, 0, ta viết xy Kí hiệu x là tập hợp các vectơ trong

H trực giao với x Tương tự, cho tập AH A,  chỉ tập hợp các vectơ

trong H vuông góc với mọi vectơ trong A

Họ vectơ  v A trong không gian Hilbert H , với A là tập “chỉ

số” bất kì, được gọi là hệ trực giao nếu hệ này không chứa vectơ 0 H

chuẩn  v A

1.5.3 Tính đầy đủ của một hệ trực giao, trực chuẩn

Một hệ trực chuẩn  v Ađược gọi là đầy đủ (hay cơ sở đầy đủ)

nghĩa là với mọi x trong H , ta có đẳng thức Parseval sau

Chương 2: CHUỖI FOURIER

trực giao trên đoạn  a b,

Xét hệ hàm lượng giác trên  , 

1,cos ,sin ,cos2 ,sin 2 , cosx x x x nx,sinnx,

Dễ dàng kiểm tra được rằng:

2.2 Chuỗi lượng giác

Chuỗi lượng giác là chuỗi hàm có dạng

0 1

Nếu chuỗi (2.1) hội tụ và có tổng là f x thì f là một hàm tuần ( )hoàn chu kỳ 2 Vì thế ta chỉ cần xét chuỗi hàm lượng giác trên một đoạn có độ dài bằng 2, chẳng hạn trên  , 

nếu kn

nếu k n

nếu k n

nếu k n

2.3 Chuỗi Fourier

Định nghĩa: Cho hàm 1

f L   , nghĩa là f khả tích Lesbesgue trên

[ , ], ta định nghĩa chuỗi Fourier của f là chuỗi hàm lượng giác sau

0 1

Nếu f là hàm tuần hoàn chu kì 2l, bằng phép đổi biến tx l/ , ta đưa về trường hợp tuần hoàn chu kì 2

Do f L1[ , ] nên các tích phân trong (2.3) tồn tại

2.4 Sự hội tụ của chuỗi Fourier

ii) lim b ( )cos 0.

với phân hoạch T mà d T( ) thì ta có

n i i

m p

2.4.2 Hàm liên tục từng khúc, hàm khả vi từng khúc

Cho hàm f xác định trên đoạn  a b, Nếu ta có thể chia đoạn

 a b, thành hữu hạn đoạn a b i, i i1, 2, ,k bởi các điểm chia

nói f liên tục từng khúc trên đoạn  a b,

Nếu f liên tục từng khúc trên đoạn  a b, và f có đạo hàm fcũng liên tục từng khúc trên đoạn  a b, thì ta nói f khả vi từng khúc

trên đoạn  a b,

Định lí 2.1 Nếu f là hàm xác định trên toàn trục số, tuần hoàn với chu

kỳ 2 và trơn từng khúc trên mọi đoạn hữu hạn bất kỳ thì chuỗi Fourier tương ứng với f hội tụ tại mọi điểm x0và có tổng

Khi đó:

0 0

0

1sin( )

22sin

22sin

22sin



Điều kiện Dirichlet : Giả sử ( ) f x là hàm tuần hoàn với chu kì 2 , thỏa mãn một trong hai điều kiện sau trên  , 

i) f x liên tục từng khúc và có đạo hàm ( ) f x( ) liên tục từng khúc, ii) f x đơn điệu từng khúc và bị chặn ( )

Khi đó chuỗi Fourier của nó hội tụ tại mọi điểm, chuỗi này có tổng

bằng f x tại những điểm liên tục của nó và bằng ( ) ( 0) ( 0)

2

f c  f c

tại những điểm gián đoạn của nó

Điều kiện Lipschitz : Cho hàm số ( ) f x tuần hoàn với chu kì 2 và

kiện Lipschitz bậc   0tại điểm x nếu tồn tại một hằng số c và số 0dương r thỏa mãn :

f x  f x c xx  x xx r Nếu điều kiện này đúng với tất cả các giá trị x với cùng một hằng số c 0thì hàm số ( ) f x được gọi là thỏa mãn điều kiện Lipschitz đều

2.5 Một số điều kiện hội tụ đều của chuỗi Fourier

Ta đã xác định một số điều kiện để chuỗi Fourier của một hàm ( )

f x nào đó hội tụ điểm Trong phần này ta tiếp tục nghiên cứu một vài

điều kiện để chuỗi Fourier của hàm ( )f x hội tụ đều

Định lí 2.2 Nếu hàm ( ) f x tuần hoàn với chu kì 2 , liên tục tuyệt đối và

có đạo hàm thuộc không gian L2 , thì chuỗi Fourier của nó hội tụ đều tới ( ) f x trên toàn trục số

Định lí 2.3 Nếu trên tập bất kì E   , mà hàm khả tổng ( ) f x bị chặn và điều kiện Dini được thỏa mãn đều trên E , tức là:

thì chuỗi Fourier của f x hội tụ đều trên E tới hàm đó ( )

Định lí 2.4 Cho hàm f x( )L1 ,  thỏa mãn điều kiện Lipschitz bậc

0

  đều trong  a b, Khi đó tổng riêng của chuỗi Fourier của hàm

( )

f x hội tụ đều về hàm ( ) f x trong đoạn  c d bất kì mà ,    c d,  a b,

Định lí 2.5 Cho f L1 ,  Giả sử rằng f bị chặn, thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên  , , f liên tục trên khoảng   u v,   ,  Khi

đó chuỗi Fourier của f hội tụ đều về f trên mọi đoạn bất kì

e c

Nếu giới hạn sau đây tồn tại

2

ikx k n

n k n

e c

e c







Trong trường hợp chuỗi Fourier của f (ứng với hệ trực chuẩn đã cho)

hội tụ, ta có thể viết chuỗi đó dưới dạng sau

Nếu f L2 ,  thì ta có đồng nhất thức Parseval sau

2.7 Khai triển hàm thành chuỗi Fourier

2.7.1 Khai triển Fourier của một hàm tuần hoàn trong đoạn  , 

Giả sử f là hàm xác định và khả vi từng khúc trong đoạn  ,  Đặt a0 1  f x dx( ) , a n 1  f x( )cosnxdx,

thì chuỗi này là chuỗi Fourier của hàm *

f tuần hoàn với chu kỳ 2 mà trong đoạn  ,  thì f*trùng với f , tức là:

*

f x  f x   x   Hàm *

f có tính chất đó được gọi là thác triển tuần hoàn của hàm

( )

f x trên toàn khoảng  , 

Chuỗi (2.4) sẽ hội tụ trong đoạn  ,  về hàm f x tại những ( )điểm liên tục của hàm số đó, còn lại những điểm gián đoạn loại 1, thì chuỗi có tổng:

1

 

2

2

01

n

a n

( 1)

1

n n

n b

a) Xét x0 Điểm này là điểm liên tục của hàm ( )f x Vậy theo

định lí khai triển chuỗi sẽ hội tụ về giá trị của hàm tại điểm đó, tức có tổng bằng f(0)0và ta có

b) Xét x Điểm này là điểm gián đoạn của hàm ( )f x Vậy theo

định lí khai triển, tại x chuỗi sẽ hội tụ về

nếu n2k nếu n2k1

Và ta vẫn lại thấy kết quả đã nêu trên

2 2

định lí khai triển chuỗi sẽ hội tụ về giá trị của hàm tại điểm đó, tức có

2.7.2 Khai triển một hàm không tuần hoàn trong  , 

Xét hàm f x không tuần hoàn và khả vi từng khúc trong đoạn ( )

 ,  Ta lập một cách hình thức chuỗi

0 1

Chuỗi (2.5) vẫn được gọi là chuỗi Fourier của hàm f x Liệu ( )

chăng chuỗi (2.5) có hội tụ về ( 0) ( 0)

 

*

f x  f x   x  còn ngoài khoảng nói trên thì ta lặp lại một cách tuần hoàn với chu kỳ 2 Như vậy chuỗi (2.5) cũng là chuỗi Fourier của hàm *

0 1

Khai triển (2.7) được gọi là khai triển chẵn của hàm f trong  0,

Mặt khác, nếu xét một hàm f là hàm lẻ trong đoạn **  ,  và

Do đó, trong đoạn  0, , (2.8) cũng là khai triển của hàm f Vậy trong

Khai triển (2.9) được gọi là khai triển lẻ của hàm f trong  0,

Nếu ta kí hiệu s x là tổng của khai triển chẵn (2.7) của hàm 1( )( )

f x trong  0, , tức là

 

0 1

a) thác triển chẵn của hàm f x trên đoạn ( )  0,

b) thác triển lẻ của hàm f x trên đoạn ( )  0,

Lời giải:

 

2 2

2 2

Vậy

2

*

2 1

f x thỏa mãn điều kiện Dirichlet nên có thể khai triển

được thành chuỗi Fourier Vì hàm **

f x Rõ ràng có nhiều cách xác định hàm ( ) g x như vậy Với mỗi hàm

số g x cho ta một chuỗi Fourier tương ứng, do đó có nhiều chuỗi ( )Fourier biểu diễn hàm f x ( )

Nếu hàm g x chẵn thì chuỗi Fourier của nó chỉ toàn những hàm số ( )cosin

Nếu hàm g x lẻ thì chuỗi Fourier của nó chỉ toàn những hàm số ( )sin

2.7.5 Khai triển Fourier trong đoạn  l l, bất kỳ

Nếu l thì có vô số chuỗi Fourier tương ứng với hàm f x ( )Nếu l , bài toán nói chung không có lời giải

Tuy nhiên, nếu ta tìm chuỗi dưới dạng khác đi một chút, ta sẽ thấy

ta có lời giải duy nhất

Thật vậy, giả sử f x khả vi từng khúc trong ( )  l l, Ta thác triển một cách tuần hoàn hàm f x nói trên với chu kỳ ( ) 2l ra ngoài đoạn

 l l, và để đỡ phức tạp ký hiệu, ta vẫn ký hiệu hàm đã được thác triển



Khi đó, với x  l l, thì y   ,  và

( ) (l ) ( ),



Hàm ( )f x có chu kỳ 2l, nên hàm ( )g y có chu kỳ 2

Hàm ( )g y khả vi từng khúc trong  ,  nên có thể khai triển được